2023年澳門四高校聯合入學考試數學附加卷

注意事項：

1.考生彳蔓考生文件如下：

1.1本考卷包括封面共22版

1.2草稿紙一張

2.^於本考卷封面填癮耳初考編虢、考埸、^宇、考室及座虢。

3.本考卷共有五脩解答題，每題二十分，任攆三題作答。全卷滿分卷六十分。

4.必須在考卷內提供的橫^^內作答，嘉在其他地方的答案符不畬貍押分。

5.必鄉(xiāng)到多解題步驟清楚嘉出。只常答案和所有步驟正碓而清楚地表示出來，考生方可攫

得滿分。

6.本考卷的?1形非按比例^重。

7.考就中不可使用任何形式的言十算械。

8.言青用疊色或黑色原子肇作答。

9.考言式完^,考生須交回本考卷及草稿幺氏。

Instructions:

1.Eachcandidateisprovidedwiththefollowingdocuments:

1.1Questionpaperincludingcover22pages

1.2Onesheetofdraftpaper

2.FillinyourJAENo.,campus,building,roomandseatno.onthefrontpageoftheexamination

paper.

3.Thereare5questionsinthispaper,eachcarries20marks.Answerany3questions.Fullmark

ofthispaperis60.

4.Putyouranswersinthelinedpagesprovided.Answersputelsewherewillnotbemarked.

5.Showallyourstepsingettingtotheanswer.Fullcreditswillbegivenonlyiftheanswerand

allthestepsarecorrectandclearlyshown.

6.Thediagramsinthisexaminationpaperarenotdrawntoscale.

7.Calculatorsofanykindarenotallowedintheexamination.

8.Answerthequestionswithablueorblackballpen.

9.Candidatesmustreturnthequestionpaperanddraftpaperattheendoftheexamination.

2

任攆三題作答，每題二十分。言青把答案癮在聚接每修題目之彳復的3直橫^直內。

Answerany3questions,eachcarries20marks.Writedowntheanswersonthe3linedpages

followingeachquestion.

1.

C

A

—71

如上S］，E-ABCD是四棱錐，其底ABC。懸菱形＞\AB\=2&及4DAB=-?

71L

\EB\=\EC\，乙BEC=］，8C的中黑占，E在。尸的垂足。\DE\=V5。

V3

（a）考登明cosQDFE）=一。［提示：求\EF\及\DF\。］（8分）

4

（b）W登明EG垂直平面ABC。。［提示：言登明AEGB是直角三角形。］（7分）

（C）求\AE\。(5分)

Intheabovefigure,E-ABCDisapyramid,itsbaseABCDisarhombus,\AB\=2&

7171

andZ-DAB=—.\EB\=\EC\,乙BEC=—,FisthemidpointofBC,Gisthefootof

perpendicularfromEtoDF.\DE\=V5.

(a)Showthatcos(zDFE)=y.[Hint.Find\EF\and\DF\.](8marks)

(b)ShowthatEGisperpendiculartoplaneABCD.

[Hint.ShowthatNEGBisaright-angledtriangle.](7marks)

(c)Find\AE\.(5marks)

3

2.(a)已知函數/(%)=/一12%+6。

(i)求f'(x)及/(%)。(2分)

(ii)求f(x)的局部才亟大值和局部才亟小值。(3分)

(iii)求曲^y=f(x)的拐黑占。(2分)

(iv)il用⑴一(iii)的幺吉果，^出曲=/(x)。(3分)

(b)已知直L:y=x+4是曲^C:y=x3+3%2+%在黑占A的一4條切^。

(i)求黑占A。(4分)

(ii)求由直與曲所包SI的展域的面稹。(6分)

(a)Givenfunction/(x)=x3—12x+6.

(i)Findf'[x}and/〃(％).(2marks)

(ii)Findthelocalmaximumandlocalminimumvaluesof/(%).(3marks)

(iii)Findtheinflectionpoint(s)ofthecurvey=/(%).(2marks)

(iv)Usingtheresultsin(i)一(iii),sketchthecurvey=/(%).(3marks)

(b)GiventhatthelineL:y=x+4isatangentlineofthecurveC:y=x3+3x2+x

atpointA.

(i)FindthepointA.(4marks)

(ii)FindtheareaoftheregionboundedbythelineLandthecurveC.(6marks)

4

x乙,y乙

3.已知楠H]E:二+丁=1及￡1以外的一黑占k)。言殳4和L.是謾黑占A且

94

典E相切的雨彳條直^°

(a)(i)專登明謾黑占A直^y=mx+(k-mh)輿E相切富且僮富

97n2—(k—mh)2+4=0°(5分)

(ii)ixmr和m2是(a)⑴中以m懸未知量的二次方程的雨彳固根，春登明

2hk/C2-4

1二及四巾(3分)

m1+m-2=九f2--9I/2=九2~一T9°

(b)若4典右互相垂直，求黑占A的孰跳。(6分)

(c)若(h,k)=(5,4)，求4典&的夾角，答案以tan-1表示。(6分)

x2y2

GivenellipseE:1=1andapointA(Ji,k)outsideE.SupposeLandL,

94x

aretwolinespassingthroughAandtangenttoE.

(a)(i)Showthatthestraightliney=mx+(fc-mh)thatpassesthroughAis

tangenttotheellipseEifandonlyif

9m2—(k—mh)2+4=0.(5marks)

(ii)Letm1andm2bethetworootsofthequadraticequationinunknownm

2hkfc2-4

in(a)(i).Showthatm1+m2=~andm1m2=京-(3marks)

(b)IfLjandJareperpendicular,findthelocusofA.(6marks)

(c)If(九,k)=(5,4),findtheanglebetweenLxandL..Expressyouranswerin

termsoftan_1.(6marks)

5

4.布=AP1。

(a)言殳w=%+yi，其中》和y室攵°若w滿足方程z-3z+\z\=-1+16i,

求w的值。(8分)

(b)(i)用棣美弗定理，言登明

cos30=cos30-3cos6sin20andsin39=3cos20sin0—sin36°

3tan0-tan30

推溥出tan30=(5分)

1-3tan20

(ii)用⑴的幺吉果,解方程》3—37^2-3%+8=0,答案以tan表示。(7分)

Leti=V-1.

(a)Letw=x+yi,wherexandyarerealnumbers.Ifwsatisfiestheequation

z—3z+\z\=—1+16i,findthevalueofw.(8marks)

(b)(i)UsingDeMoivre'stheorem,showthat

cos30=cos30-3cos0sin20andsin39=3cos20sin0—sin30.

3tan0-tan36

Deducethattan38=——.(5marks)

1-3tan20

(ii)Usingtheresultin(i),solvetheequation%3—3>/3x2—3x+V3=0.

Expressyouranswerintermsoftan.(7marks)

6

5.(a)⑴已知公式

sinQ4±B)=sinAcosB+cosAsinB

及

cosQ4±5)=cosAcosB+sinAsinB°

推溥出

x+yx-yx+yx-y

sinx—siny=2cos-？sin-?一及cosx—cosy=—2sin-,-sin--°(4分)

111

(ii)考登明，度等式sin20sin40sin80=-4sin6sin23sin30°(6分)

cos26cos40cos80

(b)tSi0<0<°若以下以x、y和z^,未知量的方程名且

X+y+z=6

(sin20)x+(sin40)y+(sin80)z=>/3

((cos28)%+(cos40)y+(cos88)z=-3

有多於一便1解,求此方程名且的通解。(10分)

(a)(i)Giventheformulas

sin(4±B)=sinAcosB+cosAsinB

and

cos(i4±8)=cosAcosB+sinAsinB.

Deducethat

x+yx-yx+yx-y

sinx—siny=2cos?sin?andcosx—cosy=—2sin?sin,.(4marks)

111

(ii)Provetheidentitysin26sin40sin83=-4sin0sin20sin30.(6marks)

cos20cos40cos80

7T

(b)Let0<0<-.Supposethefollowingsystemofequationswithunknownsx,yandz

x+y+z=6

(sin20)x+(sin40)y+(sin80)z=V3

{(cos20)x+(cos40)y+(cos80)z=—3

hasmorethanonesolution.Findthegeneralsolutionofthissystemofequations.(10marks)

7

參考答案:

1.(a)由尸卷BC的中黠和\EB\=|EC|，得EF_LBC和乙EBF=-(TT-乙BEC)=-。

24

所以，|EP|=|BF|tan(zEBF)=Q|5C|)-1=\\AB\=V20

由^DAB=^和MD|=\AB\，得ADAB是等遏三角形，故\DB\=\AB\=2&。

由F卷BC的中黑占和\DB\=\AB\=\DC\，得DFJ.BC。

所以，|DF『=\DB\2-\BF\2=8-2=6。

|OF/十|E尸|2-|DE|26+2-5__x/3

因Jt，cos(z.DEF)=

2\DF\\EF\2V6V2-4

_V26

(b)在XEFG中，\EG\=|￡T|sin(zDFF)=\EF\yJl-cos2(z￡)FF)=V2

聞

在ABFG中，|BG|=y/\BF\2+\FG\2=y/2+|FF|2cos2(z￡)F￡)=—°

在LEFB中，\BE\=yJ\EF\2+\BF\2=VT+I=2。

因|EG『+\BG\2=4=\BE\2，故乙EGB=|。

由EG，DF及EG1.GB，得EGJ.ABCD。

(c)由尸懸BC的中黑占和\DB\=|￡>C|(=|5C|)，得乙BDF=三乙BDC=三。

26

建AG。因^ADG=^ADB+乙BDF=-+-=->iJc\AG\2=\AD\2+\DG\2。

362

因|DG|=\DF\-\FG\=V6-\EF\cos(zDPE)=遍一&(=)=乎，

故|AG『=\AD\2+\DG\2=8+—=-°

168

所以，\AE\=y/\AG\2+\EG\2=J.+措=V13。

2.(a)(i)f'(%)=3x2—12，f"(%)=6x。

(ii)f'(%)=0o%=—2或x=2°

常x<-2，f'O)>0，故/(x)是遮增的。

常一2<%<2，f'(x)<0，故/(%)是遮減的。

常2<%，/'(%)>0，故f(%)是遮增的。

因此，/(-2)=22是一局部才亟大值，/(2)=-10是一局部才亟小值。

(iii)f"(x)=0<=>x=0?#x<0>f"(x)<0;#x>0?f"(x)>0°

因此,(0,6)是曲y=f(x)的拐黑占。

8

(iv)

(b)(i)直^L的斜率是1。在黑占A，有1=?=3產+6%+1，解此方程，得％=0或%=-2。

ax

富無=0，在直^L上的黑占是(0,4)，但在曲C上的黑占是(0,0)，故％=0不合。

常x=-2,(—2,2)是在直和在曲之上。因此，黑占A是(-2,2)。

⑺解憂1+/E'(由⑴.一2是T固解)得％=-2或％=1。

富—2<%<1?直^y=x+4在曲^y=x3+3x2+x之上。

因此，所求面稹卷

3232

f^2(x+4)—(%+3x+x)dx=乜4—%—3xdx

=卜%-^%4—x3j

27

=O

4

互斗”=1

3.(a)(i)由94，得4x2+9[mx+(k—mh)]2=36，即

y=mx+(fc—mh)

(4+9m2)%2+187n(k—mh)x+9(fc-mh)2-36=0。(1)

因直^y=mx+(k-mh)輿E相切，(1)有重根，其判別式卷0，即

[18m(/c—mh)]2—4(4+9m2)[9(fc—mh)2—36]=0。由此，得

97n2—(k—mh)2+4=0。(2)

(ii)由(2)得

(9—/i2)m2+2hkm+(4—fc2)=0°(3)

