《應(yīng)用微積分》9.2一階微分方程

常微分方程第9章主講教師：

第9章常微分方程概念反思理論回味經(jīng)典探究方法縱橫前景展望9.2一階微分方程可別離變量型方程12一階線性微分方程3伯努利方程4

齊次微分方程

一階微分方程的一般形式為本節(jié)僅討論幾種特殊類型的一階微分方程的求解問題。另一形式一階微分方程的初值問題可表示為轉(zhuǎn)化解別離變量方程形如的方程稱為可別離變量方程。求解思路：9.2.1可分離變量型方程別離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)是方程①的解,兩邊積分,得①那么有恒等式②那么有稱②為方程①的通解,或通積分.

將原方程別離變量，得兩端積分，得原方程的通解為【注】

1)方程的解可以是以隱式形式給出。2)積分后要加常數(shù)C，可寫成特殊形式，如lnC等。例9.5解原方程變形為兩端積分得通解為

原方程的特解為代入初始條件得例9.6解一曲線經(jīng)過點它在兩坐標軸之間的任一切線段均被切點所平分，求此曲線的方程。軸的設(shè)切線與設(shè)所求曲線的方程為那么曲線上點處的切線方程為交點為A，軸的與交點為B，那么A的坐標為，B的坐標為因為是線段的中點，所以，別離變量得兩端積分得所以通解為解例9.7將初始條件代入，得所以曲線方程為形如的方程叫做齊次方程.

但是,如何求解齊次方程呢？9.2.2齊次微分方程令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:別離變量:解微分方程那么有別離變量積分得代回原變量得通解顯然

y=0,也是原方程的解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中喪失了.解例9.8注意原方程化為即積分，得回代得方程的通解求微分方程的通解令解例9.9

一階線性微分方程標準形式:假設(shè)Q(x)0,若Q(x)

0,稱為一階非齊次線性微分方程.稱為一階齊次線性微分方程;1.齊次方程的通解別離變量兩邊積分得故通解為9.2.3一階線性微分方程2.非齊次方程非齊次方程和齊次方程有著密切的對應(yīng)關(guān)系，通過常數(shù)變易法來揭示這種聯(lián)系。第二步，

常數(shù)變易法的步驟：第一步，先求齊次方程的通解將中的C改為表示非齊次方程的解的通解對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解用常數(shù)變易法:那么故原方程的通解即即作變換兩端積分得結(jié)論：非齊次通解等于齊次通解加上非齊次特解。

〔常數(shù)變易法〕

表示非齊次通解，表示齊次通解，表示非齊次特解。求微分方程的通解先求齊次方程通解為令解例9.10通解為：〔公式法〕

解得原方程變形為由公式法解

直接利用公式得原方程的通解：

通解為求微分方程的通解代入初始條件得解例9.11

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.方法:(線性方程)9.2.4伯努利方程

那么通解為。解例9.12

故原方程的解為代入原方程得令那么求微分方程的通解。解例9.13可別離變量型方程的解法；齊次微分方程的解法；

一階線性微分方程的解法；

伯努利方程的解法；

齊次和非齊次線性微分方程

內(nèi)容小結(jié)1．求以下微分方程的通解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕習題9.22．求以下微分方程所給初始條件的特解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3．求以下齊次方程的通解

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4．求以下齊次方程滿足所給初始條件的特解：〔1〕〔2〕5．求以下線性微分方程的通解〔1〕〔