2024屆高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)-高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn) 排列組合基礎(chǔ)模型

專題26排列組合基礎(chǔ)模型

【題型一】分類加法原理

【典例分析】

某學(xué)校開設(shè)4門球類運(yùn)動(dòng)課程、5門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和2門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課

程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）

A.40種B.20種C.15種D.11種

【提分秘籍】

基本規(guī)律

古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

⑴列舉法.

（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序''與"無序''區(qū)別的題

目，常采用樹狀圖法.

（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.

【變式訓(xùn)練】

1.某校開設(shè)4類選修課4門方類選修課3門,一同學(xué)從中選1門，則該同學(xué)的不同選法共有（）

A.7種B.12種C.4種D.3種

2.現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選

法共有（）

A.7種B.9種C.14種D.70種

3.為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個(gè)接種點(diǎn)，在鄉(xiāng)

鎮(zhèn)設(shè)立了19個(gè)接種點(diǎn).某市民為了在同一接種點(diǎn)順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點(diǎn)的選法共有（）

A.11種B.19種C.30種D.209種

【題型二】分步乘法原理

【典例分析】

2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”

為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩

個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個(gè)教師節(jié)目相鄰的概率為（）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、"分類"、"分步’’的角度入

手；⑴“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨別是排列

還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無限制等：（3）“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥

的幾類，然后逐類解決；（4）“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、

組合問題，然后逐步解決.

【變式訓(xùn)練】

1.“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德.已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5

種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

2.有5件不同款式的上衣和8條不同顏色的長褲，若一件上衣與一條長褲配成一套，則不同的配法種數(shù)為（）

A.13B.40C.72D.60

3.現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)

是（）

A.45B.54C.20D.9

【題型三】人坐座位

【典例分析】

某公司為慶祝新中國成立73周年，計(jì)劃舉行慶?；顒?dòng)，共有5個(gè)節(jié)目，要求Z節(jié)目不排在第一個(gè)且C、D

節(jié)目相鄰，則節(jié)目安排的方法總數(shù)為（）

A.18B.24C.36D.60

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：

一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；

二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特

殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

【變式訓(xùn)練】

1.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個(gè)開捕日，仙女湖的有機(jī)魚迎來又一個(gè)豐收年.七位漁

民分在一個(gè)小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不

同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

2.某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其中講座A只能安排在第一

或最后一場，講座8和。必須相鄰，問不同的安排方法共有（）

A.34種B.56種C.96種D.144種

3.現(xiàn)有7位學(xué)員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數(shù)為（）

A.A；A：B.A；C；C.A；A；D.A；A；

【題型四】組數(shù)字型

【典例分析】

從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.18C.12D.6

【變式訓(xùn)練】

1.在數(shù)學(xué)中，有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，被稱為“回文數(shù)”.如44,585,2662等，那么用

數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.30B.36C.360D.1296

2.從1至8的8個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）

3.數(shù)字1,2,3,4任意組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則它為偶數(shù)的概率是（）

A-2B.；C.；D.|

【題型五】分類討論型

【典例分析】

在給某小區(qū)的花園綠化時(shí)，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后

排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分類討論易犯錯(cuò)

①搞不清楚到底是分類還是分步，不知道是用加法計(jì)數(shù)原理還是乘法計(jì)數(shù)原理;

②在求解時(shí)考慮不全，存在重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.

【變式訓(xùn)練】

1.開學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰

好有1名同學(xué)的排法有（）種.

A.12B.16C.20D.24

2.綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好.現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中

選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者.若甲不去安徽，其余志愿者沒有

條件限制，共有多少種不同的安排方法（）

A.228B.132C.180D.96

【題型六】“地圖”涂色型

【典例分析】

如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成4、8、C、。四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏

色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（）種不同的涂色方法?

C.240D.120

【提分秘籍】

基本規(guī)律

染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：

1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,。四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不

同的涂法共有（）種.

A.12B.36C.48D.72

2.對(duì)如下編號(hào)為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則

在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（）

4

2

□Z

3.網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧

板右下方的五個(gè)塊涂色（圖中的1,2,3,4,5）,有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不

能同色，有種不同的涂色方案.

