福建廈門(mén)湖濱中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

福建廈門(mén)湖濱中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

41

1.某次射擊比賽中,某選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是三，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是不,已知某次擊中10環(huán)，則隨

后一次擊中10環(huán)的概率是

25

A.-B.-

58

34

C.一D.-

45

2.在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是

以該線(xiàn)段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若A（-2,0）,8（2,0）,C（0,4）,貝!的

最小覆蓋圓的半徑為（)

3

A.-B.2

2

5

C.一D.3

2

3.若點(diǎn)P在曲線(xiàn)％2+>2=國(guó)+凡上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸到直線(xiàn)x+y+2=0的距離的最大值為（）

A.272B.2

C.V2D.4

4.已知點(diǎn)在橢圓二+==1（?！?〉0）上，Mr與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，ZMAB=90，MB交》軸于點(diǎn)Q,。為

ab

坐標(biāo)原點(diǎn)，OM-OQ=20^?則橢圓的離心率為（）

1R&

A.—15.------

22

「GD.逅

-

23

5.已知{4}等比數(shù)列，且％+出+。3=1，。2+。3+〃4=2,貝!）〃5+4+%=（）

A.16B.32

C.24D.64

6.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，滿(mǎn)足。1=1,二一=1,則斯=()

A.2n—1B.n

C.2n-1D.2〃i

7.為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為()

A.20B.25

C.40D.50

22

8.已知橢圓C：二+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,橢圓C上有一點(diǎn)P,則居的周長(zhǎng)為。

95__

A.8B.10

C.6+2&D.12

1,

9.若函數(shù)%)二萬(wàn)/—2%+〃in犬有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是。

A.?>1B.一1VQ<0

C.a<lD.Ovavl

10.已知拋物線(xiàn)=的焦點(diǎn)為R,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)。上，且|”|=2,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)

上的一動(dòng)點(diǎn),則|24|+|尸。|的最小值為()?

A.V13B.2713

C.3V130.276

11.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為當(dāng)“eN*時(shí)，4,n+1,成等差數(shù)列，若Sn=2020,且出<3,則〃的最

大值為()

A.63B.64

C.65D.66

12.已知"”是兩條不同的直線(xiàn)，。,分是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()

A.若加//”,〃//1，則〃z//eB.若根///m//月，則。//月

C若mlla,m工/3,則a_L/?D.若<z民機(jī)//0,////,則加

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若直線(xiàn)y=H+2與雙曲線(xiàn)必-9=6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則左的取值范圍________

14.已知拋物線(xiàn)C：/=20；（p〉O）的焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4,過(guò)點(diǎn)尸和火（機(jī),0）的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于P,Q

兩月.若RP=PF，貝力尸。1=.

15.若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為“、T,相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣

本空間為O=則與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為

16.已知函數(shù)/（%）=仙W，g（x）=-x2+ax-3,對(duì)一切xe（0,+＜?）,"'（X）之g（%）恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）命題P：函數(shù)y=lg（一9+4公-3a2）（。＞0）有意義；命題外實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足一＜0.

x2

（1）當(dāng)〃二1且。為真時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

（2）若是F的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22

18.（12分）已知橢圓。：,+方=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，工，點(diǎn)。（2,、歷）在橢圓C上，且滿(mǎn)足

=0

PF2F2FX

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)/：丁=辰+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且OMLON（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.證明：總存在一個(gè)確定

的圓與直線(xiàn)/相切，并求該圓的方程

19.（12分）如圖，在三棱錐￡）—ABC中，AD=CD=AE=CE=-BC,CD±AD,記二面角。—AC—6的平

面角為。

（2）若加為3C的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AO與所成角的取值范圍

20.（12分）如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABC。為直角梯形，人。//5。，/4￡＞。=90。,上4。，底面

ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點(diǎn)，PA=PD=42,BC=-AD=l,CD=s/3

2

(1)求證：平面P3C_L平面尸。8；

(2)求二面角P—QB—河的大小

V2

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=；"+Mnx

(1)若。＜0,求Ax)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)在(1)的條件下，證明：若〃x)存在零點(diǎn)，則/(x)在區(qū)間(0,右］上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)若存在不?1,使得/(x)—@/一x〈，:(“Hl),求。的取值范圍

2a-1

22.(10分)在①3a2+4+d=0,②。4="，③S3=-27這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中

的X存在，求實(shí)數(shù)X的取值范圍；若問(wèn)題中的彳不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為T(mén),,,4=$44=3d—l(〃eN*),是否

存在實(shí)數(shù)2,對(duì)任意〃eN*都有XVSn?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

1

常,得所求概率為上?故選B.

【解析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式P(B|A)=

5

2、C

【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.

【詳解】4—2,0),8(2,0),C(0,4),

??.△ABC為銳角三角形，

△ABC的外接圓就是它的最小覆蓋圓，

設(shè)一ABC夕卜接圓方程為/+V+瓜+野+尸=。，

‘4-2。+尸=0]。=0

則<4+2D+F=0,解得<E=-3

16+4E+F=0=

325

AABC的最小覆蓋圓方程為x2+y2-3y-4=0,即Y+(y—=],

△ABC的最小覆蓋圓的半徑為2.

2

故選：C

3、A

【解析】由方程確定曲線(xiàn)的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值

【詳解】由曲線(xiàn)方程為f+y2=W+M知曲線(xiàn)關(guān)于國(guó)y軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，在第一象限內(nèi)，方

11111/T

程化為f+y2=x+y,即(x—)2+(y—)2=在第一象限內(nèi)，曲線(xiàn)是A()為圓心，在為半徑的圓在第一

222222

象限的圓弧(含坐標(biāo)軸上的點(diǎn))，實(shí)際上整個(gè)曲線(xiàn)就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸.原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形加上原點(diǎn)，

-+-+2廠

點(diǎn)A到直線(xiàn)x+y+2=0的距離為,22342,

a—----產(chǎn)----=------

V22

所以所求最大值為4+Y2=2后

2

故選：A

k與，%=/

【解析】由.0Q=2OQ，得到/=一年，結(jié)合=90，得到AB=,進(jìn)而求得

%2m

〃2〃21

kAB-kMB=-^-9得出—冬=—土，結(jié)合離心率的定義，即可求解.

aa2

【詳解】設(shè)A（%,%）,5（程％），Q（。/），則/（-%,-%），

由0M?0Q=20Q2，可得_%.=2/，所以.=_年，

71X77y

因?yàn)镹M45=90，可得—=----，左血=勺饗=丁，

22222_

又由q+3=1,號(hào)+與=1,兩式相減得三三+

a2b2a2b2a2

2

即=即L.臉b

再一々%+%aa2

又因?yàn)樽驛B%MB=14■,普=一:，所以一與二一工，即%=L

%2西2/2/2

又由從="一02,所以匕且=工，解得e=￡=立.

a2a2

故選：B.

5、A

【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..

【詳解】。1+g+%=1，+/+%=(%+2+/)q=2,得.=2

/.a5+〃6+%=(〃1+〃2+〃3)/=16

故選：A

6、A

【解析】由題可得其=〃，利用%與Sa的關(guān)系即求.

【詳解】?.?“1=1,\jsn+i—=1,

J.｛底｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

#7=n,即S“=*,

2

...當(dāng)“22時(shí)，an=S「S"_i=I-(H-1)=2/1-1,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=1也適合上式，

所以=2〃-1

故選：A.

7、A

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果

【詳解】分段的間隔為臂=20

故選：A

8、B

【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：|尸片|+|尸閭=2a,所以花的周長(zhǎng)等于2a+2c

【詳解】因?yàn)椤?3,b=后,所以C=EF=2,故APK月的周長(zhǎng)為2a+2c=10

故選：B

9、D

A=4-4a>0

【解析】計(jì)算f\x),然后等價(jià)于g(x)=必—2x+a在(0,+00)由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后計(jì)算<2一14—4a八

x=---------->0

2

即可.

【詳解】t(x)的定義域是(0,+oo),

f-2尤+a

/(%)=%-2+-=

XX

若函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

則g(x)=x2-2x+a在(0,+co)由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

A=4-4a>0

故"2—，4―4a，解得：0<a<l,

x,=---------->0

12

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，考查計(jì)算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】求出A點(diǎn)坐標(biāo)，做出。關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)加，利用連點(diǎn)之間相對(duì)最短得出IAMI為I"1+1尸。|的最小值

【詳解】解：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-l,

|A*=2,到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2,故A點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,

把y=1代入拋物線(xiàn)方程可得%=±2

不妨設(shè)A在第一象限，則A(2,l),

點(diǎn)。關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)y=-l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(0,-2),連接40,

則|PO|=|PM|,于是IPAI+IPO|=|PA\+\PM\..\AM\

故1PAi+1尸0|的最小值為|AM|=+3,=岳

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

11、A

【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫(xiě)出式子，由遞推式及求和公式寫(xiě)出$62和S64,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：由%,n+1,??+1成等差數(shù)列，可得an+an+x=2〃+1,“eN*

貝!]a1十4=3,%+4=7,%+/=11，L

可得數(shù)列｛4｝中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列.

貝！IS62=3x31+31；0*4=1953<2020,

564=3x32+^|^x4=2080>2020,

則〃的最大值可能為63.

由4+4+1=2〃+1,〃eN*，可得?！?1+?！?2=2〃+3。

Sf3=。]+（。2+。3）+（。4+。5）+，+（。62+。63）="1+5+9++125

3130

=a1+31x5+^x4=2015+a1

因?yàn)椤?+。2=3,67]=3—a2,a2<3,Bp—a2>—3,所以q〉0,貝！|

$63=2015+q>2015,當(dāng)且僅當(dāng)4=5時(shí)，S63=2020,符合題意，

故”的最大值為63.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題能力，屬于難題.

12、C

【解析】由空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案

【詳解】解：對(duì)于A：若加//〃,〃//￡,則7律//1或根ua,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：若mlla,ml則。///或。與￡相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若ml/〃1工。,根據(jù)面面垂直的判定定理可得。，萬(wàn)，故C正確;

對(duì)于D：若戊，尸,7〃//々,〃///則加與〃平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

岳

13、f1

F'7

【解析】聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據(jù)此構(gòu)造

不等式組，解不等式組求得結(jié)果.

詳解】將丁=履+2代入雙曲線(xiàn)方程整理可得：（1-公）龍2—4日—10=0

設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)（七,K）,（9，%）

m。

A=16左2+40（1—左2）〉0

?.?<x+x_4-〉0,解得：ke^-,-1

國(guó)+々一一2〉UI3J

10n

（正｝

本題正確結(jié)果：—,_i

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

14、9

【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4,求得拋物線(xiàn)方程f=8y.

再由我尸=尸尸和尸（0,2）,得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)/的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求得。的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間

距離公式求解.

【詳解】由拋物線(xiàn)C：/=2py（p〉0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4,

所以P=4,

所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為-=8y.

因?yàn)镽P=PF,F（o,2）,

所以點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1,

代入拋物線(xiàn)方程，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±2也，

不妨設(shè)P（-2V2,1）,則kpF=—匕二=—，

0-（-2A/2）4

故直線(xiàn)/的方程為y=YZx+2,

-4

將其代入—=8y得f_2在；_16=O.

可得。（4行,4）,

故|PQ|=J（-2A/2-4V2）2+（1-4）2=9.

故答案為：9

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

15、0,{HT},{TH},{HT,TH}

【解析】先寫(xiě)出與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間，再寫(xiě)出其全部子集即可.

