新人教版第4章《幾何圖形初步》知識及測試題

第4章《幾何圖形初步》知識與測試總結(jié)日期：2015年3月13日講解日期：2015年3月14日幾何圖形認(rèn)識立體圖形〔1〕幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形．

〔2〕立體圖形：有些幾何圖形〔如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等〕的各局部不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形．

〔3〕重點和難點突破：

結(jié)合實物，認(rèn)識常見的立體圖形，如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各局部不都在同一平面內(nèi)．點、線、面、體1〕體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

〔2〕從運動的觀點來看點動成線，線動成面，面動成體．點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．

〔3〕從幾何的觀點來看點是組成圖形的根本元素，線、面、體都是點的集合．

〔4〕長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體．

〔5〕面有平面和曲面之分，如長方體由6個平面組成，球由一個曲面組成．歐拉公式〔1〕簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間的關(guān)系為：V+F-E=2．這個公式叫歐拉公式．公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律．

〔2〕V+F-E=X〔P〕，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X〔P〕是多面體P的歐拉示性數(shù)．幾何體的外表積幾何體的外表積=側(cè)面積+底面積〔上、下底的面積和〕常見的幾種幾何體的外表積的計算公式

①圓柱體外表積：2πR2+2πRh〔R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高〕

②圓錐體外表積：πr2+nπ〔h2+r2〕360〔r為圓錐體低圓半徑，h為其高，n為圓錐側(cè)面展開圖中扇形的圓心角〕

③長方體外表積：2〔ab+ah+bh〕〔a為長方體的長，b為長方體的寬，h為長方體的高〕

④正方體外表積：6a2〔a為正方體棱長認(rèn)識平面圖形〔1〕平面圖形：一個圖形的各局部都在同一個平面內(nèi)，如：線段、角、三角形、正方形、圓等．

〔2〕重點難點突破：

通過以前學(xué)過的平面圖形：三角形、長方形、正方形、梯形、圓，了解它們的共性是在同一平面內(nèi)．幾何體的展開圖〔1〕多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的．沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖．同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形．

〔2〕常見幾何體的側(cè)面展開圖：

①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形．②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．③正方體的側(cè)面展開圖是長方形．④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形．

〔3〕立體圖形的側(cè)面展開圖，表達(dá)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系．立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問題解決．

從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．展開圖折疊成幾何提體通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中識別它們能否折疊成給定的立體圖形正方體相對兩個面上的文字〔1〕對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的根底上直接想象．

〔2〕從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．

〔3〕正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認(rèn)真確定哪兩個面的對面．截一個幾何體截面：用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)那么圖形，一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，因此，假設(shè)一個幾何體有幾個面，那么截面最多為幾邊形直線射線線段直線射線線段的表示直線、射線、線段的表示方法

①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大些字母〔直線上的〕表示，如直線AB．

②射線：是直線的一局部，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．

③線段：線段是直線的一局部，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB〔或線段BA〕．點與直線的位置關(guān)系：①點經(jīng)過直線，說明點在直線上；②點不經(jīng)過直線，說明點在直線外直線的性質(zhì)〔1〕直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．

〔2〕經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．線段的性質(zhì)線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡單說成：兩點之間，線段最短．兩點間的距離兩點間的距離連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離比擬線段的長短〔1〕比擬兩條線段長短的方法有兩種：度量比擬法、重合比擬法．

就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．

〔2〕線段的中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點．

〔3〕線段的和、差、倍、分及計算

做一條線段等于線段，可以通過度量的方法，先量出線段的長度，再利用刻度尺畫條等于這個長度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于線段．

如圖，AC=BC，C為AB中點，AC=12AB，AB=2AC，D為CB中點，那么CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，這就是線段的和、差、倍、分．第三節(jié)角一：角〔1〕角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．

〔2〕角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否那么分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母〔如∠α，∠β，∠γ、…〕表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字〔∠1，∠2…〕表示．

〔3〕平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角．

〔4〕角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．鐘面角〔1〕鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走112格，分針1分鐘走1格．鐘面上每一格的度數(shù)為360°÷12=30°．

〔2〕計算鐘面上時針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針?biāo)幍奈恢茫_定其夾角，再根據(jù)外表上每一格30°的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)．

〔3〕鐘面上的路程問題分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷60=6°

時針：12小時轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷12÷60=0.5°．方向角〔1〕方位角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向．

〔2〕用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先表達(dá)北或南，再表達(dá)偏東或偏西．〔注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．〕

〔3〕畫方位角以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊那么表示對象所處的方向的射線．二：角的比擬與運算度分秒的換〔1〕度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

〔2〕具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．同時，在進(jìn)行度、分、秒的運算時也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．角平分線的定義〔1〕角平分線的定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．

