《三角形的高、中線與角平分線》名師教案

.1.2三角形的高、中線與角平分線（曾昭姣）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解三角形的高的概念，會畫不同三角形的高.2．掌握三角形中線、角平分線的概念.3．能正確運(yùn)用三角的高、中線、角平分線的相關(guān)概念及性質(zhì)解決實(shí)際問題.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)三角形的高、中線、角平分線的概念.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)運(yùn)用三角形高、中線、角平分線的概念解決三角形有關(guān)實(shí)際問題.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做高；在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做中線；三角形的一個(gè)角平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做角平分線.2.預(yù)習(xí)自測（1）如圖，在△ABC中，BC邊上的高是________，在△AEC中，AE邊上的高是_______，EC邊上的高是_________.【知識點(diǎn)】三角形的高的概念【解題過程】BC邊是頂點(diǎn)A得對邊，過點(diǎn)A作BC邊的垂線，交點(diǎn)B是垂足，所以AB為BC邊上的高.同理AE邊上的高為CD，EC邊上的高為AB.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用高的定義，過三角形一點(diǎn)向它的對邊作垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的連線叫做三角形的高.【答案】AB、CD、AB（2）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，則△ABC的中線是________，△ABD的中線是_______.【知識點(diǎn)】三角形中線的概念【解題過程】△ABC的頂點(diǎn)A和它對邊中點(diǎn)D的連線AD為△ABC的中線；而△ABD中，頂點(diǎn)D與它對邊中點(diǎn)E的連線DE為△ABD的中線.【思路點(diǎn)撥】三角形的頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的連線成為中線，故找準(zhǔn)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)是關(guān)鍵.【答案】AD、DE（3）△ABC的角平分線BE是（）A.射線B.直線C.線段D.都有可能【知識點(diǎn)】三角形的角平分線的概念，它與角平分線的區(qū)別【解題過程】三角形的一個(gè)角平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【思路點(diǎn)撥】三角形的角平分線是線段，而角平分線是射線.【答案】C(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識回顧（1）三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形．（2）構(gòu)成三角形的元素：①三個(gè)頂點(diǎn)；②三條邊；③三個(gè)內(nèi)角．（3）三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.2.問題探究探究一三角形的高.●活動①回顧舊知師：回顧構(gòu)成三角形的元素并回憶小學(xué)時(shí)如何作出三角形的高.（1）三個(gè)頂點(diǎn)；三條邊；三個(gè)內(nèi)角．（2）過三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊畫垂線段.教師總結(jié)：從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.【設(shè)計(jì)意圖】通過對舊知識的復(fù)習(xí)，為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊.●活動②畫出以下三角形的高AD、BE、CF.師問：一個(gè)三角形有幾條高？三角形的高是什么線？三個(gè)圖形的高有什么區(qū)別？它們在位置上有什么關(guān)系？學(xué)生搶答：看誰總結(jié)得最快最完整？學(xué)生回答：三角形有三條高，都是線段.銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，直角三角形有兩條高在邊上，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，每個(gè)三角形的三條高（或高所在的直線）都相交于一點(diǎn).教師總結(jié)：任意一個(gè)三角形都有三條高，三角形的高是線段；銳角三角形的高在三角形內(nèi)部、直角三角形有兩條高在邊上、鈍角三角形有兩條高在外部；三角形的三條高（或高所在的直線）都相交于一點(diǎn)（如上圖點(diǎn)O），銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)、直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)、鈍角三角形的三條高所在的直線相交于三角形外部一點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵學(xué)生獨(dú)立自主解決問題，讓學(xué)生初步感受通過動手操作來掌握幾何知識的相關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生由觀察得到的感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識.探究二三角形的中線與角平分線.▲●活動①大膽猜想，探究新知識師問：媽媽有一塊三角形蛋糕，她想平均分給小明和小亮，并且兩人所得蛋糕均為三角形，你能幫媽媽出主意嗎？學(xué)生回答：找到一邊的中點(diǎn)，然后和這邊所對的頂點(diǎn)相連，沿著這條連線切割，所得的兩個(gè)三角形面積相等.師問：誰能幫媽媽驗(yàn)證這個(gè)方法合理嗎？學(xué)生回答：分割后的兩個(gè)三角形底相同，高相同，所以面積相等.【設(shè)計(jì)意圖】通過探究，促使學(xué)生找到三角形邊上的中點(diǎn)，為得出中線的概念作鋪墊.●活動②反思過程，發(fā)現(xiàn)新概念.教師展示新知：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.師問：三角形的中線是什么線？一個(gè)三角形有幾條中線？三角形的中線所分成的兩個(gè)三角形面積有什么關(guān)系？學(xué)生回答：三角形的中線是線段，并且每個(gè)三角形都有三條中線.三角形的中線所分成的兩個(gè)三角形的面積相等，因?yàn)榈鹊椎雀叩娜切蚊娣e相等.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生更加全面的掌握中線的概念以及它平分三角形面積的性質(zhì).●活動=3\*GB3③動手操作，大膽發(fā)現(xiàn).如圖，畫出三角形的三條中線，并認(rèn)真觀察三條中線的位置關(guān)系.師問：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生回答：三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，并且相交于一點(diǎn).教師展示新知：三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，并且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心.【設(shè)計(jì)意圖】通過動手實(shí)踐找到三角形的重心，深刻理解三角形的重心在三角形內(nèi)部.●活動=4\*GB3④集思廣益，探究新知.師問：請同學(xué)們畫出三角形中∠A的平分線（量角器）教師總結(jié)：如圖，畫∠B的平分線BD，交∠B所對的邊AC于點(diǎn)D，所得線段BD叫做△ABC的角平分線.師問：你能畫出三角形另外的角平分線嗎？學(xué)生展示：師問：三角形的角平分線是什么線？與角平分線有什么區(qū)別？一個(gè)三角形有幾條角平分線？在位置上有什么關(guān)系？學(xué)生回答：三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，任何三角形都有三條角平分線，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)部的一點(diǎn).教師總結(jié)：任何三角形都有三條角平分線，并且都在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線.【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生動手實(shí)踐，掌握三角形的角平分線的概念，區(qū)別三角形的角平分線與角平分線的不同，并找到三角形的內(nèi)心.為初三學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)切圓奠定基礎(chǔ).探究三利用三角形的高、中線及角平分線的概念解決問題.★▲●活動①三角形的高、中線、角平分線的概念及性質(zhì)例1如圖（1）所示，AD、BE、CF是△ABC的三條中線，則AB=2_____，BD=_____，AE=1如圖（2）所示，AD、BE、CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=________，∠3=12______，∠ACB=【知識點(diǎn)】三角形的中線和角平分線的概念【解題過程】（1）因?yàn)锳D，BE，CF是△ABC的三條中線，則AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE=12AC；（2）因?yàn)锳D、BE、CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=∠2，∠3=12∠ABC，∠ACB=2【思路點(diǎn)撥】已知三角形的中線，找準(zhǔn)中點(diǎn)可得線段的數(shù)量關(guān)系；三角形的角平分線平分三角形的一個(gè)內(nèi)角，所得的兩個(gè)小角相等.【答案】（1）AF或BF,CD,AC（2）∠2，∠ABC,∠4練習(xí)：如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高.則BE=_____=12________；∠BAD=________=12_______；【知識點(diǎn)】三角形的高、中線及角平分線的概念【解題過程】因?yàn)锳E是中線，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以BE=CE=12BC；因?yàn)锳D是角平分線，所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC；又因?yàn)锳F是高，即AF⊥BC，所以∠AFB=∠AFC=【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用高、中線、角平分線的概念進(jìn)行求解.【答案】BE=CE=12BC；∠BAD=∠CAD=12∠BAC_；∠AFB=【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟練掌握三角形高、中線、角平分線的概念.能準(zhǔn)確判定三角形的高、中線及角平分線.●活動②三角形的中線運(yùn)用例2在△ABC中，AD是△ABC的中線，E為AB的中點(diǎn)，則△AED的面積與△ACD的面積的數(shù)量關(guān)系為____________________.【知識點(diǎn)】三角形的中線平分三角形的面積.【解題過程】在△ABC中，AD是△ABC的中線，所以S△ABD=S△ACD；又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以S△AED=【思路點(diǎn)撥】AD是△ABC的中線，所以AD平分△ABC的面積，同理DE也平分△ABD的面積.【答案】S△AED=練習(xí)：如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，且S△ABF=1,求S【知識點(diǎn)】三角形的中線.【解題過程】∵D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，AF是△ABE的中線，又∵S△ABF=1，∴S△ABE=2S△ABF=2，S△ABD=2S△ABE=4，∴S【思路點(diǎn)撥】利用三角形的中線平分三角形的面積進(jìn)行求解．【答案】83.課堂總結(jié)知識梳理（1）三角形的高、中線、角平分線的概念.（2）三角形的高所在直線相交于一點(diǎn)；三角形的中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.（3）三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.重難點(diǎn)歸納（1）三角形的高、中線、角平分線都是線段．（2）注意重心和內(nèi)心分別是三角形的中線和角平分線的交點(diǎn).（3）靈活運(yùn)用三角形的高、中線、角平分線的概念解決有關(guān)問題.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.至少有兩條高在三角形內(nèi)部的三角形是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.都有可能【知識點(diǎn)】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高在位置上的區(qū)別.【解題過程】銳角三角形的高都在三角形內(nèi)部，直角三角形的高有兩條在三角形的邊上，鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部，而三角形有三條高，那么至少有兩條高在三角形的內(nèi)部的三角形為銳角三角形，故答案選B.【思路點(diǎn)撥】分別畫出銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形的三條高即可.【答案】B2.如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AC，BC的中點(diǎn)，以下說法正確的是（）A.BD是∠ABC的角平分線B.BD是AC邊上的中線C.BD是AC邊上的高D.DE是△ABC的中線【知識點(diǎn)】三角形的中線的概念【解題過程】因?yàn)镈、E分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以BD是△ABC中AC邊上的中線，DE是△BCD中BC邊上的中線，故選B【思路點(diǎn)撥】三角形邊上的中點(diǎn)與它所對的頂點(diǎn)之間的連線為中線.【答案】B3.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，以下說法錯誤的是（）A.BD是∠ABC的角平分線B.∠1=12∠C.AE是∠BAC的角平分線D.AE是∠ABC的角平分線【知識點(diǎn)】三角形的角平分線的概念【解題過程】∵∠1=∠2，∴BD是∠ABC的角平分線，∠1=12∠ABC；又∵∠3=∠4，∴AE平分角BAC，它與邊BD交于點(diǎn)E，∴AE是∠BAC的角平分線，而不是∠【思路點(diǎn)撥】三角形的一個(gè)角平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【答案】D4.已知：AD是△ABC的中線，且AB=10cm，AC=8cm，則△ABD與△ACD的周長之差=____________cm.【知識點(diǎn)】三角形中線的概念【解題過程】∵AD是△ABC的中線，所以BD=CD,而AD=AD,∴△ABD與△ACD的周長之差為AB-AC=2cm.【思路點(diǎn)撥】AD是三角形的中線，則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).【答案】2cm5.如圖所示，在△ABC中∠ACB=90°，把△ABC沿直線AC翻折180°，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則線段AC具有的性質(zhì)是（）A.是邊BD上的中線B.是邊BD上的高C.是△BAD的角平分線D.以上三種性質(zhì)都具有【知識點(diǎn)】翻折前后三角形的大小、形狀不變，三角形的高、中線、角平分線的概念【解題過程】把△ABC沿直線AC翻折180°∵翻折前后三角形的大小、形狀不變，∴BC=DC，AC為△ABD的中線；∵翻折前后三角形的大小、形狀不變，∴∠ACD=∠ACB=90°，AC⊥BD，AC為△ABD的高；∵翻折前后三角形的大小、形狀不變，∴∠DAC=∠BAC，AC為△ABD的角平分線.【思路點(diǎn)撥】翻折前后三角形的大小、形狀不變，結(jié)合三角形高、中線、角平分線的概念即可判斷.【答案】D6.