【詳解】與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間為此空間的子集為0,{HT},{TH},

故答案為：0,{Hr},{TH},{HT,TH}

16、（-co,4]

【解析】通過(guò)分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍

【詳解】因?yàn)?（x）?g（x）,代入解析式可得2xlnxN—V+公—3

分離參數(shù)a可得

3

a<21nx+%+—

x

3

令/z（x）=21nx+九+—（x〉0）

x

則〃，⑶=史羋二D,令"（尤）=0解得％=—3,%=1

所以當(dāng)0<x<L〃（x）<0,所以h（x）在（0,1）上單調(diào)遞減

當(dāng)1<X,〃(X)>O,所以h(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

所以h(X)在X=1時(shí)取得極小值，也即最小值

所以h(x)>h(1)=4

因?yàn)閷?duì)一切xG(0,+co),2f(x)>g(x)恒成立，

所以a<h(x)min=4

所以a的取值范圍為(-8,4]

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)(2,3)；(2)[1,2]

【解析】⑴首先將命題P,4化簡(jiǎn)，然后由尸人“為真可得"，q均為真,取交集即可求出實(shí)數(shù)》的取值范圍；

(2)將「夕是F的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為。是4的必要不充分條件，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(2,3)*(a,3a),從而求出實(shí)

數(shù)。的取值范圍

【詳解】⑴若命題，為真，貝！I—三+4依—3々2>0,解得a<x<3a(a>0),

當(dāng)a=l時(shí)，命題。：1<%<3,

若命題4為真，貝！|(x—2)(x—3)<0,解得2<x<3,所以q：2<x<3,

因?yàn)?人4為真，所以尸，q均為真,

1<%<3

所以C.所以2<x<3,

2<%<3

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(2,3)

(2)因?yàn)?TP是r的充分不必要條件，所以〃是q的必要不充分條件，

a<2fa<2

所以(2,3)*(a,3a),所以或所以

[3a>3[3a>3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是口2]

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個(gè)命題的真假，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)

考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法.第⑵問(wèn)關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合間的真包含關(guān)系

,,8

(2)理由見(jiàn)解析，圓的方程為公+丁=耳.

【解析】⑴根據(jù)給定條件可得「鳥(niǎo)，片耳，結(jié)合勾股定理、橢圓定義求出a,》得解.

(2)聯(lián)立直線(xiàn)/與橢圓C的方程，利用給定條件求出左，機(jī)的關(guān)系，再求出原點(diǎn)。到直線(xiàn)/的距離即可推理作答.

【小問(wèn)1詳解】

因耽?用￡=0,則尸月，片月，點(diǎn)P(2,、口)在橢圓C上，則橢圓C的半焦距c=2,|Pg|=及，

222

|PF}|=yl\PFy+\F^=3A/2,因此，2aKP￡|+|P6|=4&,解得a=20，b^a-c=4,

22

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是：土+匕=1.

84

【小問(wèn)2詳解】

由<：一“：m消去y并整理得：(242+1)%2+4kmx+2m2-8=0,

x+2y=8

依題意，A=16k2m2-8(2Z:2+l)(m2-4)=8(8Z:2+4-m2)>0,設(shè)加(%,%)”(9,%)，

-4km2m2—8

,因QWLON,

22

則OMON=xix2+yiy2=+(bq+m)(kx2+m)=(k+1)jqx2+km^+x2)+m

(左2+1)(2/_8)4左2加223m2-8(左2+1)八

=-------；------------z----\-m--------；-------=0，

2左2+12k2+12k2+1

于是得工=§,此時(shí)，?>(),則原點(diǎn)。到直線(xiàn)/的距離d=1i==/-^=偵，

k2+i3j.+i\e+i3

所以，存在以原點(diǎn)。為圓心，短為半徑的圓與直線(xiàn)/相切，此圓的方程為％2+y2=g.

33

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交滿(mǎn)足某個(gè)條件問(wèn)題，可設(shè)直線(xiàn)方程為丫=履+加,

再與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立結(jié)合已知條件探求左，機(jī)的關(guān)系，然后推理求解.

