中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題02整式及因式分解(10個(gè)高頻考點(diǎn))(舉一反三)(全國(guó)版)(原卷版+解析)

專題02整式及因式分解（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1整式的相關(guān)概念】 1【考點(diǎn)2整式的加減運(yùn)算】 3【考點(diǎn)3冪的運(yùn)算】 3【考點(diǎn)4整式乘法公式的運(yùn)用】 4【考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算】 5【考點(diǎn)6完全平方公式、平方差公式的幾何背景】 6【考點(diǎn)7因式分解】 7【考點(diǎn)8利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 8【考點(diǎn)9因式分解的應(yīng)用】 9【考點(diǎn)10圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】 10【要點(diǎn)1整式的相關(guān)概念】(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。(2)單項(xiàng)式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。(3)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。(4)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。(5)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變?！究键c(diǎn)1整式的相關(guān)概念】【例1】（重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年九年級(jí)二模數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的三次三項(xiàng)式A=?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a、b①當(dāng)2A?3B是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f=10②當(dāng)A·B中不含x3時(shí)，則f=6e；③當(dāng)x=1時(shí)，B=2；當(dāng)x=13時(shí)，B=19，則④d=?5⑤a+b+c=11A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-1】（2022·重慶八中三模）下列說法中，不正確的是（）A．?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是4 B．C．2πR2+3R是二次二項(xiàng)式 D．3x2【變式1-2】（2022·浙江臺(tái)州·一模）若多項(xiàng)式n?2xm+2?n?1x【變式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）某通訊公司推出以下收費(fèi)套餐，甲選擇了套餐A，乙選擇了套餐B，設(shè)甲的通話時(shí)間為t1分鐘，乙的通話時(shí)間為t月租費(fèi)（元/月）不加收通話費(fèi)時(shí)限（分）超時(shí)加收通話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/分）套餐A581500.3套餐B883500.3(1)請(qǐng)用含t1t1(2)若甲9月份通話時(shí)間為390分鐘，乙通話費(fèi)用和甲相同，求乙通話時(shí)間；(3)若甲和乙在10月份通話時(shí)間和通話費(fèi)用都一樣，則通話時(shí)間為______．【要點(diǎn)2整式的加減】(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。去括號(hào)法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。即括號(hào)外的因數(shù)的符號(hào)決定了括號(hào)內(nèi)的符號(hào)是否改變：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。【考點(diǎn)2整式的加減運(yùn)算】【例2】（2022·河北·一模）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x4+3x2+ax?1與3A．?2 B．2 C．4 D．?4【變式2-1】（2022·陜西省西安高新逸翠園學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知A=3x2?x+2y?4xy(1)求A?3B；(2)若A?3B的值與y的取值無關(guān)，求x的值．【變式2-2】（2022·廣東順德德勝學(xué)校三模）已知2x2ya+1?0.5x【變式2-3】（2022·陜西·西安市第三十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)做一道題：“已知兩個(gè)多項(xiàng)式A和B，計(jì)算2A+B”，他誤將2A+B看成A+B，求得的結(jié)果為9x2+2x?1(1)求多項(xiàng)式A；(2)請(qǐng)你求出2A+B的正確答案．【要點(diǎn)3冪的運(yùn)算】①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1?！究键c(diǎn)3冪的運(yùn)算】【例3】（2022·廣東廣州·二模）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【變式3-1】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)2+a3=a6B．（ab）2=ab2C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a-b）=a2-b2【變式3-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）掌握地震知識(shí)，提升防震意識(shí)．根據(jù)里氏震級(jí)的定義，地震所釋放出的能量E與震級(jí)n的關(guān)系為E=k×101.5n（其中【變式3-3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（覺醒年代）：2200QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道210=1024,?103其中對(duì)2200【要點(diǎn)4整式的乘除運(yùn)算】①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。⑤多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。【考點(diǎn)4整式乘法公式的運(yùn)用】【例4】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+1x(1)（x﹣1x）2(2)x4+1x【變式4-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式a2+(2t?1)ab+4b【變式4-2】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a=2m2?mn,b=mn?2【變式4-3】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)當(dāng)n=1999時(shí)，寫出整式A+B的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式A2(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算】【例5】（2022·重慶市綦江區(qū)東溪中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式A=x2+2y+m和B=y2?2x+n（①當(dāng)x=2且m+n=1時(shí)，無論y取何值，都有A+B≥0；②當(dāng)m=n=0時(shí)，A×B所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；③當(dāng)x=y時(shí)，一定有A≥B；④若m+n=2且A+B=0，則x=y；⑤若m=n，A?B=?1且x，y為整數(shù)，則x+y=1A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤【變式5-1】（2022·廣東廣州·中考真題）已知T=(a+3b)(1)化簡(jiǎn)T；(2)若關(guān)于x的方程x2+2ax?ab+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求【變式5-2】（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x?1),N=4x(x+1)，當(dāng)x=2時(shí)，請(qǐng)比較【變式5-3】（2022·重慶一中二模）對(duì)整式a2進(jìn)行如下操作：將a2與另一個(gè)整式x1相加，使得a2與x1的和等于a+12，表示為m1=a2+x1=a+12，稱為第一次操作；將第一次操作的結(jié)果m1與另一個(gè)整式y(tǒng)1相減，使得m1與y1的差等于a2?1，表示為m2=m①x2=6a+13；②y5+y7?x5?x7=20；③x2022?A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【考點(diǎn)6完全平方公式、平方差公式的幾何背景】【例6】（2022·湖北隨州·一模）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【變式6-1】（2022·湖北·武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，將圖1的正方形的紙片剪成四塊，再用這四塊小紙片進(jìn)行拼接，恰好拼成一個(gè)如圖2無縫隙、不重疊的矩形，則ba【變式6-2】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）如圖，圖1為邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式：______；（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算20222【變式6-3】（2022·安徽·六安市輕工中學(xué)一模）我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式。例如圖1可以得到(a+b)2=α2＋2ab＋b2，基于此，請(qǐng)解答下列問題∶（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式∶____________________。（2）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形、z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（5a+7b）（9a+4b）長(zhǎng)方形，則x+y+z=_____________?！疽c(diǎn)5因式分解】定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止?！究键c(diǎn)7因式分解】【例7】（2022·安徽蕪湖·二模）下列因式分解正確的是（

