概率論前六章

第三章二維隨機變量及其分布多維隨機變量的引入§3.1二維隨機變量及其分布一.聯(lián)合分布函數(shù)定義：設隨機試驗E的樣本空間為

，對于每一樣本點

，有兩個實數(shù)X(

),Y(

)

與之對應，稱它們構(gòu)成的有序數(shù)組(

X,Y)

為二維隨機變量.注1：X，Y都是定義在

上的隨機變量，有ωΩx=X(ω)y=Y(ω)定義

對任意實數(shù)對(x,y)∈R2，稱二元函數(shù)

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).

一維隨機變量X、Y

的分布函數(shù)FX(x)與FY(y)稱為(X,Y)

的邊緣分布函數(shù).1.由聯(lián)合分布函數(shù)可確定邊緣分布函數(shù)xy0yx聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義xyx1x2y2y10練習：聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：1.單調(diào)不減性：F(x,y)分別對x,y單調(diào)不減。2.有界性：0≤F(x,y)≤13.右連續(xù)性：F(x,y)分別關(guān)于x或y為右連續(xù)。如教材第63頁例3.1.14.相容性：對任意x1<x2,y1<y2,有：xyx1x2y2y10注：

如果二元函數(shù)F(x,y)滿足上述4個性質(zhì)，則必存在二維隨機變量(X,Y)以F(x,y)為分布函數(shù)。n維隨機變量(X1

,X2

,…,Xn

)的聯(lián)合分布函數(shù)定義：x1,x2,…,xn

為n個任意實數(shù).由(X1

,X2

,…,Xn

)的聯(lián)合分布函數(shù)，可確定其中任意k個分量的聯(lián)合分布函數(shù)，稱為k維邊緣分布函數(shù).

例如：

思考：一維分布函數(shù)與二維分布函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別？二.聯(lián)合分布律定義：設二維隨機變量(X,Y)至多取可列對數(shù)值：稱(X,Y)為二維離散型隨機變量，稱式(*)為(X,Y)的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系：

思考：能否用邊緣分布律來確定

聯(lián)合分布律，原因是什么？

例3.1.2例3.1.1

多維隨機變量的聯(lián)合分布不僅與每個分量的邊緣分布有關(guān)，而且還與每個分量之間的聯(lián)系有關(guān)！三.聯(lián)合概率密度

定義

二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負的函數(shù)f(x,y)使得對任意實數(shù)對(x,y)，有

稱(X,Y)是連續(xù)型隨機變量，稱f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度.密度性質(zhì)這兩條可作為判斷一個二元函數(shù)是否是聯(lián)合概率密度的標準5)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度為帶參變量的積分例3.1.3例3.1.4例3.1.5

對邊緣概率密度的求解,實質(zhì)上是求帶參變量的積分.解決辦法:借助圖形.

難點:定積分的上下限.四.二維均勻分布設G

R2,面積為S(G),若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.特點:(X,Y)在G上服從均勻分布,設D

G

則有設X

~U(a,b)，(c,d)

(a,b)則例3.1.6約會問題例3.1.7五.二維正態(tài)分布定義：二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：1,0,0212121<>>rssrssmm均為常數(shù)，且，，，，其中()()()rsmsm;,;,,,222211NYXYX～服從二維正態(tài)分布，記為稱則X～命題3.1.1若見p71例3.1.10～Y～例：炮彈發(fā)射試驗炮彈在地面的命中點位置要由兩個隨機變量(X,Y)來確定。飛機在空中飛行的位置由三個隨機變量(X,Y,Z)來確定?？疾炷车貐^(qū)兒童的身體發(fā)育情況一般由兩個隨機變量(X,Y)來確定。

例3.1.1在1,2,3,4中隨機取出一數(shù)X,再隨機地從1~X中取一數(shù)Y，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。解：X

的分布律為:4321X

P{X=xi

}i,j=1,2,3,411/167/4813/4825/481/41/161/161/161/1641/401/121/121/1231/4001/81/821/40001/414321

YX

例3.1.2：(兩點分布)用一細繩將一小球懸掛于空中,現(xiàn)用一剪刀隨機的去剪細繩一次.剪中的概率為p.設剪中的次數(shù)為X,小球下落的次數(shù)為Y,試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律.

YX010100p1-p稱(X,Y)服從二維兩點分布.

例3.1.3

試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。XY011解：F(x,y)=02)當0≤x,y<1時3)當0≤x<1,y≥

1時f(x,y)的非零區(qū)域

1)當x<0,或y<0時已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為5)當x,y≥1時綜上所述：4)當0≤y<1,x≥1時XY011

例3.1.4X0Y求關(guān)于Y

的邊緣概率密度fY

(y)xy=1x=1分析：

求Y的邊緣概率密度，就是固定y對x求積分。實質(zhì)上是求含參變量的積分。對于y取不同的值，fY(y)的積分上下限是不相同的。已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度y=xX0Yy=xxy=1x=1解：

例3.1.5求：1)a2)邊緣概率密度3)P{X+Y>1}f(x,y)的非零區(qū)域

XYO12分析1)利用2)3)已知二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合概率密度為2)f(x,y)的非零區(qū)域

XYO123)f(x,y)的非零區(qū)域

XYO12

例3.1.6

停泊兩艘輪船的碼頭停泊。它們在一晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的。如果甲的停泊時間為1小時，乙的停泊時間為二小時。求它們中的任意一艘都不須等待碼頭空出的概率。XYO2424y+2=xx+1=y(約會問題):甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時XYO2424y+2=xx+1=y解：設甲在一晝夜到達的時刻為X,乙在一晝夜到達的時刻為Y.所求的概率為：

例3.1.7分析1)可設第一段的長度為X,

第二段的長度為Y0lXY2)x+y=l3)能構(gòu)成三角形的充要條件為：llol/2l/2把長為l的木棒,任意折成3段,求它們能構(gòu)成一個三角形的概率。解：設第一段的長度為X,

第二段的長度為Yx+y=l構(gòu)成三角形的充要條件llol/2l/2

例3.1.8設