河北省2023屆高三學(xué)業(yè)水平選擇性模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

河北省2023屆高三學(xué)業(yè)水平選擇性模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、已知集合A=8={x|xW—1或xN2},則A(43)=()

A.0B.{1}C.{0,l}D.{0,l,2}

2、已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2z+2=O,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一、二象限B.第三、四象限

C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、三象限

3、已知公比不為1的等比數(shù)列{a,,}滿足4+2=4。,1一3%,4=1貝”5=（）

A.40B.81C.121D.156

4、已知，￡（0,兀）,滿足cos2，+cos9=0,則夕=（）

A.-B.-C.—D.—

4334

5、（V-x+y）'的展開式中的系數(shù)為（）

A.-10B.10C.-30D.30

6、在△ABC中,8E='EC,BF='（84+5C）點(diǎn)P為AE與8尸的交

22

點(diǎn),=+則；1-〃=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

22

7、已知雙曲線=1（。＞0力＞0）,。為原點(diǎn)工,8分別為該雙曲線的左、右頂

點(diǎn),”，鳥分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線的漸近線上,0戶為

NAP居的平分線,且線段|OP|的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（）

A.V2B.百C.2D.2V3

8,已知直線丁="+人與曲線y=e，+2和曲線y=ln（e2”均相切，則實(shí)數(shù)人的解的個(gè)數(shù)

為（）

A.0B.lC.2D.無數(shù)

二、多項(xiàng)選擇題

9、某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“只要學(xué)習(xí)夠努力，成績一定有奇跡”這句話的認(rèn)可程度，隨

機(jī)調(diào)查了90名本校高一高二的學(xué)生，其中40名學(xué)生來自高一年級(jí),50名學(xué)生來自高二年

級(jí).經(jīng)調(diào)查,高一年級(jí)被調(diào)查的這40名學(xué)生中有20人認(rèn)可，有20人不認(rèn)可;高二年級(jí)被調(diào)

查的這50名學(xué)生中有40人認(rèn)可，有10人不認(rèn)可，用樣本估計(jì)總體,則下列說法正確的是

()

(參考數(shù)

n(ad-be)2

據(jù):/n=a+b+c+d,p[2>6.635)=0.010,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)X

2

P(Z>10.828)=0.001)

A.高一高二大約有66.7%的學(xué)生認(rèn)可這句話

B.高一高二大約有99%的學(xué)生認(rèn)可這句話

C.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為學(xué)生對(duì)這句話認(rèn)可與否與年級(jí)有關(guān)

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為學(xué)生對(duì)這句話認(rèn)可與否與年級(jí)無關(guān)

10、已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線/與該拋物線交于MN兩點(diǎn),

且的最小值為4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.〃二2

B.存在直線/,使得的面積為1

C.對(duì)于任意的直線/,都有OM.ON=-3

D.當(dāng)|WN|=8時(shí)，直線/的傾斜角為色或“

66

II、如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱ABC-AMG和一個(gè)四棱錐。-ACGA組

成,AB=BC=AC=A4)=2,則下列說法正確的是()

A.若AD14C,則AD1AC

B.若平面4G。與平面ACD的交線為/,則ACHI

c.三棱柱ABC-A4G的外接球的表面積為千

D.當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)。到平面ACG4的最大距離為舊;6

12、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足/(-x-1)=-/(x+l),/(x)的部分解析式為

2x2-x+l,O<x<l,

/(%)=((7、?則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(幻在-上單調(diào)遞減

_44_

B.若函數(shù)/(x)在(0,〃)內(nèi)滿足/(x)<1恒成立，則ns(0,；

C.存在實(shí)數(shù)匕使得y=fix')的圖象與直線y="有7個(gè)交點(diǎn)

D.已知方程f(x)=m(m>0)的解為占，%,馬，x&則玉+/+￡+%>-;

三、填空題

13、若函數(shù)/(x)=cos(2x+/e](0>O)為奇函數(shù)，則Q的最小值為.

