自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

關于自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

建立合理的數(shù)學模型（簡稱：建模），對于系統(tǒng)的學習是至關重要的。系統(tǒng)建模一般采用解析法或實驗法。

第2頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.1系統(tǒng)微分方程模型建立微分方程式的方法有兩種：一種是解析法，即根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律（如力學﹑電磁學﹑運動學﹑熱學等）來編寫。本節(jié)重點討論這種方法。另一種方法是實驗辨識法，即根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行整理編寫。我們通過簡單例子介紹解析法。第3頁,共122頁，2024年2月25日，星期天[例1]列寫圖2.1所示RLC網(wǎng)絡的微分方程。圖2.1RLC網(wǎng)絡在做此題之前，先復習一下關于電感與電容的知識。第4頁,共122頁，2024年2月25日，星期天復習：電感與電容的知識uLi(t)請作為公式記下來?。〉?頁,共122頁，2024年2月25日，星期天(2.1)(2.2)解：圖2.1RLC網(wǎng)絡第6頁,共122頁，2024年2月25日，星期天(2.3)(2.4)第7頁,共122頁，2024年2月25日，星期天【例2-2】建立如圖2-2所示濾波電路以U1為輸入量、U2為輸出量的微分方程。其中i1,i2為中間變量。圖2-2濾波電路第8頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2-2濾波電路解：（1）該系統(tǒng)為電學系統(tǒng)，遵循電學系統(tǒng)的相關規(guī)律。（2）由電工學知識中基爾霍夫定律，列寫各環(huán)節(jié)或元件的方程為

（2-7）

（2-8）

（2-9）第9頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中間變量可得

（2-10）請大家動動手計算一下！第10頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中間變量可得

（5）標準化。將與系統(tǒng)輸出量有關的各項寫在方程的左端，與系統(tǒng)輸入量有關的各項寫在方程的右端，并把有關參數(shù)用具有一定物理意義的量來表示，可得

式中，T1=R1C1R2C2，T2=R1C1+R2C2+R1C2為時間常數(shù)。（2-10）（2-11）請大家動動手計算一下！上面（2-11）微分方程為二階微分方程。第11頁,共122頁，2024年2月25日，星期天建立微分方程的步驟(1)（1）根據(jù)系統(tǒng)的工作原理，分析系統(tǒng)由哪些部分組成以及各部分如何聯(lián)系在一起組成閉環(huán)系統(tǒng)的。（2）確定組成該系統(tǒng)的輸入量、輸出量及使用的中間變量。（3）從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫各元件或環(huán)節(jié)的微分方程。第12頁,共122頁，2024年2月25日，星期天建立微分方程的步驟(2)（4）將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來消去中間變量，得到一個僅含有系統(tǒng)輸入量與輸出量的微分方程，即為整個系統(tǒng)的運動方程。（5）標準化。將與系統(tǒng)輸入量有關的各項放在等號右側，與輸出變量有關的各項放在等號左側，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)有關參數(shù)規(guī)劃為具有一定物理意義的形式。第13頁,共122頁，2024年2月25日，星期天注意我們要求熟練掌握涉及RLC電路的微分方程的建模，對于機電系統(tǒng)以及機械系統(tǒng)建立微分方程不作要求，僅供大家參考。第14頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.2非線性數(shù)學模型的線性化設連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y=f（x），如圖2.5所示。圖2.5小偏差線性化示意圖第15頁,共122頁，2024年2月25日，星期天取某平衡狀態(tài)A為工作點,對應有。當時，有。設函數(shù)在點連續(xù)可微，則將它在該點附近用泰勒級數(shù)展開為：第16頁,共122頁，2024年2月25日，星期天當增量很小時，略去其高次冪項，則有:令，則線性化方程可簡記為:略去增量符號，便得到函數(shù)在工作點附近的線性化方程為y=Kx。第17頁,共122頁，2024年2月25日，星期天[例5]

鐵心線圈電路如圖2.6（a）所示，其磁通Φ與線圈中電流i之間關系如圖2.6（b）所示。試列寫以ur為輸入量，i為輸出量的電路微分方程。圖2.6鐵心線圈電路及其特性第18頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2.20）第19頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2.21）（2.22）式（2.22）便是鐵心線圈電路在平衡點的增量線性化方程。第20頁,共122頁，2024年2月25日，星期天補充：Laplace變換基礎拉氏變換的概念