【題型七】電路圖型

【典例分析】

如圖，在由開關(guān)組A與8組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（）種

【變式訓(xùn)練】

D.12

2.如圖所示為一電路圖，從4到5共有條不同的線路可通電（）

3.如圖，一條電路從工處到8處接通時(shí)，可構(gòu)成線路的條數(shù)為（）

A.8B.6

C.5D.3

【題型八】走樓梯型

【典例分析】

欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般情況下，可以借助“數(shù)字化法”，把路口轉(zhuǎn)化為相同數(shù)字來進(jìn)行排列。

比如，向右，定為數(shù)字1,向上，定為數(shù)字2,

如下圖，從A到B,只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解為數(shù)字1,1,2,2,2五個(gè)數(shù)字

全排列，那么只選不排，相當(dāng)于五個(gè)位置，先放三個(gè)2,共有C；種放法，

【變式訓(xùn)練】

1.欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有種上樓梯的方法.

2.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)

7步登完樓梯的概率為.

3.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用

7步走完，則上樓梯的方法有種.

【題型九】摸球型

【典例分析】

一個(gè)口袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從袋中至少取出一個(gè)球，恰好4次取完,

那么不同的取法一共有（）種.

A.76B.48C.40D.28

【變式訓(xùn)練】

1.從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋

子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有

A.42種B.36種C.72種D.46種

2.將6個(gè)不同的乒乓球全部放入兩個(gè)不同的球袋中，每個(gè)球袋中至少放1個(gè)，則不同的放法有（）

A.82種B.62種C.112種D.84種

3.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)

球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X,則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.9C.10D.25

M分院培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

1.某中學(xué)舉行歌唱比賽，要求甲、乙、丙三位參賽選手從《難卻》《蘭亭序》《許愿》等6首歌曲中任意選2

首作為參賽歌曲，其中甲和乙都沒有選《難卻》，丙選了《蘭亭序》，但他不會(huì)選《許愿》，則甲、乙、丙三

位參賽選手的參賽歌曲的選法共有（）

A.300種B.360種C.400種D.500種

2.將4名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分

配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小明不去花樣滑冰項(xiàng)目，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.18種C.24種D.48種

3.把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（）

A.4種B.6種C.21種D.35種

4.某鞋店銷售a,b,c,d四種不同款式的運(yùn)動(dòng)鞋，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款運(yùn)動(dòng)鞋購買，則不

同的購買選擇有（）

A.24種B.48種C.64種D.81種

5.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月

31日15：37分，我國將“夢天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實(shí)驗(yàn)艙''也和

“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“廠字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站

將正式進(jìn)入運(yùn)營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，

則不同的安排方法有（）

A.450種B.72種C.90種D.360種

6.1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.12C.24D.64

7.導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的

個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé).已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1

位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.90B.15C.60D.180

8.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個(gè)開捕日，仙女湖的有機(jī)魚迎來又一個(gè)豐收年.七位

漁民分在一個(gè)小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則

不同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

培優(yōu)第二階——能力提升練

1.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為A；

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C；一以

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為C；C；C]

2.高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到4B,C,D,E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能

選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)/必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)工,則不同的安排方法有25種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

3.某校的高一和高二年級(jí)各10個(gè)班級(jí)，從中選出五個(gè)班級(jí)參加活動(dòng)，下列結(jié)論正確的是（）

A.高二六班一定參加的選法有種

B.高一年級(jí)恰有2個(gè)班級(jí)的選法有種

c.高一年級(jí)最多有2個(gè)班級(jí)的選法為:（4,種

D.高一年級(jí)最多有2個(gè)班級(jí)的選法為C；oC：o+CoC：0+C；。種

4.將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到48,C三個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排

一名志愿者，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.共有18種安排方法

B.若甲、乙被安排在同社區(qū)，則有6種安排方法

C.若A社區(qū)需要兩名志愿者，則有24種安排方法

D.若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法

5.將8個(gè)人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為.

