數(shù)形結合-化難為易

學科論文：小學數(shù)學學科學科論文：小學數(shù)學學科數(shù)形結合化難為易-----淺談數(shù)形結合思想在小學低段教學中的應用【摘要】美國數(shù)學家斯蒂恩說過:“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形,那么思想就整體地把握住了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”數(shù)形結合是數(shù)學中一種重要的思想方法。它將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使代數(shù)問題幾何化或使幾何問題代數(shù)化，為問題解決提供簡潔明快的途徑。【關鍵詞】數(shù)形結合低段數(shù)學低年級學生數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系〔數(shù)〕和空間形式〔形〕，數(shù)是數(shù)量關系的表達，而形那么是空間形式的表達。“數(shù)”和“形”是研究數(shù)學的兩個側面，利用數(shù)形結合能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，可以使所要解決的問題化難為易，化繁為簡，思維廣闊。華羅庚教授對此有精辟概述：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！痹谛W生的認知結構中，數(shù)和形是兩個緊密聯(lián)系、互相依賴、互相促進的局部。因為一方面小學生的抽象思維還不太興旺，學習抽象的數(shù)學知識時還必須有形象的支持；另一方面，形象化的實例很容易引起學生的興趣，愉快的情感能引發(fā)學生的有意注意，激發(fā)學生學習的積極性。因此要根據(jù)解決問題的需要，把數(shù)量關系的問題轉化為圖形的性質問題來研究，也可把圖形的性質問題轉化成數(shù)量關系的問題來研究，數(shù)形結合才能真正發(fā)揮其作用。一、在數(shù)的認識教學時利用數(shù)形結合，幫助學生建立數(shù)感。數(shù)感主要指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估算等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系?！稊?shù)學課程標準》把培養(yǎng)學生的數(shù)感作為義務教育階段數(shù)學教育的一個重要目標。只有為學生提供充分的可感知的現(xiàn)實背景，才能使學生真正理解數(shù)的感念。例如：在一年級上冊中，學生剛學習數(shù)學知識時，教材首先就是通過數(shù)與物〔形〕的對應關系，初步建立起數(shù)的根本概念，認識數(shù)，學習數(shù)的加減法；通過具體的物〔形〕幫助學生建立起初步的比擬長短、多少、高矮等較為抽象的數(shù)學概念；通過圖形的認識與組拼，在培養(yǎng)學生初步的空間觀念的同時，也初步培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想，幫助學生把數(shù)與形聯(lián)系起來，數(shù)形有機結合。在以后年級的學習中，隨著學生年齡的增長，思維能力的不斷提高，數(shù)與形的結合就更加廣泛與深入。

