2024版高考復習A版數(shù)學考點考法練習題：平面解析幾何

平面解析幾何

一、單項選擇題

1.(2022山西晉城重點中學4月月考,6)以&1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0與2方廣

6=0同時相切的圓的標準方程為()

A.(x-l)2+(y-1尸=5

B.(x+l)2+。+1/=5

C.(%-1)2+9=5

D.%2+(y-1)2=5

答案A由已知得圓心到兩直線的距離公股蘆=笑|m,解得4=1,上店所以半

V5V5

徑所以圓的標準方程為a-l)2+(y-1)2=5.

22

2.(2023屆廣西桂林月考，11)已知橢圓E套+-1(。>6>0)的右焦點為尸(4,0),過點F

的直線交橢圓于A、8兩點，若”(1,-1),且成+礪=2麗，則E的方程為()

%2y2比2丫2

A.-+匕=1B.-+匕=1

48323620

C.—+—=1D.—+—=1

248204

答案C?；就+赤=2而，為AB的中點.

?過點P的直線交橢圓于A、8兩點，且M(l,-1),均產(chǎn)三J=

1—43

設A(xi,yi),B(%2,竺)，其中則

^i，yi

22L

ab由點差法得一_月一為%+。2

2

磅遐a%i-%2Xr+x2

二L

.a2b2

.b2_1

1?^=?

221

又a=b+c,c=4f

22

.../=8,/=24,的方程為二+匕=1.故選C.

248

3.(2020課標〃5,5分)設O為坐標原點，直線x=2與拋物線C:/=2^(p>0)交于D,E

兩點，若O"OE,則C的焦點坐標為()

A.g.o)B.Q,O)C.(l,o)D.⑵0)

答案B由拋物線的對稱性不妨設。在x軸上方、E在x軸下方.由［2=2；得

0(2,27P),￡(2,-27P),'：OD1OE,：.OD-OE=4-4p=0,：.p=l,：.C的焦點坐標為?,0),

故選B.

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22

4.（2023屆南寧三中摸底，10）已知橢圓C:^+1=1（°>6>0）的右焦點為F,右頂點為A,

上頂點為5點尸（。,6）滿足N08F=NBP0（0是坐標原點），則橢圓C的離心率是（）

A①B..C.辿D立

2224

答案B依題意可得8（0,6）,尸90）,4（。,0）,「Q,6）,所以03,8己又/。8產(chǎn)=/

BPO,ZBOF=ZOBP=90°,所以△。"?！魅?。,所以竺=—,即2=￡，所以b2=ac,又

BPOBab

b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以l-e2=e,解得e二二^或e二三立（舍去）.故選B.

22

5.（2023屆山西大同調(diào)研一，12）已知Fi,尸2為雙曲線Eg—^=1（a>0,b>0）的左、右焦

azbz

點，點P在E上，的平分線交x軸于點D,若甘,|叨|+|尸/2|=8,且PD=<3,

則雙曲線的方程為（）

比2丫2比2丫2

A.--匕=1B,--匕=1

2882

6446

答案B不妨設點尸在雙曲線的右支上，設|P/i|=〃,|P/2|=加,則n-m=2a,又加+行8,所以

n=a+4,m=4-a.

由NHPB胃,平分NHPB,得NFTPD=/F2PD=/又尸缶舊石.通=5APF1D+

SAP4D，?|PF1|?|PF2|?sin曰=?|PF1|-|PD|-sinJ+；\PF2\-\PD\-sing整理得

4ZDzozo

m-n=m+n,即（4-〃）（4+〃）=8,解得H=8.在尸i尸2中，由余弦定理得（2c）?二療+廬

22

2m/tcos-=（m+n）2-3m^=40./.c2=10則Z?2=c2-a2=2,故所求的雙曲線方程為^—匕=1.故選

3f82

B.

