中考數(shù)學復習之考點題型全歸納與分層精練（全國通用）：有理數(shù)(解析版)

專題01有理數(shù)

【專題目錄】

技巧1絕對值的八種常見應用

技巧2有理數(shù)中的六種易錯類型

【題型】一、有理數(shù)概念理解

【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)

【題型】四、求一個數(shù)的絕對值

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算

【題型】六、科學記數(shù)法

【考綱要求】

1、了解有理數(shù)的概念，知道有理數(shù)與數(shù)軸上的點---對應.

2、借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值.

【考點總結(jié)】一、有理數(shù)

正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)

意義：表示具有相反意義的量

負數(shù)在正數(shù)前面加上“一”號的數(shù)叫做負數(shù)

有數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸

理只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)

數(shù)⑴若a,b互為相反數(shù)，則a+b=O;

相反數(shù)

的(2)0的相反數(shù)是0;

相(3)在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應的點到原點的距離相等.

關(guān)數(shù)軸上點a與原點的距離nU做a的絕對值，記作時

概

絕對值a(。>0)

念絕對值具有非負性：時=■0(。=0)

-a(a<0)

倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)

（1）必=1C7力互為倒數(shù)；

（2）0沒有倒數(shù)；

（3）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.

科學計數(shù)法把一個數(shù)寫成"IO"（其中〃為整數(shù)）的形式

【注意】

數(shù)軸

1、數(shù)軸的三要素：更良、正方向、單住長度（重點）

2、任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。

3、數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大;原點左邊的數(shù)是負數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).

【考點總結(jié)】二、有理數(shù)四則運算

同號兩數(shù)相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。

加法異號兩數(shù)相加，取絕對儲較大的加數(shù)的符號,并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。

加法運算律：①交換律a+b=b+a；②結(jié)合律（a+〃）+c=a+S+c）。

減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+（-h）.

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘

有幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當

負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負

理乘法

數(shù)”個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積為0.

的乘法運算律：①交換律出尸兒；②結(jié)合律（a6）c=a3c）；③分配律43+C）="6+“C。

運兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除

除法

算0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0

求〃個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做第。

乘方

如：a"=q?a：…?q讀作a的〃次方（聶），在〃"中，々叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)。

〃個a

分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三

運算順序二一、（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行

運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）

【注意】

1、有理數(shù)的加減混合運算

規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算

步驟：(1)減法化加法；

(2)省略括號和加號；

(3)運用加法運算律使計算簡便；

(4)運用有理數(shù)加法法則進行計算。

注：運用加法運算律時,可按如下幾點進行：

(1)同號的先結(jié)合；

(2)同分母的分數(shù)或者比較容易通分的分數(shù)相結(jié)合；

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；

(4)能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合：

(5)帶分數(shù)一般化為假分數(shù)或者分為整數(shù)和分數(shù)兩部分，再分別相加。

2、多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：

(1)幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；

負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。

確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。

(2)幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積為0;反之，如果積為0,那么至少有一個因數(shù)是0.

注：帶分數(shù)與分數(shù)相乘時，通常把帶分數(shù)化成假分數(shù),再與分數(shù)相乘。

【技巧歸納】

技巧1:絕對值的六種常見應用

【類型】一、已知一個數(shù)求這個數(shù)的絕對值

L化簡：

⑴1一(+7)|；(2)-|-8|；

【類型】二、已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)

2.若|a|=2,則a=.

3.若|x|=|y|,且x=—3,則y=.

【類型】三、絕對值在求字母的取值范圍中的應用

4.右|x|=—x,則x的取值范圍是.

5.若|x-2|=2-x,則x的取值范圍是

【類型】四、絕對值在比較大小中的應用

24

6.把一(一I),一1,一一§,0,用“〉”連接正確的是()

_42八2I4

A.0>-(-l)>-->——

53B.0>-(-1)>-^>--5

八24D.-(-1)>0>-|-||>-|

C.—(―]>——g

【類型】五、絕對值的非負性在求字母值中的運用

7.若a—+b—|+c—；=0,求a+b—c的值.

【類型】六、絕對值的非負性在求最值中的應用

8.根據(jù)冏加這條性質(zhì)，解答下列問題：

(1)當2=時，|a—4|有最小值，此時最小值為；

參考答案

1.解：(1)原式=7.(2)原式=-8.

2.±23+3

4.x<05.x<2

6.C

7.解：由題意知a=J,b=T,c=J,所以a+b—c=J+，；=K.