若將實變量t的函數(shù)f(t)乘以指數(shù)函數(shù)e?st（其中s=

+j

，是一個復變數(shù)），再在0到∞之間對t進行積分，就得到一個新的函數(shù)F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換，可用符號L[f(t)]表示。上式稱為拉氏變換的定義式。為了保證式中等號右邊的積分存在，f(t)應滿足下列條件：（1）若t＜0，則f(t)=0。（2）若t＞0，則f(t)為分段連續(xù)。（3）若t→∞，則e?st較f(t)衰減得更快。由于是一個定積分，t將在新函數(shù)中消失。因此，F(xiàn)(s)只取決于s，它是復變數(shù)s的函數(shù)。拉氏變換將原來的實變量函數(shù)f(t)轉化為復變量函數(shù)F(s)。拉氏變換是一種單值變換，f(t)和F(s)之間具有一一對應的關系，通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。第21頁,共122頁，2024年2月25日，星期天常用函數(shù)的拉氏變換

實用中，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對應關系列成對照表的形式。通過查表就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)或象函數(shù)的原函數(shù)。常用函數(shù)的拉氏變換對照表如表2-1所示。表2-1常用函數(shù)拉氏變換表第22頁,共122頁，2024年2月25日，星期天拉氏變換的基本定理（1）線性定理。1.兩個函數(shù)和的拉氏變換等于兩個函數(shù)拉氏變換的和，即

L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(s)+F2(s) 2.函數(shù)放大K倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的K倍，即

L[Kf(t)]=KF(s) （2）微分定理。函數(shù)求導的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換乘以s的求導次冪（初始條件需為零），即當初始條件f(0)=0時，L[f'(t)]=sF(s)。同理，若初始條件為f(0)=f‘(0)=…=f(n?1)

（0）=0則 L[f(n)(t)]=snF(s) （3）積分定理。函數(shù)積分的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換除以s的積分次冪（初始條件需為零），即當初始條件時，。同理，當初始條件為零時，則有第23頁,共122頁，2024年2月25日，星期天拉氏變換的基本定理（4）初值定理。函數(shù)初始值（t→0的數(shù)值），等于函數(shù)拉氏變換乘以s后的s→∞的極限值，即（5）終值定理。函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值（t→∞的數(shù)值）等于函數(shù)拉氏變換乘以s后的s→0的極限值，即

拉氏變換理論在現(xiàn)代科學技術各個領域中得到廣泛的應用。在古典控制理論中，拉氏變換法可將實數(shù)域中的微分、積分運算變換為復數(shù)域內簡單的代數(shù)運算。而且在變換過程中，還可以將初始條件的影響很容易地考慮進去。同時，拉氏變換、反變換的運算可以查拉氏變換表，如表2-1所示，這將大大減少工作量。

復習完拉氏變換相關內容，我們開始學習傳遞函數(shù)的內容。第24頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.3傳遞函數(shù)2.3.1傳遞函數(shù)的定義和性質（1）定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。第25頁,共122頁，2024年2月25日，星期天設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：設y(t)和u(t)及各階導數(shù)在t=0時的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令可得s的代數(shù)方程為:第26頁,共122頁，2024年2月25日，星期天于是，即得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為上式G(S)。接上頁：第27頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2）傳遞函數(shù)具有以下性質1）傳遞函數(shù)是復變量S的有理真分式函數(shù)，具有復變函數(shù)的所有性質。m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù)。2）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或元件數(shù)學模型的另一種形式，是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關系的表達式。3）傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。4）傳遞函數(shù)G(S)的拉氏反變換是脈沖響應g(t),g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖δ(t)輸入時的輸出響應。第28頁,共122頁，2024年2月25日，星期天[例6]

已知某RLC網(wǎng)絡的微分方程為解：當初始條件為零時，拉氏變換為則傳遞函數(shù)為第29頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)比例-微分環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)這些典型環(huán)節(jié)是：

一個物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的。雖然各種元件的具體結構和作用原理是多種多樣的，但若拋開具體結構和物理特點，從傳遞函數(shù)的數(shù)學模型來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)：第30頁,共122頁，2024年2月25日，星期天

