中高段小學(xué)數(shù)學(xué)淺奧思維題16道

16道精選中高段小學(xué)數(shù)學(xué)淺奧思維題

01

五年級(jí)9.4

如圖，長方形的長是10厘米，寬是8厘米，點(diǎn)A、B、C、D分別在四條邊上,

且B比D高3厘米，C在A的右邊1厘米，四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？

【答案】四邊形ABCD的面積是41.5平方厘米。

【解析】根據(jù)題意，如圖1所示，過A、B、C、D四點(diǎn)分別向?qū)呑龃咕€，

垂線相交圍出一個(gè)長方形(藍(lán)色部分)。根據(jù)B點(diǎn)比D點(diǎn)高出3厘米，可知這個(gè)

長方形的長是3厘米；再根據(jù)C在A的右邊1厘米，可知長方形的寬為1厘米。

如圖2所示，沿著長方形對(duì)角線分開，可得到兩個(gè)面積相等的三角形，因此

三角形①和②、③和④、⑤和⑥、⑦和⑧的面積分別對(duì)應(yīng)相等。

方法一：根據(jù)圖2可知，8個(gè)三角形(①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧)

的面積之和為：10X8-3X1=77(cn?)；則4個(gè)三角形(②、④、⑥、⑧)的面

積之和為：774-2=38.5(cm2)；因此四邊形ABCD的面積為：38.5+3X1=41.5

(cm2)o

方法二：根據(jù)圖2,可推出四邊形ABCD的面積比灰色陰影部分面積總和多

出中間藍(lán)色小長方形的面積，即：1X3=3(01?)。再根據(jù)等量關(guān)系“四邊形ABCD

的面積+灰色陰影部分的面積=原大長方形的面積”，列方程解答。

解：設(shè)四邊形ABCD的面積為Xcn?,則灰色陰影部分的面積為（X-3）cm20

X+（X-3）=10X8

X=41.5

答：四邊形ABCD面積是41.5平方厘米。

四年級(jí)9.5

小明和小軍分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。若兩人按照原定速度出

發(fā)，則5小時(shí)可以相遇，若兩人各自都比原來的速度快2千米/時(shí)，則4小時(shí)相

遇。求甲、乙兩地的距離。

【答案】80千米

【解析】根據(jù)信息每人每小時(shí)多走2千米，則兩個(gè)人4小時(shí)相遇，也就說這

兩個(gè)人4小時(shí)比原定速度的4小時(shí)多走2X2X4=16（千米），這16千米就相當(dāng)

于兩人原定速度1小時(shí)所前進(jìn)的距離。兩人1小時(shí)行16千米，5小時(shí)可以相遇,

所以甲、乙兩地相距16X5=80（千米）。

我：也可以是方程思路。

03

六年級(jí)

哥哥和弟弟同時(shí)從家里出發(fā)，沿著同一條路前往奶奶家。哥哥每分鐘走60

米，弟弟每分鐘走40米；哥哥到達(dá)奶奶家后，休息了1分鐘，然后離開奶奶家

原路返回去找弟弟；哥哥離開奶奶家1分鐘后，兄弟倆相遇。從家里到奶奶家相

距多少米？

【答案】從家里到奶奶家相距420米。

【解析】分析題意可繪制如下線段圖:

家奶奶家

~ST~ST■■

SJaJII

家

弟弟L

當(dāng)哥哥到達(dá)奶奶家時(shí)，弟弟到達(dá)A點(diǎn)。哥哥在奶奶家休息一分鐘，此時(shí)弟弟

繼續(xù)行走40米到達(dá)B點(diǎn)；接著哥哥原路返回找弟弟，1分鐘后倆人在C點(diǎn)相遇,

這個(gè)過程哥哥走了60米，弟弟走了40米。結(jié)合線段圖分析可知，A點(diǎn)到奶奶家

的距離是40+40+60=140（米），即哥哥剛到達(dá)奶奶家時(shí)比弟弟多走140米;又因

為哥哥每分鐘比弟弟多走60-40=20（米），所以哥哥到奶奶家用了140+20=7（分

鐘），則從家到奶奶家的距離為60X7=420（米）。

我：解方程思路

解設(shè)：從家里到奶奶家相距X米

數(shù)量關(guān)系：抓住哥哥與弟弟相遇時(shí)時(shí)間一樣。

X/60+l+l=（X-60）/40X=420米

04

9.6

三年級(jí)

