蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列 專題7.9 角度計(jì)算的綜合大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（原卷版）

專題7.9角度計(jì)算的綜合大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【蘇科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題所有類型！一．解答題（共30小題）1．（2022?金水區(qū)校級期末）“三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．有人曾利用如圖所示的圖形進(jìn)行探索，其中ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．請寫出∠ECB和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2022春?渠縣期末）∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM、ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動，∠AEB＝°；（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO＝60°，則∠D＝°；②隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動，∠D的大小是否會變化？如果不變，求∠D的度數(shù)；如果變化，請說明理由．3．（2022?永春縣期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，將三角板的頂點(diǎn)A放置在直線DE上．（1）如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)A，B），過點(diǎn)P作直線l∥DE，當(dāng)∠1＝8∠2時(shí)，求∠2的度數(shù)；（2）將三角板繞頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，并保持點(diǎn)B在直線DE的上方．過點(diǎn)B作FH∥DE（F在H的左側(cè)），求∠DAC與∠FBC之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）平移是一種常見的圖形變換，如圖1，△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，連接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，則稱這樣的平移為“平分平移”．（1）如圖1，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，請問AC和A1C1有怎樣的位置關(guān)系：．（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度數(shù)．（4）如圖4，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，則∠BDC1＝．（用含α的式子表示）5．（2022春?如皋市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的邊AC于點(diǎn)D，E為直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E向直線AC的右邊作射線EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分線EG交射線BD于點(diǎn)G．（1）如圖1，∠ABC＝40°，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求∠G的度數(shù)；（2）若∠ABC＝α，①如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，求∠G的度數(shù)（用含有α的式子表示）；②點(diǎn)E在直線AC上滑動，當(dāng)存在∠G時(shí)，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直接用含α的式子表示∠G的度數(shù)．6．（2022春?信陽期末）已知：如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的高，∠A＝∠DCB．（1）試說明∠ACB＝90°；（2）如圖2，如果AE是角平分線，AE、CD相交于點(diǎn)F．那么∠CFE與∠CEF的大小相等嗎？請說明理由．7．（2022春?鼓樓區(qū)期末）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）如圖④，直線AC、BD交于點(diǎn)O，∠ADB的三分線所在的直線與∠ACB的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接寫出∠DPC的度數(shù)．8．（2022?渦陽縣期末）如圖（a）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE＝25°，則∠ACB＝°；若∠ACB＝130°，則∠DCE＝°．（2）如圖（b）所示，若兩個(gè)同樣的三角板，將60°銳角的頂點(diǎn)A疊放在一起，則∠DAB與∠CAE有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由．（3）如圖（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是銳角）．若把它們的頂點(diǎn)O疊放在一起，則∠AOD與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．9．（2022春?豐澤區(qū)期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度數(shù)之比為2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如圖1，△DEF的邊DF在直線AB上，將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），完成下列問題．（1）在△ABC中，∠ACB＝°，∠BDC＝°；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)α＝°時(shí)，DE∥AC；當(dāng)α＝°時(shí)，DE⊥AC；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DE，DF分別交BC，AC的延長線于N，M兩點(diǎn)．①此時(shí)，α的取值范圍是；②∠CMD與∠CND之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請寫出該數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．（2022春?大豐區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝度；（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；（3）①如圖3，若∠ABC和∠DCB的角平分線交于點(diǎn)E，試求出∠BEC的度數(shù)；②在①的條件下，若延長BA、CD交于點(diǎn)F（如圖4）．將原來?xiàng)l件“∠A＝140°，∠D＝80°”改為“∠F＝40°”．其他條件不變．則∠BEC的度數(shù)為．11．（2022春?豐澤區(qū)期末）如圖，清晨小明沿著一個(gè)五邊形廣場周圍的小路，按逆時(shí)針方向跑步．（1）小明每從一條街道轉(zhuǎn)下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個(gè)角，在圖上標(biāo)出；（2）他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果廣場是六邊形、八邊形的形狀，那么還有類似的結(jié)論嗎？12．（2022春?井研縣期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，①當(dāng)x＜y時(shí)，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．13．（2022春?長春期末）如圖1，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B．【片斷一】（1）小孫說：由四邊形內(nèi)角和知識很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孫，得到的正確答案應(yīng)是：∠OBC+∠ODC＝°．【片斷二】（2）小悟說：連結(jié)BD（如圖2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．請你說明當(dāng)BD平分∠OBC時(shí)，BD也平分∠ODC的理由．【片斷三】（3）小空說：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我發(fā)現(xiàn)DE與BF具有特殊的位置關(guān)系．請你先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再判斷DE與BF有怎樣的位置關(guān)系并說明理由．14．（2022春?無錫期中）閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，則∠BDC＝．（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度數(shù)．15．（2022春?