2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用）函數(shù)模型及其應用 含解析

專題14函數(shù)模型及其應用

知考綱要求

識考點預測

梳常用結論

理方法技巧

題型一：用函數(shù)圖象刻畫變化過程

題型二：塞型函數(shù)模型

題題型三：指數(shù)型函數(shù)模型

型題型四：對數(shù)型函數(shù)模型

歸題型五：分段函數(shù)模型

類題型六：y=x+%>0）型函數(shù)模型

題型七：已知函數(shù)模型的實際問題

訓練一：

培訓練二：

優(yōu)訓練三：

訓訓練四：

練訓練五：

訓練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸"''對數(shù)增長”“直

線上升”等術語的含義.

2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產實際等數(shù)學模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題

的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.

【考點預測】

1.指數(shù)、對數(shù)、毫函數(shù)模型性質比較

函數(shù)

y=logaxy=爐

性3D（Ql）（心0）

在(0,+8)

單調遞增單調遞增單調遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現(xiàn)為與了軸平行現(xiàn)為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個X0，當x>xo時，有l(wèi)ogaXVX〃Va，

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f（x）=ax+b（a,b為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型j[x）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù),aWO）

與指數(shù)函數(shù)相關的模型fix）=bcfc+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

與對數(shù)函數(shù)相關的模型fix）=ftlogaX+c（a,h,c為常數(shù)，a>0且aWL6心0）

與暴函數(shù)相關的模型兀0=0^+%°,b,n為常數(shù)，aWO）

【常用結論】

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加,

常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.

3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結果對實際

問題的合理性.

【方法技巧】

1.判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合,

從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

2.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點.

(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

⑵根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

3.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

4.在應用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應

的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論.

④還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題.

5.通過對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識和方法構建函數(shù)模型解決

問題，提升數(shù)學建模核心素養(yǎng).

二、【題型歸類】

【題型一】用函數(shù)圖象刻畫變化過程

【典例1］如圖，一高為"且裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中

勻速流出，水流完所用時間為r若魚缸水深為人時，水流出所用時間為,,則函數(shù)人=/(。的圖

象大致是()

【解析】水勻速流出，所以魚缸水深力先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來越快.故

選B.

【典例2】中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經(jīng)驗表明，某種綠

茶用85c的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感.為分析泡制一杯

最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖

所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度V隨時間

X變化的規(guī)律()

A.y=mx2+n(m>0)

B.y=maxA-n(m>O,O<a<1)

C.^=waA+n(/M>0,<2>1)

D.y=m\og(lx+n(m>0,a>0,aWl)

【解析】由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且加>0,0<a<l.

故選B.

【典例3]已知正方形的邊長為4,動點P從8點開始沿折線8CD4向/點運動.設點

尸運動的路程為x,△/8P的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象是()

【解析】依題意知，當0&W4時，Ax)=2x；

當4<xW8時，川x)=8；

當8<xW12時，./(x)=24—2x,觀察四個選項知D項符合要求.故選D.

【題型二】募型函數(shù)模型

【典例1】為迎接2016年“雙十一網(wǎng)購狂歡節(jié)”，某廠家擬投入適當?shù)膹V告費，對網(wǎng)上所售

某產品進行促銷.經(jīng)調查測算，該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿

足：p=3一一勺(其中OWxWa,。為正常數(shù)).已知生產該產品還需投入成本(10+2p)萬元(不含

x十1

[4+叫

促銷費用)，產品的銷售價格定為Ipj元/件，假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需

求.

(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù);

(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

【解析】(1)由題意知，y=l0+國〃J〃-x—(10+2，)，

74

將p=3一一J代入化簡得：y=16一一--一x(OWxWa).

x+1x+1

{—+x+iln

(2)^=17-lr+1J<17-2A/——X(x+1)=13,

\lx+\

4

當且僅當T—=x+l,即x=l時，上式取等號.

x+1

當a21時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；

當a<1時，y=17—lHr++1x+Jl在［0,旬上單一調遞增，，所以x=a時，函數(shù)有士最大值，即促銷

費用投入。萬元時，廠家的利潤最大.

綜上，當時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大；

當。<1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大.

