挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)專題2.2平行線四大模型與動態(tài)角度問題專題講練(原卷版+解析)

專題2.2平行線四大模型與動態(tài)角度問題專題講練平行線基本模型與動態(tài)角度問題在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，該份資料就平行線的四大模型（鉛筆模型、豬蹄模型、拐彎模型、“5”字模型）和動態(tài)模型（翻折、旋轉(zhuǎn)）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。重要模型模型1：豬蹄模型（M型）【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.例1、（2022.廣東省初一月考）如圖所示，已知：AB∥CD，求證：∠APC=∠A+∠C；變式1.（2022·廣西·七年級專題練習）如圖，已知直線，直線與，分別交于點A，B，直線與，分別交于點C，D，P是直線上的任意一點(不與點C，D重合).探究，，之間的關(guān)系，可以得到的結(jié)論是________.變式2．（2023·廣西貴港·七年級期末）如圖，平面內(nèi)直線，點，，分別在直線，，上，平分，并且滿足，則，，關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東·德州七年級期中）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點E作∵∵，∴∴∴∴請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．變式3．（2023·安徽·潛山市七年級階段練習）如圖，點A，B，C，D是的兩條射線上的點（異于點O），且，，．(1)如圖1，當點P在A，B兩點之間運動時，問與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)當點P在射線BM上時（異于點B），與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請在圖2中畫出圖形，并說明理由；(3)當點P位于直線AD與BC之間且在直線CD下方時，與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請在圖3中畫出圖形，并說明理由．變式4.（2022·四川·西川中學七年級期中）已知，點、分別是、上的點，點在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，分別作和的平分線交于點，求的度數(shù)．（3）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知．則判斷以下兩個結(jié)論是否正確，并證明你認為正確的結(jié)論．①為定值；②為定值．模型2：鉛筆頭模型【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2022.河北七年級月考）如圖，已知：AB∥CD，求證：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；變式1．（2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號）變式2．（2022·黑龍江·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應為（）A． B． C． D．例2．（2022·福建泉州七年級期末）問題情境：我市某中學班級數(shù)學活動小組遇到問題：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．（1）按該數(shù)學活動小組的思路，請你幫忙求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖3，∥，點在、兩點之間運動時，，．請你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）拓展應用：如圖4，已知兩條直線∥，點在兩平行線之間，且的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，求的度數(shù)．變式3．（2022·吉林白山·七年級期中）如圖，已知直線．這兩直線之間一點．（1）如圖1，若與的平分線相交于點，若，求的度數(shù)．（2）如圖2，若與的平分線相交于點，與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，若的平分線與的平分線所在的直線相交于點，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．變式4．（2023·湖北武漢·七年級期末）如圖，已知，M，N分別是直線AB，CD上一點，點E在直線AB，CD之間．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，F(xiàn)是EM上一點，NE平分，F(xiàn)H平分，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，P為直線MN上一動點（不與點N重合），過點P作交直線CD于點G，∠PNG的角平分線和∠PGC的角平分線交于點O，則∠O的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．例3．（2022·西安七年級月考）下列各圖中的MA1與NAn平行．（1）圖①中的∠A1+∠A2=度，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．變式5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·七年級期中）如圖，已知A1BAnC，則∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．變式6．（2023·河南安陽·七年級期末）猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．模型3：拐彎模型【解題技巧】類型1（鳥嘴形）：如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.類型2（骨折形）：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.例1．（2022.廣東七年級期中）如圖，已知AB∥CD，求證：∠1=∠2+∠3.變式1．（2023·山東德州·七年級期末）已知，平分，，，則___________．變式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如圖1，，易知______．（2）如圖2，，，是直線上的兩點，猜想，，，，這四個角之間的關(guān)系，寫出以下三種情況中這四個角之間的關(guān)系，并選擇其中之一進行說明．圖2①圖中四個角的關(guān)系：______②圖中四個角的關(guān)系：______③圖中四個角的關(guān)系：______例2.（2022·忠縣七年級月考）如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；（4）若點P在線段DC延長線上運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．變式3．（2023·上海市羅南中學七年級階段練習）已知AB∥CD，點M為平面內(nèi)的一點，∠AMD＝90°．(1)當點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．變式4．