冠縣期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個(gè)有趣的問題做如下探究：【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O．求∠BOC的度數(shù)．（1）若∠A＝40°，請直接寫出∠BOC＝；【變式思考】（2）若∠A＝α，請猜想∠BOC與α的關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）已知：如圖2，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O，OD⊥OB，交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在CB的延長線上，作∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．若∠F＝β，猜想∠BAC與β的關(guān)系，并說明理由．16．（2022春?淅川縣期末）[規(guī)律探索]探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律：在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律．規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半；規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．[問題呈現(xiàn)]如圖①，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)，則∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°?1說明∠P＝90°+12∠∵BP、CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°?12∠∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠請你仔細(xì)閱讀理解上面的說理過程，完成下列問題：（1）上述說理過程中步驟①的依據(jù)是．（2）結(jié)合圖①，寫出說明∠M＝90°?12∠[拓展延伸]如圖②，點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角（∠ACD）平分線CQ的交點(diǎn)．若∠A＝50°，則∠Q的大小為度．17．（2022?驛城區(qū)校級期末）在圖1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)．（2）在圖2中，∠B＝x，∠C＝y(tǒng)，其他條件不變，若把“AD⊥BC于D”改為“F是AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D”，試用x、y表示∠DFE＝；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)F是AE延長線上一點(diǎn)，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．（4）在圖3中，分別作出∠BAE和∠EDF的角平分線，交于點(diǎn)P，如圖4．試用x、y表示∠P＝．18．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這兩個(gè)角互為“開心角”，這個(gè)三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．【理解】（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為°；（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為°；（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；【應(yīng)用】如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點(diǎn)E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長BA和DC交于點(diǎn)P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個(gè)開心角，設(shè)∠BAE＝∠α，求∠α的度數(shù)．19．（2022春?興化市期中）如圖，∠AOB＝n°，C、D兩點(diǎn)分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射線CE的反向延長線與射線（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度數(shù)；（2）若n＝75，則∠F＝．（3）隨著n的變化，∠AOB與∠F數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？如不變，請求出∠AOB與∠F的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．（2022?內(nèi)江期末）已知，如圖1，直線AB∥CD，E、F分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，∠AEF，∠CFE的平分線相交于點(diǎn)M．（1）求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，∠AEM，∠CFM的平分線相交于點(diǎn)M1，請寫出∠M1與∠M之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2中作∠AEM1，∠CFM1的平分線相交于點(diǎn)M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分線交于點(diǎn)M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分線交于點(diǎn)M2021，請直接寫出∠M2021的度數(shù)．21．（2022春?青龍縣期末）已知：△ABC中，圖①中∠B、C的平分線相交于M，圖②中∠B、∠C的外角平分線相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝°，∠BNC＝°．（2）若∠A＝β，試用β表示∠BMC和∠BNC．22．（2022春?承德縣期末）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí)，直接寫出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí)，猜想∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖②，在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接寫出∠N的度數(shù)．23．（2022春?農(nóng)安縣期末）探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是．拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在人MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點(diǎn)D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)．應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝．24．（2022春?平潭縣期末）已知直線a∥b，直角三角形ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB＝90°．（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG＝56°，則∠CEF＝；（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF＝180°，請寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝135°，延長AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動點(diǎn)，請用平行的相關(guān)知識，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．25．（2022春?鹽都區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．【問題情境】（1）如圖1，若∠A＝30°，則∠C的度數(shù)為．（2）如圖2，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，DE交CB的延長線于點(diǎn)F，DH平分∠FDC，交FC于點(diǎn)H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度數(shù)．【操作思考】（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，DE交CB的延長線于點(diǎn)F，分別作∠FDC、∠ABC的角平分線，兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)G，直線GB交CD于點(diǎn)M．試猜想∠DFC與∠DGB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（4）如圖4，若點(diǎn)E是AB延長線上的一點(diǎn)，（3）中的其余條件不變，請直接寫出∠DFC與∠DGB之間的等量關(guān)系式：．26．（2022春?興寧區(qū)校級期末）小穎在學(xué)習(xí)過程中，對教材中的一個(gè)有趣問題做如下探究：【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F．求證：∠CFE＝∠CEF；【變式思考】在△ABC中，若點(diǎn)D在AB上移動到圖2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分線AE交CD于點(diǎn)F．則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；【探究延伸】如圖3，在【變式思考】的條件下，△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點(diǎn)M．試判斷∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．27．（2022春?邗江區(qū)校級期中）已知：直線AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如圖1，三角板EFH的頂點(diǎn)H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點(diǎn)G，若∠2＝3∠1，則∠1的度數(shù)＝；（2）如圖2，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，且頂點(diǎn)H仍在直線CD上時(shí)，EF與直線CD相交于點(diǎn)M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，頂點(diǎn)H在AB、CD之間，而頂點(diǎn)E恰好落在直線CD上時(shí)得△EFH，在線段EH上取點(diǎn)P，連接FP并延長交直線CD于點(diǎn)T，在線段EF上取點(diǎn)K，連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點(diǎn)Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．①探求：∠HFT與∠AFE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：PQ∥FH．28．（2022春?阜寧縣校級月考）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B＝∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)；解：∵AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠B①①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12（∠B+∠【問題探究】如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】在圖4中，若設(shè)∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、29．（2022春?東臺市期中）（1）數(shù)學(xué)課上老師提出如下問題：如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B．①填空：∠OBC+∠ODC＝；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如圖1），試說明DE⊥BF．請你完成上述問題．（2）課后小佳和小芳對問題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，若把DE平分∠ODC改為DG分別平分∠ODC的外角，其他條件不變（如圖2），小佳和小芳發(fā)現(xiàn)BF與DG的位置關(guān)系發(fā)生了變化，請你判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說明理由．30．（2022春?萬州區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝50°，則∠1+∠2＝°；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？（3）若點(diǎn)P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運(yùn)動（CE＜CD），則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．專題7.9角度計(jì)算的綜合大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【蘇科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題所有類型！一．解答題（共30小題）1．（2022?金水區(qū)校級期末）“三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．有人曾利用如圖所示的圖形進(jìn)行探索，其中ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．請寫出∠ECB和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AGC＝2∠F，從而得到∠ACG＝2∠F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ECB＝∠F，再求出∠ACB＝3∠F，從而得解．【解答】解：∠ACB＝3∠ECB．理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．∵∠ACG＝∠AGC，∴∠ACG＝2∠F．∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠F．∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．故∠ACB＝3∠ECB．2．（2022春?渠縣期末）∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM、ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動，∠AEB＝135°；（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO＝60°，則∠D＝45°；②隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動，∠D的大小是否會變化？如果不變，求∠D的度數(shù)；如果變化，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②由①的思路可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠∴∠AEB＝135°；故答案為：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD＝∠CBN=1∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．3．（2022?永春縣期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，將三角板的頂點(diǎn)A放置在直線DE上．（1）如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)A，B），過點(diǎn)P作直線l∥DE，當(dāng)∠1＝8∠2時(shí)，求∠2的度數(shù)；（2）將三角板繞頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，并保持點(diǎn)B在直線DE的上方．過點(diǎn)B作FH∥DE（F在H的左側(cè)），求∠DAC與∠FBC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠BAE，然后根據(jù)平角是180°列出關(guān)于∠1與∠2的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分三種情況，點(diǎn)C在直線FH的上方，點(diǎn)C在直線FH與直線DE之間，點(diǎn)C在直線DE的下方．【解答】解：（1）∵l∥DE，∴∠2＝∠BAE，∵∠1+∠CAB+∠BAE＝180°，∠1＝8∠2，∠CAB＝45°，∴8∠2+45°+∠2＝180°，∴∠2＝15°，∴∠2的度數(shù)為15°；（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在直線FH的上方，如圖：設(shè)AC與FH交于點(diǎn)G，∵FH∥DE，∴∠DAC＝∠FGC，∵∠FGC＝∠C+∠FBC，∠C＝90°，∴∠DAC＝90°+∠FBC，當(dāng)點(diǎn)C在直線FH與直線DE之間，如圖：延長AC交FH于點(diǎn)M，∵FH∥DE，∴∠DAC＝∠HMC，∵∠BCA＝∠HMC+∠FBC，∠BCA＝90°，∴∠DAC+∠FBC＝90°，當(dāng)點(diǎn)C在直線DE的下方，如圖：設(shè)BC與DE交于點(diǎn)N，∵FH∥DE，∴∠FBC＝∠DNC，∵∠DNC＝∠C+∠DAC，∠C＝90°，∴∠FBC＝90°+∠DAC，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)C在直線FH的上方，∠DAC＝90°+∠FBC，當(dāng)點(diǎn)C在直線FH與直線DE之間，∠DAC+∠FBC＝90°，當(dāng)點(diǎn)C在直線DE的下方，∠FBC＝90°+∠DAC．4．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）平移是一種常見的圖形變換，如圖1，△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，連接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，則稱這樣的平移為“平分平移”．