14、在四棱錐P-ABCD中，平面;VLD，平面ABCD,又APAD為等邊三角形,E為PO的

中點(diǎn),Q為平面A3CO內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則直線AE與直線BQ所成角的正切值最小為

15、在某一天的幼兒園活動(dòng)中,5名小朋友每人制作了一個(gè)小禮物，每人隨機(jī)拿一個(gè)禮物,

則這5名小朋友都沒有拿到自己制作的禮物的概率為.

16、阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成

果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是

“如果動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為2(2>0,2^1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅

尼斯圓”.下面我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題，已知點(diǎn)P為圓0:/+尸=4上的動(dòng)

點(diǎn),M(-4,0),N(3,l)，則|AW|+21/W|的最小值為.

四、解答題

17、已知△ABC的內(nèi)角48c所對(duì)的邊分別為a,"c,且acosC+(2b+c)cosA=0,角A的

平分線與邊3c交于點(diǎn)D

⑴求角A;

⑵若AD=2,求8+4c的最小值.

18、已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,滿足a,=2后—1.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=ancos，求數(shù)列也｝的前3〃+1項(xiàng)和a+i.

19、“綠水青山就是金山銀山”的口號(hào)已經(jīng)深人民心，人們對(duì)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng),

質(zhì)檢檢測部門也會(huì)不時(shí)地對(duì)一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進(jìn)行排查，并作出相應(yīng)的處理.本次

排查了30個(gè)企業(yè)，共查出510個(gè)污染點(diǎn)，其中造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)分別造成的污染

點(diǎn)數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.

(1)求這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的第80百分位數(shù)；

(2)已知造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)的方差為92.4,其他20個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的方差為

44.7,求這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的總體方差.

20、如圖，在斜三棱柱ABC-43G中,,4耳AC,AB1的中點(diǎn)為O,BC的中點(diǎn)

為。.

⑴證明：。0〃平面ACGA；

⑵若ZACS=90°,AB]=BC，AC=23。=4求平面ACC,A與平面ABC所成角的大小.

22

21、已知橢圓。言+/=1(.＞匕＞0)過點(diǎn)A(2向)),點(diǎn)8與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C上

的點(diǎn)“滿足直線HA與直線HB的斜率之積為

4

⑴求橢圓。的方程.

⑵直線/:y=gX+1與橢圓C相交于MN兩點(diǎn),已知點(diǎn)P(-2,1),點(diǎn)。與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

討論:直線PQ的斜率與直線PN的斜率之和是否為定值?如果是，求出此定值;如果不是,

請(qǐng)說明理由.

22、已知函數(shù)/(方=嗎』.

X

(1)求函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若不等式(x+1)2/*+1)＞加-網(wǎng)-1在(1,+00)上恒成立，求m可取的最大整數(shù)值.

X

參考答案

1、答案：B

解析:集合A={l,2}，03={x|-l<x<2}所以A他B)={1},故選B.

2、答案：D

解析:設(shè)2=。+歷，所以z2+2z+2=0=>a2—Z?2+2ab\+2a+2bi+2=0,

匕廣,、?ci_h~+2a+2—0,解得r=±L

所以，或<所以z=-l±i，故選D.

2ab+2Z?=0,a——1,一[a無解,

3,答案：C

解析:a*=4a“+i-3a“=a?q2=4a“q-3a“^>q2-4q+3=0^>q=3,

所以a“=3”T,所以S5=121，故選C.

4、答案：B

解析:cos2e+cos6=0=2cos20+cos-1=0=>(2cos^-l)(cos(9+l)=0,

1:jr

所以cos6=—，或cos6=-l,因?yàn)?，e(0,兀)，所以。=工故選B.

23

5,答案：C

解析:(x2_x+y)5的展開式中》5y2的系數(shù)為c；卜2)2xc；(ryxc3=-30dy2,故選c.

6、答案：B

解析:8,PF三點(diǎn)共線，可得AP=kAB+(1-k)AF=kAB+-(l-幻ACA,P,E三點(diǎn)共線，可

2

^AP=mAE=m\-AC+-AB\=-mAC+-mAB,

(33)33

k=—m,

所以3

1,、13

—(l-K)--mm=—,

234

,1I

可得AP

24

貝U九一〃='?，

故選B.

