易錯(cuò)點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及函數(shù)與方程-2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（教師版含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)03指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及函數(shù)與方程

易錯(cuò)題(oil研究對(duì)數(shù)型函數(shù)忽略定義域

研究函數(shù)y=log/(x)的性質(zhì)，或求解與logJ(x)有關(guān)的函數(shù)與方程及不等式問題，不少

同學(xué)常因忽略/(x)>0的隱含條件出現(xiàn)錯(cuò)誤。

易錯(cuò)題【02］不會(huì)利用中間量比較大小

在比較數(shù)與式的大小時(shí)常利用指數(shù)函數(shù)、基函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，若比較指數(shù)式

與對(duì)數(shù)式的大小，或同是指數(shù)式(對(duì)數(shù)式)但底數(shù)不相同，這些情況下常利用中間量比較大小,

常用的中間量是0,1,7,有時(shí)也可借助1,2」等中間量來比較大小.

22

易錯(cuò)題［03］不會(huì)構(gòu)造函數(shù)比較大小

比較兩個(gè)式子的大小，若兩個(gè)式子結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，但結(jié)構(gòu)類似，這種情況下常式子的結(jié)構(gòu)構(gòu)

造函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性比較大小。

易錯(cuò)題【04】確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，或零點(diǎn)個(gè)數(shù)或已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)滿足條件,

常通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，故提醒同學(xué)們研究函數(shù)與方程問題不

要得“意”忘“形”。

易錯(cuò)題01

若"X)=10g2“［("-2a)x］在(YO.0)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

【警示】本題出錯(cuò)的主要原因是忽略定義域，不會(huì)由x<0得出/一2〃<0.

【答案】《,2)

【問診】因?yàn)橛蓌vO,所以〃2-2a<0,此時(shí)y=一2〃卜在(_QO.0)上是減函數(shù)，由復(fù)合

函數(shù)單調(diào)性得2a>l,III［I八，解得，<a<2,所以a的取值范圍是(±2〕。

(a2-2a<02<2)

【叮囑】研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，一定不要忽略真數(shù)大于零的限制。

支式練習(xí)〉〉

1.函數(shù)/(x)=ln(x2-ar-3)在(1,內(nèi))單調(diào)遞增，求a的取值范圍()

A.a<2B.a<2C.a<-2D.a<-2

【答案】c

【解析】令f（x）=x2-or-3,二次函數(shù)拋物線的對(duì)稱軸方程為x=；"，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性可知，又/一辦一3>0在（1，+8）上恒成立，所以1—?！?20,BR-2-?>0,

id<1

所以《2",解可得，a<-2.故選C

-2-6F>0

2.（2021湖北武漢市第一中學(xué)高三月考）函數(shù)"x）=log“（3-2公）在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）.

A.（0,1）B.（；/）

C.（0,；）D.（M）

【答案】C

【解析】設(shè)“(x)=3-2ar(a>0),可得T=log“〃，則“(x)=3-2ax(a>0)是減函數(shù),

要使得函數(shù)〃力=log?（3-2ar）為［1,2］上的增函數(shù)，只需y=log?u為減函數(shù)，且滿足

“（力=3-2">0對(duì)于》叩,力恒成立，所以［⑴="2）=3-4a>0'解得：

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍為（0,；）故選C.

易錯(cuò)題02

（2019全國I卷理T3）已知a=log2（）.2,b=20-2,c=O.203,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

［警示］比較指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小要重視利用中間量比較大小。

【答案】A

【問診】由題意,可知a=log52<1,

12

b=log50.2=log,-=log,,5'=log,5>log,4=2,c=0.50-<1,所以匕最大，a,

55

1

c都小于1,因?yàn)閍=log52=——

log25

log25>log24=2>^2,所以J：5，<，即a<c，所以a<c<b,故選A.

【叮囑】比較數(shù)與式的大小，當(dāng)不能直接利用函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要注意使用中間量。

支式練習(xí)，〉

1.(2021新高考2卷T7)已知。=logs2,^=10g83,c=g,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<h<c

【答案】C

【解析】a=log52<log5石=；=log82>/2<log83=b,即a<cv從故選C.

