2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試（新高考專用）函數(shù)模型及其應(yīng)用 含解析

專題14函數(shù)模型及其應(yīng)用

知考綱要求

識(shí)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題型一：用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程

題型二：塞型函數(shù)模型

題題型三：指數(shù)型函數(shù)模型

型題型四：對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

歸題型五：分段函數(shù)模型

類題型六：y=x+%>0）型函數(shù)模型

題型七：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)單選題：共8題

化多選題：共4題

測(cè)填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“指數(shù)爆炸"''對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直

線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.

2.通過(guò)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、毫函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

y=logaxy=爐

性3D（Ql）（心0）

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現(xiàn)為與了軸平行現(xiàn)為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個(gè)X0，當(dāng)x>xo時(shí)，有l(wèi)ogaXVX〃Va，

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f（x）=ax+b（a,b為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型j[x）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù),aWO）

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix）=bcfc+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix）=ftlogaX+c（a,h,c為常數(shù)，a>0且aWL6心0）

與暴函數(shù)相關(guān)的模型兀0=0^+%°,b,n為常數(shù)，aWO）

【常用結(jié)論】

1.“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加,

常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際

問(wèn)題的合理性.

【方法技巧】

1.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合,

從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.

2.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

⑵根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

3.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

4.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)

的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.

5.通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決

問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

二、【題型歸類】

【題型一】用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程

【典例1］如圖，一高為"且裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時(shí)，水從孔中

勻速流出，水流完所用時(shí)間為r若魚缸水深為人時(shí)，水流出所用時(shí)間為,,則函數(shù)人=/(。的圖

象大致是()

【解析】水勻速流出，所以魚缸水深力先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來(lái)越快.故

選B.

【典例2】中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠

茶用85c的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯

最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖

所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度V隨時(shí)間

X變化的規(guī)律()

A.y=mx2+n(m>0)

B.y=maxA-n(m>O,O<a<1)

C.^=waA+n(/M>0,<2>1)

D.y=m\og(lx+n(m>0,a>0,aWl)

【解析】由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且加>0,0<a<l.

故選B.

【典例3]已知正方形的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從8點(diǎn)開始沿折線8CD4向/點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)

尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,△/8P的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象是()

【解析】依題意知，當(dāng)0&W4時(shí)，Ax)=2x；

當(dāng)4<xW8時(shí)，川x)=8；

當(dāng)8<xW12時(shí)，./(x)=24—2x,觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.故選D.

【題型二】募型函數(shù)模型

【典例1】為迎接2016年“雙十一網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)”，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)網(wǎng)上所售

某產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿

足：p=3一一勺(其中OWxWa,。為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(10+2p)萬(wàn)元(不含

x十1

[4+叫

促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為Ipj元/件，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需

求.

(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);

(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

【解析】(1)由題意知，y=l0+國(guó)〃J〃-x—(10+2，)，

74

將p=3一一J代入化簡(jiǎn)得：y=16一一--一x(OWxWa).

x+1x+1

{—+x+iln

(2)^=17-lr+1J<17-2A/——X(x+1)=13,

\lx+\

4

當(dāng)且僅當(dāng)T—=x+l,即x=l時(shí)，上式取等號(hào).

x+1

當(dāng)a21時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)a<1時(shí)，y=17—lHr++1x+Jl在［0,旬上單一調(diào)遞增，，所以x=a時(shí)，函數(shù)有士最大值，即促銷

費(fèi)用投入。萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

綜上，當(dāng)時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)。<1時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大.

【典例2】某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量M單位：千克)與銷售價(jià)格

x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=?+10(x—6)2淇中3<x<6,。為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元

x—3

/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

(1)求a的值；

⑵若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利

潤(rùn)最大.

【解析】(1)因?yàn)閤=5時(shí)，y=ll,所以：+10=11,a=2.

(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量

2

y=^+10(x—6)2,所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)

X—3

+10(x—6)2

,/(x)=(x-3

=2+10(x-3)(x-6)2,3Vx<6.

從而，，(x)=30(x—4)(x—6).

于是，當(dāng)x變化時(shí)，./'(x),大口的變化情況如下表:

X(3,4)4(4,6)

/'(X)+0—

極大值

於)/

42

由上表可得，x=4是函數(shù)/(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)/(X)取得最大值，且最大值等于42.

即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.

【題型三】指數(shù)型函數(shù)模型

【典例1】有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為憶n?,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊

的水量，都為廠m3.現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合.用g?)表示

經(jīng)過(guò)時(shí)間《天)后每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱其為經(jīng)過(guò)時(shí)間K天)后的湖水污染質(zhì)

量分?jǐn)?shù).已知目前污染源以每天〃克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式冢?！故?/p>

r

8(0)020),其中g(shù)(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

⑵如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污

染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?

【解析】(l)；g")為常數(shù)，...g(0)—K=0,.?.g(0)=4

rr

(2)污染源停止,即p=0,此時(shí)g(f)=g(0>e-Et.

設(shè)要經(jīng)過(guò)f天能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

即g⑺=5%-g(0),即有5%?g(0)=g(0)-e-vf.

1r

由實(shí)際意義知g(0)W0,?法=G?

.,.Z=-ln20,即需要-ln20天能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

rr

【典例2】某種樹苗栽種時(shí)高度為/(〃為常數(shù))米，栽種〃年后的高度記為/(〃).經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，

QA2

/(〃)近似地滿足/(〃)=一色一，其中，=2-，a,b為常數(shù)，〃WN,/(0)=4已知栽種3年后該樹

a+bt"

木的高度為栽種時(shí)高度的3倍.問(wèn)：栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時(shí)高度的8倍.

【解析】由題意知/0)=/,/3)=34

9A/

------=A,

a+b

?9j

所以-----=34,解得〃=1,b=8.

a+-b

r4

所以/（〃）=二Q焦J二，其中，=2一2.

1ioX/

GA1

令危尸卻得訴7=84解得〃=石,

_2n1

即2-至=—=26,所以〃=9.

64

答：栽種9年后，該樹木的高度是栽種時(shí)高度的8倍.

【題型四】對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

【典例1］某公司對(duì)營(yíng)銷人員有如下規(guī)定：①年銷售額以萬(wàn)元）在8萬(wàn)元以下，沒(méi)有獎(jiǎng)金；②年

銷售額M萬(wàn)元），xd［8,64］時(shí)，獎(jiǎng)金為N萬(wàn)元，且y=logaX,ye［3,6］,且年銷售額越大，獎(jiǎng)

金越多；③年銷售額超過(guò)64萬(wàn)元，按年銷售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金.

（1）求獎(jiǎng)金》關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）某營(yíng)銷人員爭(zhēng)取年獎(jiǎng)金y金［4,10］（萬(wàn)元），年銷售額x（萬(wàn)元）在什么范圍內(nèi).

【解析】（1）依題意y=lo即X在xG［8,64］上為增函數(shù)，

z（10^8=3,

所以有，=4=2,

log?64=6

[0,0?8,

所以y=logzr,84W64,

—x,x>64.

110

(2)易知x28.

當(dāng)8<xW64時(shí)，要使y?[4,10],

則4Wlog2xW10=16Wx<1024,

所以16WxW64.

當(dāng)x>64時(shí)，要使yW［4,10］=>40^x^100,

所以64VxW100.

綜上可得，當(dāng)年銷售額x在口6,100］（萬(wàn)元）內(nèi)時(shí)，yG［4,10］（萬(wàn)元）.

【典例2】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得投資收益的范圍是［10,

100］(單位：萬(wàn)元).現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金六單位：萬(wàn)元)隨投資收益

x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.

(1)若建立函數(shù)模型y=/(x)制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，請(qǐng)你根據(jù)題意，寫出獎(jiǎng)勵(lì)模型函數(shù)應(yīng)滿足的條件；

(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(I"=#+1；(H?=bgM—2.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公

司要求.

【解析】(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=/(x),則該函數(shù)模型滿足的條件是：

①當(dāng)xC［10,100］時(shí)，Hx)是增函數(shù);

②當(dāng)x￡［0,100］時(shí)，於)W5恒成立;

③當(dāng)xd［10,100］時(shí)，/(x)W工恒成立.

(2)對(duì)于函數(shù)模型(I)產(chǎn)2%+1，它在口0，100］上是增函數(shù)，滿足條件①；

但當(dāng)x=80時(shí)，夕=5,因此，當(dāng)x>80時(shí)，戶5,不滿足條件②；

故該函數(shù)模型不符合公司要求.

