2022年高考試題：數(shù)學(xué)(新高考II卷)【含答案及解析】

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

(新高考全國n卷)數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人={-1,1,2,4},3=卜卜—1區(qū)1},則AI5=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，。2，。。1，3男,44是舉，。2，。。］，(百，網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為黑=0.5,5與=配萼=修,善=左3,若如左2,%是公差為的等差數(shù)列，且直線

OL)XDC】CJDJDA1

的斜率為0.725,則&=()

iiy

4.已知。=（3,4）,》=（1,0）,。=。+仍，若<a,c〉=<A,c〉，則/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

6,角名。滿足sin（a+萬）+cos（a+口）=2也以與a+—sin^,則（）

IJ

Atan（a+0=1B.tan（a+「）=-l

C.tan（a~/3）=lD.tan（（z-yS）=-1

7.正三棱臺高為1,上下底邊長分別為3仆和46，所有頂點在同一球面上，則球的表面

積是()

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

22

8.若函數(shù)的定義域為R,且f(x+y)+/(x一y)=/(x)/(y),/(l)=1,則￡f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.函數(shù)/(x)=sin(2x+夕)(0<8〈兀)的圖象以—,0中心對稱，則()

I3)

(5兀、

A.在0,—單調(diào)遞減

12

IJ

(711171A,,..

〃在一二,K有個極值點

B.y=x)〔1212)2

7兀

C.直線x=L是一條對稱軸

6

D.直線)=里—x是一條切線

2

10.已知。為坐標(biāo)原點,過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點F的直線與C交于A,2兩點,

點A在第一象限，點M(p,0),^\AF\=\AM\,則。

A.直線A3的斜率為2八B.IOB|=|OF\

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

11.如圖，四邊形ABC。為正方形，EDmABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,尸—ACE的體積分別為匕乂,匕，則()

%

/:\F\

:/'-—\

/Z-/_*--二凱

kB

A.匕=2匕B.匕=2匕

C.匕=耳+匕D,2匕=3四

12對任意x,y,X1+y2-xy=\,則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,(y2),且P(2<X42.5)=0.36,則

P(X>2.5)=.

14.寫出曲線y=山|x|過坐標(biāo)原點的切線方程：,.

15.已知點A(—2,3),8(0,。)，若直線A8關(guān)于>的對稱直線與圓

(X+3)2+('+2)2=1存在公共點，則實數(shù)。的取值范圍為.

22

16.已知橢圓5+J=直線/與橢圓在第一象限交于A,B兩點,與x軸，y軸分別交于

63

M,N兩點，且|M4|=|NB|,|2W|=2jL則直線/的方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，｛2｝是公比為2的等比數(shù)列，且

(1)證明：q=4；

(2)求集合｛弛=4+%」4加1500｝中元素個數(shù).

18.記V4BC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,其對邊分別為a,b,c,分別以a,6,c為邊長

的三個正三角形的面積依次為S1,S,,§3,已知sS,+邑=Y3,sinB='.

(1)求VABC的面積；

72

(2)sinAsinC=——，求瓦

3

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

20.如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是的中點.

(1)求證：OE//平面B4C；

(2)若NABO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

22

21.設(shè)雙曲線C:5-3=1（。>0）>0）的右焦點為歹（2,0）,漸近線方程為y=±6x.

ab

（I）求C的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,2兩點，點尸（石，乂）,。（無2,%）在C上，

且X]>%>0,%>0.過P且斜率為的直線與過。且斜率為6的直線交于點加，請

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①M在A8上；?PQ//AB.③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.已知函數(shù)/（無）=xe——eZ

（1）當(dāng)a=l時,討論AM的單調(diào)性；

（2）當(dāng)元〉0時，/（%）<-1,求〃的取值范圍;

,1+,1+L+,1>ln(n+l)

（3）設(shè)〃wN*,證明:

22

Vl+1A/2+2J川+n

答案及解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人={—1,1,2,4},3={%卜—1區(qū)1},則AI3=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8后可求AIB.

【詳解】B={x|0<x<2},故AI5={1,2},

故選：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l—2i)=2+4—4i+2i=6—2i,

故選：D.

3.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，是舉，。與。。1，底1，網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為第=05能=尢,髻=&，第=&，若如片，&是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線

OL)XDC】CzjjnAj

0A的斜率為0.725,則匕=()

1

D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)=DCi=CB[=BAl=l,則可得關(guān)于內(nèi)的方程，求出其解后可得正確的選

項.

【詳解】設(shè)02=。。1=。呂=34=1,則0。]=尢，531=攵2，相=左3,

且即+4+典+9=o.725

依題意，有&_0.2=《,a_0.1=%2,

2

所以05+3&-0.3=0.725,故自=。§,

4

故選：D

4.已知a=（3,4）,Z>=（l,0）,c=a+仍，若<a,c〉=<Z>,c〉，則/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

r,、11i9+3/+163+Z

【詳解】解：c=（3+f,4）,cosa,c=cosb,c,即^rj—=-^~