2hk九2一4

因mr和m2是(3)的根>故6]+62=迄三及mxm2=正3。

(b)<J和L2不是一封垂直和水平^日寺，

mxm2=-10=—1=h2+左2=13,h*±3,kH±2。

常Li和L2是一封垂亮和水平心寺，容易得出(九幻=(±3,±2)。

故A的李九*亦是%2+y2=13°

9

(c)Mi=1,2,ikmt=tandA4的斜率，其中一］<仇<］。

53

由(h,k)=(5,4)，得nh+機2=鼻及爪1根2=-°

營殳人典人的夾魚卷a，0<a<，刖

7nl—2

,tan%—tan02m27(^i+^n2)—4m1m2

tana=tan^-02)|=—

12+叫租2|

1+tan0itan021+m1m2|1

2V13

=O

7

因此，Li典乙2的夾角是tan一1第。

4.(a)z—3z+\z\=-1+16i=(x+yi)—3(%—yt)+^x2+y2=-1+16i

=-2x+Jx2+y2+4yi=-1+16i

=f—2%+yjx2+y2="1

［4y=16

由第二修方程得y=4。封y=4，解第一修方程，有

—2x+y/x2+16=-1=+16=2%-1

=/+16=(2%—I)?及x21/2

=3x2—4%—15=0及x>1/2

=(x—3)(3%+5)=0及x>1/2

=%=3

故w=3+4i。

(b)(i)cos30+isin30=(cos0+isin0)3

=cos30+3icos20sin0-3cos6sin20—isin30

二(cos30—3cos9sin20)+i(3cos20sin0—sin36)°

比敕^部及虛部，得

cos30=cos30—3cos0sin20及sin30=3cos20sin0—sin300

由此，

tan30—3。_(3COS20sin0-sin30)/cos30_3tan0-tan30

cos30(cos30-3cosQsin20)/cos301-3tan20

(ii)言殳％=tan

%3—3A/3X2-3%+遮=0

=>tan36—3^3tan29—3tan0+V3=0

3tan0-tan3Q_叵

1-3tan20-

=tan30=V3

=36=E+麗，n是整數

00=3+半，n是整數。

因一］<e'故方程的根懸tan(一吾)'tan及tan票°

［ti:若言殳或］VOVTI'9的值^'今及3°因匕"——)=tan—'

雨g且答案是相同的。］

10

5

siny

X+yX今/X+yXy

l-+nl

\2-2一2

sin\

』X+yXsix+yXyX+yX

n+sn.n—yx+yx-y

--y-一--

22co2si2SI2-cos---sin---

X+yXy222

2cosn

2si2

cosx—cosy

x+yx-y,x+y%-y

cos+一cos

,22)22

x+y.%+yx-yx+yx-yx+yx-y

cos---cos---sin---sin---cos---cos+sin---sin---

2222222

x+yx-y

—2sin---sin---

2

(a)(ii)

1100

sin20sin40sin40—sin20sin80—sin20

cos20cos40cos801Icos20cos40—cos29cos80—cos20

100

sin202cos30sin62cos50sin30

cos20-2sin30sin0—2sin50sin30

100

=4sin0sin30sin20cos30cos50

cos20一sin33一sin50

=4sin0sin30(―sin50cos30+cos50sin30)

=4sin0sin30[—sin(50—30)]

=-4sin0sin20sin30

(b)因方程名且有多於一解，用(a)(ii)的結果，有一4sin6sin29sin30=0。

因04。工9故6=0或。=三或6=三。

223

若e=0或9=5,第二脩方程建成0x+Oy+0z=舊，優(yōu)而可知方程幺且沒有解。

故及6。1。

x+y+z=6

V3V3,V3行

—xyH—z=V3o

常方程g且建成22/2

ill

——x——y——z=—o3

■22Z2

x+y+z=6

V3V3,V36，得％=4—==

(—xyz4—z=V3

222

11

SuggestedAnswers:

17T

1.(a)FromFisthemidpointofBCand\EB\=\EC\,wegetEF1BCand(EBF=-(TT—乙BEC)=

4

Then,\EF\=|SF|tan(zFSF)=Q|SC|)-1=^\AB\=V2.

FromZ.DAB=-and\AD\=\AB\,weget'DABisequilateral.So,\DB\=\AB\=2A/2.

FromFisthemidpointofBCand\DB\=\AB\=\DC\,wegetDF1BC.

Then,\DF\2=\DB\2-\BF\2=8—2=6.

|?！浮?|研2一|四26+2-5_V3

Hence,cosQDEF)

2\DF\\EF\

_^26

(b)InLEFG,\EG\=|￡T|sin(zDFE)=\EF\^1-cos2(z￡>F￡-)=V2

InLBFG,\BG\=y/\BF\2+\FG\2=y/2+|FF|2cos2(z￡)F￡)=V38

InLEFB,\BE\=y/\EF\2+\BF\2=VT+I=2.

Since\EG\2+\BG\2=4=\BE\2,wehave乙EGB=最

FromEG1DFandEG1GB,wegetEG1ABCD.

(c)FromFisthemidpointofBCand\DB\=|DC|(=|FC|),wegetZ.BDF=-^BDC=-.

26

JoinAandG.Since^ADG=Z.ADB+乙BDF=-+-=wehave=\AD\2+\DG\2.

362

Since\DG\=\DF\-\FG\=遍—\EF\cos(zZ)FF)=述—或(弓)=乎，

wehave\AG\2=\AD\2+\DG\2=8+—=

168

Hence,=yJ\AG\2+\EG\2==VT3.