（1）如圖1，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，請問AC和A1C1有怎樣的位置關(guān)系：平行．（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度數(shù)．（4）如圖4，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，則∠BDC1＝45°+34α．（用含【分析】（1）直接根據(jù)平移的性質(zhì)：平移圖形中對應(yīng)線段平行或在同直線上，便可直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義求得∠ABO和∠AC1A1，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠OAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)依次求得∠BAC，∠AOB；（3）連接DO，與延長DO至E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)便可得到∠BOC、∠DBO、∠DCO、∠BDC四角的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果；（4）按照前面的方法依次用α表示∠BOC，∠DBO+∠DCO，進(jìn)而運(yùn)用（3）中方法便可求得∠BDC1．【解答】解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)知，AC∥A1C1，故答案為：平行；（2）∵∠ABC＝90°，A1B平分∠ABC，∴∠ABO＝45°，由平移知，∠ACB＝∠A1C1B1＝60°，∵AC1平分∠A1C1B1，∴∠AC1A1＝30°，由平移知AC∥A1C1，∴∠CAC1＝∠AC1A1＝30°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝75°；（3）連接連接DO，與延長DO至E，如圖，∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，∴∠OBD+∠OC1D=12（∠ABO+∠AC1A∵∠BOE＝∠OBD+∠ODB，∠C1OE＝∠OC1D+∠ODC1，∴∠BOE+∠C1OE＝∠OBD+∠ODB+∠OC1D+∠ODC1，即∠BOC1＝∠OBD+∠OC1D+∠BDC1，∵∠BOC1＝180°﹣∠AOB＝105°，∴105°＝37.5°+∠BDC1，∴∠BDC1＝67.5°；（4）∵∠BAC＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠ACB＝∠AC1B1，∠CAC1＝∠AC1B1，∴∠ABO+∠AC1A1＝∠ABO+∠CAC1=1∴∠BOC1＝∠ABO+∠BAO＝90°?12α+α＝90°+∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，∴∠OBD+∠OC1D=12×（90°?1∴∠BDC1＝∠BOC1﹣（∠OBD+∠OC1D）＝90°+12α﹣（45°?14α故答案為：45°+345．（2022春?如皋市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的邊AC于點(diǎn)D，E為直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E向直線AC的右邊作射線EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分線EG交射線BD于點(diǎn)G．（1）如圖1，∠ABC＝40°，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求∠G的度數(shù)；（2）若∠ABC＝α，①如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，求∠G的度數(shù)（用含有α的式子表示）；②點(diǎn)E在直線AC上滑動，當(dāng)存在∠G時(shí)，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直接用含α的式子表示∠G的度數(shù)．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）①利用（1）的結(jié)論求解；②結(jié)合以上兩問得出結(jié)論．【解答】解：（1）過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，則GH∥EF∥BC，∴∠HGB＝∠GBC，∵∠CEF的平分線EG，BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝20°，∠CEG=1所以∠G＝∠HGB+∠CEG＝20°+45°＝65°．（2）過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，①由（1）知：∠HGB＝∠GBC=12α，∠HGE＝∠∴∠G＝∠HGE﹣∠GBC＝45°?12②有變化．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，由①得：∠G＝45°?12當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，由（1）得：∠G＝45°+126．（2022春?信陽期末）已知：如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的高，∠A＝∠DCB．（1）試說明∠ACB＝90°；（2）如圖2，如果AE是角平分線，AE、CD相交于點(diǎn)F．那么∠CFE與∠CEF的大小相等嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)高定義求出∠CDA＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠CAE＝∠BAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根據(jù)對頂角相等求出即可．【解答】（1）解：∵CD是AB邊上的高，∴∠CDA＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；（2）解：∠CFE＝∠CEF，理由是：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），∴∠CEF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF．7．（2022春?鼓樓區(qū)期末）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝85°或100°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）如圖④，直線AC、BD交于點(diǎn)O，∠ADB的三分線所在的直線與∠ACB的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接寫出∠DPC的度數(shù)．【分析】（1）分為兩種情況：當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，當(dāng)BD′是“鄰BC三分線”時(shí)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可；（2）求出∠PBC+∠PCB＝90°，根據(jù)BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線求出∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，求出∠ABC+∠（3）畫出符合的所有情況，①當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，②當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，③當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，④當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，BD，BD'是∠ABC的“三分線”，∴∠ABD＝∠DBD'＝∠D'BC=13∠ABC∵∠A＝70°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+15°＝85°或∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+30°＝100°，故答案為：85°或100；（2）如圖③，∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∵BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=2∴23∠ABC+23∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；（3）四種情況：①如圖1，當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠ADB＝∠B+∠ACB，∵∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，∴66°+m°＝45°+∠ACB，∴∠ACB＝21°+m°，∴∠ACP=23∠ACB＝14°+∵∠AED＝∠CEP，∴∠A+∠ADE＝∠DPC+∠ACP，∴66°+13m°＝∠DPC+14°+∴∠DPC＝（52?13②如圖2，當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+13m°＝∠DPC+7°+∴∠DPC＝59°；③如圖3，當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+23m°＝∠DPC+14°+∴∠DPC＝52°；④如圖4，當(dāng)DP和CP分別是“鄰OD三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP由①知：∠ACB＝21°+m°，同理得：66°+23m°＝∠DPC+7°+∴∠DPC＝（59+13綜上，∠DPC的度數(shù)為59°或52°或（52?13m）°或（59+8．（2022?渦陽縣期末）如圖（a）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE＝25°，則∠ACB＝155°；若∠ACB＝130°，則∠DCE＝50°．（2）如圖（b）所示，若兩個(gè)同樣的三角板，將60°銳角的頂點(diǎn)A疊放在一起，則∠DAB與∠CAE有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由．（3）如圖（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是銳角）．若把它們的頂點(diǎn)O疊放在一起，則∠AOD與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根據(jù)∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（3）根據(jù)∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案為：155，50；（2）∠DAB+∠CAE＝120°，理由如下：∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．9．（2022春?豐澤區(qū)期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度數(shù)之比為2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如圖1，△DEF的邊DF在直線AB上，將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），完成下列問題．（1）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠BDC＝100°；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)α＝10°時(shí)，DE∥AC；當(dāng)α＝100°時(shí)，DE⊥AC；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DE，DF分別交BC，AC的延長線于N，M兩點(diǎn)．①此時(shí)，α的取值范圍是70°＜α＜100°；②∠CMD與∠CND之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請寫出該數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，再按比例分配進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；由垂直的定義以及三角形的內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（3）①根據(jù)“端值”檢測計(jì)算，即當(dāng)DE與CD重合時(shí)最小值，當(dāng)DF與CD重合時(shí)最大值；②連接MN，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度數(shù)之比為2：1：6，∴∠BAC＝180°×22+1+6=40°，∠ABC＝180°×12+1+6∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=12∠∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝60°+40°＝100°，故答案為：120°，100°；（2）當(dāng)DE∥AC時(shí)，∠BDE＝∠A＝40°，∵∠E＝90°，∠F＝60°．∴∠EDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴α＝40°﹣30°＝10°，即當(dāng)α＝10°時(shí)，DE∥AC；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，即DE與AC成90°的角，∠EDB＝90°+∠A＝130°，∴α＝130°﹣30°＝100°，即當(dāng)α＝100°時(shí)，DE⊥AC；故答案為：10，100；（3）①當(dāng)DE與CD重合時(shí)，α為最小值，∵∠BDE＝∠A+∠ACD＝100°，∴α＝100°﹣30°＝70°；當(dāng)DF與CD重合時(shí)，α為最大值，此時(shí)α＝100°，∴70°＜α＜100°，故答案為：70°＜α＜100°；②∠CMD+∠CND＝90°，理由如下：如圖，連接MN，∵∠MCN＝∠ACB＝120°，∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝60°，在△DMN中，∠DMN+∠DNM＝180°﹣∠MDN＝150°，∴∠CMD+∠CND＝150°﹣60°＝90°．10．（2022春?大豐區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝70度；（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；（3）①如圖3，若∠ABC和∠DCB的角平分線交于點(diǎn)E，試求出∠BEC的度數(shù)；②在①的條件下，若延長BA、CD交于點(diǎn)F（如圖4）．將原來?xiàng)l件“∠A＝140°，∠D＝80°”改為“∠F＝40°”．其他條件不變．則∠BEC的度數(shù)為110°．【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠C的度數(shù)，再除以2即可求解；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義和四邊形內(nèi)角和即可求解；（3）①根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義得到∠EBC+∠ECB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解，②根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線定義即可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．（2）∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．（3）①∵四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．②∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．11．（2022春?豐澤區(qū)期末）如圖，清晨小明沿著一個(gè)五邊形廣場周圍的小路，按逆時(shí)針方向跑步．（1）小明每從一條街道轉(zhuǎn)下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個(gè)角，在圖上標(biāo)出；（2）他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？（3）你是怎么得到的？（4）如果廣場是六邊形、八邊形的形狀，那么還有類似的結(jié)論嗎？【分析】（1）根據(jù)外角的定義即可求解；（2）（3）根據(jù)多邊形的外角和等于360度即可求解．【解答】解：（1）小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5；（2）他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360度；（3）∵∠1+∠BAE＝∠2+∠ABC＝∠3+∠BCD＝∠4+∠CDE＝∠5+∠DEA＝180°，∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝5×180°﹣540°＝360°；（4）如果廣場是六邊形、八邊形的形狀，那么他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和都是360度．12．（2022春?井研縣期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y（用含x、y的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，①當(dāng)x＜y時(shí)，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=12y?12x＝30°，進(jìn)而得出②當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)∠DFB不存在．【解答】解：（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y；故答案為：360°﹣x﹣y；（2）如圖1，延長DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=1又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，∴∠CDE＝∠CBF，又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝x+y，∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=12（x+如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，得∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+12（x+y）＝180°?12∴∠DFB=12y?解方程組：x+y=140°1解得：x=40°y=100°②當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)∠DFB不存在．13．（2022春?長春期末）如圖1，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B．【片斷一】（1）小孫說：由四邊形內(nèi)角和知識很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孫，得到的正確答案應(yīng)是：∠OBC+∠ODC＝180°．【片斷二】（2）小悟說：連結(jié)BD（如圖2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．請你說明當(dāng)BD平分∠OBC時(shí)，BD也平分∠ODC的理由．【片斷三】（3）小空說：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我發(fā)現(xiàn)DE與BF具有特殊的位置關(guān)系．請你先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再判斷DE與BF有怎樣的位置關(guān)系并說明理由．【分析】（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可求解；（3）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠CBM＝∠ODC，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）由四邊形內(nèi)角的性質(zhì)，得∠OBC+∠ODC＝180°，故答案為：180；（2）∵BD平分∠OBC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OM⊥ON，∴∠DOB＝90°，∴∠OBD+∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝∠CDB，∴BD平分∠ODC；（3）DE⊥BF，理由：如圖，延長DE交BF于G，，∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，∴∠CBM＝∠ODC，12∠CBM＝∠EBG=12∠ODC∵∠BEG＝∠DEC，∴△DEC∽△BEG，∴∠BGE＝∠DCE＝90°，∴DE⊥BF．14．（2022春?無錫期中）閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，則∠BDC＝120°．（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度數(shù)和是多少；然后根據(jù)∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，求出∠DBC、∠DCB的度數(shù)和是多少；最后在△BCD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BDC的度數(shù)是多少即可．（2）首先根據(jù)AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五邊形的內(nèi)角和減去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度數(shù)和；然后根據(jù)∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度數(shù)和；最后根據(jù)EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度數(shù)和；再用四邊形CDEF的內(nèi)角和減去∠FED、∠FCD、∠EDC的度數(shù)和，求出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120°；（2）∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵五邊形ABCDE的內(nèi)角和是540°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，∵∠EDC＝72°，∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°15．（2022春?冠縣期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個(gè)有趣的問題做如下探究：【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O．求∠BOC的度數(shù)．（1）若∠A＝40°，請直接寫出∠BOC＝110；【變式思考】（2）若∠A＝α，請猜想∠BOC與α的關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）已知：如圖2，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O，OD⊥OB，交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在CB的延長線上，作∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．若∠F＝β，猜想∠BAC與β的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，即可求得角度的大小．（2）將定角換成動角，同樣利用三角形內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，將角之間的關(guān)系表示出來．（3）在（2）結(jié)論基礎(chǔ)上，通過角平分線的性質(zhì)可求證FB∥OD，進(jìn)而得出∠COD＝∠F＝β，再由∠BAC＝2∠BOC﹣180°以及∠BOD＝90°即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵角平分線BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°，故答案為：110．（2）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠α，∵BO、CO是角平分線，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?∠OBC?∠OCB=90°+1（3）∠BAC＝2β．理由：由（2）結(jié)論可知：∠BOC＝90°+∠BAC∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°．∵OB、BF分別平分∠ABC和∠ABE，∴∠ABO=12∠ABC，∠ABF=1∴∠OBF＝∠ABO+∠ABF=12（∠ABC+∠ABE）∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°．∵BF∥OD，∴∠COD＝∠F＝β．∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝90°+β，∵∠BAC＝2∠BOC﹣180°，∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°＝2β．∴∠BAC＝2β．16．（2022春?淅川縣期末）[規(guī)律探索]探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律：在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律．規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半；規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．[問題呈現(xiàn)]如圖①，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)，則∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°?1說明∠P＝90°+12∠∵BP、CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°?12∠∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠請你仔細(xì)閱讀理解上面的說理過程，完成下列問題：（1）上述說理過程中步驟①的依據(jù)是三角形內(nèi)角和等于180°．（2）結(jié)合圖①，寫出說明∠M＝90°?12∠[拓展延伸]如圖②，點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角（∠ACD）平分線CQ的交點(diǎn)．若∠A＝50°，則∠Q的大小為25度．【分析】【問題呈現(xiàn)】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠3=12∠EBC，∠4=1【拓展延伸】根據(jù)角平分線的定義得到∠1=12∠ACD，2=12∠ABC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），求得∠Q＝∠1＝∠2，推出∠【解答】解：【問題呈現(xiàn)】（1）證明過程中步驟（2）的依據(jù)是三角形內(nèi)角和等于180°，故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°；（2）∵BM、CM是△ABC的外角平分線，∴∠3=12∠EBC，∠4=1∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，∴∠A+（180°﹣2∠3）+（180°﹣2∠4）＝180°，∴∠3+∠4＝90°+12∠∵∠3+∠4+∠M＝180°，∴∠M＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°?1【拓展延伸】∵CQ平分∠ACD，∴∠1=12∠∵BQ平分∠ABC，∴∠2=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），∵∠1＝∠2+∠Q，∴∠Q＝∠1＝∠2，∴∠A＝2∠Q，即∠Q=12∠故答案為：25．17．（2022?驛城區(qū)校級期末）在圖1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)．（2）在圖2中，∠B＝x，∠C＝y(tǒng)，其他條件不變，若把“AD⊥BC于D”改為“F是AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D”，試用x、y表示∠DFE＝12（x﹣y）（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)F是AE延長線上一點(diǎn)，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．（4）在圖3中，分別作出∠BAE和∠EDF的角平分線，交于點(diǎn)P，如圖4．試用x、y表示∠P＝14（3x﹣y）【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義得∠BAE=12∠BAC（2）用含x、y代數(shù)式表示∠BAC和∠AEB即可；（3）由（2）同理可得；（4）根據(jù)∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），得∠PAF=1【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAE=12∠BAC在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x?12（180°﹣x﹣y）＝90°?12∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+12x?12y=1故答案為12（x﹣y（3）成立，理由如下：∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x?12（180°﹣x﹣y）＝90°?12∴∠DEF＝∠AEB＝90°?12x+∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+12x?12y=1故答案為12（x﹣y（4）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠PAF=14（180°﹣x﹣∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°?14（180°﹣x﹣y）﹣x]=14（3故答案為：14（3x﹣y18．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這兩個(gè)角互為“開心角”，這個(gè)三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．【理解】（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為12°；（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為35或1103（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；【應(yīng)用】如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點(diǎn)E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長BA和DC交于點(diǎn)P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個(gè)開心角，設(shè)∠BAE＝∠α，求∠α的度數(shù)．【分析】（1）設(shè)最小角為α，由題意可得α+2α＝＝36°，求出α即為所求；（2）當(dāng)∠A是“開心角”，則最小角為35°；當(dāng)∠A不是“開心角”，設(shè)最小角為α，α+2α＝110°，α＝（1103（3）三角形另一個(gè)開心角是2∠A，第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；【應(yīng)用】由題意可得∠PAC＝180°﹣∠α，設(shè)∠PCA＝x，則x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分兩種情況討論：①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開心角時(shí)，∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，求得∠α＝48°或∠【解答】解：（1）設(shè)最小角為α，∵△ABC為開心三角形，∠A＝144°，∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，∴α＝12°，故答案為：12；（2）當(dāng)∠A是“開心角”，則最小角為35°；當(dāng)∠A不是“開心角”，設(shè)最小角為α，∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，∴α＝（1103故答案為：35或1103（3）∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，∴另一個(gè)開心角是2∠A，∴第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小內(nèi)角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【應(yīng)用】∵AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，∴∠PAC＝180°﹣∠α，設(shè)∠PCA＝x，∵CD平分△ABC的外角∠BCF，∴∠BCD＝∠CDF＝x，∴∠ACB＝180°﹣2x，∵∠P＝30°，∴180°﹣2∠α+x＝150°，∴x＝2∠α﹣30°，∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣（240°﹣3∠α）＝2∠α﹣60°，①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開心角時(shí)，∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠∴∠α=12（2∠α﹣60°）或∠α＝2（2∠解得∠α＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠∴∠α=12（240°﹣3∠α）或∠α＝2（240°﹣3∠解得∠α＝48°或∠α＝（4807綜上所述：40°或48°或（480719．（2022春?興化市期中）如圖，∠AOB＝n°，C、D兩點(diǎn)分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射線CE的反向延長線與射線（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度數(shù)；（2）若n＝75，則∠F＝50°．（3）隨著n的變化，∠AOB與∠F數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？如不變，請求出∠AOB與∠F的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD＝45°，接著利用鄰補(bǔ)角的定義求出∠ACD＝135°，最后利用已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠F；（2）利用和（1）的思路即可解決問題；（3）不會發(fā)生變化．設(shè)∠AOB＝x，∠CDO＝y(tǒng)，首先利用三角形內(nèi)角和定理得到∠OCD＝180°﹣x﹣y，然后利用鄰補(bǔ)角定義得到∠ACD＝x+y，最后利用已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可得到∠F=23x=2【解答】解：（1）在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，∴∠OCD＝45°，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝135°，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝90°，∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∠∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝40°；（2）若n＝75°，則∠F＝50°；∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，∴∠OCD＝105°﹣x，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝75°+x，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠ACD=23（75°+x∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝130°?23∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∠CDO=∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝50°；故答案為：50°；（3）不會發(fā)生變化．設(shè)∠AOB＝x，∠CDO＝y(tǒng)，在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝180°﹣x﹣y，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝x+y，∵∠ACE=13∠∴∠ECD=23∠ACD=23（∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝180°?23（x+∵∠FDO=13∠∴∠CDF=23∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F=23∴∠F=23∠20．（2022?內(nèi)江期末）已知，如圖1，直線AB∥CD，E、F分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，∠AEF，∠CFE的平分線相交于點(diǎn)M．（1）求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，∠AEM，∠CFM的平分線相交于點(diǎn)M1，請寫出∠M1與∠M之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2中作∠AEM1，∠CFM1的平分線相交于點(diǎn)M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分線交于點(diǎn)M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分線交于點(diǎn)M2021，請直接寫出∠M2021的度數(shù)．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義解決問題即可；（2）結(jié)論：∠M1=12∠M．如圖2中，過點(diǎn)M1作M1J∥（3）探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【解答】解：（1）如圖1中，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵∠AEF，∠CFE的平分線相交于點(diǎn)M，∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=1∴∠MEF+∠MFE=12（∠AEF+∠∴∠M＝180°﹣90°＝90°；（2）結(jié)論：∠M1=12∠理由：如圖2中，過點(diǎn)M1作M1J∥AB．∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，∵∠AEM，∠CFM的平分線相交于點(diǎn)M1，∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=1∵∠EM1J＝∠AEM1，∠JM1F＝∠CFM1∴∠EM1F＝∠AEM1+∠CFM1=12（∠AEM+∠CFM）（3）由（2）可知，∠M1=1同法可知，∠M2=12∠M1=1???，∠Mn＝（12）n當(dāng)n＝2021時(shí)，∠M2021＝（12）202121．（2022春?青龍縣期末）已知：△ABC中，圖①中∠B、C的平分線相交于M，圖②中∠B、∠C的外角平分線相交于N．（1）若∠A＝80°，∠BMC＝130°，∠BNC＝50°．（2）若∠A＝β，試用β表示∠BMC和∠BNC．【分析】（1）由角平分線的定義可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠M＝90°+12∠A，進(jìn)而可求解；由角平分線的定義可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠（2）由角平分線的定義可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠M＝90°+12∠A，進(jìn)而可求解；由角平分線的定義可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠【解答】解：（1）如圖①，∵∠B、∠C的平分線相交于M，∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=1∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BMC＝90°+12∠∵∠A＝80°，∴∠BMC＝130°；如圖②，∵∠B、∠C外角的平分線相交于N，∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=1∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠即∠BNC＝90°?12∠∵∠A＝80°，∴∠BNC＝50°；故答案為：130；50；（2）如圖①，∵∠B、∠C的平分線相交于M，∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=1∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BMC＝90°+12∠A＝90°+如圖②，∵∠B、∠C外角的平分線相交于N，∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=1∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠即∠BNC＝90°?12∠A＝90°?22．（2022春?承德縣期末）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí)，直接寫出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí)，猜想∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖②，在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接寫出∠N的度數(shù)．【分析】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)、對頂角相等解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算；（3）利用（2）的結(jié)論、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為∠PFD+∠AEM＝90°．如圖①，過點(diǎn)P作PH∥AB，又AB∥CD，則PH∥CD，∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，∵∠MPN＝90°，∴∠NPH+∠HPM＝90°∴∠PFD+∠AEM＝90°．（2）∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為∠PFD﹣∠AEM＝90°，證明：設(shè)PN與AB相交于點(diǎn)G，如圖②，∵AB∥CD，∴∠PFD＝∠PGB，∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°．（3）如圖②，由（2）得∠PFD＝90°+∠PEB＝120°，∵∠DON＝15°，∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝45°．23．（2022春?農(nóng)安縣期末）探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是30°．拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在人MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點(diǎn)D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)．應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝120°．【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計(jì)算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30°；（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為：120°．24．（2022春?平潭縣期末）已知直線a∥b，直角三角形ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB＝90°．（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG＝56°，則∠CEF＝126°；（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF＝180°，請寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝135°，延長AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動點(diǎn)，請用平行的相關(guān)知識，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【分析】（1）作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．（2）作CP∥a，由平行線的性質(zhì)及等量代換得∠AOG+∠NEF＝∠ACP+∠PCB＝90°．（3）分類討論點(diǎn)P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點(diǎn)P作a，b的平行線求解．【解答】解：（1）如圖，作CP∥a，∵a∥b，CP∥a，∴CP∥a∥b，∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝126°．故答案為：126°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：如圖，作CP∥a，則CP