中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練（全國通用）：二次函數(shù)（解析版）

專題16二次函數(shù)

一、二次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

關(guān)系式一般式（aWO）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-/z)2+攵(a#0)

開口方向當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)"VO時(shí)，拋物線開口向下。

b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)

2a4a

b

對(duì)稱軸直線直線x=h

2a

b

x<----時(shí)，y隨x增大而減小；x<h時(shí)，y隨x增大而減?。?/p>

2a

a>0

x>—2時(shí)，y隨X增大而增大。x>h時(shí)，y隨x增大而增大。

2a

增減性

b

x<——時(shí)，y隨x增大而增大；x<h時(shí)，y隨x增大而增大；

2a

a<0

X>—2時(shí)，y隨x增大而增大。x>h時(shí)，y隨x增大而減小。

2a

、命b24ac-b2

。〉0當(dāng)x—時(shí)，y最小值=。當(dāng)x=h時(shí)，y最小值=%。

2a4a

最值

、“b.4ac-b2

?<0當(dāng)x=------時(shí),y品大他=--------o當(dāng)x=h時(shí)，y最大值二々。

2a最大值4a

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?株洲中考）已知二次函數(shù)），=??+"-c（aWO）,其中b>0、c>0,則該函數(shù)的圖象可能為（）

解：Vc>0,

-c<0,

故4,。選項(xiàng)不符合題意;

當(dāng)”>0時(shí)，

'：b>0,

對(duì)稱軸x=<0,

故8選項(xiàng)不符合題意;

當(dāng)。<0時(shí)?，b>0,

?,?對(duì)稱軸x=-2^>0，

故C選項(xiàng)符合題意，

答案：C.

2.(2022?哈爾濱中考)拋物線y=2(x+9)2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

解：'：y=2(.r+9)2-3,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-3),

答案：B.

3.(2022?廣州中考)如圖，拋物線>=以2+或+'(a#0)的對(duì)稱軸為x=-2,下列結(jié)論正確的是()

A.a<0

B.c>0

C.當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小

D.當(dāng)尤>-2時(shí)，y隨x的增大而減小

解：；圖象開口向上，

.,.67>0,故A不正確；

?.?圖象與y軸交于負(fù)半軸，

.,.c<0,故8不正確；

?.?拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-2,

...當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小，x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大，

故C正確，。不正確：

答案：C.

4.(2022?陜西中考)已知二次函數(shù)了=/-2x-3的自變量xi,X2,刈對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,)2,>3.當(dāng)-1<XI

<0,1<X2<2,用>3時(shí)，yi,y2,y3三者之間的大小關(guān)系是()

A.y\<y2<y3B.y2Vy3VyiC.y3<yi<y2D.y2<y\<y3

解:?拋物線y=f-2x-3=（x-1）2-4,

，對(duì)稱軸x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）,

當(dāng)y=0時(shí)，（x-1）2-4=0,

解得x=-1或x=3,

???拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,0）,（3,0）,

???當(dāng)-IVxiVO,1<X2<2,13>3時(shí)，y2<y\<y3,

答案：D.

5.（2022?郴州中考）關(guān)于二次函數(shù)y=（x-1）2+5,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)圖象的開口向下

B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,5）

C.該函數(shù)有最大值，最大值是5

D.當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增大

解：y—（x-1）2+5中，

/的系數(shù)為I,1>0,函數(shù)圖象開口向上，A錯(cuò)誤；

函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,5）,8錯(cuò)誤；

函數(shù)圖象開口向上，有最小值為5,C錯(cuò)誤；

函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=l，x<l時(shí)y隨x的增大而減?。粁>l時(shí)，y隨x的增大而增大，Q正確.

答案：D.

