線性代數(shù)行列式完整版

關(guān)于線性代數(shù)行列式完整版2第1章行列式n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊姆法則—行列式的一個(gè)簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第2頁,共113頁，2024年2月25日，星期天3第1.1節(jié)n階行列式的定義

本節(jié)從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的概念.基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式返回第3頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4即

稱其為二階行列式.記號：它表示數(shù)：左上角到右下角表示主對角線，第4頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例１

例２

設(shè)(1)當(dāng)為何值時(shí)，(2)當(dāng)為何值時(shí)解

或右上角到左下角表示次對角線，第5頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例3

求二階行列式

第6頁,共113頁，2024年2月25日，星期天7(2)三階行列式記號

即

稱為三階行列式.

它表示數(shù)第7頁,共113頁，2024年2月25日，星期天8

可以用對角線法則來記憶如下.第8頁,共113頁，2024年2月25日，星期天9主對角線法第9頁,共113頁，2024年2月25日，星期天10例4

計(jì)算三階行列式解:由主對角線法，有第10頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例5第11頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例6滿足什么條件時(shí)有解由題可得，即使即時(shí)，給定的行列式為零．第12頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例7的充分必要條件是什么？解或或第13頁,共113頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：計(jì)算下列行列式解第14頁,共113頁，2024年2月25日，星期天151.排列及其逆序數(shù)(1)排列由自然數(shù)1,2,…,n,組成的一個(gè)有序數(shù)組i1i2…in稱為一個(gè)n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個(gè)：123132213231312321（總數(shù)為n!個(gè)）注意:上述排列中只有第一個(gè)為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)——構(gòu)成逆序.§1.2n階行列式第15頁,共113頁，2024年2月25日，星期天16(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個(gè)n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).=3=2例1

N(2413)N(312)第16頁,共113頁，2024年2月25日，星期天17(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個(gè)n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.=3=2例1

N(2413)N(312)第17頁,共113頁，2024年2月25日，星期天逆序數(shù)的計(jì)算方法

即例2

N(n(n-1)…321)

N(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)第18頁,共113頁，2024年2月25日，星期天19證明：對換：

對換在一個(gè)排列i1…is…it…in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置,其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is…in,這種變換稱為一個(gè)對換,記為(isit).例3定理1.1：任一排列經(jīng)過一個(gè)對換后奇偶性改變。第19頁,共113頁，2024年2月25日，星期天20對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即設(shè)排列…jk…(1)經(jīng)j,k對換變成…kj…(2)

此時(shí)，排列(1)、(2)中j,k與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而j與k兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化：若(1)中jk構(gòu)成逆序,則(2)中不構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少1)

若(1)中jk不構(gòu)成逆序,則(2)中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加1)一般情形設(shè)排列…ji1…isk…(3)經(jīng)j,k對換變成…ki1…isj…(4)

易知，(4)可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到：

k經(jīng)s+1次相鄰對換成為…kji1…is

…j經(jīng)s次相鄰對換成為…ki1…isj…即經(jīng)2s+1次相鄰對換后(3)成為(4).相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變.||第20頁,共113頁，2024年2月25日，星期天定理1.2．

第21頁,共113頁，2024年2月25日，星期天22思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1

在排列x1x2…xn中，任取兩數(shù)xs和xt(s<t),則它們必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個(gè)排列中構(gòu)成逆序.又在排列x1x2…xn中取兩數(shù)的方法共有

依題意，有故排列x1x2…xn與xnxn-1…x1中逆序之和為此即第22頁,共113頁，2024年2月25日，星期天23方法2n個(gè)數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(gè)(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中對i構(gòu)成的逆序?yàn)閘i個(gè),則在xnxn-1…x1中對i構(gòu)成的逆序?yàn)?n-i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即第23頁,共113頁，2024年2月25日，星期天24（二）n階行列式定義分析：(i)每一項(xiàng)均是由取自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)項(xiàng)數(shù)為3！=6第24頁,共113頁，2024年2月25日，星期天推廣之，有如下n階行列式定義第25頁,共113頁，2024年2月25日，星期天26定義：

