湖南省新課標2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省新課標2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數(shù)學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題.如圖，在圓。

中，AB為其一條弦，ZADB=120°,C,。是弦AB的兩個三等分點，以A為左焦點，B,C為頂點作雙曲線7.設(shè)

122

雙曲線T與弧A3的交點為E,則NADE=—NAD3=40°.若r的方程為與―2L=1（?！?。），則圓。的半徑為（）

3cr4

C.2D4

2.已知雙曲線的兩個焦點耳卜J5,o）,8（"o）,P是雙曲線上一點，且

MKh2.則雙曲線的

標準方程是（）

2222

A.土-匕=1B.土-匕=1

2332

D.------丁二］

4

3.下列四個命題中，為真命題的是（）

22

A.若a>b9則ac>bc

B.若a>b,c>d,貝！IQ-c>b-d

C.若則層>52

D.若則工〉工

ab

171

4.已知命題P：cos2tz=——，命題q：（z=左乃+—,左eZ.則P是q的（）條件

23

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

22

5.直線y=6x與橢圓二+4=1（?！?〉0）交于A3兩點，以線段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，則此

ab

橢圓的離心率為（）

A昱B.4—26

2

D.V3-1

6.已知線段AB的端點8在直線/：j=-x+5±,端點A在圓G：（x+l『+/=4上運動，線段A5的中點M的軌跡

為曲線C2,若曲線C2與圓G有兩個公共點，則點5的橫坐標的取值范圍是（）

A.(-1,0)B.(1,4)

C.(0,6)D.(-1,5)

7.某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束

呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為

3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）

①②

A.1.35mB.2.05m

C.2.7mD.5.4m

8.現(xiàn)要完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)

查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況.這兩項調(diào)查宜采用的抽樣

方法是（）

A①簡單隨機抽樣，②分層抽樣B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣

C.①②都用簡單隨機抽樣D.①②都用分層抽樣

9.如果直線y=2x與直線〃a一丁+1=0垂直，那么用的值為（）

11

A.-------B.一

22

C.-2D.2

10.已知人x）=g/+（a—1口2+*+1沒有極值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（-8,0]U[l,+OO）

C.[0,2]D.（-oo,0]U[2,+oo）

11.拋物線y=a/的準線方程是>=2,則實數(shù)。的值為（）

11

A.—B.—

88

C.8D.-8

22

12.M是雙曲線C：春=1上一點，已知|5|=5,貝！||叫|的值（）

A.lB.9

C.1或9D,4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝的前n項和s“=/+〃,貝！]an=

14.如圖，在長方體A5CZ>—A151GO1,AB=BC=2,CCi=l,則直線AZh與3遼）所成角的余弦值為

16.達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品

中，布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方褥，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）,

把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的邊長為1,則點

F到直線QC的距離是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知等差數(shù)列｛&｝滿足%=6,前7項和為$7=49.

（I）求｛4｝的通項公式

（II）設(shè)數(shù)列也｝滿足bn=（??-3）-3",求也｝的前n項和Tn.

18.（12分）如圖，扇形A03的半徑為2,圓心角4405=120。，點C為弧A5上一點，PO，平面A05且PO=,

點、MePB且BM=2MP,K4//面MOC

C

（1）求證：平面MOCJ_平面尸。5；

（2）求平面POA與平面MOC所成二面角的正弦值的大小

7T

19.（12分）如圖1是ABC,AC=2BC=6,ZACB^^,D,E分別是邊AC,AB上兩點，且BC=3ED，

7T

將AED沿功折起使得NADC=§,如圖2.

（2）圖2中，求二面角C—A3—￡的正切值.

20.（12分）已知拋物線。：產(chǎn)=22武”>0）的焦點到準線的距離為2.

（1）求C的方程:

（2）過C上一動點尸作圓M:（x-4）2+V=i兩條切線，切點分別為A,B,求四邊形面積的最小值.

21.（12分）已知函數(shù)/（無）=a函一eR.

（1）當a=1時，求曲線y=/（x）在點（1"⑴）處的切線方程；

（2）試討論函數(shù)/（無）的單調(diào)性.