〔2〕性質(zhì)：假設(shè)OC是∠AOB的平分線那么∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

〔3〕平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．角的計算〔1〕角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②假設(shè)射線OC是∠AOB的三等分線，那么∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

〔2〕度、分、秒的加減運算．在進(jìn)行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時，要借1化60．

〔3〕度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進(jìn)一步去除．計算器---角的換算科學(xué)型計算器

計算器上面的函數(shù)區(qū)，三行二列的鍵〔．，，，〕就是度分秒轉(zhuǎn)換的鍵．

輸入數(shù)值，如輸入30.5，先按=，再按〔．，，，〕鍵，就顯示出30°30′0″．

如果要輸入30°30′0″，先輸入30在“度”的位置按一下，再輸入30在“分”的位置再按一下，最后輸入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．假設(shè)要轉(zhuǎn)化為度，那么按=，再按〔．，，，〕鍵，就顯示出30.5°．三：余角和補(bǔ)角〔1〕余角：如果兩個角的和等于90°〔直角〕，就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．

〔2〕補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°〔平角〕，就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．

〔3〕性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．

〔4〕余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．

注意：余角〔補(bǔ)角〕與這兩個角的位置沒有關(guān)系．不管這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，那么它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．網(wǎng)第一卷〔選擇題〕一、選擇題〔本大題共14題，每題3分，共42分，在每題給出的四個選項中只有一項為哪一項符合要求的〕1、如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是……...…〔〕A.和B.諧C.社D.會2、下面左邊是用八塊完全相同的小正方體搭成的幾何體，從上面看該幾何體得到的圖是.〔〕3、如圖，四個圖形是由立體圖形展開得到的，相應(yīng)的立體圖形順次是.………….………〔〕A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐4、如圖，對于直線AB，線段CD，射線EF，其中能相交的是…………...…〔〕5、以下說法中正確的選項是………………...…〔〕A.畫一條3厘米長的射線B.畫一條3厘米長的直線C.畫一條5厘米長的線段D.在線段、射線、直線中直線最長6、如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中∠與∠互余的是…………...〔〕7、點E在線段CD上，下面四個等式①CE＝DE；②DE＝CD；③CD＝2CE；④CD＝DE.其中能說明E是線段CD中點的有………….…〔〕A.1個B.2個C.3個D.4個8、C是線段AB上一點，D是BC的中點，假設(shè)AB＝12cm，AC＝2cm，那么BD的長為…….〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9、如圖是一正方體的平面展開圖，假設(shè)AB＝4，那么該正方體A、B兩點間的距離為………..〔〕A.1B.2C.3D.410、用度、分、秒表示91.34°為.……….….〔〕A.91°20/24//B.91°34/C.91°20/4//D.91°3/4//11、以下說法中正確的選項是….〔〕A.假設(shè)∠AOB＝2∠AOC，那么OC平分∠AOBB.延長∠AOB的平分線OCC.假設(shè)射線OC、OD三等份∠AOB，那么∠AOC＝∠DOCD.假設(shè)OC平分∠AOB，那么∠AOC＝∠BOC12、如圖,小華的家在A處，書店在B處，星期日小華到書店去買書，他想盡快的趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線…………...〔〕A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B13、同一平面內(nèi)有四點，過每兩點畫一條直線，那么直線的條數(shù)是……..…….〔〕A.1條B.4條C.6條D.1條或4條或6條14、甲、乙兩人各用一張正方形的紙片ABCD折出一個45°的角〔如圖〕，兩人做法如下：甲：將紙片沿對角線AC折疊，使B點落在D點上，那么∠1＝45°；乙：將紙片沿AM、AN折疊，分別使B、D落在對角線AC上的一點P，那么∠MAN＝45°對于兩人的做法，以下判斷正確的選項是…………...〔〕A.甲乙都對B.甲對乙錯C.甲錯乙對D.甲乙都錯Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題〔本大題共6題，每題3分，共18分〕15、我們在用玩具槍瞄準(zhǔn)時，總是用一只眼對準(zhǔn)準(zhǔn)星和目標(biāo)，用數(shù)學(xué)知識解釋為16、上午8:30時，時針和分針的夾角為17、線段AB=10,直線AB上有一點C,且BC=4,M是線段AC的中點,那么AM的長為18、在同一平面內(nèi)，n〔n＞1〕條直線最多可有__________條交點．〔用含有n的代數(shù)式表示19、如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于O，那么∠AOC＋∠DOB＝20、如下圖，一艘船從A點出發(fā)，沿東北方向航行至點B，再從B點出發(fā)沿南偏東15°方向航行至點C，那