6.（2022?衢州中考）已知二次函數(shù)y=a（x-l）2-a（“#0）,當(dāng)-1WxW4時(shí)，y的最小值為-4,則a的值為（）

14141

A.一或4B.一或一尚C.一號(hào)或4D.一卷或4

2323Z

解：y=a（x-1）2-。的對(duì)稱軸為直線x=l,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）,

當(dāng)〃>0時(shí)，在-1WXW4,函數(shù)有最小值-a,

的最小值為-4,

/--a=-4,

，。=4；

當(dāng)aVO時(shí)，在-1W元W4,當(dāng)工=4時(shí)，函數(shù)有最小值，

：.9a-a=-4,

解得a--

綜上所述：a的值為4或-分

答案：D.

7.(2022?岳陽中考)已知二次函數(shù)卜=加』-4機(jī)2'-3(膽為常數(shù)，/nWO),點(diǎn)、P(xp,?)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

當(dāng)0W布W4時(shí)，ypW-3,則，〃的取值范圍是()

A.或機(jī)<0B.m21C.，/-1或m>0D.〃zW-1

解：二次函數(shù)？=,小-4m2x-3,

...對(duì)稱軸為x=2m,拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),

；點(diǎn)P(xP,yP)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)0WxpW4時(shí)，ypW-3,

...①當(dāng)山>0時(shí)，對(duì)稱軸x=2m>0,

此時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，yW-3,即,“?42-4,"2.4-3W-3,

解得，“21；

②當(dāng)m<0時(shí)，對(duì)稱軸x=2〃?V0,

當(dāng)0WxW4時(shí)，y隨x增大而減小，

則當(dāng)0Wx°W4時(shí)，后-3恒成立；

綜上，，”的取值范圍是：，"N1或"?<0.

答案：A.

8.(2022?鹽城中考)若點(diǎn)PGw,n)在二次函數(shù)y=?+2r+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2,則”的取值

范圍是W0.

解：y—x2+2x+2=(jc+1)2+1,

.?.二次函數(shù)y=/+2x+2的圖象開口向上，頂點(diǎn)為(7,1),對(duì)稱軸是直線x=-l,

■：P(m,n)到y(tǒng)軸的距離小于2,

-2<m<2,

而-1-(-2)<2-(-1),

當(dāng)？n=2,n—(2+1)2+1=10,

當(dāng)m--1時(shí)，n—1>

：.n的取值范圍是

答案：l^n<10.

9.(2022?長春中考)已知二次函數(shù)尸-7-2x+3,當(dāng)a^x<拊，函數(shù)值y的最小值為1,則。的值為-1-V3.

解：Vy=-x2-2r+3=-(x+1)2+4,

.??圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1,

當(dāng)y=l時(shí)，-(x+1)2+4=1,

.*.x=-1±V3,

V-1+V3>1,

，-1-V3；時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1,

：.a=-1-V3.

答案：-1一代.

10.(2022?北京中考)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1,加)，(3,〃)在拋物線y=4/+/?+c(?>0)上，設(shè)拋物

線的對(duì)稱軸為直線x=f.

(1)當(dāng)c=2,時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及，的值；

(2)點(diǎn)(xo,m)(xoWl)在拋物線上.若機(jī)V〃Vc,求，的取值范圍及xo的取值范圍.

解：(1)當(dāng)"?=〃時(shí)，點(diǎn)A(I,w),B(3,〃)的縱坐標(biāo)相等，

由拋物線的對(duì)稱性可得，拋物線的對(duì)稱軸為x=岑，

Vc=2,

???拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2).

(2)VW<77<C,

a+b+c<9a+3h+c<cf

解得-4a〈b<-3a,

?9.3a<-b<4a,

3ab4a?3

/?—V——<T—,ri即一<7<C2.

2a2a2a2

當(dāng)U/時(shí)，x0=2;

當(dāng)t=2時(shí)，刈=3.

???刈的取值范圍2<刈<3.

綜上，/的取值范圍為：|<r<2；刈的取值范圍2VxoV3.