乙J?aJ?X乙

8.H?:(1)4；0

(2)因為a,b互為相反數(shù)，所以b=-a.又因為a<0,b>0.

所以何一引+22+也|=3|+22+也|=-22+22+6=1?.

技巧2：有理數(shù)中的六種易錯類型

【類型】一、對有理數(shù)有關(guān)概念理解不清造成錯誤

1.下列說法正確的是()

A.最小的正整數(shù)是0

B.一a是負數(shù)

C.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

D.-a的相反數(shù)是a

【類型】二,誤認為|a|=a,忽略對字母a分情況討論

2.如果一個數(shù)的絕對值等于它本身，那么這個數(shù)一定是（）

A.負數(shù)B.負數(shù)或零

C.正數(shù)或零D.正數(shù)

【類型】三、對括號使用不當導致錯誤

3.計算：

【類型】四、忽略或不清楚運算順序

4.計算：一5一（一5）x4吊x（—5）.

【類型】五'乘法運算中確定符號與加法運算中的符號規(guī)律相混淆

5.計算：一36x佶一看一1）

【類型】六、除法沒有分配律

6.計算:

參考答案

1.D2.C

1119

3.解：原式=2+§—[+]=24.

4.解:原式=—5—（―5）W1°x（—5）=-30.

5.解：原式=-36情一（一36內(nèi)，一（一36）x1

=-21+30+36

=45.

6.解：原式=24■仕一合一看）

=2舄

=576.

方法指導：解本題時往往會出現(xiàn)將乘法分配律運用到除法運算中的錯誤，從而出現(xiàn)“原式=24+；—244一

JO

24-'=72—192—144=-264”這樣的錯誤.

【題型講解】

【題型】一、有理數(shù)概念理解

jr22

例1、在下列實數(shù)：->百、際、Ji石、—.-0.0010001中，有理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【提示】由題意根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，進行提示即可判斷.

【詳解】

解：，；"27=3，J16=4,

22

:.際,屈，〒-0.0010001是有理數(shù)，其它的是無理數(shù).

有理數(shù)有4個.

故選：D.

【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

例2、如圖，數(shù)軸上兩點M,N所對應的實數(shù)分別為"4”,則的結(jié)果可能是（）

?,、，?1

-2-1012

A.-1B.IC.2D.3

【答案】C

【提示】根據(jù)數(shù)軸確定〃?和〃的范圍，再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可做出選擇.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得0<加<1，一2<〃<一1，則1〈%-“<3。故選：C

【點睛】

本題考查的知識點為數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)軸明確〃?和〃的范圍，然后再確定機-〃的范圍即可.

【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)

例3、下列式子中，正確的是（）

A.|-5|=-5B.-|-5|=5C.-（-5）=-5D.-（-5）=5

【答案】D

【解析】

試題解析：A.1-51=5,故原選項錯誤;

B.-|-5|-5,故原選項錯誤；

C.-(-5)=5,故原選項錯誤；

D.-(-5)=5,故正確.

故選D.

【題型】四、求一介數(shù)的絕對值

例4、-2020的絕對值是()

1

A.-2020B.2020C.———D.----

20202020

【答案】B

【提示】根據(jù)絕對值的定義直接解答.

【詳解】解：根據(jù)絕對值的概念可知：卜2020|=2020,故選：B.

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算

例5、計算:

(1)12-(-18)+(-7)-15

(2)(—4)x8—(—16)+11g)

⑶匕(3飛5+立111卜一/c2外八

(4)-14-(1-0.5)X|X[2-(-3)2]

【答案】(1)8；(2)-44；(3)-20；(4)-

6

【提示】

(1)根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計算即可：

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可:

(3)根據(jù)乘法分配律和各個運算法則計算即可；

(4)根據(jù)有理數(shù)的運算順序和各個運算法則計算即可.

【詳解】

w：(1)12-(-18)+(-7)-15

=12+18+(-7)-15

=30+(-7)-15

=23-15

=8

(2)(—4)x8—(—1—

=—32一(一+

=-32-(-16)xf--^

=-32-12

=-44

(3511)/

(3)+—x(-24)

(4612)

3511

=~x(-24)-qx(-24)+—x(-24)

=-18+20-22

=-20

(4)-l4-(l-0.5)xlx[2-(-3)2]

=-l-^x|x[2-9]

【題型】六、科學記數(shù)法

例6、2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點于

距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學記數(shù)法表示應為（）

A.0.36X105B.3.6xlO5C.3.6xlO4D.36xl04

【答案】c

【提示】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中iv|a|<io,n為整數(shù).當原數(shù)絕對值大于I時，n是

正數(shù)；當原數(shù)絕對值小于1時，n是負數(shù).