7、答案：C

解析:因?yàn)镺P為乙4P名的平分線，所以NAPO=NKPO,又因?yàn)閨。。|=|0國=*所以

NOF,P=NF,PO,點(diǎn)、P在漸近線y=-2x上,|OP|=c,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-a,b)，所以

a

■JTTT

ZPAF,=—，所以NPAF,+3ZAPO=兀=ZAPO=-,

-26

所以APOA=3所以-2=tan=—V3=>—=#t，可得e=J1+二~=2,

3。3aVa2

故選C.

8、答案：C

解析:根據(jù)題意可知，直線丁=履+〃與曲線丁=/+2和曲線丁=皿卜2,都相切，所以對(duì)于

曲線y=e'+2,y'=e"=火,x=In%切點(diǎn)A(ln%,攵+2),

，元=，切點(diǎn)8(!，ln?+2)(火>0),

對(duì)于曲線y=In

k\kkJ

左一In—j?j

因?yàn)楣芯€過A乃兩點(diǎn)，所以％=止也=k_K+lnK

=

X77~~r77~~r

A一/8InK——Ink——

kk

進(jìn)而可得左lnZ-lnZ-Z-l=O,

令g(左)=AJn左一lnZ-A:-l(左>0),g'(Z)=In左一工(女>0).

k

因?yàn)間'(依單調(diào)遞增，旦g'⑴=-1<0,g[e)=1-->0

e

所以存在即使得ln%-L=0,即1"0=」，

院自

所以g(口在(0人)上單調(diào)遞減，在化,”)上單調(diào)遞增,k°e(1,e),

故g/)min=g(%)=%In%-In%-%-1.

又因?yàn)镮n%。=；，8(%焉=自一/-1=_；一a〈0

kok°k0自

當(dāng)女=e?時(shí),g(&)=g(e?)=e?Ine?-Ine?-e?-1=e?-3>0,

因?yàn)椋(l,e),g(%)g(e2)<0所以在%,e2)內(nèi)存在占，使得g(幻=0.

當(dāng)Z=4■時(shí),8(4)=84]=二111二-111±--V-l=-W+l>0，

e~le*-/eeeee

因?yàn)樽詗(l,e),g化,)g(\)<0

所以在（5名）內(nèi)存在女2,使得g（&）=0?

2

綜上所述，存在兩條斜率分別為勺,k2的直線與曲線y=e*+2和曲線y=In（ex）都相切,

故選C.

9、答案：AC

解析:隨機(jī)調(diào)查了90名學(xué)生，其中一共有60名學(xué)生認(rèn)可，所以認(rèn)可率大約為66.7%,故A

n(ad-be)290x(20x10—40x20)2

正確,B錯(cuò)誤;/==9,又因?yàn)?/p>

(a+b)(c+d\a+c)(b+J)40x50x60x30

6.635<9<10.828,故C正確、D錯(cuò)誤，故選AC.

10、答案：AC

解析:|MN|為該拋物線的焦點(diǎn)弦,|MN|22p=4np=2,故A正確;設(shè)直線/的傾斜角為

0，則S<wv=A^N2,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)Ma，yJ,N（x2，%）由于|MN|為該拋

物線的焦點(diǎn)弦，所以玉々=§=1,%%=~P2=-4

則OMON=XYX2+y必=一3,故C正確;由于|MN|為該拋物線的焦點(diǎn)弦，

所以|MN1=37=8=511。=也=。=巴或6=紅，故D錯(cuò)誤，

sin-0244

故選AC.