如：北師大版一上第一單元《生活中的數(shù)》，從直觀模型中培養(yǎng)學生的數(shù)感。

又如：北師大版二下第四單元《生活中的大數(shù)》二、在概念學習時利用數(shù)形結合，幫助學生形成概念。建構主義認為學生學習活動的本質是：學習并非對于教師所授予的知識的被動接受，而是學習者以自身已有的知識和經驗為根底的主動建構過程。學生在進入小學學習之前，他們的知識根本上是建立在現(xiàn)實生活中客觀事物上的。其知識特點是直觀形象，看得見，摸得著。而進入小學階段，教師如果運用數(shù)形結合來引入新知、建構概念、解決問題，就相當于在原有的知識體系上添磚加瓦，新知識的學習就變得更簡單。這樣新學的知識就會具有較高的穩(wěn)定性和牢固性，而我們也到達了所需的教學效果，也就是所謂深入淺出。在三年級上冊分數(shù)的初步認識中，通過具體的形的操作與實踐，讓學生充分理解“平均分”，幾分之一，幾分之幾等數(shù)學概念，掌握運用分數(shù)大小的比擬，分數(shù)的意義，分數(shù)的加減等，使數(shù)形緊密地結合在一起，把抽象的數(shù)學概念直觀地呈現(xiàn)在學生面前，幫助學生理解掌握分數(shù)的知識?！景咐浚航虒W三年級上冊“認識幾分之一”時，因為這節(jié)課是分數(shù)的初步認識，所以我強調“數(shù)形結合”，通過簡單明確的直觀圖形逐步幫助學生建立起分數(shù)的概念。我先用一個圓代表一個餅，當著學生的面把這個餅對折后剪開成兩半，這半個餅不能用整數(shù)來表示。告訴學生：把一個餅平均分成兩份，取其中的一份〔半個〕，就是這個餅的二分之一，讓學生初步感知二分之一。然后讓學生動手操作，用自己喜歡的紙折出二分之一，涂上顏色，進一步理解。接著順應學生好表現(xiàn)的特性，放手讓學生動手操作，創(chuàng)造分數(shù)，互動交流。我有選擇地把學生的作品貼在黑板上，然后有選擇地讓學生說說這些分數(shù)是怎樣來的，既尊重了學生的個性，又使學生建構了豐富的分數(shù)表象。最后引導學生進行小結，指著左邊的一組圖問學生：這些圖形的形狀各不相同，為什么涂色局部都能用二分之一表示？然后指著四分之一的圖再問：明明折法不同，每一份的形狀也不同，為什么都可以用四分之一來表示呢？使學生明白兩點：①不同的圖形可以表示相同的分數(shù)，相同圖形的不同分法也可以表示同一個分數(shù)；②把一個圖形平均分成幾份，每份就是幾分之一。逐步去除分數(shù)的非本質屬性，促進學生對分數(shù)本質含義的理解。從學生的思維活動過程來看：在這個片段中，學生經歷了由具體到抽象的思維過程，也就是由直觀的圖像，抽象成幾分之一，經歷了由一般到特殊的思維過程。這樣數(shù)形緊密地結合在一起，把抽象的數(shù)學概念直觀地呈現(xiàn)在學生面前，幫助學生理解掌握分數(shù)的知識。三、在運算、歸納法那么時利用數(shù)形結合，使學生理解算理。算理是四那么運算的理論依據(jù)，它由數(shù)學概念、運算定律、運算性質等構成；運算法那么是四那么運算的根本程序和方法。在教學時，教師應以清晰的理論指導學生理解算理，在理解算理的根底上掌握計算方法，正所謂“知其然，知其所以然。數(shù)形結合，是幫助學生正確理解算理的一種很好的方式。四、在解決問題時利用數(shù)形結合，提高學生數(shù)學思維能力。小學生在解決問題的過程中，實際上完成了兩個認識上的轉化。第一個轉化是指從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比擬、篩選出有用的信息，從而抽象成數(shù)學問題；第二個轉化是根據(jù)已抽象出來的數(shù)學問題，全面分析其中的數(shù)量關系，探索出解決問題的方法并求解。運用數(shù)形結合有時能使數(shù)量之間的內在聯(lián)系變得比擬直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數(shù)量關系的問題，或者把數(shù)量關系的問題轉化為圖形的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。線段圖也是小學數(shù)學常用的一種揭題策略。線段圖可以使抽象問題具體化、復雜關系明朗化，為正確解題創(chuàng)造條件，尤其在學習分數(shù)、百分數(shù)應用問題時，學生只要把局部與整體的關系、具體數(shù)量與比率的對應關系正確地表示出來，問題解決的任務便完成了一半。例如：在低段教學有關“倍”的應用問題時，線段圖也能很好地發(fā)揮作用。教師提出“有多少只蜜蜂”的問題，要求學生找出相關的數(shù)學信息，“小鳥有8只”，蜜蜂說“我們的只數(shù)是小鳥的3倍”。學生根據(jù)這種背書關系畫出示意圖，列出算式。又如植樹問題，就是從圖形中總結出解決方法。先模擬植樹，得出線上植樹的三種情況?！癬__”代表一段路，用“\”代表一棵樹，畫“\”就表示種了一棵樹。讓學生在這段路上種上四棵樹，想想、做做，你能有幾種種法？學生操作，獨立完成后，在小組里交流說說你是怎么種的？師反應，實物投影學生擺的情況。師根據(jù)學生的反應相應地把三種情況都貼于黑板：①\___\___\___\兩端都種②\___\___\___\___或___\___\___\___\一端栽種③___\___\___\___\___兩端都不種師生共同小結得出：兩端都種：棵數(shù)＝段數(shù)＋1；一端栽種：棵數(shù)=段數(shù)；兩端都不種：棵數(shù)=段數(shù)—1。如鋸木頭、路邊植樹、上樓梯等問題，通過“形”的教學收到了明顯的效果，使得學生思維開展有了憑借，也使得數(shù)學學習的思想方法真正得以滲透。為了提高“數(shù)形結合”教學的效果，教師在平時教學中要特別注意以下幾點：(1)經常使用直觀模型。在日常教學中，教師應有意識地引導學生認識多種直觀模型。例如：實物、點子圖、面積模型和數(shù)線等。這些模型在課堂上不斷呈現(xiàn)，可以使學生認識到數(shù)學學習中直觀模型的重要作用?！?〕鼓勵使用多元表征。這樣有助于培養(yǎng)學生用自己的方式解決問題的興趣，它是未來學習的根底。〔3〕培養(yǎng)數(shù)形轉化意識。在日常教學中，應結合具體內容，有意識地引導學生見數(shù)想形、因形思數(shù)，培養(yǎng)學生數(shù)形相互轉化的意識?？傊皵?shù)”輔助“形”，可以將“數(shù)”形象化；“形”輔助“數(shù)”，可以使“數(shù)”直觀化。數(shù)形結合既是教師教學中的一種重要手段，也是學生數(shù)學學習的目的。在具體教學中，教師要根據(jù)自己對數(shù)學及學生情況的理解，找到數(shù)形結合的關鍵點，促進學生思維的開