【詳解】解：36000=3.6xlO4,故選：C.

有理數(shù)（達標訓練）

一、單選題

I.（2022.浙江金華.一模）-2的相反數(shù)是（）

A.2B.；C.—2D.—

22

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)，直接求解即可.

【詳解】解：由相反數(shù)的定義可知-2的相反數(shù)是2,

故選：A.

【點睛】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2022?遼寧撫順?模擬預測）的絕對值等于（）

A.--B.1C.2D.-2

22

【答案】B

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案.

【詳解】解：的絕對值是

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值，掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?上海普陀?二模）下列各數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離最遠的是

A.2B.1C.-1.5D.-3

【答案】D

【分析】根據(jù)到原點距離最遠的點就是絕對值最大的數(shù)，時每個數(shù)作出判斷，即可求出答案.

【詳解】2到原點的距離是2個長度單位，

1到原點的距離是I個長度單位，

-1.5到原點的距離是1.5個長度單位，

-3到原點的距離是3個長度單位，

即到原點的距離最遠的點是-3.

故選：D.

【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，絕對值就是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離，求出每一個數(shù)的絕對值

就是到原點的距離.

4.（2022?重慶銅梁?一模）在下列四個選項中，比-1小的數(shù)是（）

A.1B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)“正數(shù)>o>負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對■值大的反而小”即可得出答案.

【詳解】解：1-21=2,|-1|=1,2>1,

.■.-2<-1<0<1<2,

，其中比-1小的數(shù)是-2.

故選：B.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，掌握兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?河南?三模）下列各數(shù)中絕對值最大的數(shù)是（）

A.-4B.-3C.0D.1

【答案】A

【分析】先求出各數(shù)的絕對值，再比較大小即可解答.

【詳解】解：|Y|=4,卜3|=3,|0|=0,同="，

?；4>萬>3>0,

...絕對值最大的數(shù)是-4,

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較以及絕對值的概念，解題的關(guān)鍵是求出各數(shù)的絕對值.

6.（2023?福建莆田?二模）中國工程院院士、世界雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應

用與推廣，發(fā)明“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，為中國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和

世界糧食供給作出杰出貢獻.2021年，全國糧食再獲豐收，全年糧食總產(chǎn)量達到13657億斤，糧食產(chǎn)量連

續(xù)7年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上.將13657用科學記數(shù)法表示應為（）

A.0.13657xl05B.1.3657xl05C.13.657xlO3D.1.3657xl04

【答案】D

【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，形如〃為正整數(shù)，據(jù)此解答.

【詳解】解：13657用科學計數(shù)法表示應為1.3657x104

故選：D.

【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，是基礎考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2022?河南?鄭州外國語中學模擬預測）計算：|-3+2|=.

【答案】1

【分析】先計算出絕對值符號里面的結(jié)果，再求得此題結(jié)果即可.

【詳解】解：卜3+2|=卜1|=1,

故答案為：1.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法法則.

8.（2021?福建漳州?模擬預測）如圖，數(shù)軸上A,8兩點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)（一格表示單位長度為1）,

則點C表示的數(shù)是.

ACB

【答案】-1

【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)的性質(zhì)：即到原點的距離相等，再由兩點之間的距離確定出A表

示的數(shù)，進而可得答案.

【詳解】解：：數(shù)軸上48兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，

??.A,B兩點到原點的距離相等，

???點A與點8之間的距離為6個單位長度，

點A到原點的距離為6+2=3,

?.?點A在原點的左側(cè)，

...點A發(fā)示的數(shù)是-3,

二點C表示的數(shù)是-1

故答案為：-1.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求法，以及相反數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些基礎知識是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題

2

9.計算：6x^l-lj-（-2）-5-i.

【答案】-17

【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算即可求解.

【詳解】解：原式=6x；-6x；-4x4

=2-3-16

=-17.

【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

有理數(shù)（提升測評）

一、單選題

1.（2022河北邯鄲?三模）等號左右兩邊一定相等的一組是（）

A.-（a+b）=-a+bB.a3=a+a+aC.-2（a+/＞）=-2?-2/7D.-^a-b）=-a-b

【答案】C

【分析】利用去括號法則與正整數(shù)幕的概念判斷即可.

