2024年中考數(shù)學總復習 幾何壓軸題常用模型

2024年中考數(shù)學總復習吃透這套幾何壓軸題常

用模型

01

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉：相鄰等線段繞公共頂點旋轉

對稱全等模型

角分線模型

過角分做票點作■短

往角兩邊作■收

說明：

以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全

等。兩邊進行邊或者角的等量代換，產生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進

行對稱全等。

02

對稱半角模型

說明：

上圖依次是45。、30。、22.5。、15。及有一個角是30。直角三角形的對稱

（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全

等。

03

旋轉全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉：有一對相鄰等線段，需要構造旋轉全等

共旋轉：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉全等

中點旋轉：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題

04

旋轉半角模型

M'

說明：

旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉將

另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。

自旋轉模型

構造方法:

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇9。度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉全等

遇中點旋180度，造中心對稱

05

共旋轉模型

說明：

旋轉中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經?？疾斓膬热?。

通過"8"字模型可以證明。

06

模型變形

D

D.

說明：

模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是

等腰直角三角形與正方形的混用。

當遇到復雜圖形找不到旋轉全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角

形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形

證全等。

中點旋轉：

兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角

形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為

等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊,

轉化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方

形）公旋轉頂點，通過證明旋轉全等三角形證明倍長后的大三角形為

等腰直角三角形從而得證。

中點模型

連中點構造中位線但長一邊恰造中位找

幾何最值模型

對稱最值（兩點間線段最短）

線段和差模型

同側、異側兩線段之和最短模理同側、異側兩線段之外蚊小模型

軸對稱模型

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

出短模型坡小模型最小模型

對稱最值

（點到直線垂線段最短）

說明：

通過對稱進行等量代換，轉換成兩點間距離及點到直線距離。

旋轉最值

（共線有最值）

AD

D

說明：

找到與所要求最值相關成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最

大值，定長線段的差為最小值。

簡拼模型

三角形今四邊形

說明：

剪拼主要是通過中點的180度旋轉及平移改變圖形的形狀。

矩形今正方形

H

說明：

通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形今正方形

R

面積等分

E

說明：

兩個等腰直角三角形成旋轉全等，兩個有一個角是300角的直角三角

形成旋轉相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉成一定角度，成旋轉相似。第三邊所

成夾角符合旋轉"8"字的規(guī)律。

相似模型

AAA

說明:

注意邊和角的對應，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等

量代換來構造相似三角形的作用。

說明：

（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形

式出現(xiàn)的居多。

（2）內外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同

之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓暴定理）

之間的比值可以轉換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，

進行證明得到需要的結論。

說明：

相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據題目的條件或者結論的比

值來做相應的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉型全等

a條件：A"".AXA均為等邊三角形

?結論：①?\OBD,②LAEB060°；③（）￡■平分LAED,

（2）等腰

a條件：AO48.A"C7）均為等腭直角三帶形

a結論：①AP.4C?M）BD,②LAEH-90°,

a③。￡平分乙

（3）任意等腰三的肝

a豺hA°eA8"為等艘三角形

a結論：①AO4C■SOBD.②LAEB-L.AOB,

a③，龍平分乙"/J。

A模型二：手拉手模型-旋轉型相似

⑴FS況

a條件：將ACCQ旋轉至右圖位置

A結論：

a右圖中①A（X”>ASf8=A04C&OBD§

a②延長，C交8D于點.M必有48EC-48Q4

（2）特殊懦況

a條件：C。/,48,乙“M?90°,將A"C/）族轉至右圖

位更

A結論：右圖中①ACesAO48=AO/Ct^OBD；@

延長/C交BD于點￡,必有LBEC-LBOA；

BDODOB,“八

—■—?—?OnJLOC.D

③/COCOA,@BD1AC

AD：:）ml

⑤S接AD.BC,必有.BC，-AB-+CD}⑥'''2"*（對角名也相垂亙的四邊形）

A模型三：對角互補模型

a條件：①LAOB-LDCE-90、②0c平分乙i（）B

a結論：①CD=CE;②°D+CE-\i2OC,③

SyocLS'm+S1toe工—-OC'

