切線放縮-2024屆高考數(shù)學(xué)拓展含答案

切線放縮-2024屆高考數(shù)學(xué)拓展

切線放縮

題目|1](2023?廣州模擬)已知函數(shù)/(6)=lnQ+1).

(1)證明：當(dāng)x>—l時(shí)，f(x)&C；

(2)已知九CN*,證明：e1+i+i+,+->sin(n+1).

題目區(qū)(2023?遂寧模擬)已知函數(shù)/(⑼=a(x+1)—三于，xER.

e

(1)若f3)是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若f3)有兩個(gè)極值點(diǎn)g,力2,其中力1<62,求證：x2—x1>—+2.

題目叵)(2023?重慶模擬)已知函數(shù)/(c)=sinx-aln(x+l).

(1)若a=1,證明：當(dāng)①C[0,1]時(shí)，/(c)>0；

(2)若a=—1,證明：當(dāng);rC[0,+oo)時(shí),于(x)W2ex—2.

題目@(2023?柳州模擬)已知函數(shù)/㈤=Inx+^-2x.

(1)當(dāng)a>0時(shí),討論了(⑼的單調(diào)性；

(2)證明：1+2

X>f(6

題目(2023?福州模擬)已知函數(shù)/(6)=x\nx—x.若/㈤=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根電,力2,且21〈力2.求證:

be+e<力2—CiV25+e+—.

e

題目(2023?山東省模擬)已知函數(shù)/(/)=(力+1)(e+—1),若函數(shù)gQ)=/(①)—m(m>0)有

兩個(gè)零點(diǎn),且%證明ifW1+2a+).

切線放縮

題目區(qū)(2023?廣州模擬)已知函數(shù)/3)=ln(c+l).

(1)證明：當(dāng)2>一1時(shí),/(T)4/；

(2)已知.eN*,證明:>sin伍+1).

【答案】證明:(1)令h(x)=ln(rc+1)—x(rc>—1),

則"㈤=匕一1=一X

x+1

當(dāng)一1V/V0時(shí)，〃Q)＞0,則函數(shù)無㈤在(一1,0)上單調(diào)遞增,

當(dāng)力＞0時(shí)，"(力)V0,則函數(shù)九3)在(0,+00)上單調(diào)遞減，

/.h(x)＜無(0)=0,

即/(%)Wx.

(2)由⑴可得ln(rc+1)&力,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，令力=工，

n

???—>ln(l+—)=ln2L±1,

n'n'n

1+H-----F->In^-+In+InH-----Fin1=ln(n+1),

23n123n

即l+!+4+…+工>山(4+1),

23n

則1+抖抖…++>"+1,①

令(p^x)=x—sinx,x>0,

(p'(%)=1—cos力>0,

??.0(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

:.(p[x)>0(0)=0,即力一sina?>0,

即力>sin1,力>0,

即n+1>sin(n+1),②

由①②得e"打打"+點(diǎn)〉sin伍+1).

題目[1](2023?遂寧模擬)已知函數(shù)/Q)=a(x+1)一攵魯，xER.

(1)若f(G是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(sc)有兩個(gè)極值點(diǎn)到，尤2,其中T1＜田2，求證：電―21＞包+2.

【答案】(1)解：由題意知r(M=a+義士2WO在R上恒成立，所以一a)且±2恒成立,

e。e"

令g(a?)=力士2，二五兄,

e

則一a>g(±)max，

X+[

令g'(T)=-X=0,得a;=T,

e

當(dāng)cC(-oo,-1)時(shí)，g，3)>0,g(a;)單調(diào)遞增;

當(dāng)reC(—1,+oo)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(2)n1ax=g(-l)=e,

即—a^e,aE(—oo,—e].

(2)證明由/Q)有兩個(gè)極值點(diǎn)g,g,

可知(心)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根電，電，

由⑴可知，當(dāng)/->+8時(shí),ff(x)-*0,且g(—2)=0,則g(x)的圖象如圖所示，

所以一e<aV0且一2<傷<—1Vx2,

又過點(diǎn)(—2,0)和(一1,e)的直線方程為y=e(x+2),

當(dāng)①G(—2,—1)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)h(x)—g(x)—e(x+2)

=三警一eQ+2)

=3+2)(/-e)>0,

所以。(力)>e(力+2)?