典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學模型的共性劃分的，它和具體元件不一定是一一對應的。

典型環(huán)節(jié)只代表一種特定的運動規(guī)律，不一定是一種具體的元件。第31頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（1）比例環(huán)節(jié)

定義：比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關系為一種固定的比例關系。比例環(huán)節(jié)的表達式為：比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：比例放大器，齒輪，電阻（電位器)等。第32頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2）微分環(huán)節(jié)1）理想微分環(huán)節(jié)定義：在暫態(tài)過程中，輸出量為輸入量的微分，即：

特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。第33頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.7(C)微分環(huán)節(jié)舉例：測速發(fā)電機當其輸入量為轉角，輸出量為電樞電壓uc時，具有微分環(huán)節(jié)作用。當測速發(fā)電機的角速度為ω，則而測速發(fā)電機的輸出電壓uc與其角速度成正比，由此傳遞函數(shù)為第34頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2）實際微分環(huán)節(jié)圖2.7（a）uc如圖2.7（a）所示的RC串聯(lián)電路是實際中常用的微分環(huán)節(jié)的例子。圖2.7（a）所示的電路的微分方程為相應的傳遞函數(shù)為當RC≤1時第35頁,共122頁，2024年2月25日，星期天3）比例微分環(huán)節(jié)圖2.7（b）所示的RC電路也是微分環(huán)節(jié)。圖2.7（b）該電路的傳遞函數(shù)為:T=RC---微分時間常數(shù)第36頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（3）積分環(huán)節(jié)特點：輸出量與輸入量的積分成正比例積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為：或對應的傳遞函數(shù)為：實例：積分放大器第37頁,共122頁，2024年2月25日，星期天舉例：運算放大器構成的積分環(huán)節(jié)，輸入ur(t)，輸出uc(t)，其傳遞函數(shù)為ur(t)uc(t)大家想想怎么來求傳遞函數(shù)?。?！第38頁,共122頁，2024年2月25日，星期天由運算放大器組成的積分器，其輸入電壓u

r（t）和輸出電壓uc（t）之間的關系為:對上式進行拉氏變換，可以求出傳遞函數(shù)為解：第39頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）一階慣性環(huán)節(jié)假設一階慣性環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)可以寫成如下表達式：（2.34）（2.35）第40頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.9RC電路舉例：一階慣性環(huán)節(jié)ur(t)uc(t)第41頁,共122頁，2024年2月25日，星期天其輸入電壓ur（t）和輸出電壓uc（t）之間的關系為：對上式進行拉氏變換，可以求出傳遞函數(shù)為:解：第42頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（5）二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié))假設二階振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)為:（2.36）（2.37）式中ωn

為無阻尼自然振蕩角頻率，δ為阻尼比，在后面時域分析(第3章)中將詳細討論。第43頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（6）延遲環(huán)節(jié)(時滯環(huán)節(jié))其數(shù)學表達式為輸出量在零初始條件下的拉氏變換為所以，延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為特點：輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間τ后才重現(xiàn)輸入信號。式中τ稱延遲時間第44頁,共122頁，2024年2月25日，星期天

需要指出，在實際生產(chǎn)中，有很多場合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應和管道混合過程，多個設備串聯(lián)以及測量裝置系統(tǒng)等。遲延過大往往會使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。補充：第45頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.4系統(tǒng)結構圖及其等效變換

在控制工程中，為了便于對系統(tǒng)進行分析和設計，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即結構圖和信號流圖。結構圖信號流圖本節(jié)內容2.5節(jié)內容第46頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.4.1系統(tǒng)結構圖

結構圖是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成；構成方框圖的基本符號有四種，即信號線、比較點、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點。

結構圖：具有形象和直觀的特點。系統(tǒng)結構圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)間的相互關系。1.由圖2.10，我們來學習系統(tǒng)結構圖的4種基本符號。第47頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.10結構圖的基本組成單元信號線引出點（或測量點）比較點（或綜合點）方框（或環(huán)節(jié)）（1）信號線：是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號，如圖2.10（a）所示。（2）引出點：從同一信號處引出的各信號，在數(shù)值和性質上完全相同，引出點可以表示信號引出或被測量的位置，如圖2.10（b）所示。（3）比較點：對兩個以上的信號進行代數(shù)運算。箭頭上的加號或減號表示信號是相加還是相減。如圖2.10（c）所示。

