河南省安陽市高三三模擬理科數(shù)學(xué)試題

2023屆高三年級(jí)第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用集合的運(yùn)算可判斷ABC選項(xiàng)，利用集合的包含關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榛颍?，所以，，AC都錯(cuò)，或或，B錯(cuò)；或，故，D對(duì).故選：D.2.已知，則的大小關(guān)系為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得到答案.【詳解】，，，，，，故選：B.3.歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，數(shù)學(xué)史上稱十八世紀(jì)為“歐拉時(shí)代”.1735年，他提出公式：復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.已知復(fù)數(shù)，設(shè)，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，并表示成形式作答.【詳解】，，，依題意，，當(dāng)時(shí)，，B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B4.如圖是某四棱錐的三視圖，其中正視圖和俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)視圖是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原四棱錐，再利用切割法與錐體的體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，還原該四棱錐到虛線正方體中，如圖，易知該正方體的棱長(zhǎng)為，故，，又面，所以.故選：A.5.為了應(yīng)對(duì)即將到來的汛期，某地防汛指揮部抽調(diào)名專業(yè)人員（包括甲、乙兩人）平均分成三組，對(duì)當(dāng)?shù)厝幹攸c(diǎn)水利工程進(jìn)行防汛安全檢查，則甲、乙不同組的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考慮甲、乙在同一組的分組方法種數(shù)，以及將六人平均分為三組的分組方法數(shù)，利用古典概型的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】考慮甲、乙在同一組，只需將其他四人分為兩組即可，分組方法種數(shù)為，將六人平均分為三組，每組兩人，則不同的分組方法種數(shù)為，因此，甲、乙不同組的概率為.故選：D.6.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，其中，由平面向量數(shù)量積的定義可得，，因?yàn)闉榱庑蔚闹行?，則，所以，，因此，的最小值為.故選：C.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)已知條件求出的值，可求得的值，進(jìn)而可求得、的值，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，，因此，，故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式及和角公式，求出，再將化簡(jiǎn)變形成齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，解得，所以，故選：B.9.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，寫出向量的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出當(dāng)取最小值時(shí)的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，其中，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)，則，，，因此，當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓離心率為可得之間的關(guān)系，設(shè)，代入橢圓方程可得，由可推出，即可得，即可求得答案.【詳解】由橢圓離心率為，知，由題意可設(shè)，則，由可得，即，結(jié)合可得，故，則，所以直線的方程為，故選：B11.已知四棱錐內(nèi)接于球底面，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面交于，當(dāng)平面時(shí)，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體得到外接球的球心為體對(duì)角線的中點(diǎn).建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)平面求得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而利用中位線得到，進(jìn)而求得，從而求得，即可求得外接球的表面積.【詳解】因?yàn)榈酌妫酌鏋檎叫?，所以把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示，則外接球的球心為體對(duì)角線的中點(diǎn).如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以.當(dāng)平面時(shí)，有，即，因?yàn)?，解?則，設(shè)，則，所以，當(dāng)平面時(shí)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，令，即，解得，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則所以，令外接球的半徑為，則，即，所以球的表面積為.故選：D12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，先確定函數(shù)的奇偶性，然后再利用條件中的導(dǎo)數(shù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再把要求的不等式化成的形式，去對(duì)應(yīng)關(guān)系“”得到一個(gè)一般的不等式，解不等式得結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于軸對(duì)稱.由得，即，所以，所以，解不等式得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則__________.【答案】##1.5【解析】【分析】由的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱得是一個(gè)奇函數(shù)，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及奇函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又，所以，所以定義域?yàn)椋驗(yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得.又，所以，所以，即，所以，所以.故答案為：.14.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，又因?yàn)椋谥?