設(shè)方程eQ+2)=—a的根為x3f

則力3=一0一2,

e

過點(diǎn)(―1,e)和(0,0)的直線方程為y=—ex,

設(shè)m{x}=g[x)+ex,xE(―1,+oo),

e^1—(7+1)

因?yàn)閙'(x)=------------>0,所以m(x)在(―1,+oo)上單調(diào)遞增，

所以m(x)>m(—l)=0,則g(x)>—ex,

又設(shè)方程一ex——a的根為g，則%4=~~，所以力2—21>g—力3=~—(—~—2)=——+2.

ee'e/e

目包(2023?重慶模擬)已知函數(shù)/(6)=sinx—aln(x+l).

(1)若Q=1,證明：當(dāng)力G[0,1]時(shí)，f(3)>0；

⑵若Q=—1,證明：當(dāng)/G[0,+oo)時(shí),f(a)<2ex—2.

【答案】證明:(1)首先證明sinx^xfxE[0,+8),證明如下:

構(gòu)造，(4)=sinx—x,xE[0,+8),

則f(力)—cosx—K0恒成立，

故,(/)=sin/—%在[0,+8)上單調(diào)遞減，

故/(力)&/(0)=0,

所以sinx^x,xE[0,+oo).

當(dāng)a=1時(shí)，/Q)=sinx—In(劣+1),nG[0,1],

于'(x)=cosx—」一=1-2sin2-^-—」一》1

J'71+621+x

2

=]1---X-------1--

21+x

故/'3)>2+2彳;)"-2=[:0>0在力e[0,1]上恒成立,

所以在［0,1］上單調(diào)遞增,

故/㈤>/(o)=o.

⑵令g(c)=(2e①一2)-/(6),x€[0,+oo).

當(dāng)a=-1時(shí),gQ)=2ex—2—sinx—ln(re+1)=2(ex—x—1)+a7—sinx+x—ln(x+1),

下證：ex—x—1>0(/>0),力一sinx>0(力>0),/—ln(rc+1)>0(/>0),且在力=0處取等號，

令/Q)=ex—x—l(rc>0),則rr(a;)=ex—l>0,故r(x)=ex—x—1在[0,+oo)上單調(diào)遞增,故r(rr)>

r(0)=0,且在x=Q處取等號，

由⑴知，(2)=sin力一力在[0,+co)上單調(diào)遞減，

故/(力)&/(0)=0,且在x=0處取等號，

令t(x)=x—ln(x+1)(力>0),

故t[x}—x—In(劣+1)在[0,+oo)上單調(diào)遞增，故力(劣)>t(0)=0,且在x=Q處取等號，

綜上有g(shù){x}=2(ex—x—l)+x—sinx+x—ln(rc+1)>0,且在力=0處取等號，即(2e°—2)—/(x)>

0,

即證/Q)42e'—2.

題目回（2023?柳州模擬）已知函數(shù)/（①）=lnx+^-2x.

（1）當(dāng)a>0時(shí),討論了（⑼的單調(diào)性；

（2）證明：1+4二>f（x）.

X

【答案】（1）解：由題意可知名>0,

對于二次函數(shù)y=2X2—X+a,

A=1—8a.

當(dāng)a>■寸，Q）40恒成立,

o

f（力在（0,+oo）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0VQV時(shí),二次函數(shù)y——2/+力一a有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，

8

分別是刀產(chǎn)1-8a,x-1+'：-8a，當(dāng)，（上彳三冕,

1+Vl~8a）時(shí)在8a,l+Vl-8a）上單調(diào)遞增；當(dāng)立?