6.（2023屆山西大學附中9月診斷,4）若直線x=4y+l與雙曲線C:取2-產(chǎn)之仿>。）的一條漸

近線平行，則a的值為（）

A.—B.-C.4D.16

164

答案A由題意可得雙曲線C的漸近線方程為y=±^x,直線x=4y+7的斜率為點

?直線x=4y+7與雙曲線C的一條漸近線平行，=:解得。=已故選A.

7.（2023屆河南洛陽期中,9）已知拋物線C:/=4x的焦點為F,其準線與無軸的交點為A,

點P在拋物線C上，且PALPF,則依|=（）

A.-B.V5-2C.V5-1D.3-V5

2

答案c因為點P在拋物線C:y2=4x上，所以設尸（9,打）.

由拋物線C:/=4x可得焦點F（l,0）,準線方程為A-1,故A（-l,0）.因為尸ALPR所以

E41PF.

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因為24=（一1一3，一Vo）,PF=（1-y,-yo）＞

所以麗?麗=空—1+羽=0,解得羽=4V5-8（舍負），所以尸的橫坐標為遍2

由拋物線的定義可得|尸網(wǎng)=逐-2+1=通-1.故選C.

8.（2022安徽安慶二模,4）拋物線y2=4x的焦點為F,點、A在拋物線上.若[4用=3,則直線

AF的斜率為（）

A+V2B+2V2C.V2D.2V2

答案B設點4（沏,刈），則|”|=尤（）+1=3,故沏=2,所以加=±2近,故點A的坐標為（2,2魚）

或（2,-2魚），又尸（1,0）,所以直線A尸的斜率為±271故選B.

一題多解:設直線"'的傾斜角為。（0＜也吟，點公/在拋物線準線/：戶-1上的射影分

別為R,4,則|M|=l^l+IAF\Icos6|=2+3|cos。|,又|M|=|朋，所以2+31cos

,=3,得cos所以tang嗎=互誓=±2/.故選B.

3cosOcosO

二、多項選擇題

9.（2022江蘇阜寧中學期中，10）已知圓。:%2+丁2-4%=0和直線/:"-丁+1-2七0,貝!]（）

A.直線/與圓C的位置關系無法判斷

B.當k=l時，圓C上的點到直線I的最遠距離為2+日

C.當圓C上有且僅有3個點到直線I的距離等于1時,k=0

D.如果直線/與圓C相交于M,N兩點,那么弦MN的中點的軌跡是一個圓

答案BCD圓C：j（2+y2-4x=Q的圓心為C（2,0）,半徑r=2,直線I:kx-y+1-2k=k（x-2）+（1-

y）=0,故直線/過定點尸（2,1）.對于A,由于點尸（2,1）在圓C:f+y2-4x=o內(nèi)，故直線/與

圓。相交,A錯誤；

對于B,當k=l時,直線l:x-y-l=0,圓心C（2,0）到直線的距離公專=y,故圓C上的點

到直線I的最遠距離為2吟,B正確;對于C,當圓C上有且僅有3個點到直線I的距離

等于1時，圓心到直線的距離d=』=l,解得Q0,C正確;對于D,由于直線/過定點

V1+/C2

P（2,1）,設弦MN的中點為Q（x,y）,則CQLPQ,即點。的軌跡是以CP為直徑的圓，故

D正確，故選BCD.

22

10.（2022福州一模,9）已知橢圓C:-+5=l的左、右焦點分別為產(chǎn)為C上一點，

43

則（）

A.C的離心率為了

B.APE尸2的周長為5

C.ZFIPF2＜90°

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D.l<|PFi|<3

答案CD對于A,因為a=2,c=V￥=^=l,.?.離心率e=-=；,A錯誤;對于B,由橢圓的

a2

定義知|尸碎+|尸巳|=2a=4,又尸面|=2—2,二APF1F2的周長為4+2=6,B錯誤;對于C,當P

為橢圓短軸端點時,tan^==

2tan如合也L口

.,.tanZFiPF=-----=』=電：.NF"=60°,即（NFiPF2）max=60°,二Z

2l-tan2—/上1--

凡?歹2<90。"正確;對于D,

???|PFi|min=a-c=l,|PFi|max=a+c=3,???歸尸分區(qū)3,D正確，故選CD.