甲乙二人相距30米面對(duì)面站好，兩人玩石頭剪刀布，勝者向前走8米，負(fù)

者向后退5米，平局兩人各向前走1米，玩了10局后，兩人相距7米，那么兩

人平了多少局？

三年級(jí)

【答案】兩人平了7局。

【解析】

解法一：假設(shè)法。每賽完一局，勝者向前走8米，負(fù)者向后退5米，平局兩

人各向前走1米，也就是說，如果分出勝負(fù)兩人的距離減少3米，平局兩人的距

離減少2米。玩了10局后，兩人的距離減少了30-7=23（米）。如果10局都有勝

負(fù)，則兩人的距離應(yīng)該是30-3X10=0（米），這與實(shí)際相差了7-0=7（米），所以

這10局一定存在平局；又因?yàn)槊恳痪种蟹殖鰟儇?fù)和平局兩人的距離相差3-2=1

（米），所以兩人平了7+1=7（局）。

解法二：列表法。

平局的局?jǐn)?shù)分出勝負(fù)的局?jǐn)?shù)兩人距離（米）

10030-2X10=10

9130-(2X9+3X1)=9

8230-(2X8+3X2)=8

7330-(2X7+3X3)=7

所以兩人平了7局。

05

四年級(jí)

一只帆船靜水中的速度是60米/分，在水流速度為20米/分的河中，從上游

的A港到下游的B港，再從B港原路返回A港，共用3小時(shí)30分，A港到B港

的距離是多少米？

四年級(jí)

【答案】A港到B港的距離是5600米。

【解析】根據(jù)題目信息“一只帆船靜水中速度是60米/分，在水流速度為

20米/分的河中”，從上游的A港到下游的B港，這一過程的船速為順?biāo)俣龋?/p>

順?biāo)俣?靜水速度+水速，也就是60+20=80（米/分）；而從下游B港再返回A

港這個(gè)過程的船速為逆水速度，逆水速度=靜水速度-水速，即60-20=40（米/分）。

由此可知順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊?倍，因此返回的時(shí)間也是去的時(shí)間的2倍。往

返兩地的總用時(shí)是3小時(shí)30分，也就是3X60+30=210（分）。由此可得，帆船

從上游的A港到下游的B港用時(shí)為210+（1+2）=70（分）。那么A港到B港的

距離就是：80X70=5600（米）。

我：也可以用方程思想

設(shè)A港到B港的距離是X米

抓住等量關(guān)系順?biāo)械臅r(shí)間+逆水中的時(shí)間=3小時(shí)30分鐘=210分鐘

順?biāo)俣?靜水速度+水速，也就是60+20=80（米/分）

逆水速度=靜水速度-水速，即60-20=40（米/分）

X/（60+20））+X/（60-20）=210X=5600

06

五年級(jí)

有一個(gè)圓形的花圃，周長是150米。若沿著這個(gè)花圃的一周每隔6米栽一棵

月季花，在每相鄰的兩棵月季花之間等距離地栽2棵丁香。月季花和丁香一共栽

了多少棵？每相鄰的花之間相距多少米？

五年級(jí)

【答案】月季花和丁香一共栽了75棵，每相鄰的花之間相距2米。

【解析】根據(jù)題意可知，這屬于封閉圖形中的植樹問題，因此栽月季花的

棵樹等于分成的間隔數(shù)，即：150+6=25（個(gè)），也就是有25個(gè)間隔，也有25

棵月季花。

根據(jù)“在每相鄰的兩棵月季花之間等距離地栽2棵丁香”可知，每個(gè)間隔里

栽了2棵丁香，因此丁香的棵樹為：2X25=50（棵）。那么，月季花和丁香的總

棵數(shù)為：25+50=75（棵）。

又因?yàn)?，這些花是均勻地栽在花圃周圍的，所以每相鄰的兩棵花之間的距離

為：150+75=2（米）；也可用其中的一段來計(jì)算每兩棵花之間的距離，即：64-

（2+1）=2（米）。

07

六年級(jí)

解法二：列表法。

平局的局?jǐn)?shù)分出勝負(fù)的局?jǐn)?shù)兩人距離（米）

10030-2X10=10

9130-(2X9+3X1)=9

8230-(2X8+3X2)=8

7330-(2X7+3X3)=7

所以兩人平了7局。

【答案】叔叔39歲、哥哥20歲、小明6歲。

【解析】根據(jù)題意“最后叔叔、哥哥和小明的糖塊數(shù)的比是

4：2：1”可知一共有4+2+1=7（份），每份56+7=8（塊）糖；所

以此時(shí)叔叔有8x4=32（塊），哥哥有8x2=16（塊），小明有8X

1=8（塊）糖。

然后采用倒推法推理出叔叔分他的糖塊之前三人各自的糖

塊數(shù)。叔叔最后的32塊糖是自己分之前糖塊數(shù)的（1-1）,叔叔

分之前有324-（1-1）=40（塊）。叔叔分了40-32=8（塊），哥

哥和小明每人分得4塊，叔叔在分之前哥哥有16-4=12（塊），

小明有8-4=4（塊）。所以叔叔分之前三人的糖塊數(shù)是：叔叔40

塊，哥哥12塊，小明4塊。

接著求哥哥分他的糖塊之前三人各自的糖塊數(shù)。這時(shí)哥哥

的12塊其實(shí)就是哥哥分之前糖塊數(shù)的哥哥分之前有

12-?（1-1）=18（塊），哥哥分了18-12=6（塊），叔叔和小明各

得到3塊。哥哥分之前叔叔有40-3=37（塊），哥哥有18塊，小

明有4-3=1（塊）。

再接著求小明分他的糖塊之前三人各自的糖塊數(shù)。小明的這

1塊是分之前糖塊數(shù)的（1一拿，小明分之前有1一|）=3（塊）。

小明分了2塊，叔叔和哥哥每人分得1塊。所以小明分之前叔叔

有377=36（塊）,哥哥有18-1=17（塊）,小明有3塊。

最后根據(jù)題意“一共有56塊糖，每人分得的糖塊數(shù)等于三

年前他們各自的年齡”可知現(xiàn)在他們?nèi)说哪挲g各是：叔叔

36+3=39（歲）,哥哥17+3=20（歲），小明3+3=6（歲）。

08

六年級(jí)

張麗每天早晨7:20從家出發(fā)，7：50到校。明天學(xué)校有活動(dòng),老師要求提前

6分鐘到校。如果張麗明天早晨還是7:20從家出發(fā)，那么每分鐘必須比往常多

走15米才能按老師的要求準(zhǔn)時(shí)到校。張麗家到學(xué)校有多遠(yuǎn)？

【答案】張麗家到學(xué)校1800米。

【解析】根據(jù)題意可知，張麗原來從家到學(xué)校要用30分鐘，明天老師要求

提前6分鐘到校，如果出發(fā)時(shí)間不變，路上就需要30-6=24（分鐘），這時(shí)每分

鐘必須多走15米，那么這24分鐘就多走了24X15=360（米），而多走的這360

米就是按原來的速度6分鐘走的路程，所以原來的速度是360+6=60（米/分），

那么張麗家到學(xué)校的路程是60X30=1800（米）。

我：可以列方程來解決。

09

四年級(jí)

一列火車車長180米，每秒行20米，這列火車要通過500米長的大橋，那

么該過程中，火車有多長時(shí)間是完全在橋上的？

四年級(jí)

【答案】該過程中火車有16秒是完全在橋上的。

【解析】根據(jù)題意，“火車完全在橋上”是指“火車從車尾上橋到車頭離

橋”的過程，如下圖所示:

橋K

tt

始末

首先，找到最后對(duì)齊的部位是車頭與橋頭（紅旗處），再找出他們最初的位

置，整個(gè)過程就可以轉(zhuǎn)化為車頭從初始位置一直行駛到橋頭紅旗處的過程。很明

顯“火車完全在橋上”的路程就是“橋長與火車車長之差”，即500-180=320

（米）。那么，該過程中火車所用的時(shí)間就是320+20=16（秒）。

10

五年級(jí)

老師發(fā)給甲班每人4張練字紙，乙班每人3張練字紙，共發(fā)練字紙366張；

若發(fā)給甲班每人3張練字紙，乙班每人4張練字紙，則共發(fā)練字紙355張。甲、

乙兩班各有多少人？

五年級(jí)

【答案】甲班有57人，乙班有46人。

【解析】方法一：若甲、乙兩班每人發(fā)7張，則共發(fā)：355+366=721（張），

兩班總?cè)藬?shù)為：721+7=103（人）。假設(shè)甲、乙班每人發(fā)3張練字紙，則共發(fā)：

103X3=309（張）。

根據(jù)“發(fā)給甲班每人4張練字紙，乙班每人3張練字紙，共發(fā)練字紙366

張”，可先求甲班人數(shù)：（366-309）+（4-3）=57（人），則乙班人數(shù)為：103—

57=46（人）。

或者根據(jù)“發(fā)給甲班每人3張練字紙，乙班每人4張練字紙，則共發(fā)練字紙

355張”，可先求乙班人數(shù)：（355-309）4-（4-3）=46（人），則甲班人數(shù)為：

103-46=57（人）。

方法二：根據(jù)題意，“甲班每人發(fā)4張改為3張，乙班每人發(fā)3張改為4

張”，則發(fā)放的總頁數(shù)一共少了366-355=11（張），說明乙班人數(shù)比甲班人數(shù)少

11人。

解：設(shè)乙班人數(shù)為x人，甲班人數(shù)為（x+11）人。

4（x+11）+3x=366

x=46

因x=46,則x+ll=57。

答：甲班有57人，乙班有46人。

11

六年級(jí)

甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，兩人下山的速度

都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時(shí)，乙距山頂還有400米；甲回到山腳時(shí)，

乙剛好下到半山腰。從山腳到山頂?shù)木嚯x是多少米？

六年級(jí)

【答案】從山腳到山頂?shù)木嚯x是2400米。

【解析】此題可以用假設(shè)法來解決。假設(shè)甲、乙同時(shí)下山，由“他們兩人下

山的速度都是各自上山速度的2倍”“甲到山頂時(shí)，乙距山頂還有400米”可知，

甲到達(dá)山腳時(shí)，乙落后甲400（米），但實(shí)際上（如圖所示），再加上乙上山時(shí)落

下的400米，用時(shí)相當(dāng)于下山400米X2,當(dāng)甲回到山腳時(shí)，乙一共落后甲400+

800=1200（米）。

—?甲

乙

下山；「，,

______hr?>

400米（400X2）米

12

三年級(jí)

一輛貨車從甲地去乙地送貨，原計(jì)劃下午1時(shí)出發(fā)，晚上7時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)。如

果出發(fā)的時(shí)間改成下午2時(shí)，仍然是晚上7時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)就必須多行15

千米。甲、乙兩地之間的距離是多少千米？

【答案】甲、乙兩地之間的距離是450千米。

【解析】根據(jù)題意，原計(jì)劃用時(shí)：7-1=6（小時(shí)）,實(shí)際用時(shí):7-2=5（小時(shí)），

實(shí)際比原計(jì)劃少用：6-5=1（小時(shí)）。所行路程相同，時(shí)間縮短1小時(shí)，速度就要

加快，已知實(shí)際“每小時(shí)就必須多行15千米”，那么5小時(shí)多行15X5=75（千

米），這75千米也就是原計(jì)劃1小時(shí)行駛的，因此甲、乙兩地之間的距離是

75X6=450（千米）。

13

五年級(jí)

有一群鴿子在天上飛，迎面飛來一群大雁。如果1只鴿子對(duì)2只大雁，那么

就多1只鴿子；如果2只鴿子對(duì)3只大雁，那么就多2只大雁。鴿子和大雁各有

多少只？

【答案】鴿子有8只,大雁有14只.