）A．a(chǎn)2b?abC．a(chǎn)3?2ab+ab【變式7-1】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若x2+mx+n分解因式的結(jié)果是(x?2)(x+1)，則A．-3 B．3 C．1 D．-1【變式7-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【變式7-3】（2022·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：m+n2【考點(diǎn)8利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例8】（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)二模）【閱讀理解】對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式x2+2ax?3a2中先加上一項(xiàng)x====像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．(1)【問題解決】請(qǐng)用上述方法將二次三項(xiàng)式x2(2)【拓展應(yīng)用】二次三項(xiàng)式x2(3)運(yùn)用材料中的添（拆）項(xiàng)法分解因式：a4【變式8-1】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)二模）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2(1)分解因式：a2(2)分解因式：x2【變式8-2】（2022·重慶八中二模）因式分解：(1?【變式8-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）因式分解：x【考點(diǎn)9因式分解的應(yīng)用】【例9】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）解決次數(shù)較高的代數(shù)式問題時(shí)，通?？梢杂媒荡蔚乃枷敕椒ǎ阎簒2?x?1=0，且x>0，則A．1+5 B．1?5 C．3+5【變式9-1】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）216?1可以被10?20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，那這兩個(gè)整數(shù)是（

）A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17【變式9-2】（2022·四川樂山·中考真題）已知m2+n【變式9-3】（2022·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將2a?3ab?4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】(1)請(qǐng)用分組分解法將x2【挑戰(zhàn)】(2)請(qǐng)用分組分解法將ax+a【應(yīng)用】(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和ba>b，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a【考點(diǎn)10圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】【例10】（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．297 B．301 C．303 D．400【變式10-1】（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，?35，12，?7A．?19101 B．21101 C．?【變式10-2】（2022·重慶·中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．13 C．11 D．9【變式10-3】（2022·山東泰安·中考真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對(duì)n,m表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如3,2表示6，則表示99的有序數(shù)對(duì)是_______．專題02整式及因式分解（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1整式的相關(guān)概念】 1【考點(diǎn)2整式的加減運(yùn)算】 5【考點(diǎn)3冪的運(yùn)算】 8【考點(diǎn)4整式乘法公式的運(yùn)用】 10【考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算】 13【考點(diǎn)6完全平方公式、平方差公式的幾何背景】 17【考點(diǎn)7因式分解】 21【考點(diǎn)8利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 23【考點(diǎn)9因式分解的應(yīng)用】 25【考點(diǎn)10圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】 29【要點(diǎn)1整式的相關(guān)概念】(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。(2)單項(xiàng)式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。(3)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。(4)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。(5)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變?！究键c(diǎn)1整式的相關(guān)概念】【例1】（重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年九年級(jí)二模數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的三次三項(xiàng)式A=?12x3+3x2?5=a(x?1)3+b(x?1)2+c(x?1)+d（其中a、①當(dāng)2A?3B是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f=10②當(dāng)A·B中不含x3時(shí)，則f=6e；③當(dāng)x=1時(shí)，B=2；當(dāng)x=13時(shí)，B=19，則④d=?5⑤a+b+c=11A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】計(jì)算2A?3B，令常數(shù)項(xiàng)為0可判斷①；計(jì)算A·B，令x3項(xiàng)系數(shù)為0可判斷②；由當(dāng)x=1時(shí)，B=2；當(dāng)x=13時(shí)，B=19列出方程組可解得e和f的值，從而判斷③；用特殊值法可求出【詳解】解：2A?3B＝2(?12＝?x∵2A?3B是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，e≠0，∴3f?10=0，解得f=10A·B=(?＝?7∵A·B中不含x3∴f2∴f=6e，故②正確；∵x=1時(shí)，B=2；當(dāng)x=13時(shí)，∴7?e?f=27解得e=132，在?12x?1∴d=?5在?12x?4+12?5=a+b+c+d，∵d=?5∴a+b+c=11∴正確的有①②③④⑤，共5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算相關(guān)法則．【變式1-1】（2022·重慶八中三模）下列說法中，不正確的是（）A．?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是4 B．C．2πR2+3R是二次二項(xiàng)式 D．3x2【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的相關(guān)定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.?abc2的系數(shù)是?1，次數(shù)是B.3xy4πC.2πRD.3x2?6x+1的項(xiàng)是3x2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的相關(guān)定義，掌握單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·浙江臺(tái)州·一模）若多項(xiàng)式n?2xm+2?n?1x【答案】2或4##4或2【分析】分類討論，根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)為三次，超過三次的項(xiàng)的系數(shù)為0，即可求得m,n的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵多項(xiàng)式n?2xm+2?當(dāng)m+2=3n?2≠0時(shí)，m=1，5?m=4，則n?1=0∴n=1∴m+n=2；當(dāng)5?m=3n?1≠0，m=2，m+2=4，則n?2=0∴n=2，∴m+n=4；故答案為：2或4．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的定義，掌握多項(xiàng)式的次數(shù)是最高次數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）某通訊公司推出以下收費(fèi)套餐，甲選擇了套餐A，乙選擇了套餐B，設(shè)甲的通話時(shí)間為t1分鐘，乙的通話時(shí)間為t月租費(fèi)（元/月）不加收通話費(fèi)時(shí)限（分）超時(shí)加收通話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/分）套餐A581500.3套餐B883500.3(1)請(qǐng)用含t1t1(2)若甲9月份通話時(shí)間為390分鐘，乙通話費(fèi)用和甲相同，求乙通話時(shí)間；(3)若甲和乙在10月份通話時(shí)間和通話費(fèi)用都一樣，則通話時(shí)間為______．【答案】(1)(0.3t1+13)(2)490分鐘；(3)250分鐘．【分析】（1）利用通話費(fèi)用=月租費(fèi)+超時(shí)加收通話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)×超時(shí)的時(shí)間，即可用含t1（2）根據(jù)甲、乙的通話費(fèi)用相同，即可得出關(guān)于t2（3）當(dāng)t1=t2時(shí)，設(shè)甲、乙的通話時(shí)間均為t分鐘，分為【詳解】（1）解：依題意得：甲的通話費(fèi)用為58+0.3(t乙的通話費(fèi)用為88+0.3(t（2）解：依題意得：0.3t解得t2答：乙的通話時(shí)間為490分鐘．（3）解：當(dāng)t1當(dāng)0＜當(dāng)150＜t≤350時(shí)，0.3t+13=88，解得當(dāng)t＞350時(shí)，∴甲和乙在10月份通話時(shí)間和通話費(fèi)用都一樣，則通話時(shí)間為250分鐘，故答案為：250分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是要讀懂題意找出等量關(guān)系才能正確列出方程．【要點(diǎn)2整式的加減】(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。去括號(hào)法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。即括號(hào)外的因數(shù)的符號(hào)決定了括號(hào)內(nèi)的符號(hào)是否改變：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反?！究键c(diǎn)2整式的加減運(yùn)算】【例2】（2022·河北·一模）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x4+3x2+ax?1與3A．?2 B．2 C．4 D．?4【答案】A【分析】先把兩個(gè)多項(xiàng)式相減整理得?2x4?7【詳解】解：x4==?2∵式子不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，∴3+b=0,a?1=0，∴b=?3,a=1，∴a+b=1?3=?2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，就說明二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)為0.【變式2-1】（2022·陜西省西安高新逸翠園學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知A=3x2?x+2y?4xy(1)求A?3B；(2)若A?3B的值與y的取值無關(guān)，求x的值．【答案】(1)5x+5y?7xy+15；(2)5【分析】（1）將A=3x2?x+2y?4xy（2）令y的系數(shù)為0可得關(guān)于x的方程，即可解得x的值．【詳解】（1）解：當(dāng)A=3x2?x+2y?4xyA?3B=3x=3x=5x+5y?7xy+15；（2）解：∵A?3B=5x+5y?7xy+15=5x+5?7x∴A?3B的值與y的取值無關(guān)，即5?7x=0，解得：x=【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算，熟練掌握取值無關(guān)題型的解題思路是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣東順德德勝學(xué)校三模）已知2x2ya+1?0.5x【答案】25．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式2x2ya+1?0.5xy2?6x【詳解】解：∵多項(xiàng)式2x∴2+a+1=6，解得a=3，∵單項(xiàng)式5x∴2b+2=6，解得b=2．∴a+b【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)的含義，單項(xiàng)式的次數(shù)，多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，最高次項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，利用多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的次數(shù)的含義建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·陜西·西安市第三十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)做一道題：“已知兩個(gè)多項(xiàng)式A和B，計(jì)算2A+B”，他誤將2A+B看成A+B，求得的結(jié)果為9x2+2x?1(1)求多項(xiàng)式A；(2)請(qǐng)你求出2A+B的正確答案．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根據(jù)題意可知A+B=9x2+2x?1，B=（2）根據(jù)（1）中求得的A和題目中的B，即可計(jì)算出2A+B的正確答案．【詳解】（1）解：由題意可得，A+B=9x2+2x?1∴A==9=9x=8x∴多項(xiàng)式A為8x（2）解:由（1）知：A=8x2?x+1∴2A+B=28=16x=17x∴2A+B的正確答案是17x【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)的方法．【要點(diǎn)3冪的運(yùn)算】①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。【考點(diǎn)3冪的運(yùn)算】【例3】（2022·廣東廣州·二模）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方法則．由32m?4n【詳解】∵32m?4n依題意得：4x2=2∴4x∴x=故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，以及冪的乘方運(yùn)算，關(guān)鍵是會(huì)逆用同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行變形．【變式3-1】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)2+a3=a6B．（ab）2=ab2C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a-b）=a2-b2【答案】D【分析】根據(jù)整式加法判定A；運(yùn)用積的乘方計(jì)算關(guān)判定B；運(yùn)用完全平方公式計(jì)算并判定C；運(yùn)用平方差公式計(jì)算并判定D．【詳解】解：A.a2+a3沒有同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B.（ab）2=a2b2，故此選項(xiàng)不符合題意；C.（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)不符合題意D.（a+b）（a-b）=a2-b2，故此選項(xiàng)符合題意故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查整理式加法，積的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則、完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）掌握地震知識(shí)，提升防震意識(shí)．根據(jù)里氏震級(jí)的定義，地震所釋放出的能量E與震級(jí)n的關(guān)系為E=k×101.5n（其中【答案】1000【分析】分別求出震級(jí)為８級(jí)和震級(jí)為6級(jí)所釋放的能量，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)能量E與震級(jí)n的關(guān)系為E=k×101.5n（其中當(dāng)震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量為：k×10當(dāng)震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放的能量為：k×10∵k×∴震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放能量的1000倍．故答案為：1000．【點(diǎn)睛】本題考查了利用同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減的知識(shí)，充分理解題意并轉(zhuǎn)化為所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（覺醒年代）：2200QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道210=1024,?103其中對(duì)2200【答案】DDDD【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將2200化為(2100)2，再與2002比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；根據(jù)2的乘方的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律即可判斷【詳解】2200是200個(gè)2相乘，YYDS2200=(∵2∴2的乘方的個(gè)位數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，∵200÷4=50，∴2200的個(gè)位數(shù)字是6，JXND∵2200=(∴2200>故答案為：DDDD．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)4整式的乘除運(yùn)算】①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。⑤多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加?！究键c(diǎn)4整式乘法公式的運(yùn)用】【例4】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+1x(1)（x﹣1x）2(2)x4+1x【答案】(1)5(2)47【分析】（1）由(x+1x)2＝x2+2?x?1x+1x（2）由(x?1x)2＝x2?2+1x2可得x（1）解：∵(x+1x)2＝x2+2?x?1x+1x2∴(x?1（2）解：∵(x?1x)2＝x2?2+1x2，∴x2+【點(diǎn)睛】本題主要考查通過對(duì)完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式a2+(2t?1)ab+4b【答案】52或【分析】直接利用完全平方公式求解．【詳解】解：∵代數(shù)式a2∴a2∴2t?1=±4，解得t=52或故答案為：52或【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a=2m2?mn,b=mn?2【答案】b<c<a【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再與0比較大小即可求解．【詳解】解：由題意可知：a?b=(2m∵m≠n，∴(m?n)2∴b<a；a?c=(2m2?mn)?(m2?n∴(m?∴c<a；c?b=(m2?故答案為：b<c<a．【點(diǎn)睛】本題考查了兩代數(shù)式通過作差比較大小，將作差后的結(jié)果配成完全平方式，利用完全平方式總是大于等于0的即可與0比較大小．【變式4-3】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)當(dāng)n=1999時(shí)，寫出整式A+B的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式A2(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)4×(2)((3)正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B=n（2）把A=n2+1，B=2n（3）先計(jì)算B2（1）解：A+B=n當(dāng)n=1999時(shí)，原式=1999+1=2000=4×10故答案為：4×10（2）A2=n=n=(（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：∵B=4n=n∴B∴當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算】【例5】（2022·重慶市綦江區(qū)東溪中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式A=x2+2y+m和B=y2?2x+n（①當(dāng)x=2且m+n=1時(shí)，無論y取何值，都有A+B≥0；②當(dāng)m=n=0時(shí)，A×B所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；③當(dāng)x=y時(shí)，一定有A≥B；④若m+n=2且A+B=0，則x=y；⑤若m=n，A?B=?1且x，y為整數(shù)，則x+y=1A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】主要是運(yùn)用整式的運(yùn)算法則及因式分解等知識(shí)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行一一判斷即可．【詳解】①當(dāng)x=2且m+n=1時(shí)，A+B=4+2y+m+y∵無論y取何值，總有y+12∴無論y取何值，都有A+B≥0，故①正確；②當(dāng)m=n=0時(shí)，A×B=x∴A×B所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；故②正確；③當(dāng)x=y時(shí)，A?B=x其結(jié)果與0無法比較大小，故③錯(cuò)誤；④若m+n=2且A+B=0，則A+B=x變形得：x?12∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④錯(cuò)誤；⑤若m=n，A?B=?1且x，y為整數(shù)，則A?B=x變形得：x+12因式分解得：x+yx?y+2∵x，y為整數(shù)，則必有x+y=1故⑤正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式運(yùn)算及因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算及因式分解．【變式5-1】（2022·廣東廣州·中考真題）已知T=(a+3b)(1)化簡(jiǎn)T；(2)若關(guān)于x的方程x2+2ax?ab+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求【答案】(1)6a(2)T=6【分析】(1)根據(jù)整式的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；(2)由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得到判別式△=4a2-4(-ab+1)=0即可得到a2（1）解：T=(=6a（2）解：∵方程x2∴?=(2a)2∴a2則T=6(a【點(diǎn)睛】本題考查了整式的四則運(yùn)算法則、一元二次方程的實(shí)數(shù)根的判別、整體思想，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運(yùn)算法則及一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x?1),N=4x(x+1)，當(dāng)x=2時(shí)，請(qǐng)比較【答案】M<N【分析】先計(jì)算出M?N=x2?2x，再把x=2代入，求得【詳解】解：∵M(jìn)=(x+1)∴M?N==x2=x2當(dāng)x=2時(shí)，M?N=2?2∵2>1∴22∴2?22∴M?N<0，即M<N．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則及作差法是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·重慶一中二模）對(duì)整式a2進(jìn)行如下操作：將a2與另一個(gè)整式x1相加，使得a2與x1的和等于a+12，表示為m1=a2+x1=a+12，稱為第一次操作；將第一次操作的結(jié)果m1與另一個(gè)整式y(tǒng)1相減，使得m1與y1的差等于a2?1，表示為m2=m①x2=6a+13；②y5+y7?x5?x7=20；③x2022?A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題意可得出規(guī)律為xn=(a+n)2?a2?(n?1)【詳解】解：根據(jù)題意可知，x1x2x3x4以此類推，可得xn由于y1y2y3y4以此類推，可得yn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，mn=(a+n+12∴x2=4a+5，故結(jié)論①錯(cuò)誤；y5+y7-x5-x7=（a+5）2-（a2-52）+（a+7）2-（a2-72）-[（a+5）2-（a2-42）]-[（a+7）2-（a2-62）]=52+72-42-62=22．故結(jié)論②錯(cuò)誤；x2022-y2021=（a+2022）2-（a2-20212）-[（a+2021）2-（a2-20212）]=（a+2022）2-a2+20212-（a+2021）2+a2-20212=（a+2022+a+2021）（a+2022-a-2021）=2a+4043．故結(jié)論③錯(cuò)誤；∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，mn=(a+n+12故結(jié)論④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型-數(shù)字的變化類、整式的混合運(yùn)算，能夠根據(jù)題意找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6完全平方公式、平方差公式的幾何背景】【例6】（2022·湖北隨州·一模）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【分析】根據(jù)面積相等，列出關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意這兩個(gè)圖形的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·湖北·武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，將圖1的正方形的紙片剪成四塊，再用這四塊小紙片進(jìn)行拼接，恰好拼成一個(gè)如圖2無縫隙、不重疊的矩形，則ba【答案】1+【分析】分別寫出兩個(gè)圖形的面積表達(dá)式，根據(jù)兩圖形的面積相等列方程，化成ba【詳解】圖1圖形的面積，a+b2圖2圖形的面積，ba+2b∴a∴b2∴ba∴ba∵ba∴ba【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握正方形、矩形面積公式，解ba【變式6-2】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）如圖，圖1為邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式：______；（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算20222【答案】

a2【分析】（1）根據(jù)圖1和圖（2）原式可化為20222【詳解】解：（1圖1中陰影部分的面積為：a2圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a?b，面積為：（a+b）（a?b），則兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，a2故答案為：a2（2）20222=2022=2022=2022=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式的幾何背景問題的解決方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·安徽·六安市輕工中學(xué)一模）我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式。例如圖1可以得到(a+b)2=α2＋2ab＋b2，基于此，請(qǐng)解答下列問題∶（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式∶____________________。（2）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形、z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（5a+7b）（9a+4b）長(zhǎng)方形，則x+y+z=_____________?！敬鸢浮?/p>

(a+b+c)2【分析】（1）結(jié)合圖形根據(jù)正方形的面積的兩種算法即可得出數(shù)學(xué)等式；（2）由題意可知所拼圖形的面積為xa2

+

yb2

+

zab，從而將(5a+7b)(9a+4b)展開得到

45a2

+

83ab

+

28b2，兩者對(duì)照即可得出x、y、z的值，進(jìn)而求和即可．【詳解】解：（1）∵正方形的面積=（a+b+c）2，正方形面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由題意可知，所拼圖形的面積為xa2

+

yb2

+

zab，∵(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+

63ab+

28b2，=

45a2

+

83ab

+

28b2∴x=45，y=

28，

z=

83，∴x+y+z=

45+

28+

83

=

156．【點(diǎn)睛】本題考多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式得背景，解題的關(guān)鍵是主要是從圖形的面積得出相關(guān)等式，從而利用等式的變形進(jìn)行求解，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．【要點(diǎn)5因式分解】定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。【考點(diǎn)7因式分解】【例7】（2022·安徽蕪湖·二模）下列因式分解正確的是（

）A．a(chǎn)2b?abC．a(chǎn)3?2ab+ab【答案】B【分析】對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行因式分解后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中a2B中a2C中a3D中a2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵在于對(duì)因式分解方法的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式7-1】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若x2+mx+n分解因式的結(jié)果是(x?2)(x+1)，則A．-3 B．3 C．1 D．-1【答案】A【分析】將(x?2)(x+1)展開變?yōu)閤2?x?2，可知m=-1，【詳解】解：由題意得(x?2)(x+1)=∵x2+mx+n分解因式的結(jié)果是∴m=-1，n=-2，∴m+n=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則以及因式分解，能夠理解兩者為互逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解為a2【詳解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查利用因式分解，解決問題的關(guān)鍵是掌握解題步驟：一提二套三檢查．【變式7-3】（2022·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：m+n2【答案】m+n?3【分析】將m+n看做一個(gè)整體，則9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：m+n==m+n?3故答案為：m+n?32【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，整體思想，能夠熟練逆用完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例8】（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)二模）【閱讀理解】對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式x2+2ax?3a2中先加上一項(xiàng)x====像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．(1)【問題解決】請(qǐng)用上述方法將二次三項(xiàng)式x2(2)【拓展應(yīng)用】二次三項(xiàng)式x2(3)運(yùn)用材料中的添（拆）項(xiàng)法分解因式：a4【答案】(1)x+4a(2)二次三項(xiàng)式x2(3)a【分析】（1）仿照題干所給示例進(jìn)行分解因式即可；（2）仿照題意將原多項(xiàng)式變?yōu)?x?2（3）仿照題干所給示例求解即可．【詳解】（1）解：x=====x+4a（2）解：x==x?2∵x?22∴x?22∴二次三項(xiàng)式x2（3）解：a====a【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，偶次方的非負(fù)性，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)二模）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2(1)分解因式：a2(2)分解因式：x2【答案】(1)(a+b?2)(a?b?2)(2)(x?7)(x+1)【分析】（1）根據(jù)分組分解法，將其分成a2（2）根據(jù)拆項(xiàng)法，得到x2（1）解：原式＝a==(a+b?2)(a?b?2)；（2）解：原式＝x===(x?7)(x+1)．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，理解材料分組分解法以及拆項(xiàng)法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·重慶八中二模）因式分解：(1?【答案】(xy?1?x?y)(xy?1+x+y)【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解，再分組，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到結(jié)論．【詳解】解：(1?=1?=(==(xy?1?x?y)(xy?1+x+y)．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，涉及到整式乘法運(yùn)算、分組分解因式和公式法分解因式，根據(jù)代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征準(zhǔn)確分組，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）因式分解：x【答案】x【分析】先構(gòu)造出完全平方公式，運(yùn)用完全平方公式分解，最后利用平方差公式進(jìn)行分解即可.【詳解】解：原式=x=x=x2【點(diǎn)睛】本題考查公式法分解因式，構(gòu)造出完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)9因式分解的應(yīng)用】【例9】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）解決次數(shù)較高的代數(shù)式問題時(shí)，通?？梢杂媒荡蔚乃枷敕椒ǎ阎簒2?x?1=0，且x>0，則A．1+5 B．1?5 C．3+5【答案】A【分析】首先解方程x2?x?1=0，然后利用整體代入的思想把x2【詳解】解：∵x∴x∵x>0，∴x=1+∴x=x=（=?x=?x?1+3x+1=2×1+=1+5故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分解因式的實(shí)際運(yùn)用，同時(shí)也考查了解一元二次方程，有一定的綜合性．【變式9-1】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）216?1可以被10?20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，那這兩個(gè)整數(shù)是（

）A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17【答案】D【分析】根據(jù)因式分解化簡(jiǎn)216?1即可．【詳解】解：216?1=（28+1）（28?1）=（28+1）（24+1）（24?1）=（28+1）×17×15即，216?1的計(jì)算結(jié)果可以被17和15整除，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握用平方差公式分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·四川樂山·中考真題）已知m2+n【答案】4【分析】根據(jù)已知式子，湊完全平方公式，根據(jù)非負(fù)數(shù)