22

11.（2022山東煙臺、德州一模，12）已知雙曲線C《—5=1,巳為C的左、右焦點，

45

則（）

22

A.雙曲線」----乙-=1（加>0）和C的離心率相等

4+m5+m

B.若P為C上一點，且二尸1尸民=90。,則△KP巳的周長為6+2V14

C.若直線y=tx-l與C沒有公共點，則t滯或吟

D.在C的左、右兩支上分別存在點M,N,使得4m=F^N

答案BC對于A,雙曲線C:^—《=1的離心率e==雙曲線上—>=1（加>0）的離心

4524+m5+m

率e=1+：：5+m=等，它們的離心率不相等,A錯誤;對于B,有

74+m'4+m

+Ior2||2=『6,整理得吶+|p尸2|=2舊,則△尸i尸尸2的周長為6+2V14,B正確;對

lllPFil-|PF2||=4,

（無_竺=

于C,由｛45—（5-4/2）x2+8rx-24=0,由題意知方程G/Bf+gtr-ZdR無解，當

ly=tx—1

5-4金=0時，方程（5-4』）f+8比-24=0有解；當5-4?力0時，貝U有￡。二、及：*.2..W

l（8t）z+96（5-4tz）<0,

之得仁年或吟,故C正確;對于D,當直線MN不與x軸平行時,設直線MN的方程為

___金_之=1

x=Zy-3,N（%2,竺），由4^3?=可得〉2=4州，由｛45—'可得（5?-4）y2-

Vx=ty—3,

,30t（「30t

12~^2-4'即11-5t2-4'整理得19?+100=0,顯然不成立，當過雙

｛y，2=R,=-j-）

曲線C的左焦點Fi的直線MN與x軸重合時,方程為y=0,

則M（-2,0）,N⑵0）,瓦標=（1,0）,F^N=（5,0）,即5瓦標=詢,D錯誤.故選BC.

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12.（2022遼寧名校聯(lián)盟3月聯(lián)考，⑵已知拋物線C:f=2py（p>0）的準線I的方程為y=-l,

過C的焦點F的直線與C交于A,8兩點，以A,8為切點分別作C的兩條切線,且兩切線

交于點M則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為*=2y

B.ZAMB=90°

CJW恒在/上

D.\MF^=\AF\-\BF\

答案BCD由題意得￡=-1,所以p=2,因此C的方程為父=4y,A項錯誤；由題意可知直

線AB的斜率存在,R（0,1）,設A3的方程為y=kx+l,A（孫力）,Ba,竺），由\2之；得

^-4fcr-4=0,所以xi+x2=4k,為念=-4.由尸學得y-^x,所以AM的斜率為心”=；羽，所以AM

的方程為y-y尸;%1（%-為），即=；沏（%-制）①，同理BM的斜率為kBM《x）,所以BM的

方程為y-^%2=32（%-%2）②,所以kAMkBM=^xiX2=-l,即AM±BM,所以NAMB=90。,B項正

確；由①②得（、2-沏）廣，1%2（%2-即），因為所以產(chǎn)-1,將尸1代入①②得1=2左,

所以點M的坐標為（2左,-1）,又C的準線I的方程為產(chǎn)-1,所以M恒在I上,C項正確；當

1

AB的斜率左不為零時,如產(chǎn)三=一3所以kAB,kMF=-l,所以AB±MFf當AB的斜率k=0

時，點M的坐標為（0,-1）,顯然ABLMF,由尸得器=^,所以

\MF^=\AF\-\BF\,D項正確，故選BCD.

三、填空題

13.（2022全國乙，14,5分）過四點（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點的一個圓的方程

為.