2

2.(2020全國HI文T10)設(shè)。=log32,b=log53,c=-,則0

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

117112

3

【解析】因?yàn)閍=§log323<§log39=§=c,fe=-log53>-log525=-=C(

所以avcvZ?,故選A.

易錯(cuò)題03

(2021全國卷乙卷理T12)設(shè)a=2/m.01,b=lnl.O2,C=VH)4-1,則()

A.a<h<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<h

【警示】不會(huì)觀察式子的結(jié)構(gòu)通過構(gòu)造函數(shù)求解。

【答案】B

【問診】解法一：?=2//?1.01=/rtl,0201.b=lnl.O2,:.a>b,

令/(x)=2ml+x)-(Jl+4x-1),0cxe1,

----------l/2—1

令Jl+4x=t,則1v/v61.x=--—,

f2+3

??.g(t)=2bi(----)-t+l=2ln(t2+3)-f+1-2妨4,

4

g'Q)=-1='二「；3=>0,8⑺在(1,逐)上單調(diào)遞增，

廣+3廣+3r+3

g(f)>g(1)=2/^4-1+2ln4=0，/.f(x)>0，:.a>c,

同理令h{x}=ln(\+2x)-(Jl+4冗-1),

再令Jl+4x=t,則1</v石x=--—,

*+1

夕Q)=/〃(一—)-r+1=ln(t92+1)—f+1—ln2,

(P\t)=W--1=二尸)<0,叭t)在(1,石)上單調(diào)遞減，

/+1廠+1

「.夕(，)〈夕(1)=/〃2—1+1—/〃2=0,h(x)<0,:.c>b:.a>c>b.故選：B.

解法二：由a=27nl.01=Znl.0201>ft=Ini.02,則排除AD,結(jié)合選項(xiàng)BC,只需判斷a,c的

大小，故設(shè)/(為=2①(1+8)一/1京+1,；./'(幻=，-----j=^==

1+xVl+4x

2業(yè)巴三"&(0<X<1),又；y/i+4x2—(1+x)2=2x-V=x(2-X)>0

(1+X)y/1+4X

Jl+4x>l+x,f'(x)>0,；./(x)在(0,1)上單增，A/(0.01)>/(0)=0,

A21nl.01>VH)4-l)：.a>c,故選B

【叮囑】比較幾個(gè)復(fù)雜式子的大小，常通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解。

變式練習(xí)

1.(2020全國I理T12)若2"+log2a=4"+21og",則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

2b

【解析】設(shè)/(x)=2'+log2%，則f(x)為增函數(shù)，：2"+log2a=4&+2log4b=2+log2b,

2ft

A/(?)-fQb)=2"+log,a-(2+log?2。)=22b+log2b_(2^+]Og22b)

=1暇；=-1<°，

A/(a)<f(2b),：.a<2b.

2a22Z,2

???f(a)-f(b)=2+log2a-(2戶+log2b)=2+log2b一(2序+log2b)=

22〃-2戶-log2Z?.

當(dāng)6=1時(shí),/(a)-/(h2)=2>0,此時(shí)/3)>/(小),有以>%當(dāng)。=2時(shí)，

/(a)-/(Zj2)=-l<0,此時(shí)/(a)</(〃)，有a<〃，，C、D錯(cuò)誤,故選B.

2.（2020全國H理T11）若2,-2V<3-*-3r，則0

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x->>|<0

【答案】A

【解析】由2*-2>'<3-*—37得：2X-TX<2v-3-v.令/?)=2'-3一'，

?.?>=2'為/?上的增函數(shù)，y=3-*為RI二的減函數(shù)，.??/?)為R上的增函數(shù)，

Qy-x>0,/.y-x+l>l,.\ln(^-x+l)>0,則A正確，B錯(cuò)誤：(^,一討與1的大

小不確定，故CD無法確定，故選A.