（4）方框：表示對輸入信號進行的數(shù)學運算。方框中寫入元件的傳遞函故，可作為單向運算的算子。這時，方框的輸出量與輸入量具有確定的因果關系，即Y(s)=G(s)U(s)。圖2.10（d）所示為一個方框單元。第48頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.結構圖的作用（1）簡單明了地表達了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。信號的傳遞嚴格按照單向性原則，對于輸出對輸入的反作用，通過反饋支路來單獨表示。（2）對結構圖進行一定的代數(shù)運算和等效變換，可方便地求得整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3.建立系統(tǒng)結構圖的基本步驟：（1）列寫每個元件的原始方程（可以保留所有變量，這樣在結構圖中可以明顯地看出各元件的內部結構和變量，便于分析作用原理），要考慮相互間的負載效應。（2）設置初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，并將每個變換后的方程分別以下一個方程的形式將因果關系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。（3）將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成了完整的結構圖。下面舉例說明系統(tǒng)結構圖的建立！第49頁,共122頁，2024年2月25日，星期天例1：圖中為一無源RC網(wǎng)絡。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，（1）寫出其微分方程組（2）畫出系統(tǒng)結構圖。第50頁,共122頁，2024年2月25日，星期天解：零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得

第51頁,共122頁，2024年2月25日，星期天RC網(wǎng)絡方框圖

各環(huán)節(jié)方框圖

第52頁,共122頁，2024年2月25日，星期天例2：書中的例子：

將上面各環(huán)節(jié)的方框圖按照信號的傳遞方向用信號線依次連接起來，就得到速度控制系統(tǒng)的結構圖。如圖2.11所示。第53頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.11速度控制系統(tǒng)結構圖注意：書中的錯誤在哪？？？K3第54頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.4.2結構圖的等效變換和簡化

有了系統(tǒng)的方框圖以后，為了對系統(tǒng)進行進一步的分析學習，需要對方框圖作一定的變換和簡化，以便求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。方框圖的變換和簡化應按等效原則進行。所謂等效，即對方框圖的任一部分進行變換時，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學關系式應保持不變。考慮到方框間的連接有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式。因此，結構圖的簡化的一般方法是移動引出點或比較點，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。在簡化過程中遵循“等效原則”。第55頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（1）環(huán)節(jié)的串聯(lián)在單向的信號傳遞中，若前一個環(huán)節(jié)的輸出就是后一個環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接如圖2.12(a)所示，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。

圖2.12(a)結構圖串聯(lián)連接由圖2.12（a）有于是得：第56頁,共122頁，2024年2月25日，星期天接上：

其中，G(s)=G1(s)G2(s)，是串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)，可用圖2.12(b)來表示。圖2.12結構圖串聯(lián)連接及其簡化同樣，此結論可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。U(s)Y(s)G(s)第57頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2）環(huán)節(jié)的并聯(lián)若各個環(huán)節(jié)接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點時，稱為并聯(lián)。圖2.14(a)結構圖并聯(lián)連接由圖2.14（a）有則有第58頁,共122頁，2024年2月25日，星期天接上：

其中，G(s)=G1(s)±G2(s)，是并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)，可用圖2.12(b)來表示。圖2.14結構圖并聯(lián)連接及簡化同樣，此結論可以推廣到n個環(huán)節(jié)并聯(lián)的情況。第59頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（3）環(huán)節(jié)的反饋連接

