復(fù)變函數(shù)04吉大

第三節(jié)柯西積分公式

柯西積分公式

考慮積分

設(shè)f(z)在閉曲線C所在的區(qū)域內(nèi)解析,z0為C內(nèi)的點(diǎn)，則有

(1)被積函數(shù)在C上連續(xù),積分I必然存在；

(2)被積函數(shù)在z0點(diǎn)不解析,I不一定為0.

例如f(z)≡1時(shí)：1

根據(jù)閉路變形原理,積分I的值沿任何一條圍繞z0的簡單閉曲線都是相同的.

因此取以z0為中心,半徑r>0很小的的正向圓周|z－z0|=r為積分曲線Cr,則有因此,I只與f(z)在z0點(diǎn)附近的值有關(guān).

可得

2

由于f(z)連續(xù),并且積分

I在C上的值與r

無關(guān),令r0得：f(z)

f(z0)即3

上式稱為柯西積分公式

柯西積分公式若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析;

C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線;

它的內(nèi)部完全含于D;

z0為C內(nèi)的任意一點(diǎn).則4

柯西積分公式的進(jìn)一步說明

對于由簡單閉曲線C圍成的有界閉區(qū)域上的解析函數(shù),它在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的值可以用它在邊界C上的值來表示；

柯西公式是解析函數(shù)的最基本的特性之一，對于復(fù)變函數(shù)理論本身及其應(yīng)用都是非常重要的.5

柯西積分公式應(yīng)用舉例

例計(jì)算積分6第四節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

在實(shí)函數(shù)中,一階導(dǎo)數(shù)的存在,并不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在.而復(fù)變函數(shù)只要在某區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)便有特別好的性質(zhì).

解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析的.即解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在.

函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異.7

解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為其中閉曲線C為f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0

的任意一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.

本定理證明較長，請同學(xué)們參見教材。8

解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的常見應(yīng)用計(jì)算某些特定閉曲線的積分

例計(jì)算積分,C為正向圓周：|z|=r>1

解9被積函數(shù)在C內(nèi)的z=

i處不解析.在C內(nèi)作互不相交的正向圓周C1,C2分別只包含i

,－i.由復(fù)合閉路定理101112第五節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

若二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)滿足Laplace(拉普拉斯)方程

調(diào)和函數(shù)的定義則稱u(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。13

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定理

設(shè)f(z)=

u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則函數(shù)f(z)的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證明由f(z)=

u(x,y)+i

v(x,y)在D內(nèi)解析，則u,v滿足C－R方程，即由解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，即解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，因而解析函數(shù)的實(shí)14部和虛部具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將上式中的兩個(gè)等式分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，得因此u與v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).15

共軛調(diào)和函數(shù)

設(shè)u(x,y)與v(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).若在區(qū)域D內(nèi)函數(shù)f(z)=

u(x,y)+i

v(x,y)是解析函數(shù)，則v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).即

解析函數(shù)的虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)的等價(jià)定義

在D內(nèi)滿足C－R方程16的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u和v，v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)的常見應(yīng)用若知道解析函數(shù)f(z)=u+iv實(shí)部和虛部中的一個(gè)，利用C－R方程，就可求出另一個(gè).具體解法如下：

已知u(x,y)是調(diào)和函數(shù)，先求出u(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)17由C－R方程再利用上式結(jié)果，求v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)解出g

(x),再求g

(x)的積分,得到v(x,y).

已知v(x,y),求u(x,y)的方法基本相同.18

例證明u(x,y)=y3－3x2y為調(diào)和函數(shù),并求出其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù).

解先證明u為調(diào)和函數(shù).因?yàn)?9再利用C－R方程解出v.u(x,y)=y3－3x2y20相應(yīng)得到的解析函數(shù)為21

例已知調(diào)和函數(shù)v=ex(ycosy+xsiny)+x+y，求一解析函數(shù)f(z)=u+iv.使f(0)=0.

解2223由f(0)=0,得C=0.將上式整理得所以2425

下面介紹已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)或v(x,y),求解析函數(shù)f(z)=u+iv的另一種方法.

由解析函數(shù)f(z)=u+iv的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，有把ux－iuy與vy+ivx表成自變量為z(z=x+iy)的函數(shù),得26

例已知u(x,y)=y3－3x2y,求以u(x,y)為實(shí)部所構(gòu)成的解析函數(shù)f(z)=u+iv.

解因?yàn)閒(z)=u+iv解析，所以

于是求f(z)的過程就意味著求U(z)或V(z)

的原函數(shù)的過程,這種方法可以稱為原函數(shù)法.27

因?yàn)閒(z)的實(shí)部u(x,y)=y3-3x2y沒有常數(shù),

所以C1不含實(shí)部，是純虛數(shù)，從而2