19、(1)痛+30

24

【解析】(1)作出輔助線(xiàn)，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出A8=l+百，求出底面積和高，進(jìn)而求出三棱

錐的體積；（2）利用空間基底表達(dá)出AD,EM,結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論求出

cos〈AD,EM、=與4cos3+2口從而求出答案.

【小問(wèn)1詳解】

取AC的中點(diǎn)尸，連接尸。，F(xiàn)E,由5c=2,則AD=CD=AE=CE=1,ftDFLAC,EF±AC,故NZ>FE即為二

IF

面角?！狝C—5的平面角，即/。/后=。=一，連接OE,作?！╛1尸比因?yàn)镺bEF=F,所以AC,平面OE尸,

3

因?yàn)镺Hu平面?！攴菜訟CLLOH,因?yàn)锳CEF=F,所以O(shè)H_L平面A3C,因?yàn)镃D_LA￡>,由勾股定理得:

AC=五,DF=—,又AE=CE=L由勾股定理逆定理可知，AELCE,且EF^―,在“叱

242

中，由余弦定理得：3/8余用=9+.82―貿(mào)2=2+%2—4=交,解得：A5=i+G或i—G（舍去），

2ACAB242AB2

則S鉆。=LAC-A3?sinN3AC=Lx&x（l+g）x也因?yàn)镹DFE=6=工,DF=EF=呈,所以

222232

△OE尸為等邊三角形，則逅，故三棱錐D—ABC的體積

4

“_1cn?_l1+6V6_V6+3V2

^D-ABCABC'DH-jX---X--—；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)AZ)=CD=AE="=a,則AC=0o,BC=2a,由(1)知：AB=(73+l)a,ZDFE=0,取{網(wǎng),FD,FE}

為空間中的一組基底，則AT>=EC>_E4，由第一問(wèn)可知:

EM^EB+BM^y/3AE+^BC^^AC+^^-(FE-FA

=-FA+^^(FE-FA\=^^FE-^^-FA,

2'>22

則A?EAf=(陽(yáng)—硝—必

7

^^^FEFD-^^FDFA-^^-FAFE+^^-FA

2222

其中,H=|E4卜等a，

且NDFE=6,FD±FA,FE1FA,故

AD-EM=^^-\FE^FD\COS0+^^-^FA^a2cos0+^^-a2，

由第一問(wèn)可知CELAE,又“是BC的中點(diǎn)，所以EAf=，3C,所以

2

ADEM理匚cos￡+亙3

cos(AD,EM44

|AD|-|EM|44

'cosd+如

因?yàn)槿忮FD—ABC中6e(O,7i),所以cosOe(—1,1),所以cos(AD,EN)

44

故直線(xiàn)AD與EM所成角范圍為

【點(diǎn)睛】針對(duì)于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解，若不容易建立坐標(biāo)系時(shí)，也可以

通過(guò)基底表達(dá)出各個(gè)向量，進(jìn)而求出答案.

20、(1)證明見(jiàn)解析

,、n

(2)-

4

【解析】(1)依題意可得平行四邊形BC。。是矩形，即可得到5CL8Q,再由PQJ_A￡＞及面面垂直的性質(zhì)定理得

到PQL平面ABCZ),從而得到尸QLBC,即可得到平面PQB,從而得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)锳D/ABCQ為A。的中點(diǎn)，BC=-AD,所以5C=QD,

又BCIIQD,所以四邊形為平行四邊形,

因?yàn)镹ADC=90°,所以平行四邊形是矩形，所以

因?yàn)镻A=PD,AQ=QD,所以PQ_LA。，

又因?yàn)槠矫嫔?。，平面ABC。，平面PAD平面ABCQ=AD,PQu面PA。，

所以PQL平面ABC。，因?yàn)锽Cu面ABC。，所以PQL5C,

又因?yàn)镻2BQ=Q,PQ,BQu平面PQB,所以8CL平面PQB,

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面平面PQB；

【小問(wèn)2詳解】

解：由(1)可得：QAQBQP兩兩垂直，如圖，分別以QAQ5QP所在的直線(xiàn)為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