11、答案：BD

解析:對(duì)于選項(xiàng)A,若AD±AC,又因?yàn)锳A±平面A8C,但是D不一定在平面ABC上，所

以A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?G〃AC,所以AC〃平面4G，平面4G。平面ACO=/,

所以AC//1，所以B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,取△A3C的中心O,△4gG的中心O,,00｝的中點(diǎn)

=4,所以外接球的表

為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑火=

面積為4兀&=（兀，所以C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,該幾何體的外接球即為三棱柱

ABC-44G的外接球的中點(diǎn)為該外接球的球心,該球心到平面ACG4的距離為

￥，點(diǎn)D到平面ACC,A的最大距離為R-￥=叵聲，所以D正確，

故選BD.

12、答案:BCD

解析:因?yàn)?(-X-1)=-/。+1),所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，對(duì)于

選項(xiàng)A,函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,T，結(jié)合圖象可知

L44j

，故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,分析可得，當(dāng)2友-1<%<2時(shí),y=/(x)的圖象與直線

y=區(qū)有7個(gè)交點(diǎn)，故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)方程f(x)=m(m>0)的解為4個(gè)

7,.1

時(shí)，一<相<1，不妨設(shè)X,<x<X<X，根據(jù)對(duì)稱性可得/+七=一.

82342

分析圖象可知，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，方程/(x)=m的解為3個(gè),x；=--

8

,1,9，,j一

￡=5，x；=§又因?yàn)椋?gt;x；，z>石所以X+%+X3+Z故D正確,

故選BCD.

解析:/(0)=cos|四+°]=0=>區(qū)+夕=巴+而,攵￡2=9=殳+E，％￡2,又°>0,所以。

\6J623

的最小值為四.

3

14、答案：走

3

解析:因?yàn)?。為平面ABC。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以直線8。為平面A8CD上的任意直線，根據(jù)線

面角的定義可得，平面的一條斜線與平面上任意直線所成的角中，平面的一條斜線與它在

平面上的投影所成的角為最小角，所以本題可轉(zhuǎn)化為求直線AE與平面A8CO所成的角，

因?yàn)槠矫?4。，平面ABCD,所以直線$人￡$在平面ABC。上的投影為A。,分析可得，直

線AE與AO所成角為30。,所以直線AE與直線BQ所成角的正切值最小為丑.

15、答案：—

30

解析：5人分配5個(gè)禮物，基本事件總數(shù)〃=A；=120,都沒有拿到自己制作的禮物所包含

的基本事件總數(shù)加=C\(C\C\C\+C\C\C\)=44,所以概率P='=上=U.

16、答案：2后

解析:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q(，,0),使得圜=2,

則|PM『=4|尸Of,設(shè)點(diǎn)P(x,y),

貝!」(x+4)2+y2=4[(xT)2+y2],

EPx2+y2+8%+i6=4(x2+/-2/x+r)=>3x2+3y2-(8r+8)x+4r-16=0,

該圓對(duì)照V+V=4,所以f=-I,所以點(diǎn)Q(_1,0),

所以|PM|+2|PN|=2|P0|+2|PN|=2(|P0||+1PN|)22|0N|=2舊.

17、答案：(1)史

3

⑵18

解:(1)由正弦定理可得

sinAcosC+(2sinB+sinC)cosA=0,

sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA,

即sin(A+C)=sinB=-2sinBcosA

又B￡(0,兀)，sinfiw0,cosA=——,

又Aw(0,7t),A=,

(2)根據(jù)角A的平分線與邊BC交于點(diǎn)。，所以NBAD=ZCAD=g,

s+]71171127t

^D^ACD=S?A/iC^[l-x2xcxsin-+-x2xbxsin-=-xbxcxsin—f

所以2(。+。)=力c,即,+'=’.

bc2

Z?+4c=2(/?+4c)^+-J=2^5+y+-'j>2x9=18

當(dāng)且僅當(dāng)生=2時(shí)，即8=6,c=3時(shí)，等號(hào)成立.

hc

所以8+4c的最小值為18.

18、答案：(1)2?-1

(2)-1

解析：(1)4=2底-1=(%+1>=4s”,(a,i+=4sl兩式子作差可得

a；-<i+〃一=4a“=>a；t--2(??+an_i)=Q=>(an+q-)(?！耙唬?2)=。又

a

?+a.T*0,所以%—4“-I-2=0=>a“-an_x-2,

可得數(shù)列｛4｝為公差為2的等差數(shù)列，

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2y1^-1=>ax—2^1^+1=0=>-1)=0=>a,=1,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“-aA+(n-l)d-2n-\.

(2)bn-ancos=(2n-1)cos，

(■+i=4+與+/++AT+%I+A”+%,+i

￡“+]=1x(—?+3x|—|+5x1++(6〃-5)x?—]+(6/-3)x?—]+(6〃-1)x

\2)I2/\2.)\2.)

、a(1)^(1+6/2-5)(nn(3+6〃-3)x(1)〃(5+6〃-1)

1Xx1

l+(6〃+l)x(2尸2l2)2"12)2

(6w+l)xf-lj=-l

所以，數(shù)列｛為｝的前3〃+l項(xiàng)和&+1

~~2

19、答案：(1)30

(2)188.6

解析：(1)根據(jù)定義可得，此30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列,30x80%=24,

所以這30個(gè)企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個(gè)數(shù)據(jù)與第25個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即

空工=30.

2

(2)按照企業(yè)造成的污染點(diǎn)數(shù)從小到大排列，記為西，，x20其平均數(shù)記為二方差記

為1；把剩下10個(gè)數(shù)據(jù)記為力,%，，X。其平均數(shù)記為亍，方差記為S；；把總樣本數(shù)據(jù)

的平均數(shù)記為[，方差記為S2.

由題意可知工=3=17,

30

一11

y=—(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=—x330=33,

則噎=￡(510—330)=9,由題知￡=44.7,s：=92.4.

S2=\{20[s：+(x-z)2]+10[s；+G-z)2])

代入數(shù)據(jù)可得S2=\{20x[44.7+(9—17>]+10x[92.4+(33-17)2])=188.6.

所以，這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的總體方差為1886

20、答案：(1)見解析

(2)60°

解析：(1)連接AB,因?yàn)樗倪呅蜛B/A為平行四邊形，所以。為A乃的中點(diǎn)，

又。為的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A.C,

又4。u平面ACG4,OD0平面ACG4,所以O(shè)DH平面ACC.A,.

⑵因?yàn)锳g_LA/,又A81_L4C,所以_L平面A/C,所以Ag，8C,

又AC_LBC,所以BC1平面AgC,可得平面ABCJ?平面AgC,

取AC的中點(diǎn)E,因?yàn)锳B,=與C,所以與EJ_平面ABC,4七=2上，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,A(0,-2,0),C(0,2,0),母(0,0,2百)，8(2,2,0)

由8C=得C,(-2,0,273)，則AC=(0,4,0),CQ=(-2,-2,26)，

n,,AC—0,4y=0,,

設(shè)平面ACC/的法向量為〃?=(x,y,z),則，=><r-令X=6r,

/tj-CCj=0-2x-2y+2j3z=0,

所以馬=(6,0,1),

因?yàn)間E，平面ABC,所以可取平面ABC的法向量為嗎=(0,0,1),

設(shè)平面ACG4與平面ABC所成角為acosa=2.=—,

|同網(wǎng)|2

故平面ACCX\與平面ABC所成角為60°.

22

21、答案：⑴二+匕=1

82

(2)0

22

解析:⑴因?yàn)闄E圓C:；■+與=l(a>b>0)過點(diǎn)A(20,0),所以a=20,

ab

22

設(shè)“Cw°)滿足點(diǎn)+^=i，

又^HA?%=~~=>——廠-----比7=--=>一與=--=>b2=2,

42逝/+2逝4a24

22

所以橢圓C的方程為土+2~=1.

82

(2)直線/:y=[x+/,代入橢圓C：V+4y2=8,可得f+2枕+2*-4=0.

由于直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，所以4=4產(chǎn)-4(2/一4)>0,整理得-2<f<2.\

設(shè)河(％,*)](工2，%)由于點(diǎn)Q與"關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以

于是有%+%=-21,x}x2-2r-4.

必一[?_y_]=(2一內(nèi))(4_1)_