，令，在中，令，可得，所以，展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為___________.【答案】256【解析】【分析】作出可行域作直線，平移該直線得的最大值后可得結(jié)論．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），，令，作直線，在直線中為直線的縱截距，直線向上平移時(shí)增大，所以平行直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，所以．故答案為：256．16.已知的面積為為常數(shù)且，若變化時(shí)的最小值為，則__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，，由三角形的面積公式、余弦定理結(jié)合題意可得，可以看成直線與相切時(shí)取等，利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】設(shè)，，設(shè)對(duì)應(yīng)的邊為，所以的面積為，所以，又因?yàn)?，所以，即，而，所以，在，由余弦定理可得：，，則，即，表示點(diǎn)兩點(diǎn)間的斜率，因?yàn)?，而在圓，可以看成直線與相切時(shí)取等，所以將直線化一般式，則圓心到直線的距離為，令，則，則，所以，解得：或（舍去），所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題利用三角形的面積公式、余弦定理將的最小值為轉(zhuǎn)化為，即可以看成直線與相切時(shí)取等求解即可.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.經(jīng)過隨機(jī)抽樣，獲得200戶居民的年用水量（單位：噸）數(shù)據(jù)，按分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市的居民年用水量不超過噸，求的值；（3）已知該市有100萬戶居民，規(guī)定：每戶居民年用水量不超過50噸的正常收費(fèi)，若超過50噸，則超出的部分每噸收1元水資源改善基金，請(qǐng)估計(jì)該市居民每年繳納的水資源改善基金總數(shù)約為多少.（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）【答案】（1）（2）（3）（元）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形的面積之和為1，即可求得答案;（2）確定m的范圍，結(jié)合頻率分布直方圖列式計(jì)算，可得答案；（3）計(jì)算出區(qū)間內(nèi)的居民年用水量分別超出的噸數(shù)，結(jié)合頻率分布直方圖列式計(jì)算，即得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得.【小問2詳解】在200戶居民年用水量頻率分布直方圖中，前5組頻率之和為，前4組頻率之和，所以，由，解得.【小問3詳解】由題可知區(qū)間內(nèi)的居民年用水量分別取為代表，則他們的年用水量分別超出5噸，15噸，25噸，35噸，則元，所以估計(jì)該市居民每年繳納的水資源改善基金總數(shù)約為元.18.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為，得出數(shù)列是等差數(shù)列，求出，繼而得出答案.(2)由(1)得出，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】由，得，且，所以，所以.所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，故.【小問2詳解】由題知，，所以19.如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，在上取一點(diǎn)，使得，連接、，證明出平面平面，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：在直角三角形中，因，，所以，即在四棱錐中，，，又因，、平面，所以，平面，所以，平面，如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接、.因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，在中，，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，?【小問2詳解】解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線方程即可證明；（2）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值小于等于零恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得結(jié)果.【小問1詳解】由已知得，所以，又，所以在處的切線方程為，即，恒過坐標(biāo)原點(diǎn).【小問2詳解】，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，故不恒成立.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，因?yàn)椋?，即，由零點(diǎn)存在定理知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，即.當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，要使恒成立，只需.因?yàn)?，由，解得，故所求的的取值范圍?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.21.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(diǎn)（1）求的方程.（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線，當(dāng)與交于兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在滿足條件的定點(diǎn).【解析】【分析】（1）將切點(diǎn)代入直線方程得，結(jié)合和即可得到雙曲線方程；（2）假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，設(shè)的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立得韋達(dá)定理式，計(jì)算，通分整理將韋達(dá)定理式代入得，解出值即可.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與直線切于點(diǎn)，所以代入得，①設(shè)，直線FQ有斜率，則，即，②又③由①②③解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)的方程為.由消去整理得，則即且因?yàn)?，所以直線的斜率為.設(shè)為定值，即，即，即，整理得，所以，所以.因?yàn)闉槎ㄖ担疑鲜綄?duì)任意恒成立，所以解得.將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題采用設(shè)線法，設(shè)，定點(diǎn)，將直線與雙曲線聯(lián)立得韋達(dá)定理式，再設(shè)，展開整理得，將韋達(dá)定理代入得