對(duì)于函數(shù)模型(II)y=log2X-2,它在［10,100］上是增函數(shù)，滿足條件①；

當(dāng)x=100時(shí)，ymax=log2100—2=21og25<5,即/(x)W5恒成立，滿足條件②；

設(shè)6(x)=log2X_2_%,則力'(x)=1°型又xw［io,100］,...上W1W上，...A，任)或1°1f￡―

5x5100x1010

Y

;1〈,7一；1=0,所以A(x)在［10,100］上是遞減的，因此/?(x)W〃(10)=log210-4<0,即恒

成立，滿足條件③.

故該函數(shù)模型符合公司要求.

綜上所述，函數(shù)模型歹=log2X-2符合公司要求.

【題型五】分段函數(shù)模型

【典例1】為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化

劑，空氣中釋放的凈化劑濃度式單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間洶單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近

1,0WxW4,

8—x

似為歹=

5--x,4VxW10.

12

若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次噴灑的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之

和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用.

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑。(lWaW4)個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的

4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求。的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：/取1.4).

【解析】(1)因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，

§--4,04W4,

所以濃度｛x)=4y='8_x

20—2x,4<xW10.

64

則當(dāng)0<xW4時(shí)，由、——424解得0<xV8,所以此時(shí)0WxW4.

8—x

當(dāng)4Vx<10時(shí)，由20-2x24解得x<8,所以此時(shí)4<xW8.

綜上得0WxW8,即若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天.

(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WxW10)天，濃度

c1]r16j

g(x)=212J+@[_8—(x—6)

,八,16a…、?16。，

=10—xd-----------a=(14—-----------a—4

14-x14-x

(14—x)—a-4=8近—a-4.

因?yàn)?WxW10,所以14—xC[4,8],

而lWa<4,所以4W@[4,8],

故當(dāng)且僅當(dāng)14—x=4g時(shí)，y有最小值為8近一a—4.

令8由一〃一424,解得24-16/WaW4,所以。的最小值為24—16/71.6.

【典例2】為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，

新上了一種把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為可利用化工產(chǎn)品的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本興元)

卜―80X2+5040X,X￡[120,144),

與月處理量x(t)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y='i，且

'V-200x+80000,xe[144,500),

每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元,若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償.

(1)當(dāng)xd[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利.如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)

家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？

(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

【解析】(1)當(dāng)x￡[200,300]時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S,

￥-200》+80OOoj

則5=200x-

=-^+400x-80000=-1(x-400)2,

.?.當(dāng)xW[200,300]時(shí),S<0,因此該項(xiàng)目不獲利.

當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值一5000,

,國(guó)家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損.

⑵由題意，可知二氧化碳每噸的平均處理成本為

1x2-80x+5040,x￡[120,144),

-lx+S0000200>'CH，so。)

k2x

①當(dāng)xW[120,144)時(shí)，

1=-x2-80x+5040=%—120)2+240,

x33

當(dāng)x=120時(shí),且取得最小值240.

x

②當(dāng)x@[144,500)時(shí),

^=1X(8000020()^/lxX80000_2oo=200,

x2x\j2x

當(dāng)且僅當(dāng)咽，即x=400時(shí)，上取得最小值200.

2xx

V200<240,...當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.

【題型六】尸x+%>0)型函數(shù)模型

X

[典例1]某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總

利潤(rùn)興萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)X的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，每

輛客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為.

【解析】根據(jù)圖象求得_y=—(x—6)2+ll,

???年平均利潤(rùn)2=12—

X

Vx+—^10,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立.

x

，要使平均利潤(rùn)最大，客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為5.

【典例2]某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60。（如圖），考慮

防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為93平方米，且高度不低于3

米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)（梯形的上底線段8C與兩腰長(zhǎng)的和）為y米.要使

防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最?。礄M斷面的外周長(zhǎng)最小），則防洪堤的腰長(zhǎng)》=

________米.

當(dāng)且僅當(dāng)”=￥（2WX<6）,即時(shí)等號(hào)成立.

【題型七】已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例1】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加

快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一

步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最

大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G（x）萬(wàn)元，且G（x）=

2x2+80x>0<xW40,

20]"36002100,40<xW100,由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年

.x

內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

（1）寫出年利潤(rùn)由（X）萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量X臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷售收入一成本）；

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【解析】（1）由題意可得，當(dāng)0<xW40時(shí)，

網(wǎng)x）=200x-（2x2+80x）-300

=-2x2+120x—300；

當(dāng)40<xW100時(shí)，

(201x+/如-2lOol

伙x)=200x-lxJ-300

r+36oq

=-lxJ+l800,

—Ix1-^120x—300,0<xW40,

所以W(x)=1f,3600]

-IxJ+l800,40<x^l00.

(2)若0<xW40,%x)=-2(x—30>+l5005

所以當(dāng)X=30時(shí)，印(X)max=l500萬(wàn)元.

若40<xW100,

L+36001

%x)=-lxJ+1800

800

=-120+1800=1680,

當(dāng)且僅當(dāng)》='駟時(shí)，

X

即X=60時(shí)，做X)max=1680萬(wàn)元.

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元.

【典例2】“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)

最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令

人滿意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主

任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)

間(30WW100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)段)(單位：分)的函數(shù)模型：")=一,k為增

1+lg(z+1)

分轉(zhuǎn)化系數(shù)，尸為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡郑?(60)=)尸.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100

天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為(1g

61^1.79)()

A.440分B.460分

C.480分D.500分

【解析】由題意得,

/(60)=———=-=-P,

1+lg612.796

279

0465,

6

0.465X400186

/,/(100)=

1+lg1011+lg100+lg1.01

厚=62,

3

該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=462心460(分).

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的路程

=l,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x20)的函數(shù)關(guān)系式分別為力(x)=2x—l,力(x)=N,fi(x)=x,%(x)=log2(x

+1),則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)x>l時(shí)，甲走在最前面

B.當(dāng)x>l時(shí)，乙走在最前面

C.當(dāng)0<x<l時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后面

D.如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲

【解析】甲、乙、丙、丁的路程/(x)(i=l,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x20)的函數(shù)關(guān)系式分別為力(x)=2、.

—1,j2(X)=X2,力(X)=X,/"X)=10g2(x+l),它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次

函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型.

當(dāng)x=2時(shí)，力(2)=3,力(2)=4,所以A不正確；

當(dāng)x=5時(shí)，力(5)=31,及(5)=25,所以B不正確；

根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先快后慢，又當(dāng)x=l時(shí)，甲、乙、丙、

丁四個(gè)物體走過(guò)的路程相等，從而可知，當(dāng)04<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后

面，所以C正確；

指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最前面的物體一定是按照指數(shù)型

函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，所以D正確.

【訓(xùn)練二】某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案，要求獎(jiǎng)金興單位：萬(wàn)元)隨投

資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)90萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.

即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為y=/(x)時(shí)，該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)xe[25,1600]時(shí)，

①/(x)是增函數(shù)；②/(x)W90恒成立；③/(x)WM亙成立.

(1)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(1)/3=6+10；(H)/(x)=2心一6.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符

合公司要求？

(2)已知函數(shù)/(x)=G6-10(a22)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)對(duì)于函數(shù)模型：(Iy(x)=±x+10,驗(yàn)證條件③：當(dāng)x=30時(shí)，./(x)=12,而1=6,

即不成立，故不符合公司要求；

對(duì)于函數(shù)模型：(11m)=24一6,

當(dāng)[25,1600]時(shí)，條件①/(x)是增函數(shù)滿足；

，/(x)max=2^1600-6=2X40-6=74<90,滿足條件②；

對(duì)于條件③：

記g(x)=2心一6一；(25Wx〈l600),

則g(x)=—5)2—1,

?.?$￡[5,40],

當(dāng)心=5時(shí)，

g(X)max=-1(5—5)2—1=-1W0,

〈:恒成立，即條件③也成立.

故函數(shù)模型：(II)/(x)=2心-6符合公司要求.

⑵?.,心2,

函數(shù)兒0=。心一10符合條件①；

由函數(shù)/(x)=a4-10符合條件②，

得600-10=a*40—10W90,

解得

2

由函數(shù)Hx)=a4-10符合條件③，

得6T5-10W,對(duì)xG[25,1600]恒成立，

即后落?半對(duì)問(wèn)25,1600框成立.