、

V31_

則Q(0,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,l),C(-l,6,0),M三

'57

則Q3=(0,60),QM=-

2，^-，2)

設(shè)平面QBM的一個(gè)法向量m=(x,y,z),

QB-m=6y=0

由7iJ3i則y=。,令尤=1,則z=l,所以機(jī)=(1,0,1),

QM?機(jī)=一耳x+y+—z=0

設(shè)平面PQB的一個(gè)法向量"=BC=(-1,0,0),

m-n\,_1_V2

所以cosa=,根據(jù)圖像可知二面角P-Q3-M為銳二面角，所以二面角P-Q3-M的大小為

|m|-|n|02

TC

4

21、(1)遞減區(qū)間是(0,Q),單調(diào)遞增區(qū)間是(V?,+oo),極小值-"+

(2)證明見(jiàn)解析(3)(-72-1,72-1).(l,+oo)

【解析】(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)通分化簡(jiǎn)，求出f(x)=0解得x=J二，在列出f(x)與/(X)在區(qū)間(0,+8)上的表格,

即可得到答案.

(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值為一。+?m一°),因?yàn)椤▁)存在零點(diǎn)，所以衛(wèi)粵包＜。，

22

從而aV-e.在對(duì)。進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-■!/—x=Mnx+―在對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，在對(duì)。進(jìn)行分情況討論，即可得

的得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

2

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?。,+8),f\x)=x+-=^^-,a<0

XX

由f(x)=0解得x=J工

/(x)與/'(x)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下:

X(0,J-Q)y/-a(7^a,+oo)

/‘(X)-0+

—Q+aln(一。)

/(X)/

2

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,q),單調(diào)遞增區(qū)間是(",+oo)；

/(x)在x=J二處取得極小值-a+a；(-a),無(wú)極大值

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，f⑺在區(qū)間(0,+8)上的最小值為一"+"＞(—°)

2

因?yàn)?(x)存在零點(diǎn)，所以—a+Mn(—a)〉。,從而。＜一e

2

當(dāng)。=一6時(shí)，/Xx)在區(qū)間(0,&)上單調(diào)遞減，且/(正)=0,

所以尤=弧是/'(X)在區(qū)間(0,J7)上的唯一零點(diǎn)

當(dāng)a<—e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,6)上單調(diào)遞減，且/■(1)=；>0,/(&)=詈<0,

所以/(x)在區(qū)間(0,7；]上僅有一個(gè)零點(diǎn)

綜上可知，若了(尤)存在零點(diǎn)，則/(尤)在區(qū)間(0,五]上僅有一個(gè)零點(diǎn)

【小問(wèn)3詳解】

、0，、￡，、a211—Q2、/、a八、1l-a.a、/

izg(x)=j(x)——x-x=a\nx-\-----x-x,g(x)=—+(l-6z)x-l=------(x--------)(x-l)

22xx1-a

1—a—1—aa

①若，〉i,則g(i)=1==-<=，符合題意

226Z-1

@^a<-,則‘^<1,故當(dāng)xe(l,4w)時(shí)，g'(x)〉0,g(x)在(l,y)上單調(diào)遞增

2\-a

所以，存在X021,使得/(x)-二――x<三的充要條件為

2a-1

...1—a1-1—Qa..I—l

^(1)=---1=—-;，解得-0-

22a-1

③若［<a<l,則」一>1,故當(dāng)尤€(1,7色-)時(shí)，g'(x)<0；

21-a1-a

當(dāng)xe(，-,+oo)時(shí)，g’(x)〉0

1-a

g(X)在(1,二)上單調(diào)遞減，在(二,+8)上單調(diào)遞增

1—al—a

所以，存在X021,使得/(x)-=%2-X<—J的充要條件為g(f)<—J

2a—1l—aa—1

?/a、a、a2aa

而g(.-----)=?ln(-----)+------1---->----,所以不合題意

I-a1-a2(1—ci)a—1a—1

綜上，a的取值范圍是(—0—1，行—1),(1,+oo