【詳解】解：對于A,-（a+b）=-a-h,A錯誤，不符合題意；

對于B,a^aaa,B錯誤，不符合題意；

對于C,-2（a+b）=-2a-2b,C正確，符合題意；

對于D,-（a-b）=-a+b,D錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了去括號法則，以及正整數(shù)幕的概念，熟練掌握相關(guān)定義與運算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河北保定?二模）嘉琪在《趣味數(shù)學》中學習到遠古時期的一種計數(shù)方法，即“結(jié)繩計數(shù)”，類似現(xiàn)

在我們熟悉的“進位制如圖所示，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進一，例如，圖1中表示

的數(shù)為31,可知圖2中表示的數(shù)為（）

【答案】C

【分析】由題可知，可知圖2中的五進制數(shù)為321,化為十進制數(shù)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

圖2中的五進制數(shù)為321,

化為卜進制數(shù)為:321=3X52+2X5'+1X50=86.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了進位制，解題的關(guān)鍵是會將五進制轉(zhuǎn)化成十進制.

3.(2022.安徽.三模)下列各數(shù)中，化簡結(jié)果最小的是()

A.-5B.|-5|C.(-5)-1D.(-5)2

【答案】A

【分析】分別計算絕對值，負整數(shù)指數(shù)幕，乘方運算，再比較各數(shù)的大小，從而可得答案.

【詳解】解：Q|-5|=5,(-5)“=-g,(-5『=25,

而-5<]<5<25,

\-5<(-5)'<|-5|<(-5)2,

所以最小的數(shù)是-5,

故選：A

【點睛】本題考查的是絕對值的含義，負整數(shù)指數(shù)幕的含義，有理數(shù)的乘方運算，有理數(shù)的大小比較，掌

握以上基礎知識是解本題的關(guān)鍵.

4.(2022.貴州貴陽.三模)如圖，在不完整的數(shù)軸上，點A,8分別表示數(shù)a,b,且a與人互為相反數(shù)，若

A8=8,則點A表示的數(shù)為()

-------11?

A------B

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)48=8,且點A,8分別表示數(shù)a,b互為相反數(shù)，可知A,8兩點到原點的距離相等，進而

可求出8點表示的數(shù)，進而可求出A點表示的數(shù).

【詳解】解：因為A8=8,且點A,8分別表示數(shù)a,h互為相反數(shù)，

所以A,B兩點到原點的距離相等，

則8點表示的數(shù)為：8+2=4,

則A點表示的數(shù)為：-4,

故選：A.

【點睛】本題考查相反數(shù)的幾何意義，數(shù)軸上兩點之間的距離，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的

關(guān)鍵.

5.(2022?河北唐山?三模)如圖1,點A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為-5,b,

4,某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字。對齊數(shù)軸上的點A,發(fā)現(xiàn)點8對應刻度1.8cm,點C

對齊刻度5.4cm.則數(shù)軸上點8所對應的數(shù)b為()

_.4B(7.

AB.C一

-^5~~r~64

圖1

A.3B.—1D.—3

【答案】C

【分析】結(jié)合圖1和圖2求出I個單位長度=0.6cm,再求出求出A8之間在數(shù)軸上的距離，即可求解;

【詳解】解：由圖1可得AC=4-(-5)=9,由圖2可得AC=5.4cm,

...數(shù)軸上的一個長度單位對應刻度尺上的長度為=54+9=0.6(cm),

".,AB=1.8cm,

，AB=1.8X).6=3(單位長度)，

在數(shù)軸上點B所對應的數(shù)6=-5+3=-2；

故選：C

【點睛】本題考查了數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

6.(2022?陜西?西安工業(yè)大學附中三模)下列算式中，運算結(jié)果為負數(shù)的是()

A.-I2B.-1-(-5)C.-(-D.-2x0

6

【答案】A

【分析】先逐一計算，后作出判斷即可.

【詳解】解：；是負數(shù)，

??.A符合題意；

-1-(-5)=4,是正數(shù)，

；.B不符合題意;

：-(-=7＞是正數(shù)，

66

...C不符合題意；

-2x0=0,既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，

???D不符合題意；

故選:A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，負數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.(2022?浙江寧波?一模)定義：[x]表示不大于x的最大整數(shù)，(x)表示不小于x的最小整數(shù)，例如：[2.3]=2,

(2.3)=3,[-2.3]=-3,(-2.3)=-2.則[1.7]+(—1.7)=.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意，[L7]中不大于1.7的最大整數(shù)為I,(-1.7)中不小于-1.7的最小整數(shù)為-1,則可解答

【詳解】解：依題意：(-1.7)=-1

/.[1.7]+(-1.7)=1-1=0

故答案為：0

【點睛】此題主要考查有理數(shù)大小的比較，讀懂題意，