（2022·湖南株洲市期末）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1+∠3=∠2；（提示：過點P作PM∥a）（2）當點P在線段EF外運動時有兩種情況，①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明．②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．模型4：“5”字模型基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2022.浙江七年級期中）如圖，AB∥CD，求證：∠1+∠3－∠2=180°.變式1．（2022·江蘇七年級期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．變式2．（2023·四川成都·七年級期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：________．例2．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．變式3．（2022·黑龍江·七年級月考）如圖，，E是上的點，過點E作，若，平分，，，則_______．變式4．（2023·安徽蕪湖·七年級期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數(shù)為A．30° B．35° C．36° D．45°例3．（2022·河南駐馬店七年級期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，請直接寫出∠F的度數(shù)；（2）探索∠E與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，F(xiàn)G的反向延長線交EP于點P，求∠P的度數(shù)．變式5．（2023·江蘇·呂良中學七年級階段練習）課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程解：過點A作，_________________．__________________解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知，求證：提示：過點C做．(3)深化拓展：已知，點C在點D的右側(cè)，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間．①如圖3，點B在點A的左側(cè)，若，求的度數(shù)。②如圖4，點B在點A的右側(cè)，且，若，則的度數(shù)為___________．變式6．（2022·湖北咸寧市期末）（感知）如圖①，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、BE，試說明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）當點E在如圖②的位置時，其他條件不變，試說明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（應用）點E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖③，若∠EFG=36°，則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.模型5：折疊模型例1．（2023·黑龍江·林口縣七年級期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②變式1．（2023·江蘇·沭陽縣潼陽中學七年級階段練習）如圖，把一張長方形的紙片ABCD沿EF折疊，若，則∠EFC的度數(shù)為（）A．70° B．110° C．130° D．150°變式2．（2023·浙江紹興·七年級期中）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上的點E處，若∠AGE＝36°，則∠GHC等于（

）A．110° B．108° C．106° D．112°變式2．（2022·廣東佛山市七年級期中）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，則∠BFC′的度數(shù)為_________．例2.（2022·廣東深圳市七年級期末）如圖①，在長方形中，點在上，并且，分別以、為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數(shù)為______度.變式3．（2022·安徽合肥·七年級期末）如圖1，將一條對邊互相平行的紙條進行兩次折疊，第一次折疊的折痕為AB，且∠1＝25°，第二次折疊的折痕為CD．（1）如圖2，若CD∥AB，則∠2＝______．（2）如圖3，若CD∥BE，則∠2＝______．變式4．（2022·全國·八年級單元測試）在△ABC中，將∠B、∠C按如圖方式折疊，點B、C均落于邊BC上一點G處，線段MN、EF為折痕．若∠A＝80°，則∠MGE＝_____°．例3．（2022·宜興市北郊中學初二期中）如圖a是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A．102° B．108° C．124° D．128°變式5．（2022·安徽合肥·七年級期中）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當x＝32°時，＝_____度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝_____（用x的式子表示）．變式6.（2022·上海市七年級月考）已知，如圖1，四邊形，，點在邊上，為邊上一動點，過點作，交直線于點．（1）當時，求；（2）當時，求；（3）如圖3，將沿翻折使點的對應點落在邊上，當時，請直接寫出的度數(shù)，答：______．模型6：旋轉(zhuǎn)模型例1．（2022·湖南岳陽·七年級期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，，，，且，則下列結(jié)論中：①；②若平分，則有；③將三角形繞點旋轉(zhuǎn)，使得點落在線段上，則此時；④若，則．其中結(jié)論正確的選項有______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）變式1．（2022·遼寧建昌·七年級期末）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點B、D重合，若固定三角形AOB，改變?nèi)前錋CD的位置（其中A點位置始終不變），下列條件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序號）變式2．（2022·重慶·西南大學附中七年級期中）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當α＝15°時，DC∥ABB．當OC⊥AB時，α＝45°C．當邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行例2.（2022·浙江七年級期中）已知直線AB∥CD，點P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時開始旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)時間30秒時，PB'與QC'的位置關(guān)系為_____；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動，當射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為_____秒時，PB′∥QC′．