二、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

【高頻考點(diǎn)精講】

1.。決定拋物線的開口方向及大小

(1)〃>0,拋物線開口向上；aVO,拋物線開口向下。

(2)|a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大。

2.a,6共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置

(1)當(dāng)6=0時(shí)，對(duì)稱軸x=------=0,對(duì)稱軸為y軸。

2aA

<o

(2)當(dāng)4、人同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸X=-對(duì)稱軸在y軸左側(cè)。

2±?

>o

(3)當(dāng)4、6異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸x=-對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

2a

b=O

a,b同號(hào)a、b異號(hào)

3.c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置

（1）當(dāng)c=0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)。

（2）當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸。

（3）當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸。

4.從―4公決定拋物線與x軸的交點(diǎn)位置

(1)當(dāng)b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)。

當(dāng)人2—4。。＞0時(shí),拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

(3)當(dāng)。2—4acV0時(shí),拋物線與X軸沒有交點(diǎn)。

5.特殊值

(1)當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c；當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c；當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+Co

(2)當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=l時(shí)，2a+b=0；當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=-1時(shí)，2a-b=0o

【熱點(diǎn)題型精練】

11.(2022?黔東南州中考)若二次函數(shù)(aWO)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=or+b與反比例函數(shù)

；?40,

??,拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè),

：.b>0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在入軸下方,

Ac<0,

...直線y=or+6經(jīng)過第一，二，三象限，反比例函數(shù)y=-提圖象經(jīng)過一，三象限，

答案：C.

12.（2022?青島中考）已知二次函數(shù)y=o?+公+c,的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=-1,且經(jīng)過點(diǎn)（-3,0）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3a+c=0

解：選項(xiàng)A：???拋物線開口向下，

：.a<0.

???對(duì)稱軸為直線工=-1,

.b_

：.b=2a.

：.b<0.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)8：設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（xi,0）,

則拋物線的對(duì)稱軸可表示為x=95-3）,

-1=1（XI-3）,解得xi=l,

.?.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1,0）和（-3,0）.

又???拋物線開口向下，

.?.拋物線與y軸交于正半軸.

/.c>0.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：；拋物線過點(diǎn)（1,0）.

'.a+b+c—0.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)￡>：'：b=2a,且“+〃+c=0,

??.3o+c=0.故選項(xiàng)O正確.

答案：D.

13.（2022?煙臺(tái)中考）二次函數(shù)y-f+bx+c（?0）的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x=-表且與x軸的

一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）.下列結(jié)論：①“歷>0；②”=b；③2a+c=0；④關(guān)于x的一元二次方程af+fex+c-1

=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.②④C.③④D.②③

解：①由圖可知：。>0,c<0,<0,

：.b>0,

abc<0,故①不符合題意.

②由題意可知：-名=一上

：.b=a,故②符合題意.

③將（-2,0）代入），=a?+匕x+c,

??.4。-2b+c=0,

■:a=b,

2〃+c=0,故③符合題意.

④由圖象可知：二次函數(shù)的最小值小于0,

令y=1代入y-f+fcr+c,

???以2+版+c=l有兩個(gè)不相同的解，故④不符合題意.

答案：D.

14.（2022?巴中中考）函數(shù)yTaf+bx+d（4>0,tr-4ac>0）的圖象是由函數(shù)y=a/+bx+c（Q>0,b1-4?c>0）

的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①2。+6=0；

②c=3；

③出?c>0；

④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

解：,?,圖象經(jīng)過（-1,0）,（3,0）,

；?拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1,

?_A

**?b—~2ch即2a+Z?=0,①正確.

由圖象可得拋物線y=a^hx+c與y軸交點(diǎn)在x軸下方,

.,.c<0,②錯(cuò)誤.

由拋物線的開口向上可得〃>0,

：.b=-2a<0f

；?abc>0,③正確.

設(shè)拋物線的解析式為y=〃（x+1）（x-3）,

代入（0,3）得：3=-3〃，

解得：a=-1,

；?y=-（x+1）（x-3）=-7+2x+3=-（x-1）?+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

??,點(diǎn)（1,4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1,5）,

???將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；

答案：D.

