【2023小升初】數(shù)字問題（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

數(shù)字問題

解答題(共30小題)

1.我們將滿足以下條件的正整數(shù)稱為“超常數(shù)”：該整數(shù)的每個數(shù)碼都不為零且互不相同，

并且將其各位數(shù)碼打亂，排成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，二者之差恰為它本身.例如，495

和6174都是“超常數(shù)”，因為954-459=495,7641-1467=6174、請問：是否存在五

位的“超常數(shù)”？若存在，請舉出一個例子：若不存在，請說明理由。

2.黑板上寫有數(shù)103+1,113+1,123+1,……，11003+1,每次任意擦去其中

的兩個數(shù)a、b,然后寫上2H-α-6+l,經(jīng)過100次操作之后，最后剩下一個數(shù)，求這

個數(shù)。

3.若干個相同的數(shù)字組成的多位數(shù)(包含一位數(shù))稱為“清一色數(shù)”(例如2222,55、3

等)，那么把2020表示成若干個“清一色數(shù)”的和，至少需要幾個？

4.各數(shù)位上數(shù)碼之和為15的三位數(shù)共有多少個？

5.將1、2、3、4、5、6這六個數(shù)從左至右排成一行，使得從第二個數(shù)起，每個數(shù)都是它左

邊各數(shù)之和的約數(shù)。寫出最右邊的數(shù)的所有可能值和對應(yīng)每一個可能值的一個排列。

6.閱讀以下材料，解決問題。

如圖，長方形48CD中，AB=a,AD=b,分割成四個小長方形，其中AG=“-1,AE=

b-\,由于SABCD=SAEPG+SEFCD+SBCHG-SPFCH,即αb=(α-I)X(?-I)+a+b-1,

所以(?-1)×(?-1)=ab-a-h+?o

運用上述公式，解決以下問題：

一個數(shù)，其所有數(shù)位上的非零數(shù)字之積恰好等于這些數(shù)字之和，這樣的數(shù)稱為“鵬程數(shù)”。

例如，80000,11125都是五位數(shù)的“鵬程數(shù)”。特別地，我們把各個數(shù)字均不為0的“鵬

程數(shù)”稱為“真鵬程數(shù)”。

(1)求出所有三位的“鵬程數(shù)”之和；

(2)求出四位的“真鵬程數(shù)”的四個數(shù)字；

(3)寫出一個2019位的“鵬程數(shù)”，其中包含數(shù)字2,0,1,9。

7.(1)從1至9中取出7個不同的數(shù)，要求它們的和是36,共有多少種不同的取法？

(2)將17拆成4個不同的整數(shù)相加，這4個整數(shù)都不能超過9(可以包含9),共有多

少種不同的拆法？

8.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號.1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號

說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被3整除”，…，依次下去.每位同學(xué)都說，

這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除.1號作了一一驗證，只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對，其

余同學(xué)都對，如果告訴你，1號寫的數(shù)是六位數(shù)，那么這個數(shù)至少是多少？

9.一個十位數(shù)的每個數(shù)字均是1或2,任取其中相鄰三位可以得到8個不同的三位數(shù).這

樣的十位數(shù)共有多少個？請將其一一列舉出來.

10.把分母是4的全部最簡分數(shù)從小到大排成一列，排在第2017個的分數(shù)是多少？

11.一個正整數(shù)，如果他順著讀和倒過來讀都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”.例如

1331,7,202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù).問：

(1)小于IOOO(X)的回文數(shù)一共有多少個？

(2)回文數(shù)從小到大排列，第1101個是多少？

12.求99…9—2016個9X99…―2016個9+999^2016個9末尾有多少個0?

13.用1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數(shù)字組成三個三位數(shù)(每個數(shù)字只能用1次)，使

最大的數(shù)能被3整除；次大的數(shù)被3除余2,且盡可能的大；最小的數(shù)被3除余1,且盡

可能的小，求這三個三位數(shù).

14.滿足下面條件的數(shù)分別有哪些？

(1)個位的數(shù)字為5。

(2)是千位為7的四位數(shù)。

(3)百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大。

15.請你用1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)字，每個只能用一次，拼湊出五個自然數(shù).讓

第二個是第一個的2倍，第3個是第一個的3倍，第四個是第一個的4倍，第五個是第

一個的5倍.

16.在從1開始的"個連續(xù)的自然數(shù)中，去掉其中的一個數(shù)，余下各數(shù)的和是2017,求去

掉的數(shù).

17.設(shè)"是一個四位數(shù)，它的9倍恰好是其反序數(shù)(例如：123的反序數(shù)是321),則〃是多

少？

18.一個從1開始的奇數(shù)數(shù)列從小到大排列，已知該數(shù)列的每個數(shù)都沒有重復(fù)數(shù)字，

求：

(1)該數(shù)列的第598個數(shù)是多少？

(2)該數(shù)列的前598個數(shù)一共出現(xiàn)了多少個數(shù)字？

19.某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,12.他們的電話號碼依次是12

個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號

碼的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一

家的電話號碼是什么數(shù)？

20.如圖是寫有數(shù)字2、4、6的卡片各1張，其中數(shù)字2的卡片能翻轉(zhuǎn)當(dāng)做數(shù)字5用，數(shù)字

6的卡片能旋轉(zhuǎn)當(dāng)做數(shù)字9用，用這三張卡片可以拼成個不同的三位偶數(shù).

艮，E

21.有A,B,C三種商品，A,B,C各買一個的價錢是180元.現(xiàn)在有甲、乙兩人，各打

算買三個4,兩個8和一個C甲把8和C的數(shù)量弄反了，結(jié)果多花了100元；乙把A

和C的數(shù)量弄反了，結(jié)果也多花了100元，求A、B、C的單價.