變式3.（2022·江蘇泰興市月考）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動_________秒，兩燈的光束互相平行．變式4（2022.江蘇鎮(zhèn)江七年級期中）鎮(zhèn)江市旅游局為了亮化某景點，在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)；B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動12°，B燈每秒轉(zhuǎn)動4°．B燈先轉(zhuǎn)動12秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動．當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是．例3.（2022.綿陽市七年級期中）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．變式5.（2022·山東德州市七年級期中）如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向）（1）a＝，b＝；（2）若射線AM、射線BQ同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．（3）若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線AM、射線BQ互相平行？課后專項訓練：1．（2022·遼寧大連·七年級期末）如圖，已知，點是之間的任意一點且在右側(cè)．（1）與的數(shù)量關(guān)系是___________________；（2）的平分線所在直線與的鄰補角平分線相交于點．①根據(jù)題意，在圖中補全圖形，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②若，求的度數(shù)(用含的式子表示)．2．（2023·福建龍巖七年級階段練習）如圖，直線，直線EF分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點M，若G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合）．(1)如圖1，若EG平分∠BEF，試判斷EM與EG的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN=α，∠EGF=β．①當點G在點F的右側(cè)時，若β=60°，求α的度數(shù)；②在點G運動的過程中，α和β之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并說明理由．3．（2023·浙江臺州·七年級階段練習）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．(1)判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當點G在點F的右側(cè)時，若β＝56°，求α的度數(shù)；②當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．4．（2023·江蘇南通·七年級期中）已知，連接，兩點．(1)如圖1，與的平分線交于點，則等于__________度；(2)如圖2，點在射線反向延長線上，點在射線上．與的平分線交于點．若，，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，，分別為射線，射線上的點，與的平分線交于點．設，，請直接寫出圖中的度數(shù)（用含，的式子表示）．5．（2023·江蘇連云港·七年級期中）（1）【問題情境】小明翻閱自己數(shù)學學習筆記時發(fā)現(xiàn)，數(shù)學老師在講評七下《伴你學》第6頁“遷移應用”第1題時，曾做過如下追問：如圖1，已知，點E、F分別在AB、CD上，點G為平面內(nèi)一點，當點G在AB、CD之間，且在線段EF左側(cè)時，連接EG、FG，則一定有，為什么？請幫助小明再次說明理由；（2）【變式思考】如圖2，當點G在AB上方時，且，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______；（3）【遷移拓展】①如圖3，在（2）的條件下，過點E作直線HK交直線CD于K，使與互補，作的平分線與直線GE交于點L，請你判斷FG與KL的位置關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，第一次操作；分別作∠BEL和∠DKL的平分線，交點為L1；第二次操作，分別作∠BEL1和∠DKL1的平分線，交點為L2；……第n次操作，分別作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分線，交點為L、則∠Ln=______．6．（2023·廣東·深圳大學附屬中學七年級期末）如圖1，E點在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．(1)求證：AB∥CD；(2)如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù)．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由．7．（2023·山西晉中·七年級期中）綜合與實踐：問題情境：在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動．如圖1，已知兩直線a，b且和直角三角形ABC，，，．操作發(fā)現(xiàn)：(1)在圖1中，，求的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學把直線a向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，說明理由；實踐探究：(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，AC平分，此時發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的發(fā)現(xiàn)并說明理由．8．（2023·遼寧大連·七年級期末）如圖1，點E、F分別在直線AB、CD上，點P為AB、CD之間的一點，且．(1)求證：；(2)如圖2，點G在射線FC上，PG平分，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由；(3)如圖3，，．直線HQ分別交FN，EM于H、Q兩點，若，求的度數(shù)．9．（2023·內(nèi)蒙古包頭·七年級期中）如圖①，直線，直線和直線、分別交于、兩點，點、分別在直線、上，點在直線上，連接、．(1)猜想：如圖①，若點在線段上，，，則的大小為度；(2)探究：如圖①，若點在線段上，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)拓展：如圖②，若點在射線上或在射線上時，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．10．（2023·江西贛州·七年級期中）已知，，直線與直線，分別交于點E，F(xiàn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，與的角平分線交于點P，與交于點G，H是上一點，且．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，K是上一點使，作平分，問的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，說明理由．11．（2023·江西宜春·七年級期末）問題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一點P（點P不在直線AC上），連接PA、PC，試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．(1)端點A、C同向：如圖1，點P在直線AC右側(cè)時，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如圖2，點P在直線AC左側(cè)時，∠APC+（∠A+∠C）＝度；(2)端點A、C反向：如圖3，點P在直線AC右側(cè)時，∠APC與∠A﹣∠C有怎樣的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；如圖4，點P在直線AC左側(cè)時，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝度．12．（2023·河北保定·七年級期末）【探究】(1)如圖1，已知直線//PQ，點A在上，點C在上，點E在兩平行線之間，則__________；【應用】如圖2，已知直線//，點A，B在上，點C，D在上，連接，，，分別是，的平分線，，．(2)求的度數(shù)；(3)將線段沿方向平移，如圖3所示，其他條件不變，求的度數(shù)．13．（2023·浙江溫州·七年級期中）在數(shù)學拓展課《折疊的奧秘》中，老師提出一個問題：如圖，有一條長方形紙帶，點在上，點在上，把長方形紙帶沿折疊，若，則=________________.14．（2023·江蘇泰州·七年級期末）如圖，把一張長方形紙片沿EF折疊，點D、C分別落在、的位置，若，則________．15．（2023·全國·八年級專題練習）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點B落在點B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝_____°．16．（2023·云南·昆明市第一中學西山學校七年級期中）如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在點D′、C′位置，ED′的延長線與BC相交于點G，若∠EFG＝60°，則∠1＝__°．17．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·七年級期末）將一副三角板按下圖放置，三角板ABD可繞點D旋轉(zhuǎn)，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是______個．①若CD平分∠ADB，則∠BCD＝125°；②若ABDF，則∠BDC＝10°；③若∠ADF＝120°，則∠ADC＝75°；④若AB⊥FD，則AB//EF．18．（2023·貴州黔南·七年級期中）已知直線，點P，Q分別在AB，CD上，如圖所示，射線PB按順時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．若射線PB，QC同時開始旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)時間為30秒時，與的位置關(guān)系為_____．19．（2023·江西九江·七年級期末）為了提醒司機不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中，是直線上的兩個發(fā)射點，，現(xiàn)激光繞點以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光繞點以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)時間為秒，當時，的值為________．20．（2023·廣東·揭西縣七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，當EF第一次與AB平行時，∠CDF的度數(shù)是_________．專題2.2平行線四大模型與動態(tài)角度問題專題講練平行線基本模型與動態(tài)角度問題在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，該份資料就平行線的四大模型（鉛筆模型、豬蹄模型、拐彎模型、“5”字模型）和動態(tài)模型（翻折、旋轉(zhuǎn)）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。重要模型模型1：豬蹄模型（M型）【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.例1、（2022.廣東省初一月考）如圖所示，已知：AB∥CD，求證：∠APC=∠A+∠C；【解析】方法一（破角）:過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.方法二（添角）:連接AC，∵AB∥CD∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180°∴∠APC=∠1+∠4.變式1.（2022·廣西·七年級專題練習）如圖，已知直線，直線與，分別交于點A，B，直線與，分別交于點C，D，P是直線上的任意一點(不與點C，D重合).探究，，之間的關(guān)系，可以得到的結(jié)論是________.【答案】∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．【分析】分三種情況討論：點P在CD之間時，點P在CD的延長線上，點P在DC延長線上，分別過P作PG∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導，即可得到∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系．【詳解】如圖，當P點在C、D之間運動時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD．理由如下：過點P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠APG，∠PBD＝∠BPG，∴∠APB＝∠APG＋∠BPG＝∠PAC＋∠PBD；如圖，當點P在CD延長線上時，∠PAC＝∠PBD＋∠APB．理由如下：過點P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，∵∠APG＝∠BPG＋∠APB，∴∠PAC＝∠PBD＋∠APB．如圖，當點P在DC延長線上時，∠PBD＝∠PAC＋∠APB．理由如下：過點P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，∵∠BPG＝∠APG＋∠APB，∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB．故答案為∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，解題時注意輔助線的作法．變式2．（2023·廣西貴港·七年級期末）如圖，平面內(nèi)直線，點，，分別在直線，，上，平分，并且滿足，則，，關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，代入即可得出答案．