電路第五版羅先覺第七章

動態(tài)電路的方程及其初始條件7.1一階電路和二階電路的階躍響應(yīng)7.7一階電路的零輸入響應(yīng)7.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.3一階電路的全響應(yīng)7.4二階電路的零輸入響應(yīng)7.5二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)7.6首頁本章重點第7章一階電路和二階電路的時域分析一階和二階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念及求解；重點一階和二階電路的階躍響應(yīng)概念及求解。1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；返回含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。1.動態(tài)電路

7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。下頁上頁特點返回例0ti過渡期為零電阻電路下頁上頁+-usR1R2（t=0）i返回i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)：k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電容電路下頁上頁k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電感電路下頁上頁k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過渡期返回下頁上頁

(t→

)+–uLUsRi+-k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL=0,i=Us/Rk斷開瞬間i=0,uL=

工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現(xiàn)過電壓和過電流現(xiàn)象。注意k

(t→

)+–uLUsRi+-返回過渡過程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲能元件L、C，電路在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化下頁上頁返回應(yīng)用KVL和電容的VCR得：若以電流為變量：2.動態(tài)電路的方程下頁上頁

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路返回應(yīng)用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路返回有源電阻電路一個動態(tài)元件一階電路下頁上頁結(jié)論含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。返回二階電路下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應(yīng)用KVL和元件的VCR得：含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。返回一階電路一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)。二階電路二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。下頁上頁結(jié)論返回高階電路電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。動態(tài)電路的分析方法根據(jù)KVL、KCL和VCR建立微分方程；下頁上頁返回復(fù)頻域分析法時域分析法求解微分方程經(jīng)典法狀態(tài)變量法數(shù)值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法付氏變換本章采用工程中高階微分方程應(yīng)用計算機輔助分析求解。下頁上頁返回穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動態(tài)換路發(fā)生很長時間后狀態(tài)微分方程的特解恒定或周期性激勵換路發(fā)生后的整個過程微分方程的通解任意激勵下頁上頁直流時返回

t=0＋與t=0－的概念認為換路在t=0時刻進行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時u，i

及其各階導(dǎo)數(shù)的值。下頁上頁注意0f(t)0－0＋t返回圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件得：在動態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。下頁上頁明確R－+CiuC(t=0)返回t=0+

時刻iucC+-電容的初始條件0下頁上頁當i()為有限值時返回q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒下頁上頁結(jié)論返回電感的初始條件t=0+時刻0下頁上頁當u為有限值時iLuL+-返回

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈守恒換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下頁上頁結(jié)論返回

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路定律反映了能量不能躍變。下頁上頁注意返回電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開路下頁上頁+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時閉合開關(guān)k,求

uL(0+)先求應(yīng)用換路定律:電感用電流源替代解電感短路下頁上頁iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。下頁上頁小結(jié)返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：下頁上頁由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓解下頁上頁由0－電路得：由0+電路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k閉合瞬間流過它的電流值解確定0－值給出0＋等效電路下頁上頁例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－7.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應(yīng)下頁上頁iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0則下頁上頁代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回下頁上頁或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時間常數(shù)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);下頁上頁表明返回時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C

大（R一定）W=Cu2/2

儲能大物理含義下頁上頁返回a.

:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經(jīng)過3

－5

,

過渡過程結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下頁上頁注意返回

＝

t2－t1

t1時刻曲線的斜率等于U0tuc0

t1t2次切距的長度下頁上頁返回b.時間常數(shù)

的幾何意義：能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁uCR+－C返回例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：+uC4

5F－i1t>0等效電路下頁上頁i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下頁上頁i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回下頁上頁例2求:(1)圖示電路k閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規(guī)律，(2）電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。解這是一個求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：u

(0+)=u(0－)=20V返回u1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+下頁上頁uk4F++--i20V250k返回下頁上頁初始儲能最終儲能電阻耗能返回2.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A(chǔ)=iL(0+)=I0t>0下頁上頁iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；下頁上頁表明-RI0uLt0iL+–uLR返回響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);下頁上頁令

稱為一階RL電路時間常數(shù)

=L/R時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時,打開開關(guān)S，求uv。電壓表量程：50V解下頁上頁iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0時,開關(guān)S由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解下頁上頁i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回下頁上頁i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁上頁小結(jié)返回一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數(shù)

同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。下頁上頁小結(jié)

=RC

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。方程：7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)非齊次方程特解齊次方程通解下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程返回與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強制分量）的特解下頁上頁返回全解uC(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC(0+)=0

定積分常數(shù)A下頁上頁從以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（自由分量）下頁上頁表明+返回響應(yīng)變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；

大，充電慢，

小充電就快。響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。下頁上頁表明RC+-US返回例t=0時,開關(guān)S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時的充電時間t。解(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：(2)設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V下頁上頁500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0時,開關(guān)S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：t>0下頁上頁返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0開關(guān)k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：下頁上頁iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u7.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應(yīng)全響應(yīng)下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下頁上頁強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)返回2.全響應(yīng)的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁上頁返回全響應(yīng)=