6.2022年12月某機(jī)構(gòu)關(guān)于中國新國貨品牌“金榜題名”頒獎(jiǎng)典禮準(zhǔn)備以線上直播的形式舉辦，并邀請(qǐng)榜單

中的48,C,O,E五家企業(yè)發(fā)言，則A在C之前發(fā)言（不一定相鄰，下同），且8在C之后發(fā)言的方法種數(shù)為

.（用數(shù)字作答）

7.如圖，2根繩子上共掛有7只氣球，繩子上的氣球數(shù)依次為3,4.每槍恰打破一只氣球，而且同一條繩上,

只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，將這些氣球都打破的不同打法有種（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

8.某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，該崗位共有四名工作人員可以排夜班，已知同一個(gè)

人不能連續(xù)安排三天的夜班，則這五天排夜班方式的種數(shù)為

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練

1.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一

共有個(gè).

2.某校甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生自愿參加植樹活動(dòng)，有4B,C這3處植樹地點(diǎn)供選擇，每人只能選其中

一處地點(diǎn)參與植樹，且甲不在/地、乙不在8地植樹，則不同的選擇方式共有種.

3.一雜技團(tuán)有8名會(huì)表演魔術(shù)或口技的演員，其中有6人會(huì)表演口技，有5人會(huì)表演魔術(shù)，現(xiàn)從這8人中

選岀2人上臺(tái)表演，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則不同的安排方法有種.

4.某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為己，且女

生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對(duì)順序固定，則共有

種不同的站隊(duì)方法.

5.給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法

有種.

6.如圖，給圖中的4B,C,D,E,尸六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)

涂不同顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.

7.將5個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其

編號(hào)數(shù)，則共有種不同的放法.

8.某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一

定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不

教5班，則不同的排課方法種數(shù)

專題27排列組合綜合應(yīng)用歸類

【題型一】坐座位是否相鄰模型

【典例分析】

中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)''合稱"六藝"禮"主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和”御”就是體

育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座,

共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和"樂”兩次不相鄰，貝I"六藝講座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

【提分秘籍】

基本規(guī)律

常見排列數(shù)的求法為：

（1）相鄰問題采取“捆綁法”；

（2）不相鄰問題采取“插空法”;

（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”;

【變式訓(xùn)練】

1.5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有種（填數(shù)字）.

2.某學(xué)?；I備元旦晚會(huì)節(jié)目單時(shí)，準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目排三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目，若

三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰，則不同的排法總數(shù)為（）

A.75B.80C.84D.96

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的

站法共有

A.72種B.108種C.36種D.144種

【題型二】先分組后排列型

【典例分析】

舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大

學(xué)生志愿者前往A、8、C三個(gè)場館服務(wù)，每一位志愿者只去一個(gè)場館，每個(gè)場館至少分配一位志愿者，

由于工作需要甲同學(xué)和乙同學(xué)不熊去同一場館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（）

A.114B.150C.108D.54

【提分秘籍】

基本規(guī)律

先分組后排列模型，多涉及到“抽屜原則型”分，即類球放盒子，球多盒子少的分配，有多球在一

個(gè)盒子中。滿足以下特征：

1.一個(gè)球一個(gè)放一個(gè)盒子

2.盒子可能有空，但是一般情況下球不能剩余。

3.球數(shù)量比盒子多。

方法：

1.需要用幾個(gè)盒子放球，通過組合數(shù)剔除掉多余的盒子

2.根據(jù)放球盒子數(shù)，把球分組，分組數(shù)與放球盒子數(shù)相同

3.如果涉及到分組的兩組甚至多組球數(shù)量相等，注意用平均分組模型：除以相同組數(shù)的全排列

4.再把分組的按照組數(shù)全排列即可

【變式訓(xùn)練】

1..某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名

“熟手’’和2名"生手”,1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測工作的傳授,每個(gè)檢測點(diǎn)至少需要1名“熟手”,