15.（2022?濟(jì)南中考）拋物線y=-W+2〃t”m2+2與），軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線/垂直于），軸，將拋物線在）；軸

右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點(diǎn)M-1,yi）,N（m+1,”）為圖形G上兩點(diǎn)，

若yiV”，則機(jī)的取值范圍是（）

A.%V-1或加>0B.-1<|C.0^/77<V2D.-l<m<l

解：在y=-/+2/虹-〃?2+2中，令得y=-（zn-1）2+2/n（zn-1）-"+2=1,

令1="任1,得^=-（tn+1）2+2WI（/??+1）2+2=],

（〃L1,1）和（團(tuán)+1,1）是關(guān)于拋物線y=--毋+2對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，

①若加-1N0,即（m-1,1）和（力2+1,1）在y軸右側(cè)（包括（m-1,1）在y軸上），

則點(diǎn)（/%-1,1）經(jīng)過翻折得知（/H-1,yi）,點(diǎn)（加+1,1）經(jīng)過翻折得N（加+1,”），

???此時(shí)不滿足yiV”；

②當(dāng)m+1<0,即Cm-1,1）和（zn+1,1）在y軸左側(cè)（包括（m+1,1）在），軸上）,

則點(diǎn)（陽-1,1）即為M（w1,yi）,點(diǎn)（m+1,1）即為N（m+1,中）,

??川=”,

，此時(shí)不滿足yiV”；

③當(dāng)IVOVm+l,B|J（w-1,1）在y軸左側(cè)，（m+1,l）在y軸右側(cè)時(shí)，如圖:

此時(shí)1）,（5+1,1）翻折后得M滿足）“<”；

由加-1<0<巾+1得：

答案：D.

16.（2022?遂寧中考）拋物線丫=以2+云+。（“，b,c,為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c,則，〃的取值

范圍是-4<〃?<0.

.,.a>0,

???拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

???一義/

：.b>0,

?.?拋物線經(jīng)過(0,-2),

-2,

???拋物線經(jīng)過(1,0),

〃+0+c=0,

/.a+h=2,h=2-a,

：.m=a-b+c=a-(2-a)+(-2)=2a-4,

.??y=or2+(2-a)x-2,

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a^-a-2-2=2〃-4,

：.0<a<2,

：.-4V2a-4V0,

答案：-4V〃zV0.

17.（2022?錦州中考）如圖，拋物線'=蘇+法+。（〃W0）與x軸交于點(diǎn)（-1,0）和點(diǎn)（2,0）,以下結(jié)論：①abc

<0；②4a-2Hc<0；③a+〃=0；④當(dāng)xV*時(shí)，y隨x的增大而減小.其中正確的結(jié)論有①②③.（填寫

解：①拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則ab<0,而c>0,故a/>c<0,故正確：

②工二-2時(shí)，函數(shù)值小于0,則4a-2b+c<0,故正確；

③與x軸交于點(diǎn)（7,0）和點(diǎn)（2,0）,則對(duì)稱軸乂=一/=二*=,故"+6=0,故③正確；

④當(dāng)XV；時(shí)，圖像位于對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大.故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的為①②③.

答案：①②③.

18.（2022?呼和浩特中考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為（-1,-1）和（4,-1）,拋物線y

=7?zx2-2加x+2（m#0）與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是m=3或-1<〃?三一五.