【詳解】解：如圖，，①，，，平分，，代入①得：，，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2022·山東·德州七年級期中）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點E作∵∵，∴∴∴∴請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）作，，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，所以，，，然后利用等量代換計算；（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用和分別表示出和，從而可找到和的關(guān)系，結(jié)合條件可求得．【詳解】（1）作，，如圖，且∴∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵平分，平分，∴，，∵∴∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定的應用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．變式3．（2023·安徽·潛山市七年級階段練習）如圖，點A，B，C，D是的兩條射線上的點（異于點O），且，，．(1)如圖1，當點P在A，B兩點之間運動時，問與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)當點P在射線BM上時（異于點B），與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請在圖2中畫出圖形，并說明理由；(3)當點P位于直線AD與BC之間且在直線CD下方時，與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請在圖3中畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，圖和理由見解析(3)，圖和理由見解析【分析】（1）過P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠DPE，∠2=∠CPE，即可得出答案；（2）過P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠DPE，∠2=∠CPE，即可得出答案；（3）過P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+∠DPE=∠2+∠CPE=180°，即可得出答案．（1）．理由如下：如圖1，過點P作．∵，∴．∴，．∴．（2）．理由如下：如圖2，過點P作．∵，∴．∴，．∴．（3）．理由如下：如圖3，過點P作．∵，∴．∴，．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．變式4.（2022·四川·西川中學七年級期中）已知，點、分別是、上的點，點在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，分別作和的平分線交于點，求的度數(shù)．（3）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知．則判斷以下兩個結(jié)論是否正確，并證明你認為正確的結(jié)論．①為定值；②為定值．【答案】（1）

（2）

（3）②是正確的，證明見解析【分析】（1）過點G作GE∥AB，然后利用平行線性質(zhì)即可得到結(jié)果；（2）分別過G和H作GE∥AB，F(xiàn)H∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)得到對應的邊角關(guān)系，進而∠MHN的具體值；（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)，設，然后利用平行線的基本性質(zhì)，分別推導出和的值即可判斷．【詳解】（1）如圖所示，過點作，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴.（2）如圖所示，過點作，過點作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴.（3）如圖所示，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，設，則，∴，∴，，∴②中的值為定值.故②是正確的.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是能夠找到輔助線，構(gòu)造輔助線．模型2：鉛筆頭模型【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2022.河北七年級月考）如圖，已知：AB∥CD，求證：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；【解析】方法一（破角）:過點P作PQ∥AB則AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.方法二（添角）:連接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.變式1．（2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵ABCD，CDEF，∴ABEF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵ABCD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；∵ABEF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；∵CDEF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+∠4，∴∠3+∠4=135°，故④正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設和結(jié)論，切莫混淆．變式2．（2022·黑龍江·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，主要考查了學生的推理能力．例2．（2022·福建泉州七年級期末）問題情境：我市某中學班級數(shù)學活動小組遇到問題：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．（1）按該數(shù)學活動小組的思路，請你幫忙求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖3，∥，點在、兩點之間運動時，，．請你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）拓展應用：如圖4，已知兩條直線∥，點在兩平行線之間，且的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，求的度數(shù)．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，見解析；（3）360°.【解析】解：（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．（2）∠CPD＝α＋β，理由如下：過P作PE∥AD交CD于E．∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360°又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°.變式3．（2022·吉林白山·七年級期中）如圖，已知直線．這兩直線之間一點．（1）如圖1，若與的平分線相交于點，若，求的度數(shù)．（2）如圖2，若與的平分線相交于點，與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，若的平分線與的平分線所在的直線相交于點，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠ADB=50°；（2）∠ADB=180°-∠ACB，證明見解析；（3）∠ADB=90°-∠ACB．