9.5 多項式的因式分解-蘇科版數(shù)學七年級下冊同步課件

第9章整式乘法與因式分解9.5多項式的因式分解因式分解公因式提公因式法分解因式運用平方差公式分解因式運用完全平方公式分解因式因式分解的一般步驟知識點因式分解11.定義把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解一個是積化和差，另一個是和差化積，是兩種互逆的變形.即：多項式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結(jié)果的正確性.特別解讀：①分解的結(jié)果一定是積的形式；②每個因式必須是整式；③各因式要分解到不能再分解為止(它與分解因式所要求的數(shù)集有關(guān)，本節(jié)的分解因式僅限于有理數(shù)范圍內(nèi)).

A真題1解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別.解法提醒：識別因式分解的兩個關(guān)鍵詞：●“多項式”說明等式的左邊是多項式，即分解的對象是多項式.●“整式的積”說明右邊的結(jié)果是整式的積.一句話：因式分解是整式的和差化積的變化過程.

B真題2思路點撥：還沒有學習因式分解的方法，要判斷因式分解的正確性，可以通過逆向變形(整式乘法)檢驗因式分解是否正確.解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進行判斷.解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相等的只有選項B.知識點公因式21.定義一個多項式中各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式.●●●●●特別解讀：1.公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式．2.若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.2.公因式的確定方法(1)確定公因式的系數(shù)：若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的．3.注意：若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y).例1指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y-3ya+6y；解：3，6的最大公約數(shù)是3，所以公因式的系數(shù)是3；有相同字母y，并且y的最低次數(shù)是1，所以公因式是3y.

(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；解：觀察發(fā)現(xiàn)三項都含有x-y，且x-y

的最低次數(shù)是2，所以公因式是(x-y)2.(4)-27a2b3+36a3b2+9a2b.解：此多項式的第一項含有“-”號，應(yīng)將“-”號提取變?yōu)?(27a2b3-36a3b2-9a2b).多項式27a2b3-36a3b2-9a2b

各項系數(shù)的最大公約數(shù)是9；各項都有a、b，且a的最低次數(shù)是2，b的最低次數(shù)是1，所以多項式-27a2b3+36a3b2+9a2b

各項的公因式是-9a2b.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.方法點撥：找準公因式要做到“五看”，即：一看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；五看首項符號，若多項式中首項符號是“-”號，一般情況下公因式符號為負.知識點公因式31.提公因式法如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，把多項式寫成公因式與另一個多項式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示為ma+mb+mc=m(a+b+c).2.提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的公共因式；(2)確定另一個因式：另一個因式即多項式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.特別解讀：1.提公因式法實質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.下列因式分解正確的是()A.12abc-9a2b2=3ab(4-3ab)B.3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2)C.-x2+xy-xz=x(x+y-z)D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)B例2解題秘方：提取公因式,就是要提各項系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母或因式的最低次冪的積.因此,提取時有兩個要點：(1)確定系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)找相同字母或因式的最低次冪.解：A選項中公因式3ab找對了,但括號內(nèi)的因式不對,故錯誤；B選項，3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2),正確；C選項中,首項系數(shù)為負數(shù),應(yīng)該是-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故錯誤；D選項中,括號內(nèi)最末一項剩下的系數(shù)“-1”漏掉了,應(yīng)該是a2b+5ab-b=b(a2+5a-1)，故錯誤.解法提醒：當多項式首項系數(shù)是負數(shù)時，一般應(yīng)先提出“-”號，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要改變符號.知識點運用平方差公式分解因式41.平方差公式法用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).文字描述：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.特別解讀：1.因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.(a+b)(a-b)

a2b22.平方差公式法的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.3.運用平方差公式分解因式的步驟一判：根據(jù)平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負平方項在前面，利用加法的交換律把負平方項交換放在后面.二定：確定公式中的a和b，除a和b

是單獨一個數(shù)或字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體.三套：套用平方差公式進行分解.四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡的.例3分解因式：(1)4x2-25y2；解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)；

加法交換律(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：16(a-b)2-25(a+b)2=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).當多項式的第一項系數(shù)為負數(shù)時，通常先提取“-”號，使括號內(nèi)首項系數(shù)為正數(shù)，且括號內(nèi)各項都要變號.特別提醒：1.確定公式中的“a”“b”時，不能只看表面，如4x2=(2x)2,“a”指的是2x；16(a-b)2=[4(a-b)]2，“a”指的是4(a-b).2.平方差公式可以連續(xù)運用.如(3)題，必須做到每個因式不能再分解為止.3.運用平方差公式分解因式時，若a、b都是多項式，先要添加括號，再去括號，然后化簡最后結(jié)果.解題秘方：先確定平方差公式中的“a”“b”，再運用平方差公式分解因式.知識點運用完全平方公式分解因式51.完全平方式形如a2±2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項式是二次三項式；(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“+”，也可以是“-”.2.完全平方公式法用字母表示：a2±2ab+b2=(a±b)2.文字描述：兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.3.完全平方公式法的特點等號左邊是一個完全平方式，右邊是這兩個數(shù)的和(或差)的平方.特別解讀：1.當首末兩項符號與中間的乘積項符號相同時，是和的平方；相反時，是差的平方.2.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.分解因式：(1)x2-14x+49；解：x2-14x+49=x2-2·x·7+72=(x-7)2；例4(2)-6ab-9a2-b2；解：-6ab-9a2-b2=-(9a2+6ab+b2)=-［(3a)2+2·3a·b+b2］=-(3a+b)2；首先把多項式的各項按照字母a的指數(shù)從大到小的順序排列，然后提取首項“-”號.

(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.解法提醒：運用完全平方公式分解因式的關(guān)鍵是判斷每個多項式是否符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特點，若符合，進一步確定公式中的“a”“b”.注意當首項系數(shù)為負數(shù)時，一般要先提出負號，括號內(nèi)多項式各項都要變號.如(2)題.解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”“b”，再運用完全平方公式分解因式.知識點因式分解的一般步驟6因式分解的一般步驟是“一提，二套，三檢查”.一提：即提公因式，把一個多項式分解因式，首先看有沒有公因式，若有，則先提公因式；二套：即套用公式，在沒有公因式的前提下，則看多項式是否符合平方差公式或完全平方公式的特點，對符合公式特征的，直接套用公式分解因式；三檢查：即運用“一提，二套”方法分解因式后，然后再檢查多項式，看能否再利用提公因式法，或套用公式法分解因式，檢查分解是否正確，分解是否徹底.巧學妙記：因式分解要注意，兩項式子平方差，三項完全平方式，如果還有公因式，提取出來莫忘記.例5分解因式：(1)-3a3b+48ab3；解：-3a3b+48ab3=-3ab(a2-16b2)=-3ab(a+4b)(a-4b)；先提取公因式再運用平方差公式(2)x4-8x2+16；解：x4-8x2+16=(x2-4)2=[(x+2)(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2；先運用完全平方公式再運用平方差公式最后運用積的乘方運算性質(zhì)“(ab)n=anbn”(3)25x2(a-b)+36y2(b-a).解：25x2(a-b)+36y2(b-a)=25x2(a-b)-36y2(a-b)=(a-b)(25x2-36y2)=(a-b)(5x+6y)(5x-6y)