中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型02 幾何圖形初步-雙角平分線-（原卷版+解析）

幾何圖形初步模型（二）——雙角平分線◎【結(jié)論1】如圖，已知OP為∠AOB內(nèi)一條射線，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，則∠MON=∠AOB【證明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+∠AOP=（∠BOP+∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等號左邊∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等號右邊∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】◎【結(jié)論2】如圖，已知OP為∠AOB外一條射線，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，則∠MON=∠AOB【證明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等號左邊∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等號右邊∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】1．(2023·全國·七年級專題練習）如圖，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，則∠BOC＝（

）A．5° B．10° C．15° D．20°2．(2023·全國·七年級課時練習）如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（

）A．∠DOE的度數(shù)不能確定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD1．(2023·山東·萬杰朝陽學校七年級階段練習）如圖，已知OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠AOD=30°，則∠AOB的度數(shù)為_______．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校期中）如圖，平分，OE平分，則的度數(shù)為_______．3．(2023·重慶彭水·七年級期末）如圖，已知，，OB平分，OD平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·七年級課時練習）把一副三角尺按如圖所示拼在一起，如圖，其中B，C，D三點在同一條直線上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．（1）若CM和CN分別平分∠ACB和∠DCE，如圖1，則∠MCN的度數(shù)為___________；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如圖2，則∠MCN的度數(shù)為___________．1．(2023·山西·一模）已知中，射線在內(nèi)部，是的平分線，是的平分線．（1）若如圖1，求的度數(shù)；（2）若在（1）的基礎(chǔ)上增加了，如圖2，求的度數(shù)；（3）若射線在的外部，如圖3(與在直線的同側(cè))，求的度數(shù)．2．(2023·四川南充·一模）已知是內(nèi)部任意的一條射線，，分別是、的平分線.（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù).3．(2023·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，點，，在同一條直線上，，，是的平分線.（1）求的度數(shù)；（2）是的平分線嗎？為什么？（3）請直接寫出圖中所有與互余的角.幾何圖形初步模型（二）——雙角平分線◎【結(jié)論1】如圖，已知OP為∠AOB內(nèi)一條射線，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，則∠MON=∠AOB【證明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+∠AOP=（∠BOP+∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等號左邊∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等號右邊∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】◎【結(jié)論2】如圖，已知OP為∠AOB外一條射線，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，則∠MON=∠AOB【證明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等號左邊∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等號右邊∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】【典例】1．(2023·全國·七年級專題練習）如圖，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，則∠BOC＝（

）A．5° B．10° C．15° D．20°答案:C分析利用角平分線得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC，利用角的和差求得∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC，即可求出∠BOC．【詳解】解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD=2∠BOC，∵OB平分∠AOD，∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC，∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°，∴∠BOC=∠AOC=15°，故選：C．【點睛】此題是角平分線的定義，解本題的關(guān)鍵是找到角與角之間的關(guān)系，也可以方程的思想解決本題．2．(2023·全國·七年級課時練習）如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（

）A．∠DOE的度數(shù)不能確定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD答案:C分析依據(jù)OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，結(jié)合選項得出正確結(jié)論．【詳解】∵OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故選C．【點睛】本題考查了角的平分線的性質(zhì)，理解角平分線將角分成相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．1．(2023·山東·萬杰朝陽學校七年級階段練習）如圖，已知OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠AOD=30°，則∠AOB的度數(shù)為_______．答案:120°分析根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC，同理可得∠AOB．【詳解】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=30°，∴∠AOC=2∠AOD=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=120°，故答案為：120°．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校期中）如圖，平分，OE平分，則的度數(shù)為_______．答案:30°##30度分析根據(jù)角平分線的定義可知：，可求得，由此即可求得．【詳解】解：∵，平分，∴，∴，∵OE平分，∴，故答案為：30°．【點睛】本題主要考查的是角平分線的定義，利用定義進行求角度是解題的關(guān)鍵．3．(2023·重慶彭水·七年級期末）如圖，已知，，OB平分，OD平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:C分析根據(jù)，OB平分，可知，根據(jù)，OD平分，可知，由此可以求出．【詳解】解：∵，OB平分，∴；∵，OD平分，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵在于掌握角平分線的定義．4．(2023·全國·七年級課時練習）把一副三角尺按如圖所示拼在一起，如圖，其中B，C，D三點在同一條直線上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．（1）若CM和CN分別平分∠ACB和∠DCE，如圖1，則∠MCN的度數(shù)為___________；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如圖2，則∠MCN的度數(shù)為___________．答案:

52.5°分析(1)利用角平分線的定義求出∠ACM、∠ECN，可得結(jié)論；(2)利用角平分線的定義求出∠BCM、∠CAN，可得結(jié)論．【詳解】（1）CM和CN分別平分∠ACB和∠DCE，∠ACB=45°，∠DCE=60°∴，∴.（2），∴，CM平分∠BCE∴∴同理則∴.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．1．(2023·山西·一模）已知中，射線在內(nèi)部，是的平分線，是的平分線．（1）若如圖1，求的度數(shù)；（2）若在（1）的基礎(chǔ)上增加了，如圖2，求的度數(shù)；（3）若射線在的外部，如圖3(與在直線的同側(cè))，求的度數(shù)．答案:（1）45°；（2）；（3）分析（1）根據(jù)角平分線的定義進行角度的計算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義進行角度的計算即可得解；（3）根據(jù)角平分線的定義進行角度的計算即可得解.【詳解】（1）是的平分線，是的平分線，∴，；（2）同（1）得，；（3）是的平分線，是的平分線，.【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的角度計算方法是解決本題的關(guān)鍵.2．(2023·四川南充·一模）已知是內(nèi)部任意的一條射線，，分別是、的平分線.（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù).答案:（1）50°；（2）.分析（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得和的度數(shù)，然后可求出的度數(shù)；（1）根據(jù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵、分別是、的平分線∴，∵，∴∴

（2）∵、分別是、的平分線∴、．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和等量代換，熟練掌握并準確計算是解題的關(guān)鍵．3．(2023·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，點，，在同一條直線上，，，是的平分線.（1）求的度數(shù)；（2）是的平分線嗎？為什么？（3）請直接寫出圖中所有與