高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練4-7正弦定理余弦定理的應(yīng)用舉例

核心考點·精準(zhǔn)研析考點一測量距離問題1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC= ()A.240(QUOTE1)m B.180(QUOTE1)mC.120(QUOTE1)m D.30(QUOTE+1)m2.一船以每小時15QUOTEkm的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛4小時后,船到達(dá)C處,看到這個燈塔在北偏東15°,這時船與燈塔的距離為 ()A.60km B.60QUOTEkm C.30QUOTEkm D.30km3.(2019·衡陽模擬)如圖,為了測量A,C兩點間的距離,選取同一平面上B,D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B與∠D互補,則AC的長為 ()A.7km B.8km C.9km D.6km4.如圖,海中有一小島C,一小船從A地出發(fā)由西向東航行,望見小島C在北偏東60°,航行8海里到達(dá)B處,望見小島C在北偏東15°,若此小船不改變航行的方向繼續(xù)前行2(QUOTE1)海里,則離小島C的距離為 導(dǎo)學(xué)號()A.8(QUOTE+2)海里 B.2(QUOTE1)海里C.2(QUOTE+1)海里 D.4(QUOTE+1)海里【解析】1.選C.記氣球在地面的投影為D,在Rt△ABD中,cos15°=QUOTE,又cos15°=cos(60°45°)=QUOTE,所以AB=QUOTE.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTEAB=120(QUOTE1)(m).2.選A.畫出圖形如圖所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15QUOTE=60QUOTE,∠B=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=60,所以船與燈塔的距離為60km.3.選A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcosB,即AC2=25+642×5×8cosB=8980cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC22AD·DCcosD,即AC2=25+92×5×3cosD=3430cosD.因為∠B與∠D互補,所以cosB=cosD,所以QUOTE=QUOTE,解得AC=7(km).4.選C.BC=QUOTE=QUOTE=4QUOTE,所以離小島C的距離為=QUOTE=2(QUOTE+1)海里.距離問題的常見類型及解法1.類型:測量距離問題常分為三種類型:山兩側(cè)、河兩岸、河對岸.2.解法:選擇合適的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將實際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.【秒殺絕招】直角三角形解T1,記氣球在地面的投影為D,在Rt△ACD中,tan60°=QUOTE,所以CD=60QUOTE,在Rt△ABD中,因為tan15°=QUOTE,tan15°=tan(60°45°)=QUOTE=2QUOTE,所以BD=12060QUOTE,所以BC=CDBD=120(QUOTE1)(m).考點二測量高度問題【典例】1.一架直升飛機在200m高度處進行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為 ()A.QUOTEm B.QUOTEmC.QUOTEm D.QUOTEm2.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為;塔BB1的高為m. 導(dǎo)學(xué)號【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由“測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°”,想到作圖,建立數(shù)學(xué)模型2由“60m”“從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍”“從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角”,想到△A1AC∽△CBB【解析】1.選A.如圖所示.在Rt△ACD中,CD=QUOTE=BE,在△ABE中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE,DE=BC=200QUOTE=QUOTE(m).2.設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為α,則AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因為從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,所以△A1AC△CBB1,所以QUOTE=QUOTE,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=QUOTE(負(fù)值舍去),所以tan2α=QUOTE,BB1=60tan2α=45m.答案:QUOTE45求解高度問題的關(guān)注點1.在處理有關(guān)高度問題時,要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.1.(2019·宜春模擬)某工廠實施煤改電工程防治霧霾,欲拆除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C,D,測得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在點C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30°,且CE=1米,則煙囪高AB=米【解析】∠CBD=180°∠BCD∠BDC=45°,在△CBD中,由正弦定理得BC=QUOTE=20QUOTE,所以AB=1+tan30°·CB=1+20QUOTE(米).答案:(1+20QUOTE)2.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°30°=45°,根據(jù)正弦定理知,QUOTE=QUOTE,即BC=QUOTE×sin∠BAC=QUOTE×QUOTE=300QUOTE(m),所以CD=BC×tan∠DBC=300QUOTE×QUOTE=100QUOTE(m).答案:100QUOTE考點三測量角度問題命題精解讀1.考什么:航行方向問題,航行時間、速度問題等等.2.怎么考:考查運用正弦定理、余弦定理解決航向,時間,速度等實際問題.3.新趨勢:運用正弦定理、余弦定理解決實際問題.學(xué)霸好方法1.不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時可以畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤.方向問題【典例】如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的 導(dǎo)學(xué)號()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°【解析】選D.由條件及題干圖知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.解決測量角度問題時有哪些注意事項?提示:1.測量角度時,首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義.2.求角的大小時,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解應(yīng)用題時,要由已知正確畫出示意圖,通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題中也要注意體會正、余弦定理使用的優(yōu)點.時間、速度問題【典例】如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45°方向600kmA處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動,距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為 導(dǎo)學(xué)號()A.14h B.15h C.16h D.17h【解析】選B.記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)點B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t22×20t×600×QUOTE,令OB2≤4502,即4t2120QUOTEt+1575≤0,解得QUOTE≤t≤QUOTE,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為QUOTEQUOTE=15(h).如何求解碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間?提示:已知熱帶風(fēng)暴速度,所以將時間問題轉(zhuǎn)化為路程問題,即求出碼頭受到熱帶風(fēng)暴影響時的風(fēng)暴路線長度.運用解三角形知識求解即可.1.如圖所示,已知兩座花壇A和B與教學(xué)樓C的距離相等,花壇A在教學(xué)樓C的北偏東40°的方向上,花壇B在教學(xué)樓C的南偏東60°的方向上,則花壇A在花壇B的的方向上.【解析】由已知,∠ABC=QUOTE(180°80°)=50°,所以花壇A在花壇B的北偏西10°的方向上.答案:北偏西10°2.在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東,大小為km/h.【解析】如圖∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202800cos120°=1200,故OC=20QUOTE,∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE1.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選B.由已知,AD=20QUOTEm,AC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.2.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(QUOTE1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10QUOTE海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.【解析】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時,才能最快截獲(在D點)走私船,則CD=10QUOTEt海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC=(QUOTE1)2+222(QUOTE1)×2×cos120°=6,解得BC=QUOTE,又因為QUOTE=QUOTE,所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠AB