專題1.6立體幾何的最值、范圍問題（強化訓練）

題型一數(shù)量積的最值范圍范圍題型二面積、體積的最值范圍問題題型三夾角的最值范圍問題題型四距離的最值范圍問題題型一數(shù)量積的最值范圍范圍=5，AD=AB=4，M，N，P分別是棱C1D1，BC，CC1上的點，31-------的最小值為()255--------------取值范圍是()3多選）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則.的取值可為()34．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A一BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90O，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點，H是ΔABD內(nèi)的動點（含邊界且EHⅡ平面ACD，則.的取值范圍是()5多選）如圖，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2，E,F分別是棱BC,CC1的中點，P是側面BCC1B1內(nèi)（含邊界）的動點，則下列說法正確的是()A．若直線A1P與平面AEF平行，則三棱錐P一AEF的體B．若直線A1P與平面AEF平行，則直線A1B1上存在唯一的點Q，使得DQ與A1P始終垂直=，則EP的最小值為16．一個長方體的棱長分別為1,1,，MN是該長方體外接球的一條直徑，點P是長方體表面上的一個動點，則.的取值范圍是.（1）當點P運動到C1D1中點時，AP.AC的值為；（2）當點P運動時，AP.AC的最大值為.8．已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則.的取值范圍為.題型二面積、體積的最值范圍問題9．如圖，已知四棱錐P一ABCD中，正三角形PAB的邊長為2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，則四棱錐PABCD的體積的最大值為()為8π,則三棱錐S一ABC體積的最大值為()A2BCDA2BCD11．已知底面為矩形的直四棱柱高為4，體積為16，各頂點都在一個球面上，則這個球的體積的最小值是99212．已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則該零件表面積的最大值為.13．如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，DBLAB，AB體PBCD的外接球的球心為O，M為球O表面上的一個動點，當ZMAO取最大值時，四面體MABD體積的最大值為.14．一個圓錐母線與底面所成的角為30。，體積為8π,過圓錐頂點的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為.15．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E為B1C1的中點，M為AB上靠近A的三等分點，N為A1B1上靠近B1的三等分點.(1)證明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CM平面ABB1A1，BEAB1，CC1與平面ABB1A1的距離為x，A1C=8，AB1=12，三棱錐A1-ACM的體積為y，試寫出y關于x的函數(shù)關系式.(3)在（2）的條件下，當x為多少時，三棱錐A1-ACM的體積取得最大值？并求出最大值.是上的動點.(1)求圓柱的側面積S；(2)求四棱錐P-ABCD的體積V的最大值.題型三夾角的最值范圍問題17多選）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當λ+μ=1時，直線BB1和AP所成的角的取值為,D．當λ=1時，直線BP與平面ACC1A1所成角的正弦值范圍是,18多選）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為面對角線A1D上的一個動點（包含端點則下列選項中正確的有()A．三棱錐B1-GBC1的體積為定值B．線段A1D上存在點G，使A1CL平面GBC1C．當點G與點A1重合時，二面角G-BC1-B1的余弦值為63D．設直線BG與平面BCC1B1所成角為θ,則tanθ的最大值為√2---A．PQ的最小值是---C．當x=y時，PB與PQ所成角可能為D．當x+y=1時，AB與平面PAQ所成角正弦值的最大值為620多選）在棱長為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點E為BC的中點，點P，Q分別為線段BD1，AD上A．ACLDPB．平面DEP可能經(jīng)過頂點C1C．PQ的最小值為D．ZAPC的最大值為21．如圖（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=(1)求點D到面PEC的距離；(2)求四棱錐P一BCED外接球的體積；(3)點Q為一動點，滿足=λ(0<λ<1)，當直線BQ與平面PEC所成角最大時，試確定點Q的位置.22．如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中側面B為等腰三角形，AB=AC=5,O為BC的中點.(1)證明：平面ABCL平面AOM；(2)記二面角A-BC-B1的大小為θ.①當θ=時，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值.②當θE,時，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.23．如圖，在三棱錐A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中點為G.(1)證明：直線AGL平面BCD；(2)若BD=2,BC=1，當直線AB與平面ACD所成的角最大時，求三棱錐A-BCD的體積.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB=BC，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的動點.BFLA1B1.(1)證明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.題型四距離的最值范圍問題25．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動點P在體對角APC距離的最大值為()26．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則線段AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值為27多選）在長方體ABCD一A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動則下列結論正確的有()A．頂點B到平面APC的最大距離為222B．存在點P，使得BD1L平面APCC．AP+PC的最小值D．當P為BD1中點時，ZAPC為鈍角28多選）已知正方體ABCD一A1B1C1D1，的棱長為2，E為AA1的中點，平面a過B，C1，E三點，則()A．CD與平面a平行B．平面A1B1CD與平面a垂直C．平面a截正方體所得截面面積為92D．正方體的頂點到平面a的距離最大值29多選）長方體ABCD一EFGH中，AB=2，BC=BF=1，P是線段FG上一動點，則P到平面ACH的距離不可能是() 230．如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點Р到直線CC1的距離的最小值為.31．如圖，AB是底面圓O的直徑,點C是圓O上異于A、B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且題型一數(shù)量積的最值范圍范圍題型二面積、體積的最值范圍問題題型三夾角的最值范圍問題題型四距離的最值范圍問題題型一數(shù)量積的最值范圍范圍=5，AD=AB=4，M，N，P分別是棱C1D1，BC，CC1上的點，31-------的最小值為()25525【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面MPN的法向量=(4,3,2)，設出Q(s,t,0)，根據(jù)24s24t2【詳解】以D作坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設平面MPN的法向量為=(x,y,z)，24s24t-------=s=s221024t441,44125-------441.QD1取得最小值，最小值為25.-------中，底面邊長AB=1，AA1-------取值范圍是()【答案】B---【分析】取AC1中點O，將所求數(shù)量積轉化為2一2，根據(jù)PO的取值范圍可求得結果.---【詳解】取AC1中點O，22，：當P為側面ABB1A1中點時，min=；PO的最大值為體對角線的一半1，，：2-2e-,0，即.的取值范圍為-,0.【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何中的向量數(shù)量積問題的求解，解題關鍵是通過轉化法將問題轉化為向量模長最值的求解問題，進而通過確定向量模長的最值來確定數(shù)量積的取值范圍.3多選）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則.的取值可為()3【答案】BC---【分析】根據(jù)給定條件，令正方體內(nèi)切球的球心為O，利用空間向量數(shù)量積將.化為PO的函數(shù)，即---可求出其范圍作答.【詳解】令正方體內(nèi)切球的球心為O，MN為球O的直徑，則OM=ON=1，=-，---而點P在正方體表面上移動，則當P為正方體頂點時，POmax=，------當P為內(nèi)切球與正方體表面相切的切點時，POmin=1，于是得2-1e[0,2]，---所以.的取值范圍為[0,2]，選項B、C滿足，A、D不滿足.故選：BC4．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A-BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90。，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點，H是ΔABD內(nèi)的動點（含邊界且EHⅡ平面ACD，則.的取值范圍是()【答案】B【分析】設F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，則FG//AD，EF//AC，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面EFG//平面ACD，由線面垂直的判定定理可得CDL平面ABD，進而有EGLFG，cosZEFG=，結合空間向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG.易得FG//AD，EF//AC，因為FG,EFì平面EFG，AD,AC仁平面ACD，F(xiàn)GnEF=F，ADnAC=A，所以平面EFG//平面ACD.因為EH//平面ACD，所以H為線段FG上的點.由ABL平面BCD，CD仁平面BCD，得ABLCD，F(xiàn)G.EF因為EG//CD，所以EGL平面ABD，EGLFG，cosZEFG=FG.EF2---2---------2---------.=2EF2EF.FHcosZEFG=2EF---2---------2---------.---「1------「11---「1------「115多選）如圖，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2，E,F分別是棱BC,CC1的中點，P是側面BCC1B1內(nèi)（含邊界）的動點，則下列說法正確的是()A．若直線A1P與平面AEF平行，則三棱錐P一AEF的體積為B．若直線A1P與平面AEF平行，則直線A1B1上存在唯一的點Q，使得DQ與A1P始終垂直=，則EP的最小值為√51【答案】ABC【分析】取棱BB1,B1C1的中點N,M，連接A1M,A1N，進而證明平面A1MN//平面AEF得P的軌跡即為線段MN，再討論AB選項即可得判斷；當A1P=時，點P的軌跡為以B1為圓心，1為半徑的圓在平面BCC1B1內(nèi)的圓弧，再分別討論CD選項即可.【詳解】解：取棱BB1,B1C1的中點N,M，連接A1M,A1N,ME,BC1，因為棱BB1,B1C1的中點N,M，E,F分別是棱BC,CC1的中點，所以MN//BC1//EF，ME//BB1,ME=BB1，所以，四邊形A1MEA為平行四邊形，所以A1M//AE，因為A1M,MN仁平面AEF，AE,EF仁平面AEF，所以A1M//平面AEF，NM//平面AEF，因為A1MnMN=M,A1M,MN仁平面A1MN，所以平面A1MN//平面AEF，所以，直線A1P與平面AEF平行，P的軌跡即為線段MN，故對于A選項，故A正確；，對于B選項，要使得DQ與A1P始終垂直，則DQL面A1MN，故如圖建立空間直角坐標系，則--------------------------------------------------所以，直線A1B1上存在唯一的點Q（A1B1中點使得DQ與A1P始終垂直，故B正確；所以點P的軌跡為以B1為圓心，1為半徑的圓在平面BCC1B1內(nèi)的圓弧，對于D選項，------------所以，.的最大值為2，故D錯誤.故選：ABC6．一個長方體的棱長分別為1,1,，MN是該長方體外接球的一條直徑，點P是長方體表面上的一個動點，則.的取值范圍是. (1)2()2(1)29 (1)2()2(1)29x2+y2+z2看作長方體表面上點到,,距離的平方，通過分析幾何體的性質(zhì)可得距離的最值，進而求得.的取值范圍.【詳解】解：因為MN是長方體外接球的一條直徑，以AB,AD,AA1方向為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示，，1x,y,1z)2x+y2y2z(1)2()2(1)29(1)2()2(1)29而x2+y2+z2可看作長方體表面上點到,,距離的平方，由長方體的對稱性可知，此點為長方體各個面的面對角線中點時，距離最短，(1)2()2(1)2()27(1)2()2(1)2()27故x-2+y-2+z-2-in(1)2()2(1)291719(1)2()2(1)291719當x=0,y=0,z=0時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi)，即所求的范圍是[-2,0].故答案為：[-2,0]7．已知P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)（含正方體表面）一動點.（1）當點P運動到C1D1中點時，AP.AC的值為；（2）當點P運動時，AP.AC的最大值為.【分析】空1：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出相關點坐標，得到,，計算即可.空2：利用向量點乘的幾何意義，轉化為投影最值問題，即可得到答案.【詳解】空1：以D為坐標原點，DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系，∵P為C1D1------------------|AP------------------|AP||AC|---------|AP|cos<AP,AC>是向量在---------所以當P在C1位置時，投影最大，AP.AC的最大值為:22故答案為28．已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則.的取值范圍為.【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，以及正四面體中內(nèi)切球球心到頂點的距離，從而可得【詳解】如圖所示，在邊長為1的正四面體CDEF中，設四面體內(nèi)切球球心為O，內(nèi)切球半徑為r，取EF中點為G，CDF+V0一CEFDEF， 根S△DEF因為點P為正四面體表面上的一個動點，2---2---------------21---2---------------212題型二面積、體積的最值范圍問題9．如圖，已知四棱錐P一ABCD中，正三角形PAB的邊長為2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，則四棱錐PABCD的體積的最大值為()【答案】B【分析】連接AC可得VP一ABCD=3VP一ACD，設AD=a，取PC的中點E，可得DE2，利用基本不等式可得答案.【詳解】連接AC，因為ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，可得PD=4AD2=4a2，CD=AB2BC取PC的中點E，連接DE，可得DELPC，44a2PBPB2BC2444a2,所以VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD=a<=， 當且僅當1_a2=a2即a=等號成立，此時四棱錐P_ 2【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵點是求出VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD，考查了顯示的空間想象能力、運算能力.為8π,則三棱錐S_ABC體積的最大值為()A2BCDA2BCD【答案】D【分析】依題意可得AB即為三棱錐S_ABC外接球的直徑，設AB的中點為O，則O即為球心，設AC=b，BC=a，即可得到a2+b2=8，利用基本不等式求出‘ABC面積最大值，再由SA=SB=SC可得此時SOL平面ABC，即可求出錐體的體積最大值.【詳解】設三棱錐S_ABC外接球的半徑為R，則4πR2=8π,解得R=，‘ABC為直角三角形，則‘ABC外接圓的直徑即為直角三角形的斜邊AB，即‘ABC外接圓的半徑r=，所以‘ABC為外接球中的大圓，AB即為三棱錐S_ABC外接球的直徑，設AB的中點為O，則O即為球心，2即(S‘ABC)max22則‘SCO≌‘SAO且‘SAO≌‘SBO，所以ZSOB=ZSOA，則SOLAB且SOLCO，ABnCO=O，AB,CO仁平面ABC，所以SOL平面ABC，所以SO=AB=，即三棱錐SABC體積的最大值為.11．已知底面為矩形的直四棱柱高為4，體積為16，各頂點都在一個球面上，則這個球的體積的最小值是992【答案】A【分析】設底面矩形的長為a(a>0)、寬為b(b>0)，外接球的半徑為R，依題意可得ab=4，且22222R=a+b+4，利用重要不等式求出R2222又長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以(2R)2=a2+b2+42，即4R2=a2+b2+164πR33所以R之，即外接球的半徑最小值為√6，4πR33212．已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4，圓心角為π的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則該2零件表面積的最大值為.【答案】【分析】運用扇形的弧長公式可求得圓錐半徑，結合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意知，該圓錐的母線長為l=4，設圓錐底面圓半徑為R，高為h，如圖所示，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于‘PAB內(nèi)切圓的半徑，設‘PAB的內(nèi)切圓圓心為O1，半徑為r，由S‘PAB=S‘PAO+S‘PBO+S‘ABO得，x2x=x4r+x4r+x2r，解得r=.所以該球狀零件表面積的最大值為4πr2=.故答案為：.13．如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，DBLAB，AB體PBCD的外接球的球心為O，M為球O表面上的一個動點，當ZMAO取最大值時，四面體MABD體積的最大值為.【答案】4/【分析】根據(jù)題意，由條件可得ZMAO取最大值時ZAMO=90O，由余弦定理即可得到AO，然后過M作MHLAO，即可得到MH，從而得到結果.【詳解】依題可得，四面體P一BCD的外接球的球心O為BC中點，外接球半徑r=，要使ZMAO取到最大值，則∴sinZMAO=∴AM=AOAO2一r2過M作MHLAO，垂足為H，所以點M在以H為圓心MH為半徑的圓上，∴四面體M一ABD體積的最大值為.SΔABD.MH=..2.2.=.故答案為：.14．一個圓錐母線與底面所成的角為30。，體積為8π,過圓錐頂點的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為.【答案】8【分析】設圓錐的頂點為S，底面圓心為O，過圓錐頂點S的平面截圓錐所得截面為SAB，根據(jù)ZSAO=30。，圓錐體積為8π,求出OA=2，再用OE表示截面面積，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結果.【詳解】設圓錐的頂點為S，底面圓心為O，過圓錐頂點S的平面截圓錐所得截面為SAB，E為AB的中點，則OELAB，ZSAO=30。，SO=OA，31 1 3,2，2422所以當OE2=4，OE=2時，SΔSAB取得最大值為8.故答案為：8.15．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E為B1C1的中點，M為AB上靠近A的三等分點，N為A1B1上靠近B1的三等分點.(1)證明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CML平面ABB1A1，BELAB1，CC1與平面ABB1A1的距離為x，A1C=8，AB1=12，三的體積為y，試寫出y關于x的函數(shù)關系式.(3)在（2）的條件下，當x為多少時，三棱錐A1一ACM的體積取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)證明見詳解2(2)y=1x64x2,xe(0,8)2【分析】（1）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可知AB1L平面A1MC，進而可得AB1LA1M，結合錐體的體積公式運算求解；（3）整理得y=-(x2-32)2+1024,xe(0,8)，結合二次函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可得：A1N=BM，A1N//BM，則A1NBM為平行四邊形，可得A1M//BN，且A1M仁平面A1MC，BN仁平面A1MC，所以BN//平面A1MC，取A1N的中點F，連接C1F,MF，因為E,N分別為B1C1,B1F的中點，則EN//C1F，又因為A1F=AM，A1F//AM，則AA1FM為平行四邊形，可得AA1//FM，AA1=FM，且AA1//CC1，AA1=CC1，則CC1//FM，CC1=FM，可得CC1FM為平行四邊形，則CM//C1F，故CM//EN，且CM仁平面A1MC，EN仁平面A1MC，所以EN//平面A1MC，BNIEN=N，BN,EN仁平面BEN，所以平面A1MC//平面BEN.（2）因為CML平面ABB1A1，A1M仁平面ABB1A1，則CMLA1M，且CC1//平面ABB1A1，則CM=x，可得A1M=A1C2-CM2=64-x2,xe(0,8)，且CM//EN，則ENL平面ABB1A1，AB1仁平面ABB1A1，可得ENLAB1，且BELAB1，ENIBE=E,EN,BE仁平面BEN，所以AB1L平面BEN，又因為平面A1MC//平面BEN，則AB1L平面A1MC，A1M所以三棱錐A1-ACMxxx3xxx3x6464-x2 22464x=64xx=2y取到最大值ymax=、當x2C是上的動點.(1)求圓柱的側面積S；(2)求四棱錐P一ABCD的體積V的最大值.【答案】(1)2π(2)94【分析】（1）利用余弦定理求出BD，再利用正弦定理求出圓柱底面半徑為r，進而求出結果；（2）利用余弦定理結合基本不等式求出BC.CD<7，再利用體積公式求出結果.由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB.ADcosZBAD=7，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC.CDcosZBCD2222所以四棱錐P-ABCD的體積，V故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD的最大值為.題型三夾角的最值范圍問題17多選）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當λ+μ=1時，直線BB1和AP所成的角的取值為,1|D．當λ=1時，直線BP與平面ACC1A1所成角的正弦值范圍是,【答案】ABD------【分析】對于選項A，建立空間直角坐標系，通過計算得到BP.AB1=0，從而得到AB1LBP，進而判斷出選項A正確；對于選項B，利用條件確點P的位置，再利用等體法即可判斷選項的正誤；對于選項C，利用空間直角坐標系，將線線角轉化成兩向量所成角來求解，------------------1cos------1=，再利用t的取值范圍即可求出結果，從而判斷出選項的正誤；對于選項D，根據(jù)條件，確定點P的運動軌跡，取AC中點M點，從而得到ZBPM為BP與平面ACC1A1所成的角，進而可求出sinZBPM的最大值和最小值.【詳解】選項A，當λ=1且μ=時，P為CC1的中點，取BC中點O，B1C1中點O1，連AO,OO1，因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，所以AOLBC，建立如圖1所示的空間直角坐標系，則B(0,,0)，A(,0,0)，P(0,-,)，B1(0,,1)，所以AB1LBP，所以選項A正確.選項B，當μ=1時，P為B1C1的上的動點，因為VP-ABC=VA-PBC，又易知SΔPBC=x1x1=A1到平面BCC1B1的距離為332所以VP-A1BC=VA1-PBC=xx=，所以選項B正確. 22-+2212-+2212------1cos------1------------------------1t122e(0]所以cos,e[0,]，所以直線B1B與AP所成角的范圍為,，所以選項C不正確.選項D，當λ=1時，則P為CC1的上的動點，如圖2，取AC中點M點，BMlAC，又三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，所以BMl平面ACC1A1，則ZBPM為BP與平面ACC1A1所成的角，在RtΔBMP中，BM=為定值，又sinZBPM=,BMBC所以BP與平面ACC1A1所成的最大角為ZBCM，此時sinZBCMBMBC 2 最小角為ZBC1M，此時sinZBC1M==46．所以選項D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵在于利用平面向量基本定理和向量的幾何運算確定各個選項中點P的位置，再利用向量法或幾何法來處理.18多選）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為面對角線A1D上的一個動點（包含端點則下列選項中正確的有()B．線段A1D上存在點G，使A1CL平面GBC1的余弦值為63D．設直線BG與平面BCC1B1所成角為θ,則tanθ的最大值為√2【答案】ABD【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.易得平面ADD1A1//平面BCC1B1，DCL平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距離為定值DC，又SΔBBC為定值，所以三棱錐B1一GBC1體積為定值，故A正確.對于B，如圖所示，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，所以所以 所以對于C，當點G與點A1重合時，此時G(1,0,1)，-------- 設=(0,1,0)L平面BB1C1，設二面角G-BC1-B1所成角為Q，m.pp3設直線BG與平面BCC1---BG.---BG.p.p1 2λ2-2λ+2122λ-2+2因為y=sinx,y=tanx在0,上單調(diào)遞增，所以當sinθ取得最大值時，tanθ取得最大值，當λ=時，(sinθ)max=1332 所以(tanθ)max=，所以D正確故選：ABD.---A．PQ的最小值是---B．當x=1時，三棱錐P-ADQ的體積為定值C．當x=y時，PB與PQ所成角可能為333D．當x+y=1時，AB與平面PAQ所成角正弦值的最大值為【答案】ABD6【分析】根據(jù)向量關系可得Q為正方形ABCD內(nèi)的點(包括邊界)，設ACnBD=O，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)結合------條件可得PQ>PO判斷A，根據(jù)棱錐的體積公式結合條件可判斷B，根據(jù)線面角的求法結合條件可判斷C，------利用坐標法表示出線面角，然后利用導數(shù)求最值可判斷D.所以Q為正方形ABCD內(nèi)的點(包括邊界)，在正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=，設ACnBD=O，連接PO，則POl平面ABCD，OA=OB=1,PO------對A，由題可知PQ>PO=，當Q,O重合時取等號，故A正確；---------------------對B，當x=1時，AQ=AB+yAD，即BQ=yAD--------------- t2 t2 所以3t2+2因為AD//BC，所以三角形ADQ的面積為定值，而三棱錐P一ADQ的高PO為定值，故三棱錐P一ADQ的體積為定值，故B正確；由題可知POLOB,OBLOA,PO一OA=O,PO,OA仁平面PAC，故OBL平面PAC，所以PO為PB在平面PAC內(nèi)的射影，ZBPQ>ZBPO，而在RtΔPOB中，tanZBPO==>，所以ZBPO>，ZBPQ>，故PB與PQ所成角不可能為，故C錯誤；所以所以，設AB與平面PAQ所成角為Q，令---AB.---AB22f,t=2 3t2ft=ft=3t2所以當所以當所以f(t)max=f-==，sina<=，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)向量關系結合條件得到點Q的位置，然后結合條件利用立體幾何知識解決即得.20多選）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BC的中點，點P，Q分別為線段BD1，AD上A．ACLDPC．PQ的最小值為B．平面DEP可能經(jīng)過頂點C1D．ZAPC的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，用向量表示空間中的垂直關系，求點到平面的距離，以及空間角的計算，即可結合選項逐一求解.【詳解】建立空間直角坐標系，如圖所示：設=λ=(-λ,-λ,λ)，則P(1-λ,1-λ,λ)，λE[0,1]；正確；即〈x+y=0，令y=λ,則x=-2λ,z=1-λ,所以=(-2λ,λ,1-λ)，|l(1-λ)x+(1-λ)y+λz=0所以點C1到平面DEP的距離不能為0，即平面DEP不過點C1，B錯誤；以PQ的最小值為，C正確；因為=(λ,λ1,λ)，=(λ1,λ,λ)，2.(λ1)2+λ2+λ2 3λ2=3λ22λ+113λ2設f(λ)=3λ2一2λ+1=3(λ)2+，λE[0，1]，λE[，]，所以(λ)2E[0，]，所以3(λ)2E[0，]，故選：ACD.21．如圖（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=2，ZB=60O，折起，使得二面角A一DE一B大小為60O，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點A記作點P）(1)求點D到面PEC的距離；(2)求四棱錐P一BCED外接球的體積；(3)點Q為一動點，滿足=λ(0<λ<1)，當直線BQ與平面PEC所成角最大時，試確定點Q的位置.【答案】(1)(2)20π3【分析】（1）由已知可證得平面PDBL平面BCDE，取BD中點O，連接PO,OC，則有OB,OC,OP兩兩垂直，所以以{,,}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系O一xyz，然后利用空間向量求解，（2）連接BE，則四邊形BCED的外接圓圓心在BE的中點O1，△PBD外接圓的圓心為PO的三等分點O2，過點圓心O1，O2分別作兩面垂線，則垂線交點即為球心M，連接BM，求出其長度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，（3）由=λ(0<λ<1)，表示出點Q的坐標，然后利用空間向量表示出直線BQ與平面PEC所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.因為DE垂直平分AB，所以DELPD,DELBD，所以ZPDB為平面PDE與平面BCED的二面角的平面角，所以ZPDB=，PD=BD，所以ΔPDB為等邊三角形，取BD中點O，連接PO,OC，所以POLBD,OCLBD，所以DEL平面PDB，因為DE仁平面BCDE，所以平面PDBL平面BCDE，因為POLBD,OCLBD所以POLOC，以{,,}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系O一xyz，設平面PEC的一個法向量為=(x,y,z)，則1所以點D到面PEC的距離d=33-x+333113 3 3,則四邊形BCED的外接圓圓心在BE的中點O1，△PBD為正三角形，則△PBD外接圓的圓心為PO的三等分點O2，過點圓心O1，O2分別作兩面垂線，則垂線交點即為球心M，如圖所示，連接BM，則BM即球的半徑.22所以由勾股定理得MB===，|(x1|l1l1Q(x1,y1,z1)，由P=λP(0<λ<1)得(x1,y1,z1-3)=λ(=-λ=2λ,得Q(-λ,2λ,3-3λ)，，=3-3λ所以B=(-λ-,2λ,3-3λ)，設直線BQ與平面PEC所成角為θ(θE0,|則sinθ=則473 732274λ2-3λ+374(λ-)2+ 所以當λ=時，sinθ取得最大值，此時直線BQ與平面PEC所成角最大，---3---即當PQ=8PE時，直線BQ與平面PEC所成角最大.棱臺ABC-A1B1C1中側面BC為等腰三角形，AB=AC=5,O為BC的中點.(1)證明：平面ABCL平面AOM；(2)記二面角A-BC-B1的大小為θ.①當θ=時，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值.②當θ=,時，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見解析； (2)①，②最大值為【分析】（1）由三棱臺ABC-A1B1C1性質(zhì)及其邊長即可證明BCL平面AOM，利用面面垂直的判定定理即可證明平面ABCL平面AOM；（2）①由題意可知人AOM即為二面角A-BC-B1的平面角，人AOM=θ,以O為坐標原點建立空間直角坐-2,2cosθ,2sinθ)，平面AA1C1C的一個法向量為=-3,4,,把θ=代入可得直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為；②當θ=,時，sina=32525+3sθ2利用θ的范圍即可求得直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值為3又因為側面BCC1B1為等腰梯形，M為B1C1的中點，所以BCLMO，又AO八MO=O,MO,AO仁平面AOM，因此BCL平面AOM，BC仁平面ABC，所以平面ABCL平面AOM由（1）中平面ABCL平面AOM，且平面ABC八平面AOM=OA，ON仁平面AOM，可得ONL平面ABC；以OB,OA,ON分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：又因為BCLMO，BCLAO，所以人AOM即為二面角A-BC-B1的平面角，所以人AOM=θ,(3-4cosθ)2(3-4cosθ)2BB1C1-2,23cosC1-2,23cosθ,23sinθ;設平面AA1C1C的一個法向量為=(x,y,z)，-3,4,-2)，設直線BB1與平面AA1C1C所成角的為a，即θ=時，直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為.②當θe,時，sina=cosBB1,ynBB1.nyn((3-4cosθ)2設f(θ)=,θe,，則f'(θ)=>0在θe,恒成立，所以f(θ)在θe,上單調(diào)遞增，f(θ)e-4,， -4cosθsinθe-4,，易知6-4<，所以2e[0,3]；所以當θe,時，直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值為.23．如圖，在三棱錐A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中點為G.(1)證明：直線AG平面BCD；(2)若BD2,BC1，當直線AB與平面ACD所成的角最大時，求三棱錐ABCD的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明△ABG△ACG，可得AGCG，結合線面垂直判定定理可證；（2以C為坐標原點，CD,CB,CH的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量表示出直線AB與平面ACD所成角的正弦，結合基本不等式可得AG，然后可求體積.因為BCD90。,BGDG，所以BGCG.又因為ABAD,G為BD的中點，所以AGBD，所以AGBAGD90。.又因為AG為公共邊，所以△ABG△ACG，又因為AGBD,BDCGG,CG,BD平面BCD，所以AG平面BCD.（2）過點C作直線CH平面BCD，以C為坐標原點，CD,CB,CH的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.cos,BAcos,BA---.(1)(1)0,0.設平面ACD的一個法向量為=(x,y,z)，設直線AB與平面ACD所成的角為Q，------BA2a 1.a24a24214<時，等號成立，此時，直線AB與平面ACD所成的角Q最大.故當直線AB與平面ACD所成的角最大時，三棱錐A-BCD的體積為.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB=BC，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的動點.BFLA1B1.(1)證明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點D為靠近B1的A1B1的四等分點【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出直線BF，DE的方向向量即可證明；（2）求出平面BB1C1C與平面DEF的法向量即可求解.【詳解】（1）因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1L底面ABC，又BC,AB仁底面ABC，所以BB1LAB，BB1LBC，又因為AB∥A1B1，BFLA1B1，所以BFLAB，又BB1八BF=B，BB1,BF仁平面BB1C1C，所以ABL平面BB1C1C，又BC仁平面BB1C1C，所以ABLBC，即BA,BC,BB1兩兩垂直，以B為原點，分別以BA,BC,BB1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設AB=2，則所以L，即BFLDE.（2）設平面DEF的法向量為=(x,y,z)，633633根+++--+---則3平面BB1C1C的一個法向量為=(2,0,0)，設平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角為θ,---n---BA+取最小值為，此時cosθ取得最大值，((6)2所以平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點D為靠近B1的A1B1的四等分點.題型四距離的最值范圍問題25．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動點P在體對角APC距離的最大值為()【答案】D【分析】以點D為原點建立空間直角坐標系，表示出的坐標，然后求出平面APC的法向量，表示出點B到平面APC的距離為，即可得到其最大值.【詳解】如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，設BP=λBD1(0<λ<1)，λ=(-λ,-λ,2λ)，------------------------------可取=(2λ,2λ,2λ-1)，---------AB.2λ則點B到平面APC的距離為AB.cosAB,==12λ2-4λ+1，---------AB.2λ當λ=0時，點B到平面APC的距離為0，22λ1212λ2-4λ+1==<λ4λ+4（|λ-)| 3-1+21λ4λ+4（|λ-)| 當且僅當λ=時，取等號，所以點B到平面APC的最大距離為，故選:D.26．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則線段AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值為6326334234【答案】D【分析】利用坐標法，設P(x,0,1-x),0<x<1，可得動點P到直線A1C1的距離為d=用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.332x2-x+1222 +一x22∴動點P到直線A1C1的距離為22-----------2AP.ACAC1AP ---x一x+33(1)2+33時取等號，即線段AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值為故選：D.333則下列結論正確的有()AA1=2，動點P在體對角線BD1上（含端點A．頂點B到平面APC的最大距離為B．存在點P，使得A．頂點B到平面APC的最大距離為2C．AP+PC的最小值D．當P為BD1中點時，ZAPC為鈍角【答案】ABC【分析】對A，以點D為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求出點B到平面APC的距離，分析即可判對B，當BD1L平面APC，則BD1LAP,BD1L