（o,i-<^）u（1+7^,+句時(shí)，/㈤<0,

f（x）在（0,—「a）和（1+〃；-8a,+oo）上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a>U時(shí)，/（￡）在（0,+°°）上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<5?時(shí)，/（力）在

OO

8a,l+Vl-8a）上單調(diào)遞增，在（0,l-Vl-8a）,

（1+，：-8a,+8）上單調(diào)遞減.

a2x22x

⑵證明要證e-+~->f（x）,

X

即證e”>Inx+2.

不妨設(shè)h（x）—ex—（rc+1）,

則hr㈤=ex—l,//（0）=0,

當(dāng)cVO時(shí)，"（0）＜0,

當(dāng)N＞0時(shí)，〃（0）＞0,

因此人（劣）＞九（0）=0,ex—（2+1）＞0恒成立.

令m{x}=Inrc—T4-1,

mrQ）=——1=———,

xx

當(dāng)0VcV1時(shí),

m'(i)>0,m[x)單調(diào)遞增，

當(dāng)2>1時(shí)，

mr(力)<0,m(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)力=1時(shí)，m(x)取得最大值m(l)=0,因此Inx—x+KO,

則ex—(x+1)+[x—(Inx+1)]

=e'—(In/+2)>0恒成立(等號成立的條件不一致，故舍去)，

即6*>ln/+2.從而不等式得證.

題目叵](2023?福州模擬)已知函數(shù)/㈤=xlnx—x.若/?=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根如電,且gVg.求證:

be+e<x—a?i<26+e+—.

2e

【答案】證明：f(x)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=Inx.

令/'(力)>0,得力>1;

令Q)V0得,0<rc<1,

所以/(力)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(力)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根力1,力2,且61〈力2.

所以0V力1V1Vg,

先證不寺式22—a1V2b+eH——,

所以曲線g=f(x)在力=!和力=e處的切線分別為0:y=—x—L和Qg=/一e,如圖，

ee

令gQ）=/（力）一（~x——）=xlnx+—,0V/V1,則gr[x）=1+Inx,

令gf（力）>0,則1■VnV1;

e

令g，（①）V0,則0<x<-|-,

所以gQ）在（0,十）上單調(diào)遞減，在（十，1）上單調(diào)遞增，

所以gfXDg'）=0,

所以>—名—上在(o,1)上恒成立,

e

設(shè)直線g=b與直線Zi交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為必,則MWii,

設(shè)直線g=b與直線。交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃2,

同理可證劣24力‘2，

因?yàn)閤\=—b———,/'2=b+6,

e

f

所以X2—Xi<x2—x\

=b+e—(-b——

=2b+e+^(兩個(gè)等號不同時(shí)成立)，

e

因此22—劣1V2b+e+

e

再證不等式g—的>be+e,

函數(shù)圖象/(力)上有兩點(diǎn)A(1,-1),B(e,0),

設(shè)直線g=b與直線04:y=—x,AB:y=—-(x—e)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為g,rc,易證gVgV

e—14

x4<x2,且x3=—b,X4=(e—l)b+e,

所以x2—Xi>x4—x3=(e—1)6+e—(—6)=be+e.

綜上可得be+eVX2—力1V2b+e+—成區(qū).

e

題目叵(2023?山東模擬)已知函數(shù)/(2)=(力+1)(e，—1),若函數(shù)gQ)=/(/)—?n(?n>0)有

兩個(gè)零點(diǎn)xr,電，且為iVg,證明：電一為41+2m-\—^―.

e—1

【答案】證明：/(T)=(2+1)(e*一1),

令/(力)=0,有g(shù)=T,力2=0,

f(力)=e%2+2)-1,

巴-1)=-1+工

e

于'(0)=1,設(shè)曲線y=f{x)在(—1,0)處的切線方程為g=h[x),

令F[x)=f(x)—h[x)

則F'3)=3+2)1—工，

e

令m(x)—Fr(a)=(6+2)e'—―,

e

則mr(劣)=(力+3)e”,

所以當(dāng)力<—3時(shí)，mr(力)<0;

當(dāng)x>—3時(shí)，mr(名)>0,

所以尸㈤在(一8,—3)上單調(diào)遞減，

在(—3,+00)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X7—8時(shí)，F(xiàn)'(X)T---