》證明提示：

①（乍垂直，如圖，證明AC/）V>ACEV,

刎點C作CF，℃如上圖（右），證明AOX■“￡J

a當人戈芭的一邊交X0的延長線于點D時：

見三整戰(zhàn)：?CD=C￡（不變）,

②OE-OD-41OC,③S^c~S^~2OC

此結論則方法與前例S況一致，可自行嘗試。

<2)全等型120°

?條件：①U()B-2LLXE-120°,

a②0c平分乙<08；

a將論：①()D^OE-(X

CO-C￡j?fH

(3)全翎任意角《

a①"■18°-2a3

a結論：?OC^J^LAOB.②OZ)+O￡,2OC?cosa.

A③^ODCC.SsDCD+S'OCE=°(?SitlCl,COSCl.

a當LDCE的一邊交A0的延長線于點D時(如右上圖)：

原結論變成：①___________________________________

②___________________________________________________________________________

③j

可參考上述第②種萬法迪亍證明。清思考誣探件緘化對1

A對角用檄型總結：

①常見初始條件：四邊形對角互補；注苣兩點：四點共圓及直角三

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩種常見的鈾助線作法；

OC

④注意平分乙408時，LCDE-LCED-LCOA■LCO-t

模型四：角含半角模型90。

（1）甬含半角模型90°-I

a條件：①正方形人BCD，?LEAF-45°,

a結論：①EF=DF+BE,②ACEr的周長為正方形48CD周長的一半;

也可以這樣：

a條件：①正方形AB（'Dj②EF-DF+BE

a結論：4fx尸?45°

C2）角含半角模型W-lA_____i）

a條件：①正方形ABCD；?LEAF-45°；1\

a結論：EF-DF-BE（J\c

Ama跟nr副標：'/

<3）角含半角饃型90°-3

a條件：①RTMBC,②LI)AE-45°,

a結論：BD:+CE--DE2HI)

若乙/）"旋儲］2BC外部時，結論+"=1）￡’仍然啦.

<4）角含半角蛔90°交形

拉。：連發(fā)AC《方/不”一)

?/■45.??,MiH-ZCAE

V4〃W,乙“7?45,I.Z/Ws'M匯

H

a條件：①正方形MD,②LEAF-45°.

A結論：A〃〃：力等腰直角三角形。

上A模型五：倍長中線類模型

7i>伊申^

a觸：睡形」8C。，②8。-8￡.③/）廠?￡/

a結論："'CF

模型提取：①有平行線ADUBE；②平行線■戔段育中點DF-EF、

可以構造“8”字全等MDF>MIEF.

（2）

條件：?F行四邊形ABCD,?BC-2AB；③AM-DM,@CE1AD.

結論：LF.MD-3LMEA

*"假：有十斤.4B//CD.ff+AM/-/J.V

電長EM.構造A.4A/Z-.it#<5/構

it<?&EMC.\MCF

遏戊構造8字全￥城及能量2QK美國.用的大

小轉化

A模型六：相似三角形360°旋轉模型

<1）相10三角形《等腰直角）360-旋轉模型音長中線法MMN；HKOFMAO.ttFG-nf.或.

U<X；,Mi.Hl>i￡*l\fUX；

A條件：①&4DE、,均

為等腰直角三角形，②I*：AWZX9VWC；

EF-CF

%上：溫?ZAU)-Z?IG

a結論：QDF=BF,②

DF1BF

⑴棚OEftJH《等R1W360-ta棚理用全4

a條件：①A48、A48c均為等股直角三角形j②卜尸-CF,

A牯論：①DF?BF；②DF工BF

輔助N.：構迨等腌丸府&4K<7、A.I//C

Ml勸?黑潞：將DF與Hl小化列（'（i與III

tt勸N：<K?AG,?.<；-.?.坦K

a條件：①M)AB^SOl)C,②LOAB-LODC-90°CDWAMft/W=<7).仆全MM汨.

③。

BEWEOCH四謔設&檀曳.Aft..4E與DE?CG

a結論：①/￡=DE,②LAED-1LABO

ARH.

