中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

專題(九)二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

1.(2021?陜西)已知拋物線y=-*2+2x+8與x軸交于點A,B(點4在點8的左側(cè))，

與y軸交于點C.

(1)求點5,C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點C與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱.在j軸上是否存在點P,使

與APOB相似，且PC與PO是對應(yīng)邊？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

解：(l)Vj=-x2+2x+8,令x=0,y=8,，C(0,8),令y=0,即一嚙+2*+8=0,

解得*1=-2,刈=4,：.B(4,0)

PCPO

(2)存在點P,設(shè)P(0,y),'：CC'//OB,且PC與尸。是對應(yīng)邊，=而，即

也產(chǎn)=與，解得yi=16,J2=y，二尸(0,16)或尸(0,y)

2.(2021?泰安)二次函數(shù)了="2+法+4(0#0)的圖象經(jīng)過點火一4,0),B(l,0),與y

軸交于點C,點尸為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接8P,AC,交于點Q,過點尸作尸。丄x

軸于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接8C,當(dāng)NOP8=2/BCO時，求直線8P的表達式；

(3)請判斷：債是否有最大值，如有，請求出有最大值時點P的坐標(biāo)；如沒有，請說

明理由.

解：(1):?二次函數(shù)》=。*2+心+43￡0)的圖象經(jīng)過點A(-4,0),8(1,0),:.

16〃-4)+4=0,(a=—l

a+b+4=(),解得]/>=一39,

二該二次函數(shù)的表達式為y=-x2-3x+4

(2)如圖，設(shè)8尸與y軸交于點E,,.,PD〃y軸，...NOP8=NOE8,丫/。08=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,:.NECB=NEBC,：.BE=CE,設(shè)OE=a,貝！JCE=4—a,：.BE=4

-a,在RtZ\80E中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,.,.(4-a)2=a2+l2,解得”=今，

o

；15

_15%=卞

=~89

：.E(0,v)，設(shè)BE所在直線表達式為尸厶+e(20),解得，

O_15

、A+e=0,=~89

直線8P的表達式為產(chǎn)一竽x+y

⑶■有最大值.設(shè)PO與4c交于點N,過點8作y軸的平行線與AC相交于點M,

〃—4=〃%z+〃=0,解得］m=l,

設(shè)直線AC表達式為》="a+",VA(-4,0),C(0,4),:.

〃=4,

二直線4c表達式為y=x+4,點的坐標(biāo)為(1,5),：.BM=5,?:BM//PN,:.4PNQ

pgPNPO

sABMQ,：?°B=~BM9設(shè)P(0o，—a。?—3ao+4)(-4Va()V0),則N(〃o,〃o+4),/.

—Go2—3。。+4—(〃o+4)—。(/―4。0—(ao+2)2+4，，當(dāng)a?=-2時，卷有

55

最大值，此時，點尸的坐標(biāo)為(-2,6)

3.(2021?連云港)如圖，拋物線(6/+9)與x軸交于點A,&與y

軸交于點&已知于3,0).

(1)求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)尸為拋物線上一點，若SWKC=SAABC，請直接寫出點尸的坐標(biāo)

解：(1)將8(3,0)代入,=加爐+(“產(chǎn)+3)工一(6機+9),化簡，得〃產(chǎn)+機=0,則機=0(舍

去)或m=-l,:?m=-l,Aj=-x2+4x—3./.C(0,-3),設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y

(O-=33A?+Z>,Hk=l,

=kx+b,直線經(jīng)過點5(3,0),C(0,-3),,、直線3c的

b=-3,

函數(shù)表達式為y=x-3

(2)如圖，過點A作APi〃3C,設(shè)直線AB交y軸于點G,將直線3C向下平移GC個

單位，得到直線P2P3.由⑴得直線〃C的表達式為y=x-3,A(l,0),???直線AG的表達式

x=x=2,

為y=x-L聯(lián)立，解得，=0或,，Pi(2,1)或(1,0),由直線

y=l,

AG的表達式可得G(0,—1),，GC=2,，。"二？，.?.直線P2P3的表達式為：y=x-5,聯(lián)