答案（x-2）2+（>-1）2=5（或x2+y2-4x-6y=0或x^+y2-^x—~^y=0或x^+y2--^x—2y—￡=0）

解析選?。?,0）,（4,0）,（4,2）時,不妨設這三點分別為O,A,B,則線段OA的垂直平分

線的方程為尸2,線段A3的垂直平分線的方程為尸1,所以經(jīng)過這三點的圓的圓心坐標

為（2,1）,記為C,圓的半徑r=\CO\=y/22+I2=V5,所以所求圓的方程為（+2）2+（廣1）2=5.

選取（0,0）,（4,0）,（-1,1）時，設所求圓的方程為x1+y1+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）,則

F=0,（D=-4,

16+40+F=0,解得'E=一6,所以所求圓的方程為x2+y2-4x-6y=0.

,l+l-D+E+F=0,{F=0.

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選取(0,0),(-1,1),(4,2)時,設所求圓的方程為x2+/+D%+Ey+F=0(D2+E2-4f>0),則

F=0,(D=

1+1-D+E+F^O,解得，5=_己

,16+4+4D+2E+F=0,3'

IF=0.

所以所求圓的方程為犬+瀉x-yy=0.

選取(4,0),(-1,1),(4,2)時,設所求圓的方程為^+yz+Dx+Ey+F=Q(￡>2+E2-4F>0),則

16+4D+F=0,D=一工，

E所以所求圓的方程為爐+

l+l-D+E+F=0f解得=-2,y2Tx-2y_

、16+4+4D+2E+F=0,

-=0.

5

22

14.(2022貴陽五校聯(lián)考，15)設尸1,尸2分別是橢圓■+￥=1的左、右焦點，尸為橢圓上任

2516

一點，點M的坐標為(6,4),則|PM+|PH|的最大值為.

答案15

解析如圖所示.

22

在橢圓a+9=1中,4=5,6=4,c=3,所以焦點坐標分別為F1(-3,0),巳⑶0).

2516

\PM\+\PFi\=\PM\+(2a-|PF2|)=10+(|PA/|-|PF2|).

■：\PM\-\PF2\<\MF2\,當且僅當P在MF2的延長線上(P與尸0重合)時取等號，

22

(|PM|-|PF2|)max=|MF2|=V(6-3)+(4-0)=5,故的最大值為10+5=15.

解后反思:解題關鍵是轉(zhuǎn)化為一動點到兩定點距離之和或距離之差的最值問題,可以結(jié)

合圖形利用三角形三邊的關系解決.

15.(2021新高考I,14,5分)已知O為坐標原點,拋物線C:/=2px(p>0)的焦點為F,P為

C上一點,P尸與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQLOP.若|FQ|=6,則C的準線方程

為.

答案x=-|

解析I?點P在拋物線上且PFlxtt,不妨設點P位于無軸上方，???OP_LPQ,

,由平面幾何知識可得吶2=|0日MQI,又：FQ|=6,.”=3或0=0(舍)，；.C的

準線方程為x=-|.

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22

16.(2019課標/,16,5分)已知雙曲線C:[—3=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為后、

azbz

尸2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若干=AB,F^B-F^B=0,則C的

離心率為.

答案2

解析解法一:如圖，由無？=同知A為線段尸出的中點,

為線段吊尸2的中點,

：.OA//F2B,

-0=0,：.FIB.LF2B,

：.OA±FiA5.ZFiOA=ZOF2B,

"：ZBOF2=ZAOFI,:.ZBOF2=ZOF2B,

又易知。為=QB|=c,，回般為上簸,

可知.=tan60°=V3,

1+5=2.

az

解法二：如圖，設NAOy=a,則N3O產(chǎn)a,

?.?瓦5=而，.'A為線段-3的中點,

又為線段的中點，

：.OA//BF2,：.N0B3=2a.過B作BHlOF2,垂足為H,則BH//y^,則有NO3”=a,

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Z.ZHBF2=a,

易得40BH注△FzBH,

:.\OB\=\BF2\,

;亭?亭=0,

BF1±BF2,又。為F1F2的中點，

：.\OB\=\OF，\=c,

...△03^2為正三角形.

