2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸納與達標檢測第38講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（講）

第38講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（講）思維導(dǎo)圖知識梳理eq\a\vs4\al(1.簡單幾何體,1多面體的結(jié)構(gòu)特征)名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形①特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(平行四邊形))eq\x(\a\al(平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(\a\al(直平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(矩形))eq\x(長方體)eq\o(→,\s\up7(底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正方體)②多面體的關(guān)系：eq\x(棱柱)eq\o(→,\s\up7(一個底面退化),\s\do5(為一個點))eq\x(棱錐)eq\o(→,\s\up7(用平行于底面的),\s\do5(平面截得))eq\x(棱臺)(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球▲圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l4．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3題型歸納題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例11】給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D.3【解析】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等．【答案】A【跟蹤訓(xùn)練11】下列命題正確的是()A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【解析】如圖所示，可排除A、B選項．對于D選項只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分，故選C.【答案】C【跟蹤訓(xùn)練12】(多選)給出下列命題，其中真命題是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直C．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D．存在每個面都是直角三角形的四面體【解析】A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個二面角都是直二面角；C正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC【答案】BCD【名師指導(dǎo)】辨別空間幾何體的2種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可題型2空間幾何體的表面積【例21】(1)(2019·四川瀘州一診)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．(5＋eq\r(2))π B．(4＋eq\r(2))πC．(5＋2eq\r(2))π D.(3＋eq\r(2))π(2)(2020·河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為(A．4＋4eq\r(2) B．4＋4eq\r(3)C．12 D.8＋4eq\r(2)[解析](1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，∴該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.故選A.(2)連接A1B.因為AA1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(2).又AB⊥BC，則AB＝eq\r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2eq\r(2)×2＋2×2＝4＋4eq\r(2).[答案](1)A(2)A【跟蹤訓(xùn)練21】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.【解析】將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．【答案】2600π【名師指導(dǎo)】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積題型3空間幾何體的體積【例31】(2019·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為[解析]如圖，取BC中點O，連接AO.∵正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3).∵AA1∥平面BCC1B1，∴點D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3).又Seq\a\vs4\al(△BB1C1)＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴Veq\a\vs4\al(D-BB1C1)＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).[答案]eq\f(2\r(3),3)【例32】(1)(2019·全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．[解析](1)由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，則△BHC中BC邊的高h＝eq\f(\r(2),2).∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).[答案](1)118.8(2)eq\f(\r(2),3)【例33】如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)[解析]易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).[答案]A【跟蹤訓(xùn)練31】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2eq\r(3)cm，側(cè)面積為8eq\r(3)cm2，則它的體積為________cm3.【解析】記正四棱錐P-ABCD的底面中心為點O，棱AB的中點為H，連接PO，HO，PH，則PO⊥平面ABCD，因為正四棱錐的側(cè)面積為8eq\r(3)cm2，所以8eq\r(3)＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝eq\r(3)，所以PO＝1，所以VP-ABCD＝eq\f(1,3)·S正方形ABCD·PO＝4cm3.【答案】4【跟蹤訓(xùn)練32】如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點，則四棱錐P-AA1C1C【解析】如圖，把三棱柱ABC-A1B1C1補成平行六面體A1D1B1C1-ADBC.設(shè)P到平面AA1C1C的距離為h，則Veq\a\vs4\al(P-AA1C1C)＝eq\f(1,3)Seq\a\vs4\al(AA1C1C)·h＝eq\f(1,3)Veq\a\vs4\al(AA1C1C-DD1B1B)＝eq\f(1,3)·2Veq\a\vs4\al(ABC-A1B1C1)＝eq\f(2V,3).【答案】eq\f(2V,3)【名師指導(dǎo)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解割補法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積等體積法一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積題型4與球有關(guān)的切、接問題【例41】(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D.eq\r(6)π[解析]法一：∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB.∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC，又∵三棱錐P-ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC，從而PB⊥平面PAC，∴三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直．∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，則球O是棱長為eq\r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2R＝eq\r(3)×eq\r(2)，R＝eq\f(\r(6),2)，∴球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)π.故選D.法二：令PA＝PB＝PC＝2x(x>0)，則EF＝x，連接FC，由題意可得FC＝eq\r(3).在△PAC中，cos∠APC＝eq\f(4x2＋4x2－4,2×4x2)＝eq\f(2x2－1,2x2).在△PEC中，EC2＝PC2＋PE2－2PC·PEcos∠EPC＝4x2＋x2－2×2x·x·eq\f(2x2－1,2x2)＝x2＋2，在△FEC中，∵∠CEF＝90°，∴FC2＝EF2＋EC2，即x2＋2＋x2＝3，∴x＝eq\f(\r(2),2)，∴PA＝PB＝PC＝2x＝eq\r(2).∵AB＝BC＝CA＝2，∴三棱錐P-ABC的三個側(cè)面為等腰直角三角形，∴PA，PB，PC兩兩垂直，故球O是棱長為eq\r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2R＝eq\r(3)×eq\r(2)，R＝eq\f(\r(6),2)，∴球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)π.故選D.[答案]D【例42】(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．[解析](1)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則r＝eq\f(3\