二次函數(shù)與函數(shù)圖像的性質(zhì)與變化

二次函數(shù)與函數(shù)圖像的性質(zhì)與變化目錄contents二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)二次函數(shù)圖像平移與伸縮二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用舉例復(fù)雜情境下二次函數(shù)性質(zhì)分析總結(jié)回顧與拓展延伸01二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函數(shù)稱(chēng)為二次函數(shù)。二次函數(shù)定義通過(guò)完成平方，二次函數(shù)可以寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是頂點(diǎn)坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)定義及標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開(kāi)口方向由系數(shù)$a$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。二次函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸方程為$x=h$。二次函數(shù)圖像特征對(duì)稱(chēng)性拋物線形狀對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的二次函數(shù)$f(x)=a(x-h)^2+k$，對(duì)稱(chēng)軸方程為$x=h$。對(duì)稱(chēng)軸二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)$(h,k)$位于對(duì)稱(chēng)軸上，是函數(shù)的最值點(diǎn)。當(dāng)$a>0$時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；當(dāng)$a<0$時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。頂點(diǎn)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與頂點(diǎn)02二次函數(shù)圖像平移與伸縮當(dāng)二次函數(shù)的解析式是f(x)=a(x-h)^2+k的形式時(shí)，圖像會(huì)沿x軸平移。若h>0，圖像向右平移|h|個(gè)單位；若h<0，圖像向左平移|h|個(gè)單位。平移后的圖像形狀和開(kāi)口方向不變，對(duì)稱(chēng)軸變?yōu)橹本€x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?h,k)。圖像沿x軸平移若k>0，圖像向上平移k個(gè)單位；若k<0，圖像向下平移|k|個(gè)單位。平移后的圖像形狀和開(kāi)口方向不變，對(duì)稱(chēng)軸不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?0,k)。當(dāng)二次函數(shù)的解析式是f(x)=ax^2+k的形式時(shí)，圖像會(huì)沿y軸平移。圖像沿y軸平移當(dāng)二次函數(shù)的解析式是f(x)=a(bx)^2的形式時(shí)，圖像的橫坐標(biāo)會(huì)伸縮變換。若|b|>1，圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1/|b|倍；若0<|b|<1，圖像的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的1/|b|倍。伸縮變換后的圖像形狀和開(kāi)口方向不變，對(duì)稱(chēng)軸不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)不變。圖像伸縮變換規(guī)律03二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系對(duì)于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可以使用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$來(lái)求解。公式法通過(guò)配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，再求解。配方法將一元二次方程通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程的乘積，再求解。因式分解法一元二次方程求解方法回顧二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；若有兩個(gè)相等的實(shí)根，則圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；若沒(méi)有實(shí)根，則圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)。二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根關(guān)系01通過(guò)觀察二次函數(shù)的圖像，可以確定一元二次不等式的解集。02當(dāng)$a>0$時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上，不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$x<x_1$或$x>x_2$，其中$x_1,x_2$為二次函數(shù)的零點(diǎn)；不等式$ax^2+bx+c<0$的解集為$x_1<x<x_2$。03當(dāng)$a<0$時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$x_1<x<x_2$；不等式$ax^2+bx+c<0$的解集為$x<x_1$或$x>x_2$。利用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式04二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用舉例根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，確定自變量和因變量，建立相應(yīng)的二次函數(shù)模型表示利潤(rùn)。利潤(rùn)函數(shù)建立利潤(rùn)最大化條件求解方法利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找到使利潤(rùn)最大的自變量取值。可以通過(guò)求導(dǎo)找到函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定最大利潤(rùn)及其對(duì)應(yīng)的自變量取值。030201利潤(rùn)最大化問(wèn)題建模與求解根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，確定影響面積的自變量，建立相應(yīng)的二次函數(shù)模型表示面積。面積函數(shù)建立利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找到使面積最大的自變量取值。面積最大化條件可以通過(guò)求導(dǎo)找到函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定最大面積及其對(duì)應(yīng)的自變量取值。求解方法面積最大化問(wèn)題建模與求解

其他實(shí)際問(wèn)題中二次函數(shù)應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，路程、速度和時(shí)間等物理量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)來(lái)描述。經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，成本、收益和利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)量之間的關(guān)系也可以用二次函數(shù)來(lái)表示。工程學(xué)問(wèn)題在工程學(xué)中，橋梁的弧度、建筑的形狀等問(wèn)題也可以用二次函數(shù)來(lái)建模和解決。05復(fù)雜情境下二次函數(shù)性質(zhì)分析03參數(shù)影響二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)發(fā)生變化，從而改變函數(shù)的圖像。01參數(shù)影響二次函數(shù)開(kāi)口方向當(dāng)參數(shù)為正時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上；當(dāng)參數(shù)為負(fù)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下。02參數(shù)影響二次函數(shù)頂點(diǎn)位置隨著參數(shù)的變化，二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置也會(huì)發(fā)生變化，從而影響函數(shù)的最大值或最小值。含參數(shù)二次函數(shù)性質(zhì)討論復(fù)合情境下的最值問(wèn)題在復(fù)合情境下，二次函數(shù)的最值問(wèn)題可能會(huì)變得更加復(fù)雜，需要綜合考慮多個(gè)因素。復(fù)合情境下的圖像變換在復(fù)合情境下，二次函數(shù)的圖像可能會(huì)發(fā)生平移、伸縮等變換，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。復(fù)合情境下的單調(diào)性在復(fù)合情境下，二次函數(shù)的單調(diào)性可能會(huì)發(fā)生變化，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。復(fù)合情境下二次函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用極端情況下的定義域和值域01在極端情況下，二次函數(shù)的定義域和值域可能會(huì)發(fā)生變化，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。極端情況下的奇偶性和周期性02在極端情況下，二次函數(shù)的奇偶性和周期性可能會(huì)發(fā)生變化，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。極端情況下的圖像特征03在極端情況下，二次函數(shù)的圖像可能會(huì)出現(xiàn)一些特殊的特征，如與坐標(biāo)軸重合、頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處等，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。極端情況下二次函數(shù)性質(zhì)探討06總結(jié)回顧與拓展延伸知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增。二次函數(shù)的增減性$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)的一般形式當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其開(kāi)口方向由$a$的…例題1求二次函數(shù)$f(x)=x^2-2x-3$的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。例題2已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(0,1)$和$(1,0)$，且對(duì)稱(chēng)軸為$x=frac{1}{2}$，求$a,b,c$的值。解析由題意可得方程組$left{begin{array}{l}c=1a+b+c=0-frac{2a}=frac{1}{2}end{array}right.$，解得$a=1,b=-1,c=0$。解析由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，對(duì)稱(chēng)軸為$x=frac{-(-2)}{2times1}=1$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$left(1,f(1)right)=(1,-4)$。典型例題解析及思路點(diǎn)撥123$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0$，其中$ngeq3$，$a