“3-亞「=3+河

L2'2，3一遮

解得4

立或《,l??尸2(~彳—

-7-^17-7+V172

1尸2U=2'

一二回),尸3(耳亙，二中亙),綜上可得，符合題意的點尸的坐標(biāo)為：(2,1),(1,

3一遮-7-53+回一7+遮

0),(2，2)，(2，2)

(3)如圖，取點。使NACQ=45°,作直線CQ,過點A作A。丄C。于點。，過點。作

OF丄x軸于點尸，過點C作CE丄O產(chǎn)于點E,則△AC。是等腰直角三角形，...AZ)=CD,

A△CDE^ADAF(AAS),：.AF=DE,CE=OF.設(shè)OE=A/=a,由OA=L貝!ICE=。尸

=a+L由OC=3,則OF=3-a,，a+l=3—a,解得a=l.，0(2,-2),又C(0,—3),

，直線CD對應(yīng)的表達式為x—3,設(shè)Q(〃，；n-3),代入y=—*2+4*—3,n—3

=—"2+4”-3,整理得“2"=0.又"#0,則"=1，二QA，—4)

4.(2021?東營)如圖，拋物線y=—；J^+AX+C與x軸交于A,5兩點，與y軸交于點

C,直線y=—;x+2過B,C兩點，連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：△AOCs/viCS；

(3)點M(3,2)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線8c上方的一點，過點D

作OE丄x軸交直線5C于點E,點尸為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)線段OE的長度最大時，

求PD+PM的最小值.

解：(1),.,直線y=—；x+2過8,C兩點，當(dāng)x=0時，y=2,即C(0,2),當(dāng)y=0時,

x=4,即B(4,0),把8(4,0),C(0,2)分別代入》=一；x2+Z>x+c,得

—8+4》+c=0,

C=2,

解得卜=亍

[c=2,

.?.拋物線的解析式為〉=一；ix2+^1x+2

1313

(2)，.?拋物線y=—5必+]x+2與x軸交于點A,，-5/+,x+2=0,解得xi=-1,

M=4,.?.點4的坐標(biāo)為(一1,0),：.AO=1,48=5,在RtZXAOC中，AO=L0C=2,

：,AC=y[5，，斃=害，?.嘰=坐，，斃=晉，又,?,N04C=NC4B,

AC-x/53A"3ACAn

△AOCsAACB

(3)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,—1x2+|x+2),則點E的坐標(biāo)為(x,—；#+2),?,./)￡=一；

x2+1x+2—(一；x+2)=—；^2+2x=—1(x—2)2+2,V-1<0,???當(dāng)x=2時，線段

OE的長度最大，此時，點。的坐標(biāo)為(2,3),VC(0,2),M(3,2),.,.點C和點M關(guān)于

對稱軸對稱，連接C。交對稱軸于點尸，此時尸O+PM最小，連接CM交直線OE于點F,

則/。以7=90°,點尸的坐標(biāo)為(2,2),...CD=yCF2+OF2=下,,：PD+PM=PC+PD

=CD,.?.PO+PM的最小值為小

5.(2021?眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線了=”+/+4(存0)經(jīng)過點

A(—2,0)和點8(4,0).

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)點尸為該拋物線上一點(不與點C重合)，直線CP將△A5C的面積分成2：1兩部分,

求點尸的坐標(biāo)；

(3)點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿)，軸移動，運動時間為f秒，當(dāng)N0C4

=N0C3-N0MA時，求f的值.