易錯(cuò)題04

(2018全國卷I)已知函數(shù)/(X)=-'g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零

Inx,x>0,

點(diǎn)，則。的取值范圍是

A.[-1,0)B.[0,-Ko)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

【警示】不會(huì)利用圖象求解，導(dǎo)致解題失敗.

【答案】C

【問診】函數(shù)g(x)=/(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程/(x)=—x—a有2個(gè)

不同的實(shí)根，即函數(shù)/(x)的圖象與直線y=—x—a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=a與函

數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，-aWl,解得aNl,故選c.

【叮囑】求解與零點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)問題，常利用函數(shù)圖象的直觀性求解。

變式練習(xí)》)

1.(2021河南大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)定義在R上的奇函數(shù)/(x),當(dāng)xNO時(shí),

〃“)="_卜_3|則關(guān)于x的函數(shù)/x)=/(x)—a(°<a<l)的所有零點(diǎn)之和為

()

aa

A.2-lB.i-2~C.-log2(l+?)D.log2(l-a)

【答案】C

l-2',xe[0,l)

【解析】當(dāng)xNO時(shí);/(%)=-x-2,xS[l,3)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以作出函數(shù)圖象如圖

4-X,XG[3,+oo)

由圖象可知F(x)=0,即/(x)=a(0<a<l)有5個(gè)零點(diǎn)，其中有2個(gè)關(guān)于直線x=-3對(duì)稱,

還有2個(gè)關(guān)于直線x=3對(duì)稱，所以4個(gè)零點(diǎn)的和為零，笫5個(gè)零點(diǎn)是立線N=。與函數(shù)

y=f1]交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程a=-1的解,

解得x=-log2(l+。)，故選C

f2xr<0

2.(2021天津市第四十七中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)=e,8。)=-/+24其中6

[x,x>0

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若關(guān)于x的方程g(/(x))="恰有三個(gè)不等實(shí)根玉,々,不，且玉<々<三，

則2x,-x2+2X3的最大值為.

【答案】3-ln3

【解析】由題意設(shè)/*)=，，根據(jù)方程g(f(x))-加=0恰有三個(gè)不等實(shí)根，

即g(r)7"=-r+2f-/M=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根%,%，不妨設(shè)

■-4+芍=2,則芍=2—4,

方程/(X)=f1或/(x)=，2有三個(gè)不等實(shí)根內(nèi),々,工3，且為<七<七，

作出圖象如圖所示:

那么工2=/"=4，可得冗3=，2=2-。，0<^<1,

所以2%―/+2退=In：—3%+4,

構(gòu)造新函數(shù)g)=lnr-3f+4,(O</<l),則h'(t)=三,

所以人⑴在(o,g)上單調(diào)遞增，在1)上單調(diào)遞減，

所以Mr)max==3Tn3,

所以2%-％+2》3的最大值為3-ln3.

易錯(cuò)題通關(guān)

a

1.（2021江蘇省泰興中學(xué)高三期中）已知“=log32,,b=log52,c=0.5-',則a,b,c的大小

關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b〈a〈cC.c<a<bD.c<-b<.a

【答案】B

【解析】因?yàn)閥=log3X在（0，k）匕為增函數(shù)，且1<2<3,

所以logal<k）g32<log33,0<log32<1,即0<a<l,

因?yàn)閥=logs》在（。，用）上為增函數(shù)，且1<2<5,

所以logs1〈logs2〈logs5,得。vlogsZcl,即0<匕<1,

因?yàn)閥=0.5、在R上為減函數(shù)，一1<4-1<0,

所以05T>0.5小>。5°,得1<0.51<2,即l<c<2,

[S^）a=^—,b=^^-,:.a>b,:.c>a>b,故選B.

In3In5

2.（2021山東煙臺(tái)高三期中）設(shè)。=logs2,/>=log93,c=logI54,則（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】0<a=log,2=log,V4<log5A/5=^,b=log93=log,3=,

22

c=logl54=log15V16>log15715=p所以a<b<c,故選D.