是所有取自不同行、不同列n個(gè)元素的乘積并冠以符號的項(xiàng)的和.(i)是取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積；(ii)行標(biāo)按自然順序排列，列標(biāo)排列的奇偶性決定每一項(xiàng)的符號；(iii)表示對所有的構(gòu)成的n！個(gè)排列求和.第26頁,共113頁，2024年2月25日，星期天27例1

證明下三角行列式證：由定義和式中,只有當(dāng)所以下三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積.第27頁,共113頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共113頁，2024年2月25日，星期天29例2計(jì)算解由行列式定義,和式中僅當(dāng)?shù)?9頁,共113頁，2024年2月25日，星期天注：第30頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例3用行列式的定義來計(jì)算行列式解設(shè)練習(xí)：第31頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例4

應(yīng)為何值，符號是什么？此時(shí)該項(xiàng)的解此時(shí)或(1)若則取負(fù)號．(2)若則取正號．若是五階行列式的一項(xiàng)，則第32頁,共113頁，2024年2月25日，星期天例5用行列式定義計(jì)算解：第33頁,共113頁，2024年2月25日，星期天34

由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項(xiàng)中n個(gè)元素的順序可以任意交換.一般，可以證明定理1.3:n階行列式D=Det(aij)的項(xiàng)可以寫為其中i1i2…in和j1j2…jn都是n級排列.或另一定義形式另一定義形式推論:n階行列式D=Det(aij)的值為第34頁,共113頁，2024年2月25日，星期天354.轉(zhuǎn)置行列式定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT.即若第35頁,共113頁，2024年2月25日，星期天36

用定義計(jì)算思考練習(xí)（n階行列式定義）答案第36頁,共113頁，2024年2月25日，星期天37§1.3

行列式的性質(zhì)

對多“0”的或是階數(shù)較低(二、三階)的行列式利用定義計(jì)算較為容易,但對一般的、高階的（n

4）行列式而言,直接利用定義計(jì)算很困難或幾乎是不可能的.因而需要討論行列式的性質(zhì)，用以簡化計(jì)算.返回第37頁,共113頁，2024年2月25日，星期天38性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：事實(shí)上,若記DT=Det(bij),則解例1

計(jì)算行列式第38頁,共113頁，2024年2月25日，星期天39性質(zhì)2

互換行列式的兩行(ri

rj)或列(ci

cj)，行列式的值變號.推論若行列式D的兩行（列）完全相同,則D=0.性質(zhì)3推論(1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符號的外面，

(2)D的兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.第39頁,共113頁，2024年2月25日，星期天40性質(zhì)4若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個(gè)數(shù)

的和,則此行列式等于兩個(gè)行列式的和.這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即證第40頁,共113頁，2024年2月25日，星期天41性質(zhì)5

行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上,行列式的值不變,即第41頁,共113頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共113頁，2024年2月25日，星期天43例2

計(jì)算行列式解第43頁,共113頁，2024年2月25日，星期天44解第44頁,共113頁，2024年2月25日，星期天45解第45頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第46頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第47頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024即第48頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第49頁,共113頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第51頁,共113頁，2024年2月25日，星期天52例6

計(jì)算n階行列式解(2)解(3)解(1)第52頁,共113頁，2024年2月25日，星期天53解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回第53頁,共113頁，2024年2月25日，星期天54解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回第54頁,共113頁，2024年2月25日，星期天55解

(3)返回箭形行列式第55頁,共113頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第57頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第58頁,共113頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第59頁,共113頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共113頁，2024年2月25日，星期天61例9

證明證

第61頁,共113頁，2024年2月25日，星期天62證第62頁,共113頁，2024年2月25日，星期天632.證明1.計(jì)算行列式思考練習(xí)（行列式的性質(zhì)）第63頁,共113頁，2024年2月25日，星期天64思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

第64頁,共113頁，2024年2月25日，星期天65=右邊思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

第65頁,共113頁，2024年2月25日，星期天66第1.3

節(jié)行列式按行（列）展開1.行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回返回第66頁,共113頁，2024年2月25日，星期天67例1

求出行列式解第67頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024引例：第68頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第69頁,共113頁，2024年2月25日，星期天70定理1.4行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即第70頁,共113頁，2024年2月25日，星期天71證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;第71頁,共113頁，2024年2月25日，星期天72(ii)當(dāng)D的第i行只有元素aij0時(shí)，即

將D中第i行依次與前i-1行對調(diào),調(diào)換i-1次后位于第1行

D中第j列依次與前j-1列對調(diào),調(diào)換j-1次后位于第1列經(jīng)(i-1)+(j-1)=i+j-2次對調(diào)后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)第72頁,共113頁，2024年2月25日，星期天73由(ii)第73頁,共113頁，2024年2月25日，星期天74定理1.5n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即第74頁,共113頁，2024年2月25日，星期天75證考慮輔助行列式0=t列j列第75頁,共113頁，2024年2月25日，星期天76例2

計(jì)算行列式解法1法2選取“0”多的行或列第76頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第77頁,共113頁，2024年2月25日，星期天注：第78頁,共113頁，2024年2月25日，星期天79例4

討論當(dāng)為何值時(shí)，解所以當(dāng)論，第79頁,共113頁，2024年2月25日，星期天80例5求證證明：首先從第1行起，每行減去下一行，然后按第1列展開，之后又從第1行起每行減去下一行，化為下三角行列式即得結(jié)果，即第80頁,共113頁，2024年2月25日，星期天81第81頁,共113頁，2024年2月25日，星期天82第82頁,共113頁，2024年2月25日，星期天83例6

已知4階行列式解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計(jì)算.第83頁,共113頁，2024年2月25日，星期天84第84頁,共113頁，2024年2月25日，星期天85例7

證明范得蒙行列式（Vandermonde)證

用數(shù)學(xué)歸納法第85頁,共113頁，2024年2月25日，星期天86

假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮n階情形.第86頁,共113頁，2024年2月25日，星期天87第87頁,共113頁，2024年2月25日，星期天88例8

計(jì)算行列式解1計(jì)算時(shí)，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.第88頁,共113頁，2024年2月25日，星期天89解2利用范德蒙行列式的結(jié)論第89頁,共113頁，2024年2月25日，星期天90例9

計(jì)算n階行列式解第90頁,共113頁，2024年2月25日，星期天91解第91頁,共113頁，2024年2月25日，星期天92思考練習(xí)（按行展開定理）計(jì)算行列式第92頁,共113頁，2024年2月25日，星期天93思考練習(xí)（按行展開定理詳解1）第93頁,共113頁，2024年2月25日，星期天94思考練習(xí)（按行展開定理詳解2）第94頁,共113頁，2024年2月25日，星期天952*.拉普拉斯（Laplace）定理k階子式

在n階行列式中，任意選定k行、k列（1≤k≤n）位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素按原來順序構(gòu)成的一個(gè)k階行列式N，稱為行列式D的一個(gè)k階子式.k階子式N的余子式及代數(shù)余子式在D中劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個(gè)n-k階行列式M，稱為k階子式N的余子式;而為其代數(shù)余子式.這里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分別為k階子式N的行標(biāo)和列標(biāo).第95頁,共113頁，2024年2月25日，星期天96在n階行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1

k

n),由這k行元素組成的k階子式N1,N2,…,Vt與它們的代數(shù)余子式

的乘積之和等于D，即第96頁,共113頁，2024年2月25日，星期天97例7

計(jì)算行列式解第97頁,共113頁，2024年2月25日，星期天98一般地第98頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024第1.5節(jié)

克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個(gè)方程,n個(gè)未知量的n元線性方程組的問題.先以二元線性方程組為例第99頁,共113頁，2024年2月25日，星期天4/1/2024當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時(shí)，方程組有唯一解：二元線性方程組稱為方程組的系數(shù)行列式。第100頁,共113頁，2024年2月25日，星期天101定理1.7（克萊姆法則）如果n元線性方程組則方程組有唯一解的系數(shù)行列式返回返回第101頁,共113頁，2024年2月25日，星期天102其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn所構(gòu)成的n級行列式,即定理的結(jié)論有兩層含義：①方程組（1）有解；②解惟一且可由式(2)給出.第102頁,共113頁，2024年2月25日，星期天103證首先證明方程組(1)有解.事實(shí)上,將

代入第i個(gè)方程的左端