.拉+埠、2股,當(dāng)且僅當(dāng)重=半，

5W5W

即x=50時(shí)等號(hào)成立，

:.aW2也

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是￡

【訓(xùn)練三】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x0,x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度

為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程卜=米一土（1+3比2（左>0）表示的

曲線上，其中左與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

y（千米）

0\1千米）

（1）求炮的最大射程；

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)

多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）在y二代一^^+君/優(yōu)乂^中,

令y=0,得fee—，（1+嚴(yán)）/=0.

由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,左>0.解以上關(guān)于x的方程得》=3;=產(chǎn)^^=10,當(dāng)且僅

1+N乩2

k

當(dāng)k=\時(shí)取等號(hào).

所以炮的最大射程是10千米.

（2）Va>0,炮彈可以擊中目標(biāo)。存在七0,使尉一4（1+左2）/=3.2成立o關(guān)于左的方程層尼

-20必+4+64=0有正根,

2=（-20。）2—4〃2（序+64）20,

心+42=——>0,

得a1

次+64

。怖2=巴三巴>0,

CT

解得aW6.

所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo).

【訓(xùn)練四】物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是To,

經(jīng)過(guò)一定時(shí)間/（單位：min）后的溫度是T,則T—〃=（To—A）（J,其中乙稱為環(huán)境溫度，h

稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用85°C熱水沖的速溶咖啡，放在21°C的房間中，如果咖啡降到37°C

需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到29℃,還需要min.

【解析】由題意知〃=21℃.

令八=85℃,7=37℃,

16

得37—21=（85—21）6丫，；./?=8.

￡

令介=37℃,7=29℃,貝ij29-21=（37—21）（；）8,；“=8.

【訓(xùn)練五】某禁毒機(jī)構(gòu)測(cè)定，某種毒品服用后每毫升血液中的含毒量火微克）與時(shí)間《小時(shí)）之

間近似滿足如圖所示的曲線.

1

-

2

O|1-2初、時(shí)

⑴寫出服用毒品后p與/之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克時(shí)會(huì)有重度躁動(dòng)狀態(tài)，求服用毒品后

重度躁動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間.

kt,0W/W1,

【解析】（1）由題中圖象，設(shè)歹=

當(dāng)f=l時(shí)，由y=4,得k=4；

rn4t,0WK1,

由目ia=%得。=3.所以尸,因

[2J3,t>l.

a,

（2）由y20.50,得，或任）

14/20.5011JL3、O5O,

解得因此服用毒品后重度躁動(dòng)狀態(tài)持續(xù)

O

4T=斗（小時(shí)）.

OO

【訓(xùn)練六】近年來(lái)，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車

公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資240萬(wàn)元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資80萬(wàn)元，由

前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益P與投入。(單位：萬(wàn)元)滿足尸=4\發(fā)一6,乙城市收益。與

-a+2,80WaW120,

投入a(單位：萬(wàn)元)滿足設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬(wàn)元)，兩個(gè)城

32,120<aW160,

市的總收益為/(x)(單位：萬(wàn)元).

(1)當(dāng)投資甲城市128萬(wàn)元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；

(2)試問(wèn)：如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使公司總收益最大？

【解析】(1)當(dāng)x=128,即甲城市投資128萬(wàn)元時(shí)，乙城市投資112萬(wàn)元，

所以/(128)=4X\或諉一6+：X112+2=88(萬(wàn)元).

因此，此時(shí)公司的總收益為88萬(wàn)元.

⑵由題意知，甲城市投資x萬(wàn)元，則乙城市投資Q40-X)萬(wàn)元，

,卜280,

依題意得，解之得80<xW160,

124080,

當(dāng)80Wx<120,即120<240-x^l60時(shí)，

,/(x)=4V2x-6+32=4匹+26<26+16vB.

當(dāng)1204W160,即80這240-xW120時(shí),

4x)—4\flx—6+~(240—x)+2

=--x+4\/2x+56.

4

令t={,貝i]re[2\5b,4\'TO],

所以尸-*+4缶+56=-*-8初+88.

當(dāng)t=8也,即x=128時(shí)，y取最大值88.

因?yàn)?8—(26+16715)=2X(31-8而)X),

故的最大值為88.

因此，當(dāng)甲城市投資128萬(wàn)元，乙城市投資112萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為88萬(wàn)元

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.有一商家從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆水

航行返回石塘，假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用的時(shí)

間為式小時(shí)），貨船距石塘的距離為興千米），則下列各圖中，能反映夕與X之間函數(shù)關(guān)系的大

致圖象是（）

【解析】A

2.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中

的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

1、

A.y=2x—2B.y=-(x2-l)

C.y=log2XD.y=log^x

2

【解析】由題表可知函數(shù)在（0,十8）上是增函數(shù)，且y的變化隨X的增大而增大得越來(lái)越快，

分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.

3.某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了〃次漲停（每次上

漲10%）,又經(jīng)歷了n次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）

為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損D.無(wú)法判斷盈虧情況

【解析】設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a（l+10%）?=aX1.1"

元，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為aXl.l?X（l-10%）,!=aX1.1?X0.9"=aX（1.1X0.9）B=0.99na<a,

故該股民這支股票略有虧損.故選B.

4.長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭創(chuàng)下了我國(guó)運(yùn)載火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功將嫦

娥五號(hào)探測(cè)器送入預(yù)定軌道，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度。（單位：km/s）和

燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量加（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是。=2

OOOlnP+那.若火箭的最大速度為11.2km/s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為（參

考數(shù)據(jù)：e00056^1.0056）（）

A.1.0056B.0.5028C.0.0056D.0.0028

【解析】iu=20001n[1+^）=11.2,可得』1+7=頊2=0.0056,，必=6°0°56-1心00056.

2000m

故選C.

5.成都市某物流公司為了配合“北改”項(xiàng)目順利進(jìn)行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用倉(cāng)庫(kù)搬遷到北三

環(huán)外重新租地建設(shè).已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)刈與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月車載貨物的

運(yùn)費(fèi)R與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比.據(jù)測(cè)算，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用

V，戶分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站（）

A.5千米處B.4千米處

C.3千米處D.2千米處

【解析】設(shè)倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站x千米處.因?yàn)閭}(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)A與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，

所以令反比例系數(shù)為加（加>0）,則巾="當(dāng)x=10時(shí)，y\=^-=2,所以加=20.因?yàn)槊吭萝囕d貨

x10

物的運(yùn)費(fèi)區(qū)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比，所以令正比例系數(shù)為〃（心0）,則戶=〃x.當(dāng)x=10時(shí)，

yi=10n=8,所以〃=4,所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為丁=刈+^2=劣+蟲22、/次?蟲=8,當(dāng)且僅當(dāng)生=

5x5\1x5x

AV*

—,即x=5時(shí)取等號(hào).所以要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站5千米處.故選A.

6.某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)

1300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%,則該高校全年投入的科研

經(jīng)費(fèi)開始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg1.12Po.05,lg1.3Po.11,1g2P030）（）

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

【解析】若2018年是第一年，則第〃（〃WN+）年科研費(fèi)為1300X1.12",由1300X1.12M>2000,

可得1g1.3+〃lg1.12>lg2,得〃X0.05>0.19,”>3.8,"24,即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超

過(guò)2000萬(wàn)元.故選B.

7.某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400

臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)

系的是（）

A.y=100xB.j；=50x2-50x+100

C.y=50X2*D.y=1001og2x+100

【解析】根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗(yàn)證

即可得.故選C.

8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足〃?2一如

=|lg1,其中星等為狽?的星的亮度為所代=1,2).已知太陽(yáng)的星等是一26.7,天狼星的星等

是一1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()

A.10,0JB.10.1

C.1g10.1D.10一10」

【解析】根據(jù)題意，設(shè)太陽(yáng)的星等與亮度分別為m與4,天狼星的星等與亮度分別為，〃2與

E2,則由已知條件可知如=一26.7,加2=-1.45,根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足"?2—加1=］愴

―,把m與m2的值分別代入上式得，-1.45-(—26.7)=*lg叢，得1g—=10.1;所以馬'=10"」，

Ei2￡*2￡*2Ei

故選A.

【多選題】

9.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為

2%,現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少%則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)可以為

(參考數(shù)據(jù)：lg2ko.301,lg3Po.477)()

A.6B.9C.8D.7

【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)〃次過(guò)濾，產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，

則上-xtJw—,即匕

100100020

7

由—1g20,即〃(lg2—lg3)W—(l+lg2),

1+也2

得7.4,故選BC.