解：拋物線的對(duì)稱軸為：戶-需=1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

???拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2-/H）,直線。。的表達(dá)式y(tǒng)=-1,

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，且拋物線過點(diǎn)D（4,-1）時(shí)，

16/n-8"i+2=-1,

解得：“一看（不符合題意，舍去），

O

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1,-1）時(shí)，

ni+2m+2=-L

解得：-1（不符合題意，舍去），

當(dāng)m>0且拋物線的頂點(diǎn)在線段CO上時(shí),

2-m=-1,

解得："?=3,

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，且拋物線過點(diǎn)D(4,-1)時(shí)，

16m-8團(tuán)+2=-1,

解得：/〃=一1，

o

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,-1)時(shí)，

用+2/九+2=-1,

解得：m=-1,

綜上，加的取值范圍為"?=3或-IV"理一|,

答案：加=3或-1〈根

O

三、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【高頻考點(diǎn)精講】

bAnr*—b2

二次函數(shù)丫=。/+云+。QW0)的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(——，一■——)。

2a4a

i.拋物線關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線》=-2對(duì)稱。

2a2a

2.拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解析式中的c。

3.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是(西，0),(々，0),則對(duì)稱軸為x=三產(chǎn)。

【熱點(diǎn)題型精練】

19.(2022?寧波中考)點(diǎn)A(m-1,yi),B(優(yōu)，”)都在二次函數(shù)y=(x-1)?+”的圖象上.若山<”，則〃?的

取值范圍為()

33

A.ni>2B.m>fC.m<lD.一<m<2

22

解：???點(diǎn)4(//I-I,yi),B(見y2)都在二次函數(shù)y=(九-I)?+〃的圖象上，

Ayi=(/n-1-1)2+〃=(6-2)2+〃，

y2=(〃7-1)2+〃，

Vyi<y2,

/.-2)2+n<(/w-1)2+n,

Z.(/?-2)2-(m-1)2<0,

即-2m+3<0,

答案：B.

20.（2022?溫州中考）已知點(diǎn)A（a,2）,B（b,2）,C（c,7）都在拋物線y=（x-1）2-2±.,點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)，

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若c<0,則q<c<bB.若c<0,則

C.若c>0,則a<c<bD.若c>0,則a<b<c

解：?.?拋物線>=（x-1）2-2,

???該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,拋物線開口向上，當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增

大而減小，

?.?點(diǎn)4（a,2）,B（b,2）,C（c,7）都在拋物線y=（尤-1）2-2上，點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)，

...若c<0,則故選項(xiàng)A、B均不符合題意；

若c>0,則“<0Vc,故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)。符合題意：

答案：D.

21.（2022?西安模擬）已知拋物線丫=/+3-1經(jīng)過（-1,〃）和（2,n）兩點(diǎn)，則加+〃的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

解：,??拋物線經(jīng)過（-1,"）和（2,〃），

拋物線對(duì)稱軸為直線x=-$=二/=

Aw=-1,

2

/.y=x-x-\f

將（-1,〃）代入y=/-工-1得〃=1+1-1=1,

m+n=09

答案：B.

22.（2022?淄博中考）若二次函數(shù)），=/+2的圖象經(jīng)過戶（1,3）,Q（機(jī)，"）兩點(diǎn)，則代數(shù)式M-4層-4”+9的

最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

解：..?二次函數(shù)y=af+2的圖象經(jīng)過尸（1,3）,

3=a+2,

ci—1,

.,.y=x2+2,

Vg（m,n）在y=7+2上，

.".??=W2+2,

A/?2-4/n2-4n+9=（/n2+2）2-4m2-4（nz2+2）+9=m4-4m2+5=Cm2-2）2+l,

（加2-2）220,

.〃2-4m2-4/7+9的最小值為1.

答案：A.

23.（2022?廈門模擬）已知拋物線>="2+法+0經(jīng)過點(diǎn)P（2,yo）,且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（xi,yi）都有yi2yo,

若點(diǎn)A（-2,zn+2）與點(diǎn)B。，n）均在該拋物線上，且〃l〃<-2,則t的值可以是（）

A.7B.4C.1D.-I

解：...拋物線曠=/+法+。經(jīng)過點(diǎn)尸（2,和），且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（xi,yi）都有yieyo,

...點(diǎn)P（2,州）為拋物線的最低點(diǎn)即頂點(diǎn)，此時(shí)。>0,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)（-2,w+2）與點(diǎn)（6,m+2）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

,：a>0,

...當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大，

m-n<-2,

，〃任2V〃，

Ar>6或/V-2.