如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，AF是△ABC的中線，相等的角有____對，分別是____________、____________.相等的線段是___________.【知識點(diǎn)】三角形的高、中線、角平分線的概念【解題過程】∵AD是△ABC的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∵AE是△ABC的角平分線，∠BAE=∠CAE，則相等的角有兩對；又∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF.【思路點(diǎn)撥】利用三角形的高、中線、角平分線的概念找相等的角與相等的線段.【答案】兩，∠BDA=∠ADC、∠BAE=∠CAE、BF=CF.能力型師生共研7.如圖，BE是△ABC的角平分線，AD是△ABC的高，∠ABC=50°，則∠AOB=______.【知識點(diǎn)】三角形的角平分線與高【解題過程】在△ABC中，∵BE是三角形ABC的角平分線，又∵∠ABC=50°所以∠ABE=25°；∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=50°，在△ABD中，∵三角形三個(gè)內(nèi)角之和為180°，∴∠BAD=180°-90°-50°=40°，同理在△ABO中，∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-25°-40°=115°.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AD是△ABC的高，得出∠ADB=90°，再由∠ABC=50°，利用三角形內(nèi)角之和為180°，得出∠BAD=40°，BE是△ABC的角平分線，得出∠ABE=25°，再利用三角形內(nèi)角之和為180°，從而計(jì)算出∠AOB的度數(shù).【答案】115°8.如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC=16cm2,則【知識點(diǎn)】中線平分三角形的面積.【解題過程】∵D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的中線、BE是△ABD的中線、BF是△EBC的中線，又因?yàn)镾△ABC=16cm2，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=8cm2,S△BDE=12S△ABD=4，S△DEC=12S△ACD【思路點(diǎn)撥】利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行求解．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的中線將三角形的面積平分這一知識點(diǎn).【答案】4cm探究型多維突破9.在△ABC中，AB=AC，AD是中線，△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為28cm，求AD的長.【知識點(diǎn)】三角形的中線的概念【解題過程】在△ABC中，AB=AC，AD是中線，即BD=CD∵△ABC的周長為34cm，∴AB+BD=34÷2=17，又∵△ABD的周長為28cm，∴AD=28-17=11cm.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中線的概念，得到BD=CD，再由AB=AC，可求出△ABC周長的一半，即AB+BD，再由△ABD的周長，求出第三邊的長.【答案】11cm10.如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，試求（1）AD的長，（2）△ABE的面積.【知識點(diǎn)】三角形的面積公式，三角形的高、中線【解題過程】（1）已知∠CAB=90°，∴S△ABC=12?AB?AC=24，S△ABC=12?AD?BC=5AD,∴5AD=24，∴AD=4.8cm；（2）已知AE是△ABC的中線，∴AE平分△ABC的面積，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同一個(gè)三角形的面積不變，建立等式，求出BC邊上的高AD，再根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求出△ABE的面積.【答案】(1)4.8cm(2)12cm自助餐1.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.都不可能【知識點(diǎn)】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高在位置上的區(qū)別【解題過程】銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部,故選B.【思路點(diǎn)撥】三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的位置要根據(jù)三角形的形狀而定.【答案】B2.如圖所示，在△ABC中，∠1=∠2，M為AD中點(diǎn)，延長BM交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，CF⊥AD于N，以下正確的是（）A.AD是∠ABE的角平分線B.BE是△ABD邊AD上的中線C.BE是△ABC邊AC上的中線D.CN是△ACD邊AD上的高【知識點(diǎn)】三角形的高、中線及角平分線的概念【解題過程】在△ABC中，∠1=∠2，∴AD是∠BAC的角平分線，A選項(xiàng)錯誤；∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴BM為△ABD的中線，B選項(xiàng)錯誤；∵點(diǎn)E不是A