行列式的展開

關(guān)于行列式的展開§1.3行列式的展開與計算一般來講,高階行列式計算麻煩,而低階行列式計算起來簡單.這一節(jié)介紹把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式的方法.

1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理

1.3.1行列式按一行（或一列）展開第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1.3.1行列式按一行（或一列）展開定義1.3.1在n階行列式D=|aij|n中，劃掉元素aij所在的第i行和第j列后,留下的元素按照原來的順序組成的n-1階行列式稱為元素aij的余子式,記為Mij.稱為元素

aij的代數(shù)余子式.

第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天中元素

a23的代數(shù)余子式

元素a23的代數(shù)余子式是

例如四階行列式第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定理1.3.1n階行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或定理1.3.1表明:行列式可以按它的任一行（列）展開，這樣就可把一個行列式用較低階的行列式表示出來.第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(1)首先討論行列式D的第一行中除

a11≠0外,其余元素均為零的情形，即按行列式的定義證定理分三步證明.第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(2)其次討論行列式D中第i行元素除aij≠0外，其余元素均為零的情形即第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天先將D的第

i行依次與第

i-1,…,2,1各行作i-1次相鄰對換調(diào)到第一行,再將第

j列依次與j-1,…,2,1各列作j-1次相鄰對換調(diào)到第一列,這樣對D共進(jìn)行了i+j-2次對換,由行列式的性質(zhì)3及情形（1），

第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(3)一般情形，把D寫為

由行列式的性質(zhì)4及情形(2),第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定理1.3.2n階行列式D=|aij|n中某一行(列)的各個元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0.即

第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證

=====兩邊行列式都按第i行展開,得

第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天移項化簡,得同理可證另一式.證畢.把定理1.3.1與1.3.2結(jié)合起來，得到兩個重要公式：第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天上面定理提供的降階法：通常要計算多個降階行列式,計算量仍然比較大。在應(yīng)用這個方法時,通常先利用行列式的性質(zhì),使行列式中某行(或列)的元素盡可能多的化為零,然后再利用降階法。第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例1.3.1計算行列式第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例1.3.2計算n+1階行列式,其中

第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例1.3.3計算n階行列式

解按第1列展開

第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天由于對于n2,Dn=xDn-1+an都成立,從而

因為D1=a1+x,于是

第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天在上例中，我們把行列式的計算化為形式相同而階數(shù)較低的行列式的計算,這種方法稱為遞推法,關(guān)系式Dn=xDn-1+an稱為行列式的遞推公式.下面我們介紹另外一種行列式的計算方法—數(shù)學(xué)歸納法.第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明：對Vn的階數(shù)

n作數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=2時,

例1.3.4

證明n階范德蒙(Vandermonde)行列式結(jié)論成立。第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，考慮n階范德蒙行列式.從第n行起,每行減去前一行的a1倍,得到按第一列展開后,將每一列的公因子提出來,得到第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天上式右端是一個n-1階范德蒙行列式,由歸納假設(shè)得因此，對

n階范德蒙行列式結(jié)論成立。

第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理

推廣：行列式按若干行（或若干列）展開的計算方法。第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定義1.3.2

在n階行列式D中,任取k行、k列(1

k

n-1)，由這些行和列交叉處的元素按原相對位置所構(gòu)成的k階行列式N，稱為D的一個k階子式.在行列式D中去掉k階子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原來的順序構(gòu)成的n

k階行列式M,稱為N的余子式.若N所在的行序數(shù)為i1,i2,…,ik,所在的列序數(shù)為

j1,j2,…,jk

,則稱

為N的代數(shù)余子式.第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例如，在4階行列式中選取第1，4行，第2，3列，得到一個2階子式

第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天N的余子式為N的代數(shù)余子式為

第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天定理1.3.3(拉普拉斯(Laplace)定理)在n

階行列式D中任意選取k行（列）(1

k

n-1)

,則由這k個行（列）中的一切k階子式

N1,N2,…,Nt與它們所對應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,…,At乘積之和等于D，即

定理的證明從略,有興趣的同學(xué)可參考文獻(xiàn)[1]：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等數(shù)學(xué)，2版，北京：高等教育出版社，1988.第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例1.3.5計算五階行列式第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例1.3.6計算2n階行列式

解：由于D的左下角的n2個元素全為零,故可選取D的前n列展開.由這n列構(gòu)成的所有n階子式中,只有左上角的一個可能不為零,于是由拉普拉斯定理,

第31頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共34頁，2024年2月25日，