2.(a)(i)/(%)=3x2-12,f〃(%)=6x.

(ii)廣(x)=0=%=—2or%=2.

Whenx<-2,/'(x)>0,andthus/(%)isincreasing.

When—2<%<2,f\x)<0,andthus/(%)isdecreasing.

When2V%,/'(%)>0,andthus/(%)isincreasing.

Hence,/(—2)=22isalocalmaximumvalueand/⑵=-10isalocalminimumvalue.

(iii)f"(x)=0<=>%=0.When%<0,fH(x)<0;when%>0,f"(x)>0.

Hence,(0,6)isaninflectionpointofthecurvey—/(%).

12

(iv)

(b)(i)Theslopeofline￡is1.AtA,1=*=3x2+6%+1.Solving,x=0or%=-2.

When%=0,thepointonlineLis(0,4)butthepointonthecurveCis(0,0).

Thus,%=0isrejected.

Whenx=—2,(—2,2)isonlineLandoncurveC.Hence,Ais(—2,2).

(ii)Solvingj+，(f1°m(i),x=-2isasolution)weget%=-2or%=1.

When—2<x<1,theliney=x+4isabovethecurvey=x3+3x2+x.

Hence,theareais

322

]22(^+4)—(%+3x+%)dx=4———3xdx

-4

'y2

土+匕=1

3.(a)(i)From94,weget4x2+9[mx+(k—mh)]2=36,thatis,

y—mx+(fc—mh)

(4+9m2)%2+18m(fc-mh)x+9(k—mh)2-36=0.(1)

Sincetheliney=mx+(k—mh)istangenttoE,(1)hasadoublerootandsoitsdiscriminant

is0.Thatis,[18m(fc—mh)]2—4(4+9m2)[9(fc—mh)2—36]=0.Hence,weget

9m2—(k—mh)2+4=0.(2)

(ii)From(2)weget

(9-h2)m2+2hkm+(4—fc2)=0.(3)

2hkk.2—4

Sincem1andm2arerootsof(3),wehavem1+m2=andmtm2=^7^.

(b)WhenandL2arenotapairofhorizontalandverticallines,

m1m2=-10=—1=九？+Ze2=13,卜。±3,kH+2.

WhenLrandL2formapairofhorizontalandverticallines,readily,(h,fc)=(±3,±2).

Hence,thelocusofAisx2+y2=13.

13

7TTT

(c)Fori=1,2,let叫=tan為betheslopeofLt,where--<

53

As(Ji,k)=(5,4),wehavem1+m2=-andm1m2=

SupposetheanglebetweenandL2isa,where0<a<^.Then,

mm2—

tan%—tan02—m27(i+2)4m1m22V13

tana—|tan(&i-02)l=

1+tan/tan021+m1m2|1+m1m2|7

_1

Hence,theanglebetweenLrandL2istan

4.(a)______

z—3z+\z\=-1+16i=>(%+yi)-3(%—yi)+y/x2+y2=-1+16i

n—2x+yjx2+y2+4yi=-1+16i

=f-2x+y/x2+y2=-1

[4y=16

Fromthesecondequation,y=4.Solvingthefirstequationwithy=4,wehave

—2x+yjx2+16=-1=yjx2+16=2x—1

=/+16=(2%—I)2andx>1/2

=3x2—4%—15=0andx>1/2

=>(%—3)(3%+5)=0andx>1/2

=%=3

Hence,w=3+4i.

(b)(i)

cos30+isin30=(cos9+isin0)3

=cos30+3icos20sin0-3cos0sin23-isin3Q

—(cos30—3cos0sin20)+i(3cos20sin0—sin30).

Comparingtherealandimaginaryparts,weget

cos30=cos30—3cos0sin20andsin30=3cos20sin0—sin30.

Hence,

tan30—s'”3。_(3COS20sin0-sin30)/cos30_3tan0-tan30

cos30(COS30-3COS6sin20)/cos301-3tan20'

(ii)Letx=tan0,—^<0<pThen,

x3—3A/3X2—3%+V3=0

=>tan30—35/3tan20—3tan0+>/3=0

3tan0-tan30__nz

1-3tan2一

=tan30=V3

7T

n36=-+rcn,nisaninteger

=8=g+券,nisaninteger.

Since--2<0<-2,therootsroftheequationkare9t7an(——9),tan-a9ndtan—.

7TrrTT47r77r

[Remark:Ifwelet0<0