【分析】（1）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，根據(jù)角平分線的定義得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根據(jù)平行線的定義得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，∴，∴；∵∠ACB=100°，∴∠ADB=50°；（2）如圖2，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，∴∴，∴；（3）如圖3，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，∵∠MAC與∠FBC的平分線相交于點D，∴∵．∴【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式4．（2023·湖北武漢·七年級期末）如圖，已知，M，N分別是直線AB，CD上一點，點E在直線AB，CD之間．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，F(xiàn)是EM上一點，NE平分，F(xiàn)H平分，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，P為直線MN上一動點（不與點N重合），過點P作交直線CD于點G，∠PNG的角平分線和∠PGC的角平分線交于點O，則∠O的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)證明見解析(2)2∠NHF=180°+∠BME，理由見解析(3)45°或135°【分析】（1）如圖所示，過點E作，利用平行線的性質(zhì)得到∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，即可證明結(jié)論；（2）如圖所示，過點F作，過點H作，同（1）可證∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，在分別推出，，即可得到答案；（3）分點P在點N上方和點P在點N下方，利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義分類討論求解即可．（1）解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，∴∠BME+∠DME=∠MEF+∠NEF=∠MEN；（2）解：解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：如圖所示，過點F作，過點H作，同（1）可知，∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，∴∠MFN=∠BME+∠DNF，∵FN平分∠NFE，NE平分∠DNF，∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，∴∠NFE=2∠NFH=180°-∠MFN=180°-∠BME-2∠DNE，∴，∵∠GFH+∠PHF=180°，∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，∴，∴，∴2∠NHF=180°+∠BME；（3）解：如圖1所示，當點P在點N上方時，過點O作，∴∠KOG=∠∠NGO，∠LON=∠GNO，∴∠OGN+∠ONG+∠GNO=∠KOG+∠LON+∠GON=180°，∵∠OGC+∠OGN=180°，∴∠OGC=∠GON+∠ONG，同理可證∠OGC=∠GPN+∠PNG，∵OG平分∠PGC，ON平分∠PNG，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGC=2∠OGC，∴2∠OGC=∠GPN+2∠ONG，∵PG⊥MN，∴∠GPN=90°，∴∠OGC=45°+∠ONG，∴∠GON=∠OGC-∠ONG=45°；如圖2所示，當點P在點N下方時，同上可證∠NPG+∠PNG+∠PGN=180°，∠O+∠ONG+∠OGN=180°，∠NPG=90°，∴∠PNG+∠PGN=90°，∵NO平分∠PNG，GO平分∠PDN，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGN=2∠OGN，∴∠ONG+∠OGN=45°，∴∠O=135°，綜上所述，∠O的度數(shù)為45°或135°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·西安七年級月考）下列各圖中的MA1與NAn平行．（1）圖①中的∠A1+∠A2=度，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如圖，分別過A2、A3、A4作MA1的平行線，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．故答案為180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．變式5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·七年級期中）如圖，已知A1BAnC，則∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．【答案】【分析】過點向右作，過點向右作，得到，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點向右作，過點向右作,故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理,根據(jù)題意作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．變式6．（2023·河南安陽·七年級期末）猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；（2）過點F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出的度數(shù)；（3）過點E作AB的平行線，過點F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出度數(shù)；通過前面的計算，找出規(guī)律．利用規(guī)律得到有n個折點的結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1：，如圖2：，如圖3：，如圖1說明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下圖：過F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案為：；（3）如下圖：，過E作，過F作，∵，∴，∴，，，∴，即；綜上所述：由當平行線AB與CD間沒有點的時候，，當A、C之間加一個折點F時，；當A、C之間加二個折點E、F時，則；以此類推，如圖5，，當、之間加三個折點時，則；…當、之間加n個折點時，則，即的度數(shù)是．【點睛】本題是探索型試題，主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)等知識求解是解答此題的關(guān)鍵．模型3：拐彎模型【解題技巧】類型1（鳥嘴形）：如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.類型2（骨折形）：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.