Z.ZB(9F=60O,貝心=tan60°=V3,

2a

：.e=-=卜+容2.

a7a2

四、解答題

17.(2021全國甲,20,12分)拋物線C的頂點為坐標原點焦點在x軸上,直線/:x=l交

C于P,Q兩點，且OP，已知點M⑵0),且與/相切.

(1)求C,的方程；

⑵設Ai,A2,A3是C上的三個點,直線AA,A曲均與OM相切.判斷直線A2A3與的

位置關系，并說明理由.

解析⑴由題意可設拋物線C的方程為V=2px(p>Q),則P,Q的坐標為(1,士歷)，?；

。尸_LOQ,，市?麗=1-20=0,.?.片”.拋物線C的方程為y2K

,.?OM的圓心為(2,0),OM與直線Al相切，；.的半徑為1,；.OM的方程為(x-

2)2+/=1.

(2)直線AR3與相切.理由如下：

設Ai(端yo),A2(yf,yi),A3(修以)，

,/直線AIA2,A1A3均與。M相切，

yi#±l,竺#±1,

373

由Ai,A的坐標可得直線AIA的方程為丁-州二；—1(犬-犬),整理，得x-(yo+yi)y+yoyi=O,由

22y。~y1

于直線A1A2與相切，

到直線Am的距離仁/：如加=1,整理得(無-1).赤+2yoy1+3-詔=0,①

Jl+(yo+yi)2八

同理可得，(%-1)%+2yoy2+3-羽=0,②

觀察①②,得yi,m是關于x的一元二次方程(羽-l)f+2yox+3-羽=0的兩根，

j2°(*)同理,得直線A2A3的方程為x-(yi+y2)y+yiy2=0,

[2=涓?

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|2+^Zo|

則點M（2,0）到直線A2A3的距離優(yōu)二彳學%,把（*）代入,得=

|2（yg-l）+3-yg^=龍+"=售號=].二直線4^3與OM相切.

J（%T）2+（-2yo）2]羽+2%+1仇+”

22

18.（2020課標II,19,12分）已知橢圓G++標=1（介6>0）的右焦點/與拋物線G的焦

點重合,G的中心與C2的頂點重合.過尸且與x軸垂直的直線交G于A,8兩點,交C2于

C,D兩點，且|?！?gt;|=引酣

⑴求Ci的離心率；

⑵設M是Ci與C?的公共點.若瞅川=5,求Ci與C2的標準方程.

2

解析⑴由已知可設C2的方程為y=4cx,

其中c=7a2一爐.

不妨設A,C在第一象限，

由題設得A,B的縱坐標分別為紇--;C,D的縱坐標分別為2c,-2c,

aa

ot）2

^\AB\=—,\CD\=4c.

CL

由ICDlWlABI得4c=字,即3x￡=2—2①丫.解得￡=2（舍去）或￡=1

33aa\ajaa2

所以G的離心率為:

22

（2）由⑴知a=2c,Z?=V3c,故G：弓+3=L

4cz3cz

設M（沏,yo）,則含+券=1,yo=4cxo,故含+空=1.①

由于Q的準線為x=-c,所以照尸|二%（）+（7,

而尸|=5,故%o=5-c,

代入①得智+『=1,

4cz3c

即C2-2C-3=0,解得c=-l（舍去）或c=3.

22

所以G的標準方程為女+黑1,G的標準方程為y2=12x.

22

19.（2023屆豫北調(diào)研,20）已知橢圓跖邑+3=1（a>6>0）的左、右焦點分別為

azbz

Fi,F2,|FIF2|=2,面積為T的正方形ABCD的頂點都在Mi上.

（1）求Mi的方程；

22

⑵已知尸為橢圓跖：3+與=1上一點,過點P作Ml的兩條切線/1和/2,若h,h的斜

率分別為配fe,求證:上府為定值.

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22

解析⑴由橢圓及正方形的對稱性,不妨設正方形的一個頂點為A（x,x）,畦+泊,

a2b2

得

a2+b2"

22

,：2x-2x=—,：.^=—,.12ab

777a2+b2

:1②，由①②解得a2=4,b2=3.