且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是（）

A.72B.108C.216D.432

2.疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項(xiàng)，某新聞?dòng)浾邽檎{(diào)查不同口罩的防護(hù)能力，分別

在淘寶、京東、拼多多等購物平臺(tái)購買了7種口罩，安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種口

罩的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計(jì)），則不同的安排方法有（）

A.6000種B.7200種C.7800種D.8400種

3.在某互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)上，為了提升安保級(jí)別，將甲、乙等5名特警分配到3個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)人只能分

配到1個(gè)路口，每個(gè)路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，則不同的安排方法有（）

A.180種B.150種C.96種D.114種

【題型三】球放盒子基礎(chǔ)型

【典例分析】

.某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到4B,C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一

家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位.已知Z醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，8醫(yī)院

接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針

的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（）

A.27B.24C.18D.16

【提分秘籍】

基本規(guī)律

球放盒子模型應(yīng)用比較多，許多的“人坐座位”模型其實(shí)就是“球放盒子”型。結(jié)合題意，確認(rèn)是按

照先分組后排列模型，還是特殊元素優(yōu)先排特殊位置優(yōu)先站的分類討論型。，

【變式訓(xùn)練】

1.、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有4B,C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者

只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù).則甲不在4小區(qū)、乙不在8小區(qū)服務(wù)的概率為（）

2.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)

項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（）

【題型四】球放盒子：電梯、公交車型

【典例分析】

某大樓共有12層，有11人在第一層上了電梯，他們分別要去第2至12層，每層1人，因特殊原因，電梯

只能停在某一層，其余10人都要步行到所要去的樓層，假設(shè)初始的“不滿意度''為0,每位乘客每向下步行

一層的“不滿意度”增量為1,每向上步行1層的“不滿意度”增量為2,要使得10人“不滿意度”之和最小，電

梯應(yīng)該停在第幾層（）

A.7B.8C.9D.10

【提分秘籍】

基本規(guī)律

電梯，公交車基本型，是指數(shù)型。

n個(gè)人從m層下電梯，總共有m”,有限制條件，則可以先分組在排列，或者剔除掉受限制的樓層,

再先分組后排列或者分類討論

【變式訓(xùn)練】

1.甲、乙、丙3人從1樓乘電梯去商場的3到9樓，每層樓最多下2人，則下電梯的方法有

A.210種B.84種C.343種D.336種

2.甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時(shí)從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘”站方向的

3路公交車（線路圖如下）.甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意

一站下車.假設(shè)每人自“管委會(huì)，，站開始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為（）

竺

丄23456782X

tft

一

一

一10ll1213141517181920212223

一

一

tt1:T一ff1ft-

媽

輪

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蓮

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山

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金

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池

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祖

稅

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城

會(huì)

灘

路

街

街

沙

小

沙

公

水

神

玉

大

碼

廟

祖

分

鳳

(石

灘

學(xué)

灘

頭

司

庫

化

女

酒

廟

局

平

東

情(

石

閣

店

街

安

東

環(huán)

…

)里

…

丄丄73

A.B.C.D.

543010

3.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會(huì)在長沙、廣州、深圳停），分別在每個(gè)停的站

點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有（）

A.24種B.36種C.81種D.256種

【題型五】節(jié)假日值班型

【典例分析】

某公司安排6位員工在“元旦（1月1日至1月3日）“假期值班，每天安排2人，每人值班1天，則6位員工中

甲不在1日值班的概率為（）

A.-B.\C.-D.-

3346

專題48隨機(jī)事件的概率與古典概型-2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型

【提分秘籍】

基本規(guī)律

節(jié)假日值班是排列組合的綜合應(yīng)用型：

1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；

2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；

3.捆綁法:把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；

4.插空法:對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)

中；

5.定序問題除法處理:對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列；

6.間接法:正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.

【變式訓(xùn)練】

1.某辦公室為保障財(cái)物安全，需在春節(jié)放假的七天內(nèi)每天安排一人值班.已知該辦公室共有四個(gè)人，每人需

值班一天或兩天，則不同的值班安排種數(shù)為（）

A.360B.630C.2520D.15120

2.甲、乙、丙三人值班，從周一到周六按每人分別值班2天排班，若甲不在周一值班，則不同的排班方案有

（）

A.15種B.30種C.45種D.60種

3.某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至

少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班，且一人值

多天班時(shí)要相鄰的安排方案有（）

A.249種B.498種C.1052種D.8640種

【題型六】定序型

【典例分析】

因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)

到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第七個(gè)依次遞減，第七、八、九個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有（）

種.

A.379B.360C.243D.217

【變式訓(xùn)練】

1.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派岀6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)

院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為6,第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者

為6,第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為8,則滿足6<6<A的分配方案的概率為（）

2..幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝

A,B,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝。，E,F；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G,A,

C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝8,D,H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝/,C,瓦則

這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（）

A.23B.24C.32D.33

3.身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個(gè)隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同的排法種數(shù)為

A.12B.14C.16D.18

【題型七】相同元素：空坐位（空車位）型

【典例分析】

一個(gè)停車場有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車

位空著，則不同的停車方法共有

A.6種B.12種C.36種D.72種

【提分秘籍】

基本規(guī)律

空座位空車位型，屬于相同元素的排列，遵循相同元素?zé)o排列原則。如果多個(gè)空位連在一起，則可以

采取插孔不同空位法。

【變式訓(xùn)練】

1.某等候區(qū)有7個(gè)座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間

至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有（）

A.4種B.10種C.20種D.60種

2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人入座，則恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法的種數(shù)是（）

A.36B.48

C.72D.120

3.電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空

位且甲坐在中間的坐法的種數(shù)為（）

A.40B.36C.32D.20

【題型八】配對(duì)（不配對(duì)）型

【典例分析】

從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是（）.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

配對(duì)性步驟：

1.先選取配對(duì)的組數(shù)。用組合數(shù)。

2.再從剩余中選取未能配對(duì)的組數(shù)，每一組只能選取一只。

3.如果有復(fù)雜的限制條件，可以采取樹圖法分類討論

【變式訓(xùn)練】

1..從不同號(hào)碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（）

A.120B.240C.280D.60

2.—對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去坐纜車，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的4個(gè)座位上（一人一

座）.為安全起見，管理方要求每個(gè)小孩旁邊要有家長相鄰陪坐，則他們4人的坐法符合安全規(guī)定的概率是

3.新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流.因保管不善，五個(gè)快遞Z8CQE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記

得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（）

【題型九】1,0與10數(shù)字排位型

【典例分析】

2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序

排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.96B.84C.120D.360

安徽省蕪湖市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期3月第五次線上考試數(shù)學(xué)試題

【提分秘籍】

基本規(guī)律

復(fù)雜的分類討論。要注意。在開頭是否符合題意，還要對(duì)1,0的組合與10相鄰不相鄰的分類討論

【變式訓(xùn)練】

I.將5個(gè)數(shù)2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)

的個(gè)數(shù)為.

2.將六個(gè)數(shù)0、1、2、9、19、20將任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)是

（）

A.498B.516

C.534D.546

【題型十】相同元素型

【典例分析】

用數(shù)字1,2,3排成一個(gè)五位數(shù)，要求每個(gè)數(shù)字至少用一次，則不同的五位數(shù)有（）

A.180個(gè)B.150個(gè)C.120個(gè)D.90個(gè)

【變式訓(xùn)練】

1.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

2.已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取岀一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的

卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為.

3.由1,1,2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

1.某校大一新生aB,C,力欲加入該校的文學(xué)社、書法社、羽毛球社.已知這4名大一新生每人只加入

了1個(gè)社團(tuán)，則這4名大一新生恰好加入其中2個(gè)社團(tuán)的不同情況有（）

A.21種B.30種C.42種D.60種

2.將英文單詞協(xié)〃”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（）

A.120種B.240種C.480種D.960種

3.如圖，三根繩子上共掛有6只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,每槍只能打破一只氣球，而且規(guī)定

只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（）

C.90D.120

4.導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的

個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé).已知有3