22.（10分）已知橢圓E：W+^=l（a〉6〉0）過點（O,JI）,且離心率6=也.

a-b22

（1）求橢圓E的方程；

9

（2）設(shè)直/:%=〃少一1（加€夫）交橢圓石于4,3兩點，判斷點G（—-,O）與以線段A3為直徑的圓的位置關(guān)系，并說

4

明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】由題設(shè)寫出雙曲線T的方程，對比系數(shù)，求出。即可獲解

由題知IC。1=。,1AO|二2a

22

所以雙曲線T的方程為三-二y=l

cr3a2

222

又由題設(shè)T的方程為三―匕=1,所以3a2=4,即a=F

a473

設(shè)A3的中點為G,貝！1|以7|=|4=百

由cos30°=^^==^=且.所以1加|=2,即圓。的半徑為2

\BD\\BD\2

故選:C

2、D

【解析】根據(jù)條件設(shè)|明|=4，忸用卜馬，由條件求得4a2=卜-臼2,即可求得雙曲線方程.

【詳解】設(shè)忸片|=小忸聞=馬，則由已知得片+&2=402=20,石石=2,又卜―々「=7+1—25=16,

_2

2

/.4/=16=>片=4,又「c=A/5,.'.b=19雙曲線的標準方程為y?=1.

故選：D

3、C

【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可

【詳解】當c=0時，A不成立；

2>1,3>—1,而2—3vl—(―1),故B不成立；

a=2,8=1時，—<1,D不成立；

2

由引知?>0,所以Q2>",C正確

故選：C

4、B

【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：若cos2。=—工，

2

27r47r

則2a=2k"---,keZ或2。=2k兀?-------,keZ,

33

_7i27r_

即（z=左〃'H——，左eZ或。=攵〃----，左eZ,

33

所以。是的必要不充分條件

故選：B

5、D

【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出a,c

AFVAF2

的關(guān)系，則橢圓離心率可求.

【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為耳，工，如下圖：

因為以線段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，

所以。4=03=0片=。且4片耳，所以AB=2c,

又因為y=8的傾斜角為60°,所以NAO8=NBOF[=60°,

所以5。耳為等邊三角形，所以所以AFI=,AB2_BF；=辰,

因為OA=OB,OF、=OF2,AAOF2=ABOFX,

所以所以A^=AF；=C,

BOFX=.AOF2,

6、D

x=2x-X.

【解析】設(shè)A（%45的中點"（劉?。?，由中點坐標公式求得<，代入圓G：

Ui=2ny_%

2

（x+1）2+/=4得點點拉的軌跡方程（X-迤匚>+y-券=1,再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式

-2

2

I<3,代入％=-％+5,求解即可得點3的橫坐標的取值范圍.

1小-『十0-^

%+%2

x=

2石=2X-X2

【詳解】解：設(shè)4（%21）,5仇,%），A3的中點M（x，y），則<，所以

/=2丁一%’

V二

2

2

又因為端點A在圓G：（x+l）2+/=4上運動,所以（2天—々+1）2+（2,—%）2=4,即（*—差9fy苫I=1>

2

因為曲線G與圓G有兩個公共點，所以2—1<J（—l—當口）2+

0-1|<2+1,

—X?+52

又因B在直線/：y=-x+5±,所以%=-々+5,所以2——一|<2+1,

2-

::d解得t<3,

整理得2<%2—4%+13<18,即<

所以點B的橫坐標的取值范圍是（-1,5）,

故選：D.

7、A

【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼担稍O(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點4（0.6,1.8）在拋物線上，代入方程

求得P值，進而求得焦點到頂點的距離.

【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系尤Oy,使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）

與原點0重合，焦點尸在￡軸上

設(shè)拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),

由已知條件可得，點4(0.6,1.8)在拋物線上，

所以L2p=L82,解得，=2.7,

因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m,

故選：A.

8、B

【解析】通過簡單隨機抽樣和分層抽樣的定義辨析得到選項

【詳解】在①中，由于購買能力與收入有關(guān)，應該采用分層抽樣；在②中，由于個體沒有明顯差別，而且數(shù)目較少,

應該采用簡單隨機抽樣

故選：B

9、A

【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡求得加的值.

【詳解】由于直線y=2x與直線加x—丁+1=。垂直，

所以2?加=—l,〃z=——?

2

故選：A

10、C

【解析】求導得fr(x)=V+2(〃-l)x+l,再解不等式［2(?！狣F—4W。即得解.

2

【詳解】由/(X)=g+(Q_l)x+X+1得/(%)=%2+2(〃-l)x+1,

根據(jù)題意得［2(〃-I)］2—4W0,解得

故選：C

11、B

11

【解析】化簡方程為一9=—y,求得拋物線的準線方程?=-h，列出方程，即可求解.

a4a

【詳解】由拋物線y=a/,可得/=!丁，所以p=《，所以拋物線的準線方程為丫=-工，

a2a4〃

因為拋物線的準線方程為y=2,所以-工=2,解得a=-

4〃8

故選：B.

12、B

【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍，即可求解.

22______

【詳解】雙曲線C方程為：—-^=1,:.a=2,b=2y/3,c=44+n=4

412

22

M是雙曲線C：?—展=1上一點，；』出|—|“引=2。=4,

|孫|=5,均=1或際|=9,

又\MF2\>c-a=2,:.\MF2\=9.

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2n

【解析】根據(jù)數(shù)列中S”與?！暗年P(guān)系，即可求出通項公式.

【詳解】當〃=1時，6=3=2,

當時，

4=S“-S“_]=n"+?—[(n-1)2+(n—1)]

=2n,

”=1時，％=2也適合a“=2〃，

綜上，an=2n,(?eN*)>

故答案為：an=2n

【點睛】本題主要考查了數(shù)列前〃項和與通項間的關(guān)系，屬于容易題.

14、—

5

【解析】以。為原點，DA.DC、所在直線為X、入Z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出曲，4。的坐

標，由向量夾角公式可得答案.

【詳解】以。為原點，DA.DC、所在直線為X、八Z軸的正方向建立如圖的坐標系,

A(2,0,0),8(2,2,0),(0,0,1),4(2,2/),

則AD,=(-2,0,1),BXD=(-2,-2,-1),

貝！=氐,4=卜4+4+1=3,

AR?BQ_4+0_]_3

則cos<AD],

1|必時4岳3—3卮5

即皿與和所成角的余弦值為今

故答案為：f

15、3

【解析】根據(jù)題意，畫出可行域，找出最優(yōu)解，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，不等式組所表示的可行域如圖陰影部分,

由圖易知，z=2x—y取最大值的最優(yōu)解為(2,1),故丁乘=2義2—1=3.

故答案為：3

16、及

【解析】根據(jù)題意，求得△FQC的三條邊長，在三角形bQC中求邊QC邊上的高線即可.

【詳解】根據(jù)題意，延長QN,B4交于點河，連接Q￡FC,如下所示：

在△QEC中，容易知：QF=&解+NF?=Ji?+(碼2=也；

同理FC=/+(&『=瓜，QC=ylQM-+MC~=^22+(75)2=3，

滿足QR2+R?2=QC2,設(shè)點R到直線QC的距離為d,由等面積法可知：

QFxFC^QCxd,解得d=母普=6,即點尸到直線QC的距離是6.

故答案為：V2.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)an=n+3.

⑵,=(2〃-l)x3=+3.

"4

【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得57=上1與山=7%=49,得知=7,然后由已知。3=6可得公差，進

而求出通項；(2)先明確包=(%-3)-3"=".3",為等差乘等比型通項故只需用錯位相減法即可求得結(jié)論.

解析：

(I)由57=7x(]+%)=74=49,得。4=7

因為%=6所以d=l

所以4=4,%=〃+3

(II)〃=(%—3)-3"="-3"

所以(=1x31+2x32+3x33+…+/x30(1)

37；,=lx32+2x33+3x34+...+wx3n+1.(2)

Q公〃+1

由(1)—(2)得：—27；=3+32+33++3”—〃義3"+1——-HX3,,+1

1-3

(2/7-l)x3n+1+3

所以北=

4

18、(1)證明見解析

⑵逅

4

【解析】(1)連接A3,設(shè)AB與0C相交于點N,連接MN,利用余弦定理可求得AB,BN,ON的長度，進而

得到08,ON,又POLON,由此可得QVL平面POB,最后利用面面垂直的判定定理即可得證；

(2)建立恰當空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，從而即可得答案

【小問1詳解】

證明：連接A3,設(shè)A3與。C相交于點N,連接MN,

24//平面MOC,24在平面內(nèi)，平面平面MOC=A1N,

:.PA//MN,

BM=2MP,

:.BN=2AN,

在..中，由余弦定理可得，AB=A/0A2+OB2-20A-OB-cos120°=^4+4-2X2X2X(-1)=2A/3,

BN=-AB=—,

33

又在△OBN中，NOBN=30°,由余弦定理可得，

ON=VOB2+BN2-WB-BN-cos30°=J4+--2x2xx—=,

V3323

OB2+ON2=BN2,故OBLON,

又PO_L平面ABC,ON在平面ABC內(nèi)，

:.PO±ON,

又POOB=O,

.?.ON,平面POB,

又ONu平面MOC,

平面MOC±平面POB；

【小問2詳解】

解：由（1）可知直線OC,OB,0P兩兩互相垂直，所以以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫Z,