22

故所求橢圓方程為9+-=1.

43

22

⑵證明：由⑴得/=4,/=3,則M2的方程為？+《=1,設尸（配,科），

OO

則毛+魯1,...九=6—那.

22

設過點P與橢圓Mi相切的直線1的方程為廣質(zhì)+。將直線方程與?+?=1聯(lián)立,消去y

整理得（3+4M）/+8m+4己12=0,

；./=（8公）2-4（3+4^）（4r-12）=0,可得?=3+4合③,

?點P在直線/_t,.,.yo=kxo+t,.t=yo-kxo.^仁州-依）代入③得（yo-屆）?=3+4既

整理得（%o-4）3-2日oyo+羽-3=0④.

依題意可知ki,左2為方程④的兩根，

-|,即人飽為定值

好T

20.（2022河南安陽聯(lián)考,21）已知拋物線C:/=29（p＞0）,過點R（2,0）作x軸的垂線交拋

物線C于G,H兩點,且OGLOH（。為坐標原點）.

⑴求0

（2）過點Q（2,1）任意作一條不與x軸垂直的直線交拋物線C于A,B兩點,直線AR交拋

物線C于不同于點A的另一點M,直線皮?交拋物線C于不同于點B的另一點N.求證：

直線MN過定點.

解析（1）由題意知,|RG=|OR|=2,不妨設G⑵2），代入拋物線C的方程可得p=l.

（2）證明：由⑴知，拋物線C的方程為y2=2x.

設a停，yj，8等為），M俘,火）”停,”）,

則叫==--—.所以直線AB的方程為產(chǎn)2?（X-9）+%,即2%-。1+?）丁+丁1丁2=0.

”y±節(jié)y?.71+7271+72\乙）

22

同理直線AM,BN的方程分別為2x-。1+券）丁+”丁3=0,2x-（/+%）y+y2y4=0.

由直線AB過。（2,1）及直線AM,BN過R⑵0）可得4-（6+、2）+%h=0,”乃二＞2'4=-4.

又直線MN的方程為2x-（券+必）y+y3y4=0,即2x+（｝+y+^-^-=0,

所以直線MN的方程為y\yix+2（%+m）＞8=0.

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把4-。什?)+,1)2=0代入yi”x+2(yi+y2)y+8=0,得yiy^+2(yi?+4)y+8=0,即

yiy2(%+2y)+8y+8=0.

由x+2y=0,8y+8=0可得42,y=-l.

所以直線MN過定點(2,-1).

22

21.(2021北京,20,15分)已知橢圓E京+左=1(a>6>0)過點A(0,-2),以四個頂點圍成

的四邊形面積為4遍.

(1)求橢圓E的標準方程；

⑵過點尸(0,-3)的直線I的斜率為k,交橢圓E于不同的兩點B,C,直線AB交產(chǎn)-3于點

M,直線AC交產(chǎn)-3于點N,若1PM+IPNW15,求k的取值范圍.

解析(1)將A(0,-2)代入橢圓方程得尺2,由橢圓四個頂點圍成的四邊形面積為

2aZ?=4V5,解得a=y/S,

22

所以橢圓E的標準方程為？+一=L

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⑵由題意得直線I的方程為y+3=%(x-0),即產(chǎn)履-3,將y=kx-3代入橢圓方程并化簡得

(4+5S)P30fct+25=0,由/=(-30%)2-4x25(4+5於)>0,解得k<-l或Q4,設

(7(檢,竺)，不妨設點8位于第一象限，點C位于第四象限,如圖所示.

則為+彳42,直線AB的方程為上卷=土令產(chǎn)-解得X=-^-,得

2=4+警5/c*2,^2=4+5/C22%+2%i3-0,,3,丫1+2

M(—-二，一3),同理可得N(一二3),.?.『用+|尸,=二+上='呼+2y浮=

171+2)1m+2/71+2為+2(71+2)(72+2)

r,2530k

(k％2-1)+%2-1