解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-4)=a*2-2ax—8a,即-8a=4,解得”=一

|,故拋物線的表達式為產(chǎn)+*+4①

(2)由點A,〃的坐標(biāo)知，OB=2OA,故CO將aABC的面積分成2：1兩部分，此時,

點尸不在拋物線上；如圖①，當(dāng)AB=2時，C”將△A5C將△48C的面積分成2：1

兩部分，即點”的坐標(biāo)為(2,0),則C”和拋物線的交點即為點尸，由點C,”的坐標(biāo)得，

直線CH的表達式為y=-2x+4②，聯(lián)立①②并解得一：或一:(舍去)，故點尸的

j=-8[y=4

坐標(biāo)為(6,-8)

(3)在點OB上取點￡(2,0),則NACO=NOCE,???NOCA=NO。區(qū)一NOMA,故NOM4

=NECB,過點E作EH丄3c于點H,在△5CE中，由O3=OC知，NO3C=45°,則

EH=^EB=*(4-2)=啦=BH,由點3,。的坐標(biāo)知，BC=4y/2,貝!J。"=5。一3"

=3y[29則tanNECB==?^rr=tanZ.OMA,則tanA.OMA=7)T7=T,

l?，丄y\l厶CX/KfVZXFJIJ

則QW=6,故CM=OM±OC=6±4=2或10,貝ljf=2或10

6.(2021?玉林)已知拋物線：》二“-^^一面團::^與了軸交點為厶，8(點A在點8的

左側(cè))，頂點為D

(1)求點A,8的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

(2)若直線y=—；x與拋物線交于點M,N,且M,N關(guān)于原點對稱，求拋物線的解析

式；

(3)如圖，將(2)中的拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點O'在直線/：y=太上，

設(shè)直線/與y軸的交點為O',原拋物線上的點尸平移后的對應(yīng)點為點。，若O'P=O'Q,

求點P,。的坐標(biāo).

解：(1)令y=0,則有ax?—3or—4a=0,即r2—3x—4=0,解得*i=—1,必=4,:.

—1+43

A(-l,0),5(4,0),對稱軸為直線x=―2—

y=ax2—3ax—4a,

3即荘

{產(chǎn)一步，

3

-

323〃一主

一2又'??點M,N關(guān)于原點對稱，工一--=0,*.a=

1)A13

---

2尸22

(3)Vj=1》2一5x-2=1(X一,產(chǎn)一專,由題意得向上平移后的拋物線解析式為y=

///NO

137

-卩

-十-???拋物線向上平移了4個單位長度，設(shè)尸(X,\"2一|x—2),則Q(\x2

22/8Xf

3713137

-Tx+2),由題意得O'(0，G),'：O'P=O'Q,：.zX2-Zx-2+zx2-zX+2=2XQ,

LoLLLLO

解得X1=-g,X2=g,若X=-3，則y=；X2~2X~2=2X(_3)2_2X(—2)—2=

91Q123713|737

-X，工PL3，-x)，2(—Q，『)，若x=Q，貝廿=Qx2—zX—2=7X(r)2—~XT

—2=—|,：.P^,—1),Q(W,y),綜上,P(—1,—|),Q(—j,y)或P(1,

)，0(2-)

7.(2021?南充)如圖，已知拋物線＞=&+h+4(“#0)與x軸交于點4(1,0)和8,與y

軸交于點C,對稱軸為直線x=1.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖①，若點尸是線段3c上的一個動點(不與點B,C重合)，過點尸作y軸的平行

線交拋物線于點Q,連接0Q,當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理

由；

(3)如圖②，在⑵的條件下，。是0C的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E,且NOQE

=2NO〃Q.在y軸上是否存在點尸，得為等腰三角形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

圖①圖②

。+5+4=0,_

解：(1)由題意得：＜一85解得，.故拋物線的表達式為)=d一5%+4①

—5,

⑵對于y=/—5X+4,令y=p—5X+4=0,解得x=l或4,，點B的坐標(biāo)為(4,0),

|/=4,

令E則尸4,.?.點Q。，4),設(shè)直線BC的表達式為尸身，，則…°,解得

\k=-