則O（O,O,O）,P（O,O,6）,A（省,-I,O）,M（O,：，￥）,N（￥，O,O）,

所以O(shè)P=（O,O,6,OA=（"-I,O）,0M=（O,,￥）,ON=（￥，O,O）,

m-OP-y[5z=0「

設(shè)平面PQ4的一個法向量為根=（%,y,z）,貝叫「，可取口=（1,近,0）；

m-OA=V3x-y=0

22辨

n-OM=—b+----c=0n

33

設(shè)平面M0C的一個法向量為n=（a,b,c）,貝！I,i—,可取幾=（0,—石,1）,

八”2V3

n-ON=----2=0

[3

\m-n\_^/15_

|cos<m,n>|=

|m||n|V4.瓜4

???平面尸。4與平面MOC所成二面角的正弦值為亞

4

19、（1）證明見解析

（2）-V7

【解析】（1）、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質(zhì)即可證明

（2）、建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC、平面ABE的法向量，利用cos加求出兩平面所成角的

11

余弦值，進而求出求二面角C-AB-E的正切值.

【小問1詳解】

由已知得：DE±AD,DE±AC,

ADcDC=￡）,..DEL平面ADC,

又ACu平面ADC」.DE，AC,

JTf—

在.ADC中，AO=2,OC=4,NAr>C=w，由余弦定理得：AC=2百，

,-.AC2+AD2^DC2,即ACLAD,QA￡>CDE=D..AC,平面AED.

【小問2詳解】

由（1）知：DEL平面ADC,以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A0,0,6）,8（4,—3,0）,C（4,0,0）,D（0,0,0）,E（0,-l,0）,

B

AB=(3,-3,-^),BC=(0,3,0),BE=(-4,2,0),

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(%,%,zj,平面ABE的法向量為m=(x2,y2,z2),

AB?〃=0ABm=Q

則<與<,

BC-n=0yBE-m-0

即后=0與-任2=0Jo,⑹(I2-⑹.

3%=0[-49+2%=。V7V)

cos小ipWr今

觀察可知二面角C-AB-E為鈍二面角，，二面角C-AB-E的正切值為_幣.

20、(1)y2=4x

⑵而

【解析】⑴根據(jù)拋物線方程求出交點坐標和準線方程，求出p即可；

⑵設(shè)P~,t,利用兩點坐標求距離公式求出,根據(jù)四邊形”LMB的面積得到關(guān)于r的二次函數(shù)，結(jié)合二次函

14J

數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

因為C的焦點為1],0j,準線為x=—孑，

由題意得'+"=2,即p=2,因此C：V=4x.

22

【小問2詳解】

圓M的圓心為M(4,0),半徑為1.

由條件可知PB1BM，且RtAW/烏RtAPBAf,

于是S四邊形.B=2x；|PA|x|MA|=\PA\=7|M-1.

T/1/?什IT—?Si

設(shè)尸—,t,貝！—4+t2=--—?+16=^------^-+12>12-

I4JUJ1616

當產(chǎn)=8時等號成立，所以四邊形PAMB面積的最小值為廬萬=Tn?

21、(1)y=(e-l)x

(2)詳見解析.

【解析】(1)由〃x)=e-x,求導/'(x)=e'—1,得至寫出切線方程;

(2)求導/'(%)=ae*-1,再分aWO,a>0,討論求解.

【小問1詳解】

解：因為a—\,

所以〃x)=e"x,則F'(x)=e，-1,

所以八l)=e—l,〃l)=e—1,

所以曲線y=/(x)在點(L/(D)處的切線方程是y-(e-l)=(e-l)(%-l),

即y=(e—l)無；

【小問2詳解】

因為/(x)=ae*—x,a,

所以/'(%)=aex-1,

當時，/'(為=。9一1<0成立，則在上遞減；

當a>0時，令/'(x)=O,得x=-lna,

當％<—Ina時，f'(x)<0,當x>—Ina時，f\x)>0,

所以/(x)在(Y,-Ina)上遞減，在(-Ina,”