（3>任意相K值角三角形360°旋轉模型長法

?MK:電*DE￡M.使AF-ZM.

a條件：①AOABSM)[)C,②4048?40DC?90°.③企的網■住V化與h叨A4A〃D\次〃.此

BE-CE.為e.將ZM叱S.ABC*??化”常明

a陸論：①』￡-DE；②LAED-2LABO

\48A8A.〃〃，使用四邊*.tJL欠向￥

A模型七：最短路程模型

<1)S蛆路程模型一《將軍飲馬類〉

'2'2W；層”：以上B08與常電的怯H體具最低目俚問墨.

念一,/演：%?后知*化時：“兩丁之河，償?。ň薄睕Q

料點：①一點在AN,上:②崢點闌充

上壬

\

/?▽心trg/vB.

儂程模型二（劇直整1）

.4）/〃弧動線：料作0代十OC0."宛

p（PV"PQ.?tA.WftW1<M

服線已U貨短（）0WH.1^4E4-A/P*PIT2MH

>條1t：①叱平分乙"）％②的為"8上一定Q③P為OC上一動點,@。為<M上一動點；

A求M「*P0最4時，『,°的砥？

<3）晶儂程陋Z(融值聯(lián)2),|,

七/f(04kfi(-20),P(0./?)t'太

A條i

PB^PA4“：1'4'：

A瓢”為何值B寸，5最小

?.__sinA.OAC**-—-

5

?求1牌方法：①'軸上取°(工°),使J②過8作8。■L/C,交J軸于點%即為所求,

tanLEBO-tanLOAC=-,.._..

③2,即E?U).

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A模型九:相似三角形模型

[V

（1）相低三角形模型型

為“Nf

B?B<-￡7

?2Pt?之P〃?必

*忤：》左曷■小同441)■/

Mie：?4￡，5?4<、?S

十斤美：DE//IU,全4*典—外,々，/一45<.

“論：AC1-M<AB

M論：：24巴D=以4F=￡D上F（,上名時應邊要時應）

ABACBC累es、fl9i￡ea.Ui?￡C?/K、x.4,

欣2-wMHA.《土--HE*.U

<3）相以三角形模型一線三角型⑷榔匚角%模型I

豪仲：左國：乙團小?乙《，=/「〃￡nWD

trn：z.w-z.?E-z(zvr-w條件：+?.PA為的的切想

Grth4WC■乙■"DE?4S州能：左IB:PA^PB^PCKPD

“企：斯"圉”?許A的紂吃

中由：PA：■PCXPB

（I\UKs\cn￡：②“"x"■秋”（？）

右射：P4xPB?PCxpn

一■，三苓弟槌量也蜂翕用火43方〃《烏代美

以上”論均可以通it相似三角打遣什il明

07

中點模型

【模型11倍長

1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點遇平行延長相交

A

【模型2】遇多個中點，構造中位線

1、直接連接中點；2、連對角線取中點再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60°,G是DF的中點，

連接GC、GE.

(1)如圖1,當點E在BC邊上時，若AB=10,BF=4,求GE的長；

(2)如圖2,當點F在AB的延長線上時，線段GC、GE有怎樣的數(shù)

量和位置關系，寫出你的猜想；并給予證明；

(3)如圖3,當點F在CB的延長線上時，(2)問中關系還成立嗎？寫

出你的猜想，并給予證明.

08

角平分線模型

【模型1］構造軸對稱

【模型2】角平分線遇平行構造等腰三角形

【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分NBAD交BC邊于E,EF±AE

交CD邊于F,交AD邊于H,延長BA到點G,使AG=CF,連接GF.若

BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF的長為

手拉手模型

【金】0A=OB,0C=OD,ZAOB=ZCOD

【結論】AOAC=AOBD；NAEB=NOAB=NC。。（即都是旋轉角）;0E平分ZAED>

D

ABAB

【例】如圖，正方形ABCD的邊長為6,點0是對角線AC、BD的交

點，點E在CD上，且DE=2CE,過點C作CF_LBE,垂足為F,連接OF,

則OF的長為

09