【典例2】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量M單位：千克)與銷售價格

x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)=?+10(x—6)2淇中3<x<6,。為常數(shù).已知銷售價格為5元

x—3

/千克時，每日可售出該商品11千克.

(1)求a的值；

⑵若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利

潤最大.

【解析】(1)因為x=5時，y=ll,所以：+10=11,a=2.

(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量

2

y=^+10(x—6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤

X—3

+10(x—6)2

,/(x)=(x-3

=2+10(x-3)(x-6)2,3Vx<6.

從而，，(x)=30(x—4)(x—6).

于是，當x變化時，./'(x),大口的變化情況如下表:

X(3,4)4(4,6)

/'(X)+0—

極大值

於)/

42

由上表可得，x=4是函數(shù)/(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點.

所以，當x=4時，函數(shù)/(X)取得最大值，且最大值等于42.

即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

【題型三】指數(shù)型函數(shù)模型

【典例1】有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為憶n?,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊

的水量，都為廠m3.現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合.用g?)表示

經(jīng)過時間《天)后每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱其為經(jīng)過時間K天)后的湖水污染質

量分數(shù).已知目前污染源以每天〃克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式冢?！故?/p>

r

8(0)020),其中g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù).

(1)當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)；

⑵如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污

染水平下降到開始時污染水平的5%?

【解析】(l)；g")為常數(shù)，...g(0)—K=0,.?.g(0)=4

rr

(2)污染源停止,即p=0,此時g(f)=g(0>e-Et.

設要經(jīng)過f天能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.

即g⑺=5%-g(0),即有5%?g(0)=g(0)-e-vf.

1r

由實際意義知g(0)W0,?法=G?

.,.Z=-ln20,即需要-ln20天能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.

rr

【典例2】某種樹苗栽種時高度為/(〃為常數(shù))米，栽種〃年后的高度記為/(〃).經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，

QA2

/(〃)近似地滿足/(〃)=一色一，其中，=2-，a,b為常數(shù)，〃WN,/(0)=4已知栽種3年后該樹

a+bt"

木的高度為栽種時高度的3倍.問：栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍.

【解析】由題意知/0)=/,/3)=34

9A/

------=A,

a+b

?9j

所以-----=34,解得〃=1,b=8.

a+-b

r4

所以/（〃）=二Q焦J二，其中，=2一2.

1ioX/

GA1

令危尸卻得訴7=84解得〃=石,

_2n1

即2-至=—=26,所以〃=9.

64

答：栽種9年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍.

【題型四】對數(shù)型函數(shù)模型

【典例1］某公司對營銷人員有如下規(guī)定：①年銷售額以萬元）在8萬元以下，沒有獎金；②年

銷售額M萬元），xd［8,64］時，獎金為N萬元，且y=logaX,ye［3,6］,且年銷售額越大，獎

金越多；③年銷售額超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎金.

（1）求獎金》關于x的函數(shù)解析式；

（2）某營銷人員爭取年獎金y金［4,10］（萬元），年銷售額x（萬元）在什么范圍內.

【解析】（1）依題意y=lo即X在xG［8,64］上為增函數(shù)，

z（10^8=3,

所以有，=4=2,

log?64=6

[0,0?8,

所以y=logzr,84W64,

—x,x>64.

110

(2)易知x28.

當8<xW64時，要使y?[4,10],

則4Wlog2xW10=16Wx<1024,

所以16WxW64.

當x>64時，要使yW［4,10］=>40^x^100,

所以64VxW100.

綜上可得，當年銷售額x在口6,100］（萬元）內時，yG［4,10］（萬元）.

【典例2】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品，估計能獲得投資收益的范圍是［10,

100］(單位：萬元).現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金六單位：萬元)隨投資收益

x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過5萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.

(1)若建立函數(shù)模型y=/(x)制定獎勵方案，請你根據(jù)題意，寫出獎勵模型函數(shù)應滿足的條件；

(2)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：(I"=#+1；(H?=bgM—2.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公

司要求.

【解析】(1)設獎勵函數(shù)模型為y=/(x),則該函數(shù)模型滿足的條件是：

①當xC［10,100］時，Hx)是增函數(shù);

②當x￡［0,100］時，於)W5恒成立;

③當xd［10,100］時，/(x)W工恒成立.

(2)對于函數(shù)模型(I)產2%+1，它在口0，100］上是增函數(shù)，滿足條件①；

但當x=80時，夕=5,因此，當x>80時，戶5,不滿足條件②；

故該函數(shù)模型不符合公司要求.

對于函數(shù)模型(II)y=log2X-2,它在［10,100］上是增函數(shù)，滿足條件①；

當x=100時，ymax=log2100—2=21og25<5,即/(x)W5恒成立，滿足條件②；

設6(x)=log2X_2_%,則力'(x)=1°型又xw［io,100］,...上W1W上，...A，任)或1°1f￡―

5x5100x1010

Y

;1〈,7一；1=0,所以A(x)在［10,100］上是遞減的，因此/?(x)W〃(10)=log210-4<0,即恒

成立，滿足條件③.

故該函數(shù)模型符合公司要求.

綜上所述，函數(shù)模型歹=log2X-2符合公司要求.

【題型五】分段函數(shù)模型

【典例1】為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內，每噴灑1個單位的凈化

劑，空氣中釋放的凈化劑濃度式單位：毫克/立方米)隨著時間洶單位：天)變化的函數(shù)關系式近

1,0WxW4,

8—x

似為歹=

5--x,4VxW10.

12

若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次噴灑的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之

和.由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用.

(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？

(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑。(lWaW4)個單位的凈化劑，要使接下來的

4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求。的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：/取1.4).

【解析】(1)因為一次噴灑4個單位的凈化劑，

§--4,04W4,

所以濃度｛x)=4y='8_x

20—2x,4<xW10.

64

則當0<xW4時，由、——424解得0<xV8,所以此時0WxW4.

8—x

當4Vx<10時，由20-2x24解得x<8,所以此時4<xW8.

綜上得0WxW8,即若一次噴灑4個單位的凈化劑，則有效凈化時間可達8天.

(2)設從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WxW10)天，濃度

c1]r16j

g(x)=212J+@[_8—(x—6)

,八,16a…、?16。，

=10—xd-----------a=(14—-----------a—4

14-x14-x

(14—x)—a-4=8近—a-4.

因為6WxW10,所以14—xC[4,8],

而lWa<4,所以4W@[4,8],

故當且僅當14—x=4g時，y有最小值為8近一a—4.

令8由一〃一424,解得24-16/WaW4,所以。的最小值為24—16/71.6.

【典例2】為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，

新上了一種把二氧化碳處理轉化為可利用化工產品的項目.經(jīng)測算，該項目月處理成本興元)

卜―80X2+5040X,X￡[120,144),

與月處理量x(t)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y='i，且

'V-200x+80000,xe[144,500),

每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元,若該項目不獲利，國家將給予補償.

(1)當xd[200,300]時，判斷該項目能否獲利.如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國

家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？

(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

【解析】(1)當x￡[200,300]時，設該項目獲利為S,

￥-200》+80OOoj

則5=200x-

=-^+400x-80000=-1(x-400)2,

.?.當xW[200,300]時,S<0,因此該項目不獲利.

當x=300時，S取得最大值一5000,

,國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損.

⑵由題意，可知二氧化碳每噸的平均處理成本為

1x2-80x+5040,x￡[120,144),

-lx+S0000200>'CH，so。)

k2x

①當xW[120,144)時，

1=-x2-80x+5040=%—120)2+240,

x33

當x=120時,且取得最小值240.

x

②當x@[144,500)時,

^=1X(8000020()^/lxX80000_2oo=200,

x2x\j2x

當且僅當咽，即x=400時，上取得最小值200.

2xx

V200<240,...當每月的處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.

【題型六】尸x+%>0)型函數(shù)模型

X

[典例1]某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總

利潤興萬元)與營運年數(shù)X的關系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每

輛客車營運年數(shù)為.

【解析】根據(jù)圖象求得_y=—(x—6)2+ll,

???年平均利潤2=12—

X

Vx+—^10,當且僅當x=5時等號成立.

x

，要使平均利潤最大，客車營運年數(shù)為5.