22.算式產(chǎn)37+22。17+32017+…+2017237計算結(jié)果的個位數(shù)字是多少？

23.0、1、2、3、4、5、6、7這八個數(shù)字可以組成兩個四位數(shù)M和M如果M+N的和是

一個末三位數(shù)字相同、千位數(shù)字為0的五位數(shù)，這個五位數(shù)是,MXN的積的不

同取值共有種.

24.玲玲發(fā)現(xiàn)：將家里的電話號碼從左到右，相鄰的兩個數(shù)字依次相加，得到的和分別是9、

7、9、2、8、II,請你推算一下玲玲家的電話號碼是多少？

25.如圖，根據(jù)下面的要求填滿此表：

(1)每個小方格內(nèi)填入一個數(shù)字，這個數(shù)字必須是小于10的自然數(shù)；

(2)同一區(qū)域內(nèi)的小方格填入相同的數(shù)字(虛線表示同一區(qū)域的內(nèi)部)；

(3)最左邊列的小方格不能填入數(shù)字0；

(4)從上往下數(shù)第1行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù),這個四位數(shù)可以表示為小,

其中p、q都是質(zhì)數(shù)；

(5)從上往下數(shù)第2行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)可以表示為兩

個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積(比如3、5就稱為連續(xù)質(zhì)數(shù))；

(6)從上往下數(shù)第3行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是一個完全平

方數(shù)：

(7)從上往下數(shù)第4行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是37的倍數(shù).

26.若干人參加趣味競賽，3道題，每題可評分1、2、3、4、5、6、7分，競賽結(jié)果：所有

人三道題得分的乘積都是36,得分的各種情況都有，沒有三道題得分完全相同的人，相

同分數(shù)得相同的獎，分數(shù)最高一等獎，次高的得二等獎，比二等獎分數(shù)低的得三等獎.那

么這些人在這次競賽中，一等獎有人；二等獎有人；三等獎有人.

27.我們用S(〃)表示〃的數(shù)碼和，比如S(2用6)=2+0+1+6=9,如果IOoOWnW9999,

并且滿足nS(n)=ιi2,求：n.

28.小明從1開始寫出一個數(shù)串：123456789101112131415…，從左向右數(shù)，從第12個數(shù)字

起第一次出現(xiàn)三個連排的“1”，從第幾個數(shù)字起出現(xiàn)五個連排的“1”？

29.我們發(fā)現(xiàn)，6、10、15是3個很神奇的數(shù)，它們中任意兩個數(shù)的最大公因數(shù)都不是1,

但3個數(shù)放在一起，最大公因數(shù)就變成了1.

(1)請你在1~25之間選出另外3個互不相同的數(shù)，也滿足上述條件.

(2)請你在l~120之間選出4個互不相同的數(shù)，滿足這4個數(shù)中任意三個數(shù)的最大公

因數(shù)都不是1.但這4個數(shù)放在一起的最大公因數(shù)是1.

(3)在1~30中，挑選出若干個互不相同的數(shù)排成一排，并滿足：任意相鄰兩個數(shù)的最

大公因數(shù)不是1,但任意相鄰的三個數(shù)的最大公因數(shù)都是1?那么，最多可以挑選出多少

個數(shù)？

30.今年是2015年，2015年可以寫成2015÷5=13X31,也就是說2015除以它的末位數(shù)字

(末位不為0)可以得到兩個兩位倒序質(zhì)數(shù)(13和31)乘積的形式，其中兩個倒序質(zhì)數(shù)

可相同，我們把這樣的數(shù)叫做“最帥數(shù)”，

(1)請按2015÷5=13X31的形式任意寫出一個符合條件的“最帥數(shù)”.

(2)符合條件的“最帥數(shù)”最小是多少？最大是多少？

(3)符合條件的“最帥數(shù)”一共有多少個？

數(shù)字問題

參考答案與試題解析

一.解答題(共30小題)

1.我們將滿足以下條件的正整數(shù)稱為“超常數(shù)”：該整數(shù)的每個數(shù)碼都不為零且互不相同，

并且將其各位數(shù)碼打亂，排成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，二者之差恰為它本身.例如，495

和6174都是“超常數(shù)”，因為954-459=495,7641-1467=6174>請問：是否存在五

位的“超常數(shù)”？若存在，請舉出一個例子：若不存在，請說明理由。

【分析】設(shè)五個數(shù)碼為a<h<c<d<e,所以最大數(shù)是edcba,最小數(shù)為abcde,因為edcba

≡(e+d+c+b+cι)(mod!)),abcde≡(a+b+c+d+e)(mod9),所以它們的差一定是9的倍

數(shù)，而他們的差也由4,b,c,d,e五個數(shù)碼組成，所以abcde和edcba都是9的倍數(shù)，

然后根據(jù)百位的減法可以判斷，α~e中一定有數(shù)字9,據(jù)此討論求解。

【解答】解：設(shè)五個數(shù)碼為α<0VcVdVe,

所以最大數(shù)是edcba,最小數(shù)為abcde,

因為edcba三(e+d+c+。+。)Gnod9),abcde≡(〃+/?+c+d+e)(mod9),

所以它們的差一定是9的倍數(shù)，而他們的差也由小b,c,d,G五個數(shù)碼組成，

所以abcde和edcba都是9的倍數(shù)，

即a+h+c+d+e≡0(mod?))

可得豎式：

edcba

-abcde

rstpq

所以r=0或9,因為每個數(shù)碼不為0,

所以f=9,即e=9,

所以q=10+。-e=a+?,

所以b=a+l,

所以10+Z?-d=q

當(dāng)〃=1,8=2時，r=e-α=8,即d=8,

此時a+b+c^d+e=20+c≡0(Znod9),

所以c=7,但4=IO+b-d=4,不屬于b,c,d,e,不合題意；

當(dāng)4=2,b=3時，r=e-a—1.