Ig3-lg2

10.小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄

了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量/(x)與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系

.[記憶保持量

0.68k

—+1,0<X<10：2

/（%）={]2：=,“246810】2~~T則下列說(shuō)法正確的是（）

二+工；工2,1vx430

1520

A.隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

【解析】由函數(shù)解析式可知人x）隨著x的增加而減少，故A正確；由圖象可得B正確；當(dāng)1<XW30

時(shí),外）=：+義/"則火9）W+^；x9-5=0.35,即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%,

故C正確；/（26）=g+^X26V>|,故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

11.在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)調(diào)研小組根據(jù)車間持續(xù)5個(gè)小時(shí)的生產(chǎn)情況畫出了某種產(chǎn)

品的總產(chǎn)量武單位：kg）與時(shí)間x（單位：h）的函數(shù)圖象，則以下關(guān)于該產(chǎn)品生產(chǎn)狀況的正確判

斷是（）

y/kg

~012345x/h

A.在前三小時(shí)內(nèi)，每小時(shí)的產(chǎn)量逐步增加

B.在前三小時(shí)內(nèi)，每小時(shí)的產(chǎn)量逐步減少

C.最后一小時(shí)內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時(shí)內(nèi)的產(chǎn)量相同

D.最后兩小時(shí)內(nèi)，該車間沒(méi)有生產(chǎn)該產(chǎn)品

【解析】由題圖得，前三小時(shí)的產(chǎn)量在逐步減少，故A錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；最后兩小時(shí)內(nèi)沒(méi)有

生產(chǎn)產(chǎn)品，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.故選BD.

12.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn)Z出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)8跑到點(diǎn)C,

共用時(shí)30s,他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過(guò)程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為心）,

他與教練間的距離為y（m）,表示y與/的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個(gè)固定位置不

可能是圖1中的（）

cB

A.點(diǎn)、MB.點(diǎn)N

C.點(diǎn)PD.點(diǎn)。

【解析】假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)M,則從Z至8這段時(shí)間，y不隨時(shí)間的變化改變，與函數(shù)圖象不

符，故/選項(xiàng)錯(cuò)誤；假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)N,則從/至。這段時(shí)間,/點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)y的大小

應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)尸，則由函數(shù)圖象可得，從/

到。的過(guò)程中，會(huì)有一個(gè)時(shí)刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過(guò)30s■時(shí)教練到小時(shí)的距離，而點(diǎn)P

不符合這個(gè)條件，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤；經(jīng)判斷點(diǎn)。符合函數(shù)圖象，故D選項(xiàng)正確，故選ABC.

【填空題】

13.某購(gòu)物網(wǎng)站在11月份開展“全部6折”促銷活動(dòng)，在11日當(dāng)天購(gòu)物還可以再享受“每張

訂單金額（6折后）滿300元時(shí)可減免100元”.某人在11日當(dāng)天欲購(gòu)入原價(jià)48元（單價(jià)）的商品

共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為.

【解析】為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額（6折后）滿300元時(shí)可減免100

元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元.由于每件原價(jià)48元，因此每張訂單至少11件，

又42=11X3+9,所以最少需要下的訂單張數(shù)為3.

答案：3

14.某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以。km/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某市到

PA?

災(zāi)區(qū)公路線長(zhǎng)400km,為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于匕（Jkm,那么這批物資全

部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是h_（車身長(zhǎng)度不計(jì)）

【解析】設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為/h,由題意可知，，相當(dāng)于最后一輛車行駛了

36X^Q）2+400km所用的時(shí)間，

m36X（2（J+40036v,400^./36u^400

因此，t=-------------=----1---22、/——X=12,

v400vV400v

當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)=陋，即。=迎時(shí)取等號(hào).

400v3

故這些汽車以迎km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間為12h.

3

答案：12

15.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量

kt'0</<-，

2

y(mg/m3)與時(shí)間《h)的函數(shù)關(guān)系為y='ii(如圖所示)實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量

—，，

\kt2

y<0.75(mg/m3)時(shí)對(duì)人體無(wú)害.

⑴2________

⑵為了不使人身體受到藥物傷害,