3.（2020江西省信豐中學(xué)高三月考）若函數(shù)〃x）=l°g'（一犬2+4*+5）在區(qū)間（32,加+2）內(nèi)

2

單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

-41「4］4

A.-,3B.—,2C.2D.—,+oo

_J」L，-p3

【答案】c

【解析】解不等式-丁+4犬+5>0，即丁-4-5<0,解得—l<x<5,

內(nèi)層函數(shù)“=-V+4x+5在區(qū)間（T,2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2,5）上單調(diào)遞減，

而外層函數(shù)）'=10glu在定義域上為減函數(shù)，

2

由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)“x）=l°g［（f2+4x+5）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,5）,

2

3加一222

由于函數(shù)/（司=1°8］（*+4犬+5）在區(qū)間（3加一2,愣+2）上單調(diào)遞增,所以，■3〃?-2<膽+2,

"7+2W5

422］故選c.

解得;4根<2.因此，實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是

4.（2021河南高三月考）設(shè)a=lnl.2,b=2\n\.\,c=VL5-i,則（）

A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】b=21nl.l=lnl.21,VIn1.2<In1.21,：.a<b,

11—Y

設(shè)f（x）=lnx-x+l,則r（x）=L-l=7,

XX

則在區(qū)間（o.i）上，r?>o,f（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（i,+oo）匕尸。）<0,“X）為減函數(shù),

/./（x）</（l）=0,BPlnx<x-l,AIn1.21<1,21-1=0.21,

XV>/L5-1.21>0,AVL5-l>0.21.,二。>方>”.故選D.

5.（2021黑龍江高三期中）已知a=/a,/,=121d+ii0=?!,則（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】令/(x)=e，-x-l(x>0),則/(力=/一1>0,

???/(x)在(0,+向上單調(diào)遞增，.■J(x)>〃0)=0,即，>x+l，.?.嚴(yán)>1.1,

e005>VET,即a>c；令g(x)=lnx-x+l,則g<x)=g-l=l^,

.,.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x?l,”o)時(shí)，g'(x)<0；

r.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(L”)上單調(diào)遞減，；.g(x)4g⑴=0,

二lnx4x-l(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào))，,

即野+14?(當(dāng)且僅當(dāng)x=i時(shí)取等號(hào))，.?.曲>+i<vn,即人<c；

綜上所述：a>c>/?.故選D.

6.(2021四川攀枝花高三月考)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(x-3)=f(x+l),且

V1-X2,X€(-1,I]

f(x)=，給出如下四個(gè)結(jié)論：①的值域?yàn)椋?,2］；②當(dāng)xe(-3,-2)

2-2|jc-2|,xe(1,3]

時(shí)，/(x)=2x+6；③/(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=4Z(ZeZ)；④方程3/(x)=x恰有5個(gè)

實(shí)數(shù)解，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由/(x—3)=/(x+l)可得/(x)=/(x+4),所以“力是周期為4的函數(shù)，

由圖知：x=l或x=3時(shí)，/(xL?=0,當(dāng)x=2時(shí)，f(x)1rax=2,根據(jù)周期性可得f(x)的值

域?yàn)閇0,2],故①正確;

A/1-X2,XG(-1,1]

2X-2,XG(1,2],'I—3<x<—2時(shí)，1<x+4<2?

6-2x,xe(2,3]

〃x+4)=2(x+4)-2=2x+6,因?yàn)?(力是周期為4的函數(shù),

所以F(X)=〃X+4)=2X+6,故②正確;

由圖象以及周期性可知：無=0、x=2為函數(shù)“X)的對(duì)稱軸，所以圖象的對(duì)稱軸為直

線X=2M%EZ),故③不正確；

方程3/(x)=X恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，可得y=/(X)與y=5圖象有5個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x<0時(shí)，5<0,而〃x)20,所以當(dāng)X<()時(shí)，方程3/(0=、無實(shí)根，

當(dāng)0W6時(shí)，由圖知y=/(x)與y=q圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

所以y=/(X)與y=5圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程3/(%)=X恰有4個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)x>6時(shí)，y=q>2,此時(shí)y=/(x)與y=5圖象沒有交點(diǎn)，故④不正確；

7.(2⑼吉林.高三月考)已知函數(shù)冊(cè)黑匕°,g(x)…2—,若關(guān)于x

的方程/僅3)=4(4€1^)恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為()

【答案】A

【解析】設(shè)g(x)=r,可得=因?yàn)間(x)=r最多有兩個(gè)實(shí)根，若〃g(x))=2恰有6

個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則=恰有三個(gè)實(shí)根，作出的圖象，如圖

由'+1|=4或1g/二丸可得：：=4-1或，2=-4-1或/3=1°4，且0</ivl,

由g(x)=，［即x2—2x+24—2=4—1,x2—2x+4—1=0,

由A=4—4x(/1—1)>0可得又<2,

由g(x)=，2即x?—2x+22—2=—A—1fx2—2x+34—1=0，

7

由A2=4_4x(34-l)>0可得％,

由g(x)=，3即f-2工+2；［-2=1(/,x2-2x+22-2-10A=0,

由△3=4—4(22一2—10，)=12—8；1+41(/=4(3-22+10，)>0恒成立，

綜上所述：0<2<|,實(shí)數(shù)4的取值范圍為［。,|［,故選A.

8.(多選題)已知函數(shù)，(x)=log2(/nF+4x+8),weR,則下列說法正確的是()

A.若函數(shù)Ax)的定義域?yàn)?-℃,”)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是+8)

B.若函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+8),則實(shí)數(shù)a=2

C.若函數(shù)Ax)在區(qū)間［-3,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(《I

D.若加=0,則不等式/。)<1的解集為養(yǎng)

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,由題意知〃>+4x+8>0對(duì)xeR恒成立，由于當(dāng)加=0時(shí)，不等式4%+8>0

[m>0,1

不恒成立，所以用工0.當(dāng)機(jī)w0時(shí)，由人y八解得〃?>7,所以A正確；

[A=16-32/n<0,2

對(duì)于B,若函數(shù)一若的值域?yàn)榈?+8),則于“焉=2,顯然加不為0,

2

則函數(shù)丁=如？+4x+8的最小值為4,則當(dāng)x=時(shí)，

m

Ymin=〃?(一2]+4x(-2)+8=4,解得"2=1,所以B錯(cuò)誤；

ImJVmJ

對(duì)于C,若函數(shù)/*)在區(qū)間[-3,+8)上為增函數(shù)，則y=mf+4x+8在[-*也功上為增函數(shù),

m>0,

242

目.在[-3,內(nèi))內(nèi)的函數(shù)值為正，所以《——<-3,解得<機(jī)4所以c正確;

m93

/nx(-3)2+4x(-3)+8>0,

對(duì)于D,若m=0,則不等式/。)<1等價(jià)于Iog2(4x+8)<1,

3

貝iJ()<4x+8<2,解得一2<工<一7,所以D不正確.故選AC.

2

x2ex,x<\

9.(多選題)(2021重慶九龍坡高三期中)已知函數(shù)/*)=靖，方程

"(x)f-2叭x)=0(aeR)有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

B.叫v(0,l),x2G(1,3),使/(玉)>/(々)

C.x=—2是Ax)的極大值點(diǎn)

D.。的取值范圍是(2，J)[-,+oo)

e282

【答案】BC

【解析】當(dāng)x<l時(shí)，〃司=//，則f，(x)=(x2+2x)e'=x(x+2)e)

當(dāng)xe(y),-2),(O,l)時(shí)，/(力>0,/(力單調(diào)遞增，當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)

4

遞減，且/(一2)=7,〃0)=0；

當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=p-(則:(x)=",(丁),

當(dāng)xe(l,2)時(shí),/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x?2,飲)時(shí),r(x)>0,“X)單調(diào)遞增，且

〃l)=ej⑵=