2+3+7+9=21,所以剩下的數(shù)字是6,

97632-23679=73953,不符合題意；

當(dāng)α=3,b=4時，r=e-α=6,

3+4+6+9=22,剩下的數(shù)字是27-22=5,

96543-34569=61973,不符合題意；

當(dāng)α=4,匕=5時，r=e-a=5=b=q,不符合題意；

當(dāng)a25時，r=e-α≤4<a,不符合題意；

綜上所述，不存在。

【點評】本題主要考查了數(shù)字問題，確定五個數(shù)碼的和是9的倍數(shù)是本題解題的關(guān)鍵。

2.黑板上寫有數(shù)103+1,113+1,123+1,……，11003+1,每次任意擦去其中

的兩個數(shù)“、b,然后寫上2H-4-6+1,經(jīng)過100次操作之后，最后剩下一個數(shù)，求這

個數(shù)。

【分析】當(dāng)?；騜取12時，2H-α-Hl=RI2+b+l=12,所以無論取多少次，擦掉

12都需要再寫上12,即12會一直在黑板上。

【解答】解：II3+1=12,

當(dāng)”或b取12時，2ab-a-?+l=?-12+?+l=12,

所以無論取多少次，擦掉12都需要再寫上12,

即12會一直在黑板上，

所以剩下的數(shù)字一定是12。

答：這個數(shù)是12。

【點評】本題主要考查了數(shù)字問題，根據(jù)寫上數(shù)字的計算方法，找出最特殊的數(shù)字12

是本題解題的關(guān)鍵。

3.若干個相同的數(shù)字組成的多位數(shù)（包含一位數(shù)）稱為“清一色數(shù)”（例如2222,55、3

等），那么把2020表示成若干個“清一色數(shù)”的和，至少需要幾個？

【分析】把2020表示成若干個“清一色數(shù)”的和，要使個數(shù)最少，就需要每個加數(shù)盡量

大，可以先從最大的三位“清一色數(shù)”999開始拆分。

【解答】解：999+999+22=2020

共需要個“清一色數(shù)”,即999、999、22。

答：把2020表示成若干個“清一色數(shù)”的和，至少需要3個。

【點評】本題考查了數(shù)字問題，關(guān)鍵是先確定最大的一個“清一色數(shù)”。

4.各數(shù)位上數(shù)碼之和為15的三位數(shù)共有多少個？

【分析】此題采取分類的方法解答，分為如果首位為1,2,3,…，9,然后推出各類中

其他的兩位數(shù)字，看看每類中共有幾個這樣的三位數(shù)，然后相加即可。

【解答】解：如果首位為1,那么后兩位可以是59、68、77、86、95,共5個.

如果首位為2,那么后兩位可以是49、58、…、94,共6個.

如果首位為3,那么后兩位可以是39、48、57、66、75、84、93,共7個.

如果首位為4,那么后兩位可以是29、38、47、56、…、92,共8個

如果首位為5,那么后兩位可以是19、28、…、91,共9個.

如果首位為6,那么后兩位可以是09、18、…、90,共10個.

如果首位為7,那么后兩位可以是08、17、…、80,共9個.

如果首位為8,那么后兩位可以是07、16、25、34、…70,共8個,

如果首位為9,那么后兩位可以是06、15、…、60,共7個.

共有5+6+7+8+9+10+9+8+7=69（個

【點評】解答此題采用了分類的方法，注意在分類時，一定要做到分類恰當(dāng)，以防遺漏。

5.將1、2、3、4、5、6這六個數(shù)從左至右排成一行，使得從第二個數(shù)起，每個數(shù)都是它左

邊各數(shù)之和的約數(shù)。寫出最右邊的數(shù)的所有可能值和對應(yīng)每一個可能值的一個排列。

【分析】從第二個數(shù)起，每個數(shù)都是它左邊各數(shù)之和的約數(shù)；則左面各數(shù)之和加上它自

己，也依然是它自己的倍數(shù)。就此解答即可。

【解答】解：1+2+3+4+5+6=21,故最右邊的數(shù)應(yīng)是21的約數(shù)，只可能是1或3。

所以符合條件的排列為624351、426351、415263。

答：最右邊所有可能值是1或3,對應(yīng)值的排列為624351,426351,415263。

【點評】熟練掌握約數(shù)的特征及明確左面各數(shù)之和加上它自己，也依然是它自己的倍數(shù)

是解題的關(guān)鍵。

6.閱讀以下材料，解決問題。

如圖，長方形4BC。中，AB=α,AD=b,分割成四個小長方形，其中AG=”-1,AE=

?-1,由于SABCD=SAEPG+SEFCD+SBCHG-SPFCH,即“6=(α-1)X(ft-∣)+a+b-1,

所以(6Z-1)X(?-1)=ab-a-?+l?

運用上述公式，解決以下問題：

一個數(shù)，其所有數(shù)位上的非零數(shù)字之積恰好等于這些數(shù)字之和，這樣的數(shù)稱為“鵬程數(shù)”。

例如,80000,11125都是五位數(shù)的“鵬程數(shù)”。特別地，我們把各個數(shù)字均不為0的“鵬

程數(shù)”稱為“真鵬程數(shù)”。

(1)求出所有三位的“鵬程數(shù)”之和；

(2)求出四位的“真鵬程數(shù)”的四個數(shù)字；

(3)寫出一個2019位的“鵬程數(shù)”，其中包含數(shù)字2,0,1,9。

【分析】(1)根據(jù)已知公式和位置原則，從0的個數(shù)進行分類討論即可；

(2)假設(shè)這四個數(shù)字從大到小排列為a,b,c,d,根據(jù)d的取值進行討論即可;

(3)因為2X1X9=18,2+1+9=12,所以只需要補充上6個1,其他數(shù)位寫0,即為一

個“鵬程數(shù)”，據(jù)此解答。

【解答】解：(1)①若三位數(shù)中有兩個0,則一定是“鵬程數(shù)”，

它們的和為：

100+200+.......+900

=(100+900)×9÷2

=4500

②若三位數(shù)中有1個零，設(shè)另外兩個數(shù)字分別為〃和兒

所以有：ab=a+b

可以化為：ab-a-/?+1=1

根據(jù)已知公式可知，(α-1)(b-1)=1,

所以a=b=2f

所以鵬程數(shù)為202和220,和為422；

③若三位數(shù)中沒有零，設(shè)這三個數(shù)分別為小b,c,且4282c,

所以有：ahc=a+b+c

當(dāng)C=I時，有H=α+8+l,即(α-1)1)=2,

所以Q=3,b=2,

鵬程數(shù)有：321、312、231、213、123、132,

321+312+231+213+123+132=1332

當(dāng)c22時，若a=b=c=2,貝!ja/?c=8>a+Z?+c,

所以若時，abc26a，cι+b+c,

不存在α,6的解。

所以三位數(shù)鵬程數(shù)之和為：

4500+422+1332=6254；

(2)設(shè)這個四位真鵬程數(shù)的四個數(shù)字分別為小b,C,d,且o2b2c?2d21,

所以有：abed=a+?+c+J

若Cd=1,即C=d=l,

則有ab=a+b+2

BP(?-1)(?-1)=3

所以0=4,)=2；

若Cde2,則02人2c22,J≥l,

(。-2)Cb-2)=ab-2a-2?+4≥0

所以ab^2a+2b-4

所以ahcd^2ah^4a-4∕?-8

=(,a+b+c+d')+(cι+b-c-d)+2Ca+b-4)

因為a+b>c+d,a+b-420

所以(a+b+c+d)+(a+b-c-d)+2(a+b-4)>a+b+c+d,

所以abcd>a+b+c+d,

綜上所述，四位真鵬程數(shù)的四個數(shù)字只能是1,1,2,4。

(3)因為2X1X9=18,2+1+9=12,

數(shù)位中增加數(shù)字1,乘積不變，而和加1,

所以只需要2019在寫6個1,剩下數(shù)位寫0,便可滿足條件，

例如:2019111111000…(T-2009個0。(答案不唯一)

【點評】本題主要考查了數(shù)字問題，結(jié)合位置原則以及題干告知的公式來求解是本題解

題的關(guān)鍵。

7.(1)從1至9中取出7個不同的數(shù)，要求它們的和是36,共有多少種不同的取法？

(2)將17拆成4個不同的整數(shù)相加，這4個整數(shù)都不能超過9(可以包含9),共有多

少種不同的拆法？

【分析】(1)因為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,這道題要求取出7個不同的數(shù)和是36,也

就是從I-9中取出來的兩個數(shù)和是45-36=9,那么剩余的7個不同的數(shù)和是36,只要

找到取出來的兩個數(shù)的和是9的情況即可.

(2)從0~9里選出各不相同的四個整數(shù)相加得到17,可以根據(jù)枚舉法得到答案.

【解答】解：⑴1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

45-36=9,

因為1+8=2+7=3+6=4+5=9,

所以7個不同的數(shù)和是36的取法有4種，

分別是2+3+4+5+6+7+9=36,

1+3+4+5+6+8+9=36,

1+2+4+5+7+8+9=36,

1+2+3+6+7+8+9=36,

答：共有4種不同的取法.

(2)根據(jù)分析可得：

17=0+1+7+9=0+2+9+6=0+2+7+8=0+3+5+9=0+3+6+8=0+4+5+8=0+4+6+7

—1+2+5+9=1+2+6+8=1+3+4+9—1+3+5+8=1+3+6+7—1+4+5+7

=2+3+4+8=2÷3+5+7=2+4+5+6

可得到16種方法.

答：共有16種不同的拆法.

【點評】解答此類問題關(guān)鍵是列舉全面，不要遺漏.

8.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號.1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號

說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被3整除”，…，依次下去.每位同學(xué)都說，

這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除.1號作了一一驗證，只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對，其

余同學(xué)都對，如果告訴你，1號寫的數(shù)是六位數(shù)，那么這個數(shù)至少是多少？

【分析】（1）首先根據(jù)數(shù)的整除特征，找出兩位同學(xué)說得不對，他們的編號是多少；

（2）然后算出剩余編號數(shù)的最小公倍數(shù)是多少，最后推導(dǎo)出這個六位數(shù)是多少.

【解答】解：（1）首先可以斷定編號是2,3,4,5,6,7號的同學(xué)說的一定都對.不然，

其中說的不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位

同學(xué)說的不對”不符合.因此，這個數(shù)能被2,3,4,5,6,7整除.

其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2X5,3×4,2X7都整除，即編號為10,12,14

的同學(xué)說的也對.從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9.

（2）這個數(shù)是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍數(shù),

由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=22

×3×5×7×11×13=60060.

設(shè)I號寫的數(shù)為6006OA（A為整數(shù)），這個數(shù)是六位數(shù)，所以人22.

若k=2,則60060?能被8整除，不合題意，所以kW2,同理AH3,k≠4.

因為k的最小值為5,所以這個數(shù)至少是60060×5=300300.

【點評】此題屬于數(shù)字問題，考查了數(shù)的整除特征，有一定難度，要認真加以分析，一

步步推導(dǎo)，從而解決問題.

9.一個十位數(shù)的每個數(shù)字均是1或2,任取其中相鄰三位可以得到8個不同的三位數(shù).這

樣的十位數(shù)共有多少個？請將其一一列舉出來.

【分析】根據(jù)題意可以先列出一個符合條件的十位數(shù)：1112221211,然后在這個基礎(chǔ)上

加以變化.

【解答】解：

1112221211；1121222111；1222121112；1122212111；1112122211；122211121；1211122212；

1212221112；

2221112122；2212111222；2111212221；2211121222；2221211122；211122212；2122211121；

2121112221.

答：這樣的十位數(shù)共有16個.

【點評】在列舉的時候要注意變化，上面的8個和下面的8個是對應(yīng)的.

10.把分母是4的全部最簡分數(shù)從小到大排成一列，排在第2017個的分數(shù)是多少？

【分析】分母是4的全部最簡分數(shù)，分子應(yīng)該是奇數(shù)，據(jù)此根據(jù)等差數(shù)列公式求出分子

即可解決問題.

【解答】解：1+2X（2017-1）

=1+4032

=4033

即，排在第2017個的分數(shù)是40334.

【點評】解答本題關(guān)鍵是明確最簡分數(shù)的意義和分子應(yīng)該是奇數(shù)列.

11.一個正整數(shù)，如果他順著讀和倒過來讀都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”.例如

1331,7,202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù).問：

（1）小于100000的回文數(shù)一共有多少個？

（2）回文數(shù)從小到大排列，第1101個是多少？

【分析】（1）分一位、二位、三位、四位、五位回文數(shù)考慮，分別找出各位數(shù)的回文數(shù)

的個數(shù)，將其相加即可得出結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）及“回文數(shù)”的定義，找出第1099、IIO0、1101個回文數(shù)，此題得解.

【解答】解：（1）我們將回文數(shù)分成一位、二位、三位、四位、五位來進行考慮：

所有的一位數(shù)均為回文數(shù)，有9個；

在二位數(shù)中，必須為aa形式的數(shù)為回文數(shù)，有9個（首位不為0）；

在三位數(shù)中，必須為aba（心匕可以相同）形式的數(shù)為回文數(shù)，有9X10=90個：

在四位數(shù)中，必須為abba（〃、6可以相同）形式的數(shù)為回文數(shù)，有9X10=90個；

在五位數(shù)中，必須為abcba（a、氏c可以相同）形式的數(shù)為回文數(shù)，有9X10X10=900

個.

小于100000的回文數(shù)一共有9+9+90+90+900=1098個.

（2）第1098個回文數(shù)為99999,第1099個回文數(shù)為IoOoOl,第IlOo個回文數(shù)為101101,

第1101個回文數(shù)為102201,

二回文數(shù)從小到大排列，第HOl個是102201.

【點評】本題考查了數(shù)字問題中的排列組合，解題的關(guān)鍵是：（1）分別找出一位、二位、

三位、四位、五位數(shù)字中回文數(shù)的個數(shù)；（2）結(jié)合（1）及“回文數(shù)”的定義，找出第1101

個回文數(shù).

12.求99972016個9×999^2016個9+999^2016個9末尾有多少個0?

【分析】先考慮如何才會讓和出現(xiàn)0（出現(xiàn)0的情況見解答），然后列式子找規(guī)律即可得

到答案.

【解答】解：讓和為0的情況如

9X9+9=90

99X99+99=9900

999X999+999=999000

由上得出規(guī)律：因數(shù)與加數(shù)中9的個數(shù)相同，它們的和末尾O的個數(shù)與加數(shù)中9的個數(shù)

相同.

故：原式和的末尾O的個數(shù)是2016個.

【點評】解此類問題應(yīng)從簡單式子入手，從中找到規(guī)律，便可解答.

13.用1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數(shù)字組成三個三位數(shù)(每個數(shù)字只能用1次)，使

最大的數(shù)能被3整除；次大的數(shù)被3除余2,且盡可能的大；最小的數(shù)被3除余1,且盡

可能的小，求這三個三位數(shù).

【分析】最大的數(shù)最高位是：9,次大的數(shù)最高位是：8,最小的數(shù)最高位是1,因此可以

根據(jù)已知縮小范圍，最后確定這三個數(shù).

【解答】解：根據(jù)分析，最大的數(shù)最高位是：9,次大的數(shù)最高位是：8,最小的數(shù)最高

位是1,

次大的數(shù)被3除余2,且要盡可能的大，則次大的三位數(shù)為：875；

最小的數(shù)被3除余1,且要盡可能的小，則最小的三位數(shù)為：124；

剩下的三個數(shù)字只有，3,6,9,故最大的三位數(shù)為：963.

故答案是：963、875、124.

【點評】本題考查了數(shù)字問題，突破點是：通過已知確定三位數(shù)的最高位上的數(shù)字，再

求出三個數(shù).

14.滿足下面條件的數(shù)分別有哪些？

(1)個位的數(shù)字為5。

(2)是千位為7的四位數(shù)。

(3)百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大。

【分析】根據(jù)題意先確定個位和千位的數(shù)字，再根據(jù)十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大，

即可能是6、7、8、9,然后根據(jù)百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大，即7、8、9,由此可

得十位不能為9,據(jù)此列舉即可。

【解答】解：根據(jù)分析可得滿足條件的數(shù)分別有：

7765、7865、7965、7875、7975、7985。

【點評】解答本題關(guān)鍵是確定十位和百位上的數(shù)字。

15.請你用1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)字，每個只能用一次，拼湊出五個自然數(shù).讓

第二個是第一個的2倍，第3個是第一個的3倍，第四個是第一個的4倍，第五個是第

一個的5倍.