零狀態(tài)響應(yīng)+

零輸入響應(yīng)著眼于因果關(guān)系便于疊加計算下頁上頁零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0下頁上頁返回例1t=0時,開關(guān)k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應(yīng)問題，有：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：下頁上頁iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時,開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應(yīng)問題，有：下頁上頁穩(wěn)態(tài)分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下頁上頁全響應(yīng)：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁上頁特解返回分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解下頁上頁直流激勵時：A注意返回例1已知：t=0時合開關(guān)，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁上頁1A2

1

3F+-uC返回例2t=0時,開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁上頁iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素為：下頁上頁0＋等效電路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1例3已知：t=0時開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：下頁上頁4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回下頁上頁例4已知：t=0時開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素為：返回下頁上頁+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：電感無初始儲能t=0

時合S1

,t=0.2s時合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解下頁上頁例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下頁上頁i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下頁上頁it(s)0.25(A)1.2620返回7.5二階電路的零輸入響應(yīng)uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二階電路的零輸入響應(yīng)以電容電壓為變量：電路方程：以電感電流為變量：下頁上頁RLC+-iuc返回特征方程：電路方程：以電容電壓為變量時的初始條件：uC(0+)=U0i(0+)=0以電感電流為變量時的初始條件：i(0+)=0uC(0+)=U0下頁上頁返回2.零狀態(tài)響應(yīng)的三種情況過阻尼臨界阻尼欠阻尼特征根：下頁上頁返回下頁上頁返回U0tuc設(shè)|P2|>|P1|下頁上頁0電容電壓返回t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

時ic

最大tmic下頁上頁tU0uc0電容和電感電流返回U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi減小,uL

<0t=2tm時

uL

最大下頁上頁RLC+-t0電感電壓返回iC=i為極值時，即uL=0時的

tm

計算如下:由duL/dt可確定uL為極小時的

t.下頁上頁返回能量轉(zhuǎn)換關(guān)系0<t<tmuC

減小，i增加。t>tmuC減小，i

減小.下頁上頁RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回uc

的解答形式：經(jīng)常寫為：下頁上頁共軛復(fù)根返回δωω0

下頁上頁ω，ω０，δ的關(guān)系返回t=0時

uc=U0uC=0：

t=-，2-...n-t

-2-2

0U0uC下頁上頁返回t

-2-2

0U0uC

iC

uL=0：

t=，+，2+...n+ic=0：

t=0，，2...n，為

uc極值點，ic的極值點為uL零點。下頁上頁返回能量轉(zhuǎn)換關(guān)系：0<t<

<t<-

-<t<t

-2-2

0U0uc

iC下頁上頁RLC+-RLC+-RLC+-返回特例：R=0時等幅振蕩t下頁上頁LC+-0返回下頁上頁相等負實根返回下頁上頁返回定常數(shù)可推廣應(yīng)用于一般二階電路下頁上頁小結(jié)返回電路如圖，t=0時打開開關(guān)。求uC并畫出其變化曲線。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程為：

50P2+2500P+106=0例1（2）開關(guān)打開為RLC串聯(lián)電路，方程為：下頁上頁5Ω100

F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC返回(3)

t0uC35625下頁上頁返回7.6二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程為：通解特解特解:

特征方程為:下頁上頁RLC+-uCiLUS

(t)+-例1.二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)返回uC解答形式為：下頁上頁tuCUS0返回求電流i的零狀態(tài)響應(yīng)。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先寫微分方程解下頁上頁2-ii1例二階非齊次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根為：

P1=－2，P2=－6解答形式為：第三步求特解i'由穩(wěn)態(tài)模型有：i'=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2下頁上頁第二步求通解返回穩(wěn)態(tài)模型+u1-2

i2A0.5u12

第四步定常數(shù)由0+電路模型：下頁上頁返回+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)2.二階電路的全響應(yīng)已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,iR(1)

列微分方程(2)求特解解下頁上頁RiR-50V50

100F0.5H+iLiC例應(yīng)用結(jié)點法：返回(3)求通解特征根為：

P=-100j100(4)定常數(shù)特征方程為：下頁上頁返回(5)求iR或設(shè)解答形式為：定常數(shù)下頁上頁RiR-50V50

100F0.5H+iLiCRiR-50V50

+iC2A返回下頁上頁返回二階電路含二個獨立儲能元件，是用二階常微分方程所描述的電路。二階電路的性質(zhì)取決于特征根，特征根取決于電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與激勵和初值無關(guān)。下頁上頁小結(jié)返回求二階電路全響應(yīng)的步驟(a)列寫t>0+電路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全響應(yīng)=強制分量+自由分量上頁返回上頁7.7一階電路和二階電路的階躍響應(yīng)1.單位