【典例2]某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60。（如圖），考慮

防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為93平方米，且高度不低于3

米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長（梯形的上底線段8C與兩腰長的和）為y米.要使

防洪堤的上面與兩側面的水泥用料最省（即橫斷面的外周長最?。?，則防洪堤的腰長》=

________米.

當且僅當”=￥（2WX<6）,即時等號成立.

【題型七】已知函數(shù)模型的實際問題

【典例1】隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加

快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一

步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為300萬元，最

大產能為100臺.每生產x臺，需另投入成本G（x）萬元，且G（x）=

2x2+80x>0<xW40,

20]"36002100,40<xW100,由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年

.x

內生產的該產品當年能全部銷售完.

（1）寫出年利潤由（X）萬元關于年產量X臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入一成本）；

（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【解析】（1）由題意可得，當0<xW40時，

網(wǎng)x）=200x-（2x2+80x）-300

=-2x2+120x—300；

當40<xW100時，

(201x+/如-2lOol

伙x)=200x-lxJ-300

r+36oq

=-lxJ+l800,

—Ix1-^120x—300,0<xW40,

所以W(x)=1f,3600]

-IxJ+l800,40<x^l00.

(2)若0<xW40,%x)=-2(x—30>+l5005

所以當X=30時，印(X)max=l500萬元.

若40<xW100,

L+36001

%x)=-lxJ+1800

800

=-120+1800=1680,

當且僅當》='駟時，

X

即X=60時，做X)max=1680萬元.

所以該產品的年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.

【典例2】“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內

最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令

人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主

任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經(jīng)過時

間(30WW100)(單位：天)，增加總分數(shù)段)(單位：分)的函數(shù)模型：")=一,k為增

1+lg(z+1)

分轉化系數(shù)，尸為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且/(60)=)尸.現(xiàn)有某學生在高考前100

天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為(1g

61^1.79)()

A.440分B.460分

C.480分D.500分

【解析】由題意得,

/(60)=———=-=-P,

1+lg612.796

279

0465,

6

0.465X400186

/,/(100)=

1+lg1011+lg100+lg1.01

厚=62,

3

該學生在高考中可能取得的總分約為400+62=462心460(分).

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】(多選)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一方向運動，它們的路程

=l,2,3,4)關于時間x(x20)的函數(shù)關系式分別為力(x)=2x—l,力(x)=N,fi(x)=x,%(x)=log2(x

+1),則下列結論正確的是()

A.當x>l時，甲走在最前面

B.當x>l時，乙走在最前面

C.當0<x<l時，丁走在最前面，當x>l時，丁走在最后面

D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲

【解析】甲、乙、丙、丁的路程/(x)(i=l,2,3,4)關于時間x(x20)的函數(shù)關系式分別為力(x)=2、.

—1,j2(X)=X2,力(X)=X,/"X)=10g2(x+l),它們對應的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次

函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對數(shù)型函數(shù)模型.

當x=2時，力(2)=3,力(2)=4,所以A不正確；

當x=5時，力(5)=31,及(5)=25,所以B不正確；

根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的增長速度是先快后慢，又當x=l時，甲、乙、丙、

丁四個物體走過的路程相等，從而可知，當04<1時，丁走在最前面，當x>l時，丁走在最后

面，所以C正確；

指數(shù)型函數(shù)的增長速度是先慢后快，當運動的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數(shù)型

函數(shù)模型運動的物體，即一定是甲物體，所以D正確.

【訓練二】某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案，要求獎金興單位：萬元)隨投

資收益x(單位：萬元)的增加而增加，獎金不超過90萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.

即假定獎勵方案模擬函數(shù)為y=/(x)時，該公司對函數(shù)模型的基本要求是：當xe[25,1600]時，

①/(x)是增函數(shù)；②/(x)W90恒成立；③/(x)WM亙成立.

(1)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：(1)/3=6+10；(H)/(x)=2心一6.試分析這兩個函數(shù)模型是否符

合公司要求？

(2)已知函數(shù)/(x)=G6-10(a22)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)對于函數(shù)模型：(Iy(x)=±x+10,驗證條件③：當x=30時，./(x)=12,而1=6,

即不成立，故不符合公司要求；

對于函數(shù)模型：(11m)=24一6,

當[25,1600]時，條件①/(x)是增函數(shù)滿足；

，/(x)max=2^1600-6=2X40-6=74<90,滿足條件②；

對于條件③：

記g(x)=2心一6一；(25Wx〈l600),

則g(x)=—5)2—1,

?.?$￡[5,40],

當心=5時，

g(X)max=-1(5—5)2—1=-1W0,

〈:恒成立，即條件③也成立.