【分析】九個數(shù)字，每個只能用一次，拼湊出五個自然數(shù)，且它們都構(gòu)成與第一個數(shù)成

倍數(shù)關(guān)系的等差數(shù)列，所以第一個數(shù)一定是一位數(shù)，其余為兩位數(shù)，為使它的2倍是兩

位數(shù)，這個數(shù)必須大于4；由于給出九數(shù)中只有四個偶數(shù)，所以第一個數(shù)只能是奇數(shù)；由

于沒有0,所以這個數(shù)不是5,又7X2=14,7X3=21有重復(fù)數(shù)字1,所以不能是7,由

此這個一位數(shù)是9.

【解答】解：據(jù)題意可知，第一個數(shù)一定是一位數(shù)，其余為兩位數(shù)，為使它的2倍是兩

位數(shù)，這個數(shù)必須大于4；

由于給出九數(shù)中只有四個偶數(shù)，所以第一個數(shù)只能是奇數(shù)：

由于沒有0,所以這個數(shù)不是5,又7X2=14,7X3=21有重復(fù)數(shù)字1,所以不能是7；

由此這個一位數(shù)是9.

所以這五個自然數(shù)是：9,18,27,36,45.

【點評】本題考查了學(xué)生通過所給數(shù)據(jù)進行推理和分析的能力.

16.在從1開始的〃個連續(xù)的自然數(shù)中，去掉其中的一個數(shù)，余下各數(shù)的和是2017,求去

掉的數(shù).

【分析】利用從1開始的〃個連續(xù)的自然數(shù)的和要大于2017,從1開始的連續(xù)若干個自

然數(shù)的和等于（1+最大數(shù)）X個數(shù)÷2,驗算可得結(jié)論.

【解答】解：因為去掉一個數(shù)后，余下各數(shù)的和是2017,

所以從1開始的八個連續(xù)的自然數(shù)的和要大于2017,從1開始的連續(xù)若干個自然數(shù)的和

等于（1+最大數(shù)）X個數(shù)÷2,

驗算可知,當(dāng)〃=63時，（1+63）×63÷2=2016<2017,（不符合）

當(dāng)〃=64時，（1+64）×64÷2=2080,（符合）2080-2017=63,

所以去掉的數(shù)是63.

【點評】本題考查因數(shù)與倍數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，利用從1開始的連續(xù)若干個自然

數(shù)的和等于（1+最大數(shù)）X個數(shù)+2是關(guān)鍵.

17.設(shè)〃是一個四位數(shù)，它的9倍恰好是其反序數(shù)（例如：123的反序數(shù)是321）,則“是多

少？

【分析】由題意可知一個四位數(shù)的9倍還是一個四位數(shù)，由此可以確定這個四位數(shù)的最

高位是1,據(jù)此解答即可.

【解答】解：由題意可知一個四位數(shù)的9倍還是一個四位數(shù)，由此可以確定這個四位數(shù)

的最高位是1,

設(shè)"是Iabc,則9Xlabc=cbal,則c=9,且1X9沒有進位，所以“只能是0,進而確

定8是8,

則這個四位數(shù)是1089.

【點評】本題也可以利用位置原理來解決.

18.一個從1開始的奇數(shù)數(shù)列從小到大排列，已知該數(shù)列的每個數(shù)都沒有重復(fù)數(shù)字，

求：

（1）該數(shù)列的第598個數(shù)是多少？

(2)該數(shù)列的前598個數(shù)一共出現(xiàn)了多少個數(shù)字？

【分析】(1)分類討論，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)中相應(yīng)奇數(shù)的個數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)數(shù)列的每個數(shù)都沒有重復(fù)數(shù)字，1位奇數(shù)有5個；兩位奇數(shù)有5X8=

40個；

三位奇數(shù)有5X8X8=320個：

I開頭的四位奇數(shù)4X8X7=224個，

共有5+40+320+224=589個，

598-589=9

2開頭的四位奇數(shù)2031,2041,2051,2061,2071,2081,2091,2013,2043

屬于該數(shù)列的第598個數(shù)是2043；

(2)該數(shù)列的前598個數(shù)一共出現(xiàn)了5+40X2+320X3+224X4+9X4=1977個數(shù)字.

【點評】本題考查數(shù)字問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，

屬于中檔題.

19.某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,12.他們的電話號碼依次是12

個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號

碼的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一

家的電話號碼是什么數(shù)？

【分析】由于電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，所以可設(shè)第一戶電話號是x+l,

第二戶x+2,….第12戶電話號x+12,并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，

則得x+i是i的倍數(shù)(i=l,2,12)因此X是1,2,….12的公倍數(shù).[1,2,-12J

=27720,9號家電話號碼是9時，除以13余9,27720÷13商2132余4,號碼增加27720

是余數(shù)增加4,9+4=13,所以9號家電話號碼是27729時，可以可以被13整除.這個

號碼加上27720X13=360360時，仍然可以整除13,并且每家電話號碼還能整除門牌號

碼.所以9號家電話號碼可以是27729+360360=388089.如果27729+27720X13X2,

首位不小于6,不符合題意.

【解答】解：設(shè)第一戶電話號是x+l,第二戶x+2,….第12戶電話號x+12

根據(jù)條件得X+，?是，?的倍數(shù)(i=l,2,…，12)因此X是1,2,….12的公倍數(shù)

[1,2,—..12]=27720,

所以X=27720m,

27720÷13商2132余4,

9+4=13,所以9號家電話號碼是27729時，可以可以被13整除，

這個號碼加上27720X13=360360時，仍然可以可以被13整除，并且每家電話號碼還能

整除門牌號碼.