【解析】我們可以畫圖來表示"2只大雁對(duì)1只鴿子，還多1只鴿子"中大雁和鴿子之

間的關(guān)系。如果用-表示鴿子，用。表示大雁，畫圖如下：

鴿子只數(shù)：AA….A

大雁只數(shù)：OOOO......

由圖可知，假如再來2只大雁的話，大雁的只數(shù)就是鴿子的2倍,因此大雁的只數(shù)

是鴿子的2倍少2只，即：大雁的只數(shù)=鴿子只數(shù)x2-2.同樣，再畫圖來表示"2只鴿

子對(duì)3只大雁，還多2只大雁"中大雁和鴿子之間的關(guān)系。

鴿子只數(shù)：AAAAAA......

大雁只數(shù)：00。000000......OO

由圖可知，假如去掉2只大雁的話，大雁的只數(shù)就是鴿子的L5倍，因此大雁的只

數(shù)是鴿子只數(shù)的L5倍多2只，即：大雁的只數(shù)=鴿子只數(shù)x1.5+2。因此根據(jù)等量代

換，我們可以得到這樣一個(gè)等量關(guān)系：鴿子只數(shù)、2-2=簫子只數(shù)xl.5+2。所以可以

用方程來解答這道題。

解：設(shè)鴿子有X只。

2X-2=1.5X+2

2X-2-1.5X=1.5X+2-1.5X

0.5X-2=2

0.5X-2+2=2+2

0.5X=4

X=8

2X-2=2x8-2=14或者

1.5X+2=1.5X8+2=14

答：鴿子有8只，大雁有14只。

14

六年級(jí)

野狼追趕兔子，野狼發(fā)現(xiàn)在離它20米遠(yuǎn)的前方有一只兔子正在奔跑，立即

緊追上去，野狼的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快,

野狼跑2步用的時(shí)間，兔子卻能跑3步。野狼要跑多少米才能追上兔子？

六年級(jí)

【答案】野狼要跑120米才能追上兔子。

【解析】方法一：根據(jù)“野狼跑5步的路程，兔子要跑9步”，可假設(shè)野狼

每步跑a米，則兔子每步跑5a+9=5/9a米；根據(jù)“野狼跑2步的時(shí)間，兔子卻

能跑3步”，又可得出，在同一時(shí)間野狼跑2a米，兔子跑5/9aX3=5/3a米，

由此得出野狼與兔子的速度比是：2a：5/3a=6：5。因?yàn)橐袄亲吠米拥倪^程中它

們跑路用的時(shí)間是相同的，所以野狼與兔子的路程比也是6:5。原本相差的20

米就是野狼所跑路程的（6-5）-6=1/6,因此野狼要跑的路程為：20-1/6=120

（米工

方法二：根據(jù)“野狼跑5步的路程，兔子要跑9步”，把這段路程看作單位

“1”，則野狼一步為1/5,兔子一步為1/9；根據(jù)“野狼跑2步的時(shí)間，兔子卻

能跑3步”，再把這一時(shí)間看作單位“1”，則野狼一步用時(shí)1/2,兔子一步用

時(shí)1/3。那么，狼速度：兔速度=（1/54-1/2）：（1/94-1/3）=6：5。因?yàn)橐袄亲?/p>

兔子的過程中它們跑路用的時(shí)間是相同的，所以野狼與兔子的路程比也是6:5,

說明野狼跑了6份，兔子跑了5份，開始相差的20米，就是野狼比兔子多跑的

一份，因此野狼要跑的路程為：20X6=120（米）。

15

k六年級(jí)臧

甲乙兩隊(duì)合修一條水渠，甲隊(duì)單獨(dú)修36天完

成，乙隊(duì)單獨(dú)修60天完成。甲、乙兩隊(duì)同時(shí)相向

開工，相遇時(shí)距離中點(diǎn)600米，這條水渠長多少

米？

【答案】這條水渠長4800米。

【解析】方法一：由“甲隊(duì)單獨(dú)修36天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修60

天完成”可知：甲隊(duì)每天完成這條水柒的三，乙隊(duì)每天完成這條

36

水渠的占，那么兩隊(duì)合做共需要"（白+與）e（天）修完這條

6036602

水梁。甲隊(duì)每天比乙隊(duì)每天多修這條水果的士一器，修完時(shí),

366090

甲隊(duì)比乙隊(duì)多修了這條水渠的（!一上）這條水渠的;

3660244

正好是相遇時(shí)甲比乙多修的2個(gè)600米，所以這條水渠的長是2

X6004--=4800米。

4

方法二：由“甲隊(duì)單獨(dú)修36天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修60天完成”可

知：甲隊(duì)每天完成這條水柒的三，乙隊(duì)每天完成這條水柒的占。

3660

甲、乙工作效率比是j、5：3,所以修完水渠時(shí)兩隊(duì)工作量的

3660

比也是5:3。甲比乙多修了5-3=2份,相遇時(shí)甲比乙多修2個(gè)600

米,一份是2X600+（5-3）=600米,總工作量5+3=8份.所以

水渠的長是600X（5+3）=4800米。

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9.13周三六年級(jí)

甲、乙二人分別從A、B兩城相向而行，4小時(shí)后在途中相遇，這時(shí)甲行了

全程的40%。二人繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)乙到達(dá)A城時(shí)，甲還需要行駛?cè)痰膸追种畮?/p>

就可以到達(dá)B城？

六年級(jí)

【答案】甲還需要行駛?cè)痰?/3就可以到達(dá)B城。

【解析】解法1：把全程看作單位“1”，根據(jù)題意“4小時(shí)后在途中相遇，

這時(shí)甲行了全程的40%”，可知乙行了全程的1-40%=60隊(duì)甲、乙兩車路程之比

是40%：60%=2:3,也就是說相同的時(shí)間內(nèi)甲行的路程是乙的2/3,因此，當(dāng)乙行

完全程時(shí)，甲就行了“1”的2/3,剩下的路程就是全程的1-2/3=1/3。所以，甲

還需要行駛?cè)痰?/3就可以到達(dá)B城。

解法2:根據(jù)題意“4小時(shí)后在途中相遇，這時(shí)甲行了全程的40獷’，可以知

道甲1小時(shí)行了全程的40%-4=10%,把全程看作單位“1”，則甲獨(dú)自行完全程

一共需要：1?10%=10（時(shí)）；同理，乙獨(dú)自行完全程一共需要：1+[（1-40%）

4-4]=20/3（時(shí)）。因此，當(dāng)乙到達(dá)A城后，甲還需行10-20/3=10/3（時(shí)）才能

到達(dá)B城。因?yàn)榧转?dú)自行完全程需要10時(shí)，所以甲平均每小時(shí)行駛?cè)痰?/p>

14-10=1/10,那么10/3時(shí)就可以行駛?cè)痰?/可義10/3=1/3。因此甲還需要行

駛?cè)痰?/3就可以到達(dá)B城。

我的答題思路

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六年級(jí)9.17

一項(xiàng)工程，甲先做5小時(shí)，乙接著做10小時(shí)可以完成；甲先做7小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成。如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成?

【答案】如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要14小時(shí)完成。

【解析】方法一：這道題可以借助數(shù)形結(jié)合的思想來解決。把這項(xiàng)工程量看作單位

"1"，根據(jù)題意畫出下圖：

單位"1"

乙4小時(shí)

甲做5小時(shí)乙軻0小時(shí)

用2小時(shí)

甲做7小時(shí)乙做6小時(shí)

由圖可以看出：甲2小時(shí)的工作量=乙4小時(shí)的工作量,進(jìn)而可得：甲1小時(shí)工作

量二乙2小時(shí)工作量,由“一項(xiàng)工程甲先做5小時(shí)，乙接著做10小時(shí)可以完成“，推

出：甲從做5小時(shí)減少到做3小時(shí)，乙的工作量就需要增加4小時(shí)，即10+4=14（小

時(shí)）。

方法二：我們可以把"甲先做5小時(shí)，乙接著做10小時(shí)可以完成"這個(gè)過程看成

"甲、乙合作5小時(shí)，乙再單獨(dú)用10-5=5（小時(shí)）完成”；同理可以把“甲先做7小

時(shí)，乙接著做6小時(shí)