故函數(shù)模型：(II)/(x)=2心-6符合公司要求.

⑵?.,心2,

函數(shù)兒0=。心一10符合條件①；

由函數(shù)/(x)=a4-10符合條件②，

得600-10=a*40—10W90,

解得

2

由函數(shù)Hx)=a4-10符合條件③，

得6T5-10W,對xG[25,1600]恒成立，

即后落?半對問25,1600框成立.

.拉+埠、2股,當且僅當重=半，

5W5W

即x=50時等號成立，

:.aW2也

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是￡

【訓練三】如圖，建立平面直角坐標系x0,x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度

為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程卜=米一土（1+3比2（左>0）表示的

曲線上，其中左與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

y（千米）

0\1千米）

（1）求炮的最大射程；

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過

多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

【解析】（1）在y二代一^^+君/優(yōu)乂^中,

令y=0,得fee—，（1+嚴）/=0.

由實際意義和題設條件知x>0,左>0.解以上關于x的方程得》=3;=產^^=10,當且僅

1+N乩2

k

當k=\時取等號.

所以炮的最大射程是10千米.

（2）Va>0,炮彈可以擊中目標。存在七0,使尉一4（1+左2）/=3.2成立o關于左的方程層尼

-20必+4+64=0有正根,

2=（-20。）2—4〃2（序+64）20,

心+42=——>0,

得a1

次+64

。怖2=巴三巴>0,

CT

解得aW6.

所以當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標.

【訓練四】物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設物體的初始溫度是To,

經(jīng)過一定時間/（單位：min）后的溫度是T,則T—〃=（To—A）（J,其中乙稱為環(huán)境溫度，h

稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用85°C熱水沖的速溶咖啡，放在21°C的房間中，如果咖啡降到37°C

需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到29℃,還需要min.

【解析】由題意知〃=21℃.

令八=85℃,7=37℃,

16

得37—21=（85—21）6丫，；./?=8.

￡

令介=37℃,7=29℃,貝ij29-21=（37—21）（；）8,；“=8.

【訓練五】某禁毒機構測定，某種毒品服用后每毫升血液中的含毒量火微克）與時間《小時）之

間近似滿足如圖所示的曲線.

1

-

2

O|1-2初、時

⑴寫出服用毒品后p與/之間的函數(shù)關系式；

⑵據(jù)進一步測定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克時會有重度躁動狀態(tài)，求服用毒品后

重度躁動狀態(tài)的持續(xù)時間.

kt,0W/W1,

【解析】（1）由題中圖象，設歹=

當f=l時，由y=4,得k=4；

rn4t,0WK1,

由目ia=%得。=3.所以尸,因

[2J3,t>l.

a,

（2）由y20.50,得，或任）

14/20.5011JL3、O5O,

解得因此服用毒品后重度躁動狀態(tài)持續(xù)

O

4T=斗（小時）.

OO

【訓練六】近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車

公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資80萬元，由

前期市場調研可知：甲城市收益P與投入。(單位：萬元)滿足尸=4\發(fā)一6,乙城市收益。與

-a+2,80WaW120,

投入a(單位：萬元)滿足設甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城

32,120<aW160,

市的總收益為/(x)(單位：萬元).

(1)當投資甲城市128萬元時，求此時公司的總收益；

(2)試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？

【解析】(1)當x=128,即甲城市投資128萬元時，乙城市投資112萬元，

所以/(128)=4X\或諉一6+：X112+2=88(萬元).

因此，此時公司的總收益為88萬元.

⑵由題意知，甲城市投資x萬元，則乙城市投資Q40-X)萬元，

,卜280,

依題意得，解之得80<xW160,

124080,

當80Wx<120,即120<240-x^l60時，

,/(x)=4V2x-6+32=4匹+26<26+16vB.

當1204W160,即80這240-xW120時,

4x)—4\flx—6+~(240—x)+2

=--x+4\/2x+56.

4

令t={,貝i]re[2\5b,4\'TO],

所以尸-*+4缶+56=-*-8初+88.

當t=8也,即x=128時，y取最大值88.

因為88—(26+16715)=2X(31-8而)X),

故的最大值為88.

因此，當甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，總收益最大，且最大收益為88萬元

四、【強化測試】

【單選題】

1.有一商家從石塘沿水路順水航行，前往河口，途中因故障停留一段時間，到達河口后逆水

航行返回石塘，假設貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用的時

間為式小時），貨船距石塘的距離為興千米），則下列各圖中，能反映夕與X之間函數(shù)關系的大

致圖象是（）

【解析】A

2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中

的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

1、

A.y=2x—2B.y=-(x2-l)

C.y=log2XD.y=log^x

2

【解析】由題表可知函數(shù)在（0,十8）上是增函數(shù)，且y的變化隨X的增大而增大得越來越快，

分析選項可知B符合，故選B.

3.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經(jīng)歷了〃次漲停（每次上

漲10%）,又經(jīng)歷了n次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他費用）

為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

【解析】設該股民購這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a（l+10%）?=aX1.1"

元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為aXl.l?X（l-10%）,!=aX1.1?X0.9"=aX（1.1X0.9）B=0.99na<a,

故該股民這支股票略有虧損.故選B.

4.長征五號遙五運載火箭創(chuàng)下了我國運載火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功將嫦

娥五號探測器送入預定軌道，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度。（單位：km/s）和

燃料的質量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質量加（單位：kg）的函數(shù)關系是。=2

OOOlnP+那.若火箭的最大速度為11.2km/s,則燃料質量與火箭質量（除燃料外）的比值約為（參

考數(shù)據(jù)：e00056^1.0056）（）

A.1.0056B.0.5028C.0.0056D.0.0028

【解析】iu=20001n[1+^）=11.2,可得』1+7=頊2=0.0056,，必=6°0°56-1心00056.

2000m

故選C.

5.成都市某物流公司為了配合“北改”項目順利進行，決定把三環(huán)內的租用倉庫搬遷到北三

環(huán)外重新租地建設.已知倉庫每月占用費刈與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的

運費R與倉庫到車站的距離成正比.據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用

V，戶分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站（）

A.5千米處B.4千米處

C.3千米處D.2千米處

【解析】設倉庫應建在離車站x千米處.因為倉庫每月占用費A與倉庫到車站的距離成反比，

所以令反比例系數(shù)為加（加>0）,則巾="當x=10時，y\=^-=2,所以加=20.因為每月車載貨

x10

物的運費區(qū)與倉庫到車站的距離成正比，所以令正比例系數(shù)為〃（心0）,則戶=〃x.當x=10時，

yi=10n=8,所以〃=4,所以兩項費用之和為丁=刈+^2=劣+蟲22、/次?蟲=8,當且僅當生=

5x5\1x5x

AV*

—,即x=5時取等號.所以要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站5千米處.故選A.

6.某高校為提升科研能力，計劃逐年加大科研經(jīng)費投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費

1300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研

經(jīng)費開始超過2000萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg1.12Po.05,lg1.3Po.11,1g2P030）（）

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

【解析】若2018年是第一年，則第〃（〃WN+）年科研費為1300X1.12",由1300X1.12M>2000,

可得1g1.3+〃lg1.12>lg2,得〃X0.05>0.19,”>3.8,"24,即4年后，到2021年科研經(jīng)費超

過2000萬元.故選B.

7.某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400

臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關

系的是（）

A.y=100xB.j；=50x2-50x+100

C.y=50X2*D.y=1001og2x+100

【解析】根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證

即可得.故選C.

8.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足〃?2一如

=|lg1,其中星等為狽?的星的亮度為所代=1,2).已知太陽的星等是一26.7,天狼星的星等

是一1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10,0JB.10.1

C.1g10.1D.10一10」

【解析】根據(jù)題意，設太陽的星等與亮度分別為m與4,天狼星的星等與亮度分別為，〃2與

E2,則由已知條件可知如=一26.7,加2=-1.45,根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足"?2—加1=］愴

―,把m與m2的值分別代入上式得，-1.45-(—26.7)=*lg叢，得1g—=10.1;所以馬'=10"」，

Ei2￡*2￡*2Ei

故選A.

【多選題】

9.某工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質含量為

2%,現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少%則使產品達到市場要求的過濾次數(shù)可以為

(參考數(shù)據(jù)：lg2ko.301,lg3Po.477)()

A.6B.9C.8D.7

【解析】設經(jīng)過〃次過濾，產品達到市場要求，

則上-xtJw—,即匕

100100020

7

由—1g20,即〃(lg2—lg3)W—(l+lg2),

1+也2

得7.4,故選BC.

Ig3-lg2

10.小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄

了隨后一個月的有關數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量/(x)與時間x(天)之間的函數(shù)關系

.[記憶保持量

0.68k

—+1,0<X<10：2

/（%）={]2：=,“246810】2~~T則下列說法正確的是（）

二+工；工2,1vx430

1520

A.隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

【解析】由函數(shù)解析式可知人x）隨著x的增加而減少，故A正確；由圖象可得B正確；當1<XW30

時,外）=：+義/"則火9）W+^；x9-5=0.35,即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%,

故C正確；/（26）=g+^X26V>|,故D錯誤.

故選ABC.

11.在一次社會實踐活動中，某數(shù)學調研小組根據(jù)車間持續(xù)5個小時的生產情況畫出了某種產

品的總產量武單位：kg）與時間x（單位：h）的函數(shù)圖象，則以下關于該產品生產狀況的正確判

斷是（）

y/kg

~012345x/h

A.在前三小時內，每小時的產量逐步增加

B.在前三小時內，每小時的產量逐步減少

C.最后一小時內的產量與第三小時內的產量相同

D.最后兩小時內，該車間沒有生產該產品

【解析】由題圖得，前三小時的產量在逐步減少，故A錯誤，B項正確；最后兩小時內沒有

生產產品，故C項錯誤，D項正確.故選BD.

12.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點Z出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點8跑到點C,

共用時30s,他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設小明跑步的時間為心）,

他與教練間的距離為y（m）,表示y與/的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置不

可能是圖1中的（）

cB

A.點、MB.點N

C.點PD.點。

【解析】假設這個位置在點M,則從Z至8這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不

符，故/選項錯誤；假設這個位置在點N,則從/至。這段時間,/點與C點對應y的大小

應該相同，與函數(shù)圖象不符，故8選項錯誤；假設這個位置在點尸，則由函數(shù)圖象可得，從/

到。的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30s■時教練到小時的距離，而點P

不符合這個條件，故。選項錯誤；經(jīng)判斷點。符合函數(shù)圖象，故D選項正確，故選ABC.

【填空題】

13.某購物網(wǎng)站在11月份開展“全部6折”促銷活動，在11日當天購物還可以再享受“每張

訂單金額（6折后）滿300元時可減免100元”.某人在11日當天欲購入原價48元（單價）的商品

共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為.

【解析】為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免100

元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元.由于每件原價48元，因此每張訂單至少11件，

又42=11X3+9,所以最少需要下的訂單張數(shù)為3.

答案：3

14.某市用37輛汽車往災區(qū)運送一批救災物資，假設以。km/h的速度直達災區(qū)，已知某市到

PA?

災區(qū)公路線長400km,為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于匕（Jkm,那么這批物資全

部到達災區(qū)的最少時間是h_（車身長度不計）

【解析】設全部物資到達災區(qū)所需時間為/h,由題意可知，，相當于最后一輛車行駛了

36X^Q）2+400km所用的時間，

m36X（2（J+40036v,400^./36u^400

因此，t=-------------=----1---22、/——X=12,

v400vV400v

當且僅當運=陋，即。=迎時取等號.

400v3

故這些汽車以迎km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間為12h.

3

答案：12

15.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實驗表明，該藥物釋放量

kt'0</<-，

2

y(mg/m3)與時間《h)的函數(shù)關系為y='ii(如圖所示)實驗表明，當藥物釋放量

—，，

\kt2

y<0.75(mg/m3)時對人體無害.

⑴2________

⑵為了不使人身體受到藥物傷害,