因為這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6,

所以9號家電話號碼可以是27729+360360=388089.

而27729+27720X13X2,首位不小于6,不符合題意.

答：這一家的電話號碼是388089.

【點評】完成要本題思路要清晰，認真分析題意，根據(jù)條件中的內(nèi)在聯(lián)系進行推理解答.

20.如圖是寫有數(shù)字2、4、6的卡片各1張，其中數(shù)字2的卡片能翻轉(zhuǎn)當(dāng)做數(shù)字5用，數(shù)字

6的卡片能旋轉(zhuǎn)當(dāng)做數(shù)字9用，用這三張卡片可以拼成」一個不同的三位偶數(shù).

E∣∏∣∣E

【分析】分四種情況考慮：①三個數(shù)為2、4、6時，個位有3種選法，十位有2種選法，

百位有一種選法，由此可得出此時有6個三位偶數(shù)；②三個數(shù)為4、5、6時，個位有2

種選法，十位有2種選法，百位有一種選法，由此可得出此時有4個三位偶數(shù)；③三個

數(shù)為2、4、9時，個位有2種選法，十位有2種選法，百位有一種選法，由此可得出此

時有4個三位偶數(shù)；④三個數(shù)為4、5、9時，個位有1種選法，十位有2種選法，百位

有一種選法，由此可得出此時有2個三位偶數(shù).綜上即可得出結(jié)論.

【解答】解：分四種情況：

①使用2、4、6時，有3X2X1=6個三位偶數(shù)；

②使用4、5、6時;有2X2X1=4個三位偶數(shù)；

③使用2、4、9時，有2X2X1=4個三位偶數(shù)；

④使用4、5、9時，有1X2X1=2個三位偶數(shù).

?*?6+4÷4+2=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查了數(shù)字問題中的排列組合，分四種情況，求出每種情況下不同組合的

個數(shù)是解題的關(guān)鍵.

21.有A,B,C三種商品，A,B,C各買一個的價錢是180元.現(xiàn)在有甲、乙兩人，各打

算買三個A,兩個B和一個C甲把B和C的數(shù)量弄反了，結(jié)果多花了100元；乙把A

和C的數(shù)量弄反了，結(jié)果也多花了100元，求A、B、C的單價.

【分析】假設(shè)三種商品的單價分別為a,b,Co由題意可知，α+b+c=180,3a+2b+c—3a+b+2c

-100,3a+2b+c=a+2b+3c-100,計算整理三個式子就能求出三種商品的單價。

【解答】解：設(shè)三種商品的單價分別為小b,Co

a+b+c=180①

3a+2b+c^3a+b+2c-100②

3a+2b+c=a+2b+3c-100③

整理②得b=c-IOO④

整理③得α=c-50⑤

將④和⑤代入①

可得C-50+c-100+c=180,解得C=IlO

根據(jù)④和⑤可得/?=10；α=60o

答：A、B、C的單價分別是60、10、110。

【點評】此題根據(jù)題意列出方程即可求出結(jié)果。

22.算式1237+2237+32017+…+20i72O∣7計算結(jié)果的個位數(shù)字是多少？

【分析】求出個位數(shù)，每10個數(shù)一循環(huán)，依次為1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,可得

算式P∣7+22O17+32O17+…+2OI72O∣7計算結(jié)果的個位數(shù)同算式2oιχ45+l+2+3+4+5+6+7=

8073的個位數(shù)相同，即可得出結(jié)論.

【解答】解：i(”7的個位數(shù)是1,22°∣7的個位數(shù)是2,32。17的個位數(shù)是3,4””7的個位

數(shù)是4,

52017的個位數(shù)是5,6237的個位數(shù)是6,7237的個位數(shù)是7,g?00;的個位數(shù)是8,

92017的個位數(shù)是9,1()2017的個位數(shù)是0,“2017的個位數(shù)是］…，

每10個數(shù)一循環(huán)，依次為1,2,3,4,5,6,7,8,9,0；

因為1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45,2017÷10=201-7,

所以算式12017+22017+32017+…+20］7237計算結(jié)果的個位數(shù)同算式2()］義

45+1+2+3+4+5+6+7=8073的個位數(shù)相同，

即它的個位數(shù)是3.

答：算式iO17+22O17+32OI7+...+20i7237計算結(jié)果的個位數(shù)字是3.

【點評】本題考查數(shù)字問題，考查周期的運用，屬于中檔題.

23.0、1、2、3、4、5、6、7這八個數(shù)字可以組成兩個四位數(shù)〃和M如果M+N的和是

一個末三位數(shù)字相同、千位數(shù)字為0的五位數(shù)，這個五位數(shù)是1字33或10666,MX

N的積的不同取值共有64種.

【分析】按題意，這8個數(shù)字的和為28,組成的兩個四位數(shù)相加和為五位數(shù)，相加時至

少進位一次，所以這個五位數(shù)的數(shù)字之和只能是19或10或1,顯然五位數(shù)IOOoO不合題

意，數(shù)字和為10時，這個五位數(shù)為10333或10666,進一步根據(jù)數(shù)字的組合情況可求得

M、N取值的不同情形，進而求解.

【解答】解：根據(jù)分析，這8個數(shù)字的和為28,組成的兩個四位數(shù)相加和為五位數(shù)，相

加時至少進位一次，所以這個五位數(shù)的數(shù)字之和只能是19或10或1,顯然五位數(shù)IO(M)O

不合題意.