答案：A.

24.（2022?徐州中考）若二次函數(shù)-2x-3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于〃，，則m的值為4.

解：Vy=jr2-lx-3=（JC-1）2-4,

...拋物線開口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)為（1,-4）,

頂點(diǎn)到x軸的距離為4,

?..函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m,

?"?=4,

答案:4.

四、二次函數(shù)圖象與幾何變換

【高頻考點(diǎn)精講】

1.拋物線平移后形狀不變，所以系數(shù)。不變，平移后拋物線的解析式有兩種求法

（1）求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式。

（2）求出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出解析式。

2.平移規(guī)律：左加右減，上加下減。

【熱點(diǎn)題型精練】

25.（2022?通遼中考）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)尸=（x-1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向下平

移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)的解析式為（）

A.尸（x-2）2-1B.產(chǎn)（%-2）2+3C.y=/+lD.y=7-1

解：將二次函數(shù)y=（x-I）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到的拋物線的解

析式是y=（x-1+1）?+1-2,即y=7-l.

答案：D.

26.（2022?玉林中考）小嘉說：將二次函數(shù)），=/的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(diǎn)（2,0）有4種方法：

①向右平移2個(gè)單位長度

②向右平移I個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度

③向下平移4個(gè)單位長度

④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長度

你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：①向右平移2個(gè)單位長度，則平移后的解析式為丫=（x-2）2,當(dāng)x=2時(shí)，y=0,所以平移后的拋物線過

點(diǎn)（2,0）,故①符合題意；

②向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移I個(gè)單位長度，則平移后的解析式為），=（x-1/-1,當(dāng)工=2時(shí)，y=0,

所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2,0）,故②符合題意；

③向下平移4個(gè)單位長度，則平移后的解析式為y=/-4,當(dāng)x=2時(shí)，y=0,所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2,0）,

故③符合題意；

④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長度，則平移后的解析式為y=-f+4,當(dāng)x=2時(shí)，y=0,所以平移后的拋

物線過點(diǎn)（2,0）,故④符合題意；

答案：D.

27.（2022?瀘州中考）拋物線y=-"+x+l經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）

AA.y=12.Bn.y=—*12-4A

J—T2ZX^+XJ2

C.y=-9+202lx-2022D.y=-?+x+l

解：?.?將拋物線尸^x+l經(jīng)過平移后開口方向不變，開口大小也不變，

拋物線y=—?dú)q+x+l經(jīng)過平移后不可能得到的拋物線是產(chǎn)-/+x+i.

答案：D.

28.（2022?黔東南州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=7+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,再向下平移5個(gè)單

位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-3）.

解：將拋物線y=7+2x-1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線為：->,=（-x）2+2（-x）-1,即y=-x2+2x+l,

再將拋物線y=-x1+2x+\向下平移5個(gè)單位得丫=-x2+2x+l-5--f+2x-4--（x-1）2-3,

...所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-3）,

答案：（1,-3）.

29.（2022?荊州中考）規(guī)定：兩個(gè)函數(shù)yi,"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“丫函數(shù)”.例如：函數(shù)

）i=2x+2與”=-2r+2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)互為“丫函數(shù)”.若函數(shù)丫=履2+2（k-1）x+k-3Ck

為常數(shù))的“y函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則其“y函數(shù)”的解析式為y=2x-3或丫=-/+4X-4.

解：?.?函數(shù))，=4+2(k-I)x+k-3(人為常數(shù))的函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)^=小+2Ck-\)x+k-3(&為常數(shù))的圖象與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)女=0時(shí)，函數(shù)解析式為y=-2r-3,它的“F函數(shù)”解析式為y=2x-3,它們的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)AW0時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，

???它們的圖象與x軸都只有一個(gè)交點(diǎn)，

...它們的頂點(diǎn)分別在x軸上，

.4fc(/c-3)-[2(fc-l)]2

??-------------------------=0,

4k

解得：k--1,

工原函數(shù)的解析式為y=-x2-4x-4=-(x+2)2,

???它的“丫函數(shù)”解析式為y=-(x-2)2=-?+4x-4,

綜上，“丫函數(shù)”的解析式為y=2x-3或y=-7+41-4,

答案：y=2x-3或y=-7+4x-4.

30.(2022?湘西州中考)已知二次函數(shù)y=-?+4x+5及一次函數(shù)y=-x+b,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x

軸翻折到尢軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象(如圖所示)，當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)

時(shí)，b的取值范圍是竽<b<-1.

解：如圖，當(dāng)y=0時(shí)，-f+4x+5=0,解得xi=-1,也=5,貝jiA(-1,0),B(5,0),

將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到X軸下方的部分圖象的解析式為y=(.r+1)(x-5),

即y=7-4x-5(-1,

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)時(shí)，l+b=0,解得6=-1；

當(dāng)直線尸與拋物線尸/-4x-5(7?5)有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程/-以-5=-x+b有相等的實(shí)數(shù)

解，解得b=一竽，

所以當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，匕的取值范圍為一竽4V-1.

答案：一竽<b<-1.

31.(2022?河北中考)如圖，點(diǎn)P(?,3)在拋物線C：y=4-(6-%)2±,且在C的對(duì)稱軸右側(cè).

(1)寫出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求“的值；

(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)尸及C的一段，分別記為P',C.平移該膠片，使

C所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=-7+6x-9.求點(diǎn)P'移動(dòng)的最短路程.

解：⑴:拋物線C：y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,

拋物線的頂點(diǎn)為。(6,4),

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=6,y的最大值為4,

當(dāng)y=3時(shí)，3=-(x-6)2+4,

；.x=5或7,

?.?點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)，

：.P(7,3),

：.a=1；

(2)?.?平移后的拋物線的解析式為)，=-(x-3)2,

平移后的頂點(diǎn)(3,0),

???平移前拋物線的頂點(diǎn)Q(6,4),

...點(diǎn)尸移動(dòng)的最短路程=。。'=V32+42=5.

五、二次函數(shù)的最值

【高頻考點(diǎn)精講】

1、當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸右側(cè)，)，隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低

點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=—2h時(shí)，尸Acic—b~

2a4a?

2、當(dāng)a<0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨尤的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高

hA-cic—b~

點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=—N時(shí)，產(chǎn)?L

2a4a。

3、確定二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；

當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值的大小，從而獲得最值。

【熱點(diǎn)題型精練】

32.（2022?賀州中考）已知二次函數(shù)1在OWxWa時(shí)，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

解：：二次函數(shù)y=2?-4x-1=2（x-1）2-3,

拋物線的對(duì)稱軸為x=L頂點(diǎn)（1,-3）,

當(dāng)y-—3時(shí)，X—1,

當(dāng)y=15時(shí)，2（x-I）2-3=15,

解得x=4或工=-2,

■:當(dāng)OWxWa時(shí),y的最大值為15,

；.a=4,

答案：D.

33.（2022?包頭中考）已知實(shí)數(shù)a,6滿足b-a=l,則代數(shù)式d+Z36a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

解：

**?Z?=〃+l,

J+2。-6a+7

=a1+2（a+1）-6〃+7

=〃2+2〃+2-6a+7

=a2-4a+4+5

=（a-2）2+5,

.?.代數(shù)式a2+2b-6a+7的最小值等于5,

答案：A.

34.（2022?嘉興中考）已知點(diǎn)A（a,b）,B（4,c）在直線y=fcr+3（&為常數(shù)，�）上，若用的最大值為9,

則c的值為（）

35

A-C2-

B.2D.2

解：?.?點(diǎn)A(a,b),B(4,c)在直線y="+3上,

,(ak+3=b①

"(4k+3=c②’

由①可得：cih—ci(4左+3)=k/+3a=k?—^

?.?帥的最大值為9,

9

??*<0.一最=9,

解得仁一,，

把《=—J代入②得：4X(—+3—<?,

4-4

；.c=2,

答案：C.

35.（2022?六盤水中考）如圖是二次函數(shù)），=/+法+。的圖象，該函數(shù)的最小值是-4.

y

\對(duì)稱軸kt/

±b

解：由函數(shù)圖象可得:----

2a2

解得：b=2,

???圖象經(jīng)過(-3,0)點(diǎn),

二0=(-3)2-3X2+c,

解得：c=-3.

故二次函數(shù)解析式為：y=/+2x-3,

4ac-b24xlx(-3)-22

則二次函數(shù)的最小值為:-4.

4a4x1

答案：-4.

36.(2022?涼山州中考)已知實(shí)數(shù)〃、b滿足G-/?2=4,則代數(shù)式/-3■74的最小值是6

解：?"-廬=4,

h2=a-4,

.,.原式=/-3(a-4)+a-14

-3a+12+q-14

=/-2a-2

=a2-24+1-1-2

3,

Vl>0,

又?.?/=a-420,

VI>0,

...當(dāng)a24時(shí)，原式的值隨著”的增大而增大，

...當(dāng)〃=4時(shí)，原式取最小值為6,

答案：6.

37.(2022?紹興中考)已知函數(shù))，=-f+fcv+c(。，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),(-6,-3).

(1)求匕,c的值.

(2)當(dāng)-4<xW0時(shí)，求y的最大值.

(3)當(dāng)/時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2,求機(jī)的值.

解：(1)把(0,-3),06,-3)代入y=-f+bx+c,

得b=-6,c=-3.

(2)-?-6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

...當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值為6.

(3)①當(dāng)-3<%W0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，.y有最小值為-3,

當(dāng)x—m時(shí)，y有最大值為-，〃2-6，，?-3,

-nr-6m-3+(-3)=2,

.'.m--2或m--4(舍去).

②當(dāng)mW：-3時(shí)，

當(dāng)x=-3時(shí)y有最大值為6,

?.》的最大值與最小值之和為2,

最小值為-4,

-(5+3)2+6=-4,

.*./?=-3-VlOsgm=-3+V10(舍去).

綜上所述，，〃=_2或—3—VTU.

六、二次函數(shù)的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1、利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤、最大銷量等問題，解決此類題目的關(guān)鍵是通過題意，確定二次函數(shù)的

解析式，然后確定其最大值。實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此，在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一

定要注意自變量x的取值范圍。

2、幾何圖形中的最值問題

①幾何圖形中面積的最值；②用料最佳方案；③動(dòng)態(tài)幾何中的最值討論。

3、構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)貙⑦@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角

坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式解決問題。

【熱點(diǎn)題型精練】

38.(2022?自貢中考)九年級(jí)2班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻

(墻足夠長)的菜園，為了讓菜園面積盡可能大,同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰三角形(底邊靠墻)、半圓形這

二種方案，最佳方案是(

方案1

A.方案1B.方案2

C.方案3D.方案1或方案2

解：方案1：設(shè)AD=x米，則A8=(8-2x)米,

方案1

則菜園面積=x(8-2x)=-2，+8x=-2(x-2)2+8,

當(dāng)x=2時(shí)，此時(shí)菜園最大面積為8米2；

方案2：過點(diǎn)A作于。，

iSCD—x,AD—y,則/+)2=16,

'/(x-y)2=jc2+y2-2孫20,

A16-2xy^0,

...孫W8,

...當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2近時(shí)，菜園最大面積=8米2；

B

方案2

方案3：半圓的半徑=，米，

82

.?.此時(shí)菜園最大面積=當(dāng)L=配米2