例1．（2022.廣東七年級期中）如圖，已知AB∥CD，求證：∠1=∠2+∠3.【解析】證法1（添角）：過點P作PQ∥AB，則AB∥CD∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.證法2：延長AB交PD于Q，則∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.變式1．（2023·山東德州·七年級期末）已知，平分，，，則___________．【答案】##30度【分析】作于，作于，則，設，則，，再根據(jù)角平分線的定義可得，設，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，，從而可得，代入可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，作于，作于，則，設，則，，平分，，設，則，，，，，，，，，又，，解得，則，故答案為：．【點睛】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如圖1，，易知______．（2）如圖2，，，是直線上的兩點，猜想，，，，這四個角之間的關(guān)系，寫出以下三種情況中這四個角之間的關(guān)系，并選擇其中之一進行說明．圖2①圖中四個角的關(guān)系：______②圖中四個角的關(guān)系：______③圖中四個角的關(guān)系：______【答案】（1）∠A+∠C；（2）①∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，③∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°．【解析】解：（2）①∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，過P1作P1B∥AE，過P2作P2G∥CF，

∵P1B∥AE，∴∠BP1A=∠A，∵P2G∥CF，∴∠GP2C=∠C，

∵P1B∥AE，P2G∥CF，AE∥CF，∴P1B∥P2G，∴∠BP1P2+∠GP2P1=180°，

∴∠AP1P2+∠P1P2C=∠AP1B+∠BP1P2+∠P1P2G+∠GP2C=180°+∠A+∠C，∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°；

②∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，過P2作GP2∥CF，則∠GP2C=∠C，

∵AE∥CF，∴AE∥GP2，∴∠AEF+∠GP2E=180°，

∵∠AEF=∠A+∠AP1P2，∴∠AEF+∠P1P2C=180°+∠GP2C，

∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C=180°+∠C，∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°；

③∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°，過P1作P1G∥CF，則∠GP1F+∠CFP1=180°，∵AE∥CF，∴AE∥GP1，∴∠A=∠AP1G，

∵∠EFC=∠C+∠P1P2C，∴∠AP1P2+∠EFC=180°+∠AP1G，

∴∠AP1P2+∠C+∠P1P2C=180°+∠A，∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°．例2.（2022·忠縣七年級月考）如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；（4）若點P在線段DC延長線上運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．【答案】（1）見詳解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）證明：過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，則：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ+∠FPQ+∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）點P在線段DC延長線上運動時，∠3＝∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．變式3．（2023·上海市羅南中學七年級階段練習）已知AB∥CD，點M為平面內(nèi)的一點，∠AMD＝90°．(1)當點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在題干的基礎上，通過平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過點M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．（1）解：如圖①，過點M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過點M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如圖③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．變式4．（2022·湖南株洲市期末）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1+∠3=∠2；（提示：過點P作PM∥a）（2）當點P在線段EF外運動時有兩種情況，①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明．②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】（1）見解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）證明：作PM∥a，則∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①結(jié)論：∠2＝∠3?∠1．理由：作PM∥a，則∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB?∠MPA＝∠3?∠1，即∠2＝∠3-∠1；②結(jié)論：∠2＝∠3?∠1.模型4：“5”字模型基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2022.浙江七年級期中）如圖，AB∥CD，求證：∠1+∠3－∠2=180°.【解析】過P作PQ∥AB，則AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠3－∠2=180°.變式1．（2022·江蘇七年級期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案為：180°.變式2．（2023·四川成都·七年級期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：________．【答案】【分析】分別過點，作，，根據(jù)，可得，根據(jù)平行線性質(zhì)可得，，根據(jù)角平分線定義可得，進而證出，同理，根據(jù)平角定義可得，，由此證出，進而證出結(jié)論．【詳解】分別過點，作，∵，∴∵射線平分∴∵∴∴∵∴∴∵射線平分∴∵，，∴∴∴∴∴∵∴同理：∴∴故答案為：【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等知識點，能熟記平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關(guān)系，然后即可用a表示∠P．【詳解】解：延長AB交PD于點G，延長FE交CD于點H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認真找出角的關(guān)系是關(guān)鍵．變式3．（2022·黑龍江·七年級月考）如圖，，E是上的點，過點E作，若，平分，，，則_______．【答案】【分析】延長AB交HP于點M；根據(jù)平分，得；根據(jù)，得，從而推導得；結(jié)合，得；再根據(jù)以及，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可完成求解．【詳解】如圖，延長AB交HP于點M∵平分∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、平行線、角平分線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握了三角形內(nèi)角和、平行線、角平分線的性質(zhì)，從而完成求解．變式4．（2023·安徽蕪湖·七年級期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數(shù)為A．30° B．35° C．36° D．45°【答案】C【分析】延長BG交CD于G,然后運用平行的性質(zhì)和角平分線的定義，進行解答即可.【詳解】解：如圖延長BG交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F與∠ABE互補∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案選C.【點睛】本題考查了平行的性質(zhì)和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.例3．（2022·河南駐馬店七年級期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，請直接寫出∠F的度數(shù)；（2）探索∠E與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，F(xiàn)G的反向延長線交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）100°；（2）∠F＝∠E+50°；（3）∠P＝25°.【解析】解：（1）分別過點E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；故答案為：100°；（2）分別過點E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°，∴∠EFD＝∠BEF+50°；（3）過點F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，設∠BEF＝2x°，則∠EFD＝（2x+50）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．變式5．（2023·江蘇·呂良中學七年級階段練習）課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程解：過點A作，_________________．__________________解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知，求證：提示：過點C做．(3)深化拓展：已知，點C在點D的右側(cè)，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間．①如圖3，點B在點A的左側(cè)，若，求的度數(shù)。②如圖4，點B在點A的右側(cè)，且，若，則的度數(shù)為___________．【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC(2)見詳解(3)①55°；②160【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過C作CFAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；（3）①過點E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求∠BED的度數(shù)；②∠BED的度數(shù)改變．過點E作EF∥AB，先由角平分線的定義可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等及同旁內(nèi)角互補可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，進而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．（1）如圖1，過點A作EDBC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，故答案為：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；（2）如圖2，過C作CFAB，，∵ABDE，∴CFDE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CFAB，∴∠B＝∠BCF，∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；（3）①如圖3，過點E作EFAB，∵ABCD，∴ABCDEF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；②如圖4，過點E作EFAB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，∵ABCD，∴ABCDEF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，故答案為：160．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．變式6．（2022·湖北咸寧市期末）（感知）如圖①，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、BE，試說明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）當點E在如圖②的位置時，其他條件不變，試說明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（應用）點E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖③，若∠EFG=36°，則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.【答案】【感知】見解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【應用】396°.【解析】解：【感知】過E點作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】過E點作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.【應用】過點F作FH∥AB.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案為396°.模型5：折疊模型例1．（2023·黑龍江·林口縣七年級期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70