當(dāng)數(shù)字和為10時，這個五位數(shù)為10333,兩個四位數(shù)相加時若個位和為13,則十位數(shù)字

和為2,只能選2和0,則數(shù)字和為3無法選數(shù)字，故不符合要求，同理十位和為13也

不符合要求，因此只能個位和為3,十位和為3,百位和為13,千位和為9,對應(yīng)的數(shù)字

M和N分別有2X2X2X2XA22=32種情況，MXN的積有32÷2=16種不同情形；

當(dāng)數(shù)字和為19時?，這個五位數(shù)為10666,此時兩個四位數(shù)相加時個、十、百位的和都只

能是6(0+6,1+5,2+4),千位數(shù)相加和為10(3+7),共有6X4X2=48種不同情形,

所以M×N的積共有16+48=64種.

故答案是：10333或10666,64.

【點評】本題考查了數(shù)字問題，突破點是：數(shù)字進位和數(shù)字之和的性質(zhì)，可以推測出五

位數(shù)及不同的取值.

24.玲玲發(fā)現(xiàn)：將家里的電話號碼從左到右，相鄰的兩個數(shù)字依次相加，得到的和分別是9、

7、9、2、8、11,請你推算一下玲玲家的電話號碼是多少？

【分析】設(shè)這個電話號碼是abcdefg,由題意可知：a+b=9,b+c—1,c+d=9,d+e—2,

etf=8,/Fg=I1；因為y?=ll,所以e和『可能是9和2,8和3,7和4,5和6,進而

得出這個電話號碼.

【解答】解：設(shè)這個電話號碼是abcdefg,由題意可知：a+b=9,b+c=7,c+d=9,d+e

=2,e+f=i,f+g=11;

因為#g=U,所以e和7可能是9和2,8和3,7和4,5和6,且/不能超過8,e不能

超過2；

①當(dāng)f—2,g—9時,

由e+∕=8得：e=6；

由d+e—2.知：j=2,g=9不合適；

②當(dāng)/=3,g=8時，

由c+f=8得：e=5,由"+e=2知不合適；

③f=8,g=3,

由etf=8得：e=0,

d=2-0=2,c=9-2=7,?=7-7=0,α=9-0=9

所以號碼為：9072083；

④)f=7,g=4時，

e=8-7=l,d=2-1=1,c=9-1-8,匕=7-8不合適；

(Sy=4，g=7

e=8-4=4不合適；

⑥/'=5,g=6,

e=8-5=3不合適；

⑦f=6,g=5

e=8-6=2,d=2-2=0,c=9-0=9,b=7-9=不合適.

答：玲玲家的號碼是9072083.

【點評】設(shè)這個電話號碼是Hc?dg∕?,根據(jù)∕?=11,分情況討論適合的是解法此題的突

破口.

25.如圖，根據(jù)下面的要求填滿此表：

(1)每個小方格內(nèi)填入一個數(shù)字，這個數(shù)字必須是小于10的自然數(shù)；

(2)同一區(qū)域內(nèi)的小方格填入相同的數(shù)字(虛線表示同一區(qū)域的內(nèi)部)；

(3)最左邊列的小方格不能填入數(shù)字0；

(4)從上往下數(shù)第1行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù),這個四位數(shù)可以表示為p3

其中p、q都是質(zhì)數(shù)；

(5)從上往下數(shù)第2行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)可以表示為兩

個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積(比如3、5就稱為連續(xù)質(zhì)數(shù))；

(6)從上往下數(shù)第3行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是一個完全平

方數(shù)；

(7)從上往下數(shù)第4行的四個數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是37的倍數(shù).

【分析】每個小方格填上字母，同一區(qū)域內(nèi)的字母相同，相同的字母代表相同的數(shù)字，

不同的字母既可以代表不同的數(shù)字，也可以代表相同的數(shù)字，由(6)可得EEGG是完全

平方數(shù)，分類討論，進一步討論，即可得出結(jié)論.

【解答】解：每個小方格填上字母，同一區(qū)域內(nèi)的字母相同，相同的字母代表相同的數(shù)

字，不同的字母既可以代表不同的數(shù)字，也可以代表相同的數(shù)字，由(6)可得EEGG是

完全平方數(shù)，

完全平方數(shù)的末兩位可能是00,25,奇6,偶1,偶4,偶9.

若完全平方數(shù)的末兩位的兩個數(shù)字相同，則只能是00或44,而EEGG=E0G×11是11

的倍數(shù)，則EEGG是1/的倍數(shù)，EoG=EEGG÷11是11的倍數(shù)，

由11的整除特性，得E+G-0=E+G是11的倍數(shù)，所以E+G=ll;

故G=4,E=I,且7744=882,

由（7）得EHGG=7H44是37的倍數(shù)，999=33×37,

因為7H44是37的倍數(shù)，所以7H440也是37的倍數(shù)，

由37的整除特性，7H+440=510+H是37的倍數(shù)，所以4=8

由(5)得EFCD=7FCD可表示為兩個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積，

因為8()2=6400,902=8100,79X83=6557,83×89=7387,89×97=8633,

故EFCD=7FCD只能是83X89=7387,

所以F=3,C=8,。=7,

由（4）得，ABCD=AB87=pq,其中p,q都是質(zhì)數(shù).

首先，P的個位數(shù)字只能為3,7,其次q不可能太大，

注意至U3">9999,則q=2,3,5,7.

4=2時，因為完全平方數(shù)的個位數(shù)字可能是0,1,4,7,6,5,不可能為2,3,7,8,

故不存在；

q=3時，P的個位數(shù)字只能為3,經(jīng)嘗試，33=27,133=2197,233>9999,不存在；

4=5時，P的個位只能為7,經(jīng)嘗試，75>9999,不存在；

q=7時，P的個位只能為3,經(jīng)嘗試，37=2187,137>9999,37=2187符合；

故ABCD=2187,A