階段性檢測(cè)1.3（難）（范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)）（解析版）

階段性檢測(cè)1.3（難）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得集合P，計(jì)算函數(shù)的定義域得集合Q，再計(jì)算兩個(gè)集合的交集.【詳解】解不等式得，又因?yàn)椋瑒t集合，因?yàn)樵诤瘮?shù)中作真數(shù)，所以，得，集合，得.故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，得，所以，所以時(shí)，不一定成立，而時(shí)，一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題為真命題可得，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】由“，”是真命題可知，不等式恒成立，因此只需易知函數(shù)在上的最小值為1，所以.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B4．已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求參，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】的解集為，故為方程的兩個(gè)根，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故選：A.5．已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知，存在，使得，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得，即，可得，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故.故選：B.6．已知函數(shù)，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較自變量與1的差的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向上，對(duì)稱軸為，且，又，而，所以，即，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)得，因?yàn)?，又，所以，即，所以由二次函?shù)的性質(zhì)得，綜上，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即.故選：B.7．設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，再分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)易知：在上單調(diào)遞增，且故在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，充分性；當(dāng)時(shí)，即，必要性；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，充分必要條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8．定義:設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，若，使得，都有，則稱a是A的最大（?。┲?若B是一個(gè)不含零的非空實(shí)數(shù)集，且是B的最大值，則（）A．當(dāng)時(shí)，是集合的最小值B．當(dāng)時(shí)，是集合的最大值C．當(dāng)時(shí)，是集合的最小值D．當(dāng)時(shí)，是集合的最大值【答案】D【分析】集合的新定義問題，依據(jù)題目進(jìn)行判定即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，是集合B中最小的正數(shù)，但B中還有負(fù)數(shù)的存在，所以既不是集合中最大，也不是最??；當(dāng)時(shí)，集合B中的任意元素，從而，所以，是集合最大值.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．若，則，C．函數(shù)的值域?yàn)镈．在上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可判斷A選項(xiàng)；利用換元法求函數(shù)的解析式，可判斷B選項(xiàng)；利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的值域，可判斷C選項(xiàng)；利用反比例型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋珹錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，令，可得，所以，，其中，所以，，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，即函?shù)的值域?yàn)?，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的減區(qū)間為、，但函數(shù)在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：BC.10．已知函數(shù)（），則（

）A．對(duì)任意的，函數(shù)都只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有成立C．當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D．當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根【答案】BCD【分析】作出選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，作出和的圖象，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)都有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)，都有成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，令，則，解得，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)解，所以方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，方程的根為的根，令，作出，的函數(shù)圖象，可知函數(shù)，有三個(gè)交點(diǎn)，其中包括，即方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故D正確，

故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的基本方法是利用換元，即令，然后不斷分析，層層遞進(jìn)，即可求解.11．已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是2C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式，及條件等式，雙變量化成單變量可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):因?yàn)?，，且，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，解得，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng):因?yàn)?，，且，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，解得，故B正確.對(duì)于C選項(xiàng):因?yàn)?，，且，所以，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng):因?yàn)椋?，且，所以，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選:ABD.12．設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．不是函數(shù)的極大值點(diǎn).【答案】BD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式作出相應(yīng)圖象，利用極值點(diǎn)定義一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，不妨取，此時(shí)，作出函數(shù)圖像如圖：此時(shí)函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象如圖：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)：，B正確；對(duì)于C，由A的分析可知，時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由以上分析可知當(dāng)時(shí)，，且為的對(duì)稱軸，此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，D正確，故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解的一個(gè)充分條件是．（寫出一個(gè)滿足條件的的取值范圍即可）【答案】（答案不唯一）【分析】先求得有實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件，再利用充分條件與集合的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)橛袑?shí)數(shù)解，等價(jià)于，即，即，即，所以題干所求的一個(gè)充分條件只需是的子集即可，如等.故答案為：（答案不唯一）.14．設(shè)，，滿足，則.【答案】/【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及換底公式求解.【詳解】由可知，即，由可知，即，消去得，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，所以，故答案為：.15．已知［x]表示不超過的最大整數(shù)，定義函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是．①

②函數(shù)是奇函數(shù)③方程解集為

④函數(shù)是周期函數(shù)【答案】①③④【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的定義，可設(shè)函數(shù)，結(jié)合不等關(guān)系、奇函數(shù)定義，周期可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，對(duì)于①，顯然，則，故①正確；對(duì)于②，，而，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，即，故③正確；對(duì)于④，，，故，是周期函數(shù)，故④正確.故答案為：①③④.16．已知，，記，則的最小值為．【答案】/【分析】設(shè)，，．由題意知，的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，求解即可.【詳解】設(shè)，，．由題意知，的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方的最小值．易知，曲線與直線沒有交點(diǎn)，則當(dāng)曲線在點(diǎn)A處的切線平行于B所在的直線，且AB連線與直線垂直時(shí)，兩點(diǎn)間距離最小．由，得，直線的斜率，令，解得，則，所以點(diǎn)A到直線的距離，故M的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步棸。17．已知集合，，或.(1)若，求的取值范圍．(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)得出，通過對(duì)集合分類討論解.（2）依據(jù)并集定義和實(shí)數(shù)集，解.【詳解】（1）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)解得；當(dāng)時(shí)，要使，則解得.綜上，的取值范圍為.（2）因?yàn)?，所以解?18．已知函數(shù)滿足(1)求的解析式；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.①若“”為假命題；②若“”為真命題.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用換元法，可得答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立或有解問題，分情況討論，可得答案.【詳解】（1）令，則，即，故.（2）若選：①，由“”為假命題，則“”為真命題，不等式，整理可得，則問題等價(jià)于在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式整理為，顯然成立；當(dāng)時(shí)，可得，由，整理可得，解得，即可得；綜上所述，.若選：②，不等式，整理可得，則問題等價(jià)于在上有解，當(dāng)時(shí)，不等式整理為，顯然不成立；當(dāng)，即時(shí)，可得或，則，整理可得，解得或，即可得；當(dāng)，即時(shí)，令，該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則命題顯然成立；綜上所述，.19．一艘船上的某種液體漏到一片海域中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在該片海域中投放一種與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放個(gè)單位的藥劑，它在海水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為（投放當(dāng)天），其中若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)海水中藥劑的濃度不低于6（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放2個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次投放4個(gè)單位的藥劑，6天后再投放（第二次投放）個(gè)單位的藥劑，要使第二次投放后的5天（含投放當(dāng)天）能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．【答案】(1)1天(2)2【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，結(jié)合基本不等式求得最小值，列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)為空集；綜上可得，一次投放個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間為1天．（2）解：當(dāng)時(shí)，可得，根據(jù)題意，可得對(duì)于恒成立，因?yàn)?，而，所以，由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，令，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為．20．已知函數(shù)（為正常數(shù)），且．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的函數(shù)值，求出參數(shù)作答.（2）由（1）求出函數(shù)在上的取值集合，再利用二次函數(shù)性質(zhì)分段討論在上取值集合作答.【詳解】（1）依題意，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，所以的解析式是.（2）由（1）知，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，而的值域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)在上的取值集合為，又恒成立，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，取值集合為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋虼?，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)值域問題，先求出每一段在各自對(duì)應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)值集合，再求出這些集合的并集即可.21．已知函數(shù)且．(1)試討論的值域；(2)若關(guān)于的方程有唯一解，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，根據(jù)，分和討論求解；（2）根據(jù)方程只有一個(gè)解，轉(zhuǎn)化為有唯一解，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有唯一解求解.【詳解】（1）解：．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?）因?yàn)殛P(guān)于的方程只有一個(gè)解，所以有唯一解．令，所以有唯一解．關(guān)于的方程有唯一解，設(shè)．當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，所以一定有一個(gè)解，符合題意．當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，不符合題意．綜上，的取值范圍為．22．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析