若傳遞函數(shù)分別為G（s）和H（s）的兩個環(huán)節(jié)如圖2.15（a）形式連接，則稱為反饋連接?！?”號為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加，“-”號則表示相減，為負反饋。圖2.15結構圖反饋連接由圖2.15（a）得于是有第60頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.15結構圖反饋連接及其簡化接上頁：第61頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）引出點的移動引出點的移動（A）引出點前移。引出點前移的等效變換法則是：乘以引出點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)，如圖2-26所示。圖：引出點前移UUYYYY第62頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）引出點的移動（續(xù)）圖：分支點后移引出點的移動（B）引出點后移。引出點后移的等效變換法則是：除以引出點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)。YYUUUU第63頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（*5）比較點的移動比較點移動的具體法則如下。（A）比較點前移。比較點前移的等效變換法則是：除以比較點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)，如圖2-28所示。圖：比較點前移UYQYQU第64頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（5*）比較點的移動(續(xù))比較點移動的具體法則如下。（B）比較點后移。比較點后移的等效變換法則是：乘以比較點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)，如圖2-29所示。圖：比較點后移UUYYQQ第65頁,共122頁，2024年2月25日，星期天第66頁,共122頁，2024年2月25日，星期天U第67頁,共122頁，2024年2月25日，星期天第68頁,共122頁，2024年2月25日，星期天[例7]試求圖2.16所示多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖2.16第69頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.17第70頁,共122頁，2024年2月25日，星期天可以求得第71頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.18[例8]設多環(huán)系統(tǒng)的結構圖如圖2.18所示，試對其進行簡化，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。B思路：引出點前移注意：此系統(tǒng)中存在2個相互交錯的局部反饋，化簡時考慮將引出點或比較點移到適當?shù)奈恢?，將結構圖變換為無交錯的局部反饋的圖形。第72頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.19解：步驟1：步驟2：思路：引出點前移第73頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.19步驟3：第74頁,共122頁，2024年2月25日，星期天【補充1】系統(tǒng)結構圖如圖所示，求傳遞函數(shù)。思路：引出點后移注意：此系統(tǒng)中存在2個相互交錯的局部反饋，化簡時考慮將引出點或比較點移到適當?shù)奈恢?，將結構圖變換為無交錯的局部反饋的圖形。第75頁,共122頁，2024年2月25日，星期天解：思路：引出點后移第76頁,共122頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)過化簡，得到傳遞函數(shù)為：第77頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（*2）試化簡如下圖所示系統(tǒng)的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。

思路：是一個交錯反饋多路系統(tǒng)，采用引出點后移或前移，比較點前移等，逐步變換簡化，可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

需要多次移動引出點或比較點才可化簡!第78頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖：方框圖的變換與簡化

第1次：引出點后移第2次：比較點前移第1次：引出點后移結果第79頁,共122頁，2024年2月25日，星期天第2次：比較點前移結果第80頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（*3）化簡圖(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)：需要多次移動引出點或比較點才可化簡!第81頁,共122頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)過化簡，得到傳遞函數(shù)為：第82頁,共122頁，2024年2月25日，星期天

由上面的例子可以總結出簡化結構圖的具體步驟如下。（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個輸入量，每次只保留一個輸入量，令其他輸入量為零，分別對每個輸入量進行結構圖簡化，求得有關的傳遞函數(shù)。對于有多個輸出量的系統(tǒng)，也應該按類似的方法分別處理。（2）如果結構圖中有交叉連接，應移動某些引出點或相加點，將交叉點連接消除。（3）對于多回路無交叉連接的結構圖，應從內回路開始，由里向外進行變換，直至將結構圖變?yōu)橐粋€等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。第83頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.4.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)經(jīng)常會受到兩類輸入信號的作用，一類是給定的有用輸入信號u(t)，另一類則是阻礙系統(tǒng)進行正常工作的擾動信號n(t)。給定信號u(t)通常加在控制裝置的輸入端；干擾信號n(t)一般作用在被控對象上，也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至可能混雜在輸入信號中。一個系統(tǒng)往往有多個擾動信號，但是一般只考慮其中最主要的。第84頁,共122頁，2024年2月25日，星期天圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖

在該結構圖中，從輸入信號到輸出信號之間的通道，稱為前向通道；從輸出信號到反饋信號之間的通道，稱為反饋通道。第85頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1（s）G2（s）H（s）稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。第86頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2）u（t）作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2.21u（t）作用下的系統(tǒng)結構圖圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖令n（t）=0，圖2.20簡化為圖2.21第87頁,共122頁，2024年2月25日，星期天接上頁：輸出y（t）對輸入u（t）的傳遞函數(shù)為（2.43）第88頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（3）n（t）作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖令u（t）=0，圖2.20轉化為圖2.22，由圖可得圖2.22n（t）作用下的系統(tǒng)結構圖第89頁,共122頁，2024年2月25日，星期天接上頁：輸出y（t）對輸入n（t）的傳遞函數(shù)為（2.44）第90頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（4）系統(tǒng)的總輸出當給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)時，根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出應為各輸入信號引起的輸出之總和。第91頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（5）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)誤差為給定信號與反饋信號之差，即圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖第92頁,共122頁，2024年2月25日，星期天1）u（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)Φe（s）圖2.23(a)u（t）作用下誤差輸出的結構圖圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖令n（t）=0，則可由圖2.20轉化得到的圖2.23（a）第93頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2.45）即得，u（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)：2）n（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的擾動誤差傳遞函數(shù)Φen（s）

令u（t）=0，則可由圖2.20轉化得到的圖2.23（b）圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖第94頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（2.46）即得，n（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)：3）系統(tǒng)的總誤差根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)的總誤差為：第95頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.5信號流圖與梅遜公式

信號流圖是表示線性方程組變量間關系的一種圖示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關系，既直觀又形象。當系統(tǒng)方框圖比較復雜時，可以將它轉化為信號流圖，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第96頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（補充）信號流圖的性質

（1）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)；（2）信號流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程；（3）信號只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞；（4）節(jié)點上可把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路；（5）對于給定的系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。2.5.1信號流圖它是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡。第97頁,共122頁，2024年2月25日，星期天例1一簡單系統(tǒng)的描述方程為：該方程式的信號流圖如圖2.24（a）所示。圖2.24(a)系統(tǒng)信號流圖

注意：變量x1和x2用節(jié)點“○”來表示，傳輸函數(shù)用一有向有權的線段(稱為支路)來表示，支路上箭頭表示信號的流向，信號只能單方向流動。第98頁,共122頁，2024年2月25日，星期天例2一復雜描述系統(tǒng)的方程組為：方程組的信號流圖如圖2.24（b）所示。圖2.24（b）第99頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（補充）系統(tǒng)的信號流圖繪制

在線性系統(tǒng)信號流圖的繪制中應包括以下步驟：（1）將描述系統(tǒng)的微分方程轉換為以s為變量的代數(shù)方程。

（2）按因果關系將代數(shù)方程寫成如下形式：（3）用節(jié)點“○”表示n個變量或信號，用支路表示變量與變量之間的關系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。第100頁,共122頁，2024年2月25日，星期天（補充）如下圖所示的電阻網(wǎng)絡，v1為輸入、v3為輸出。選5個變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個獨立方程

第101頁,共122頁，2024年2月25日，星期天

將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點表示，由因果關系用支路把節(jié)點與節(jié)點聯(lián)接，得信號流圖。

第102頁,共122頁，2024年2月25日，星期天在信號流圖中，常使用以下名詞術語：(1)節(jié)點：表示變量或信號的點，用“○”表示。(2)支路：連接兩個節(jié)點之間的有向有權線段，方向用箭頭表示，權值用傳輸函數(shù)表示。(3)輸入支路：指向節(jié)點的支路。(4)輸出支路：離開節(jié)點的支路。（1）第103頁,共122頁，2024年2月25日，星期天在信號流圖中，常使用以下名詞術語：（2）(5)源點（輸入節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點。(6)匯點（輸出節(jié)點）：只有輸入支路的節(jié)點。(7)混合節(jié)點：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點。第104頁,共122頁，2024年2月25日，星期天在信號流圖中，常使用以下名詞術語：（3）(8)前向通道：從輸入節(jié)點(源點)到匯點的通道，并且每個節(jié)點僅通過一次。(9)前向通道增益(pk)：第105頁,共122頁，2024年2月25日，星期天在信號流圖中，常使用以下名詞術語：（4）(10)回路：通道的起點就是通道的終點，并且每個節(jié)點僅通過一次。(13)自回路：單一支路的閉通道。(12)不接觸回路：如果一些回路沒有任何公共的節(jié)點，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。(11)回路增益(La)：第106頁,共122頁，2024年2月25日，星期天2.5.2梅遜公式

當系統(tǒng)信號流圖已知時，可以用公式直接求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這個公式就是梅遜公式。

梅遜(Mason)公式可以對復雜的信號流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來更為方便。其公式為第107頁,共122頁，2024年2月25日，星期天式中，

P—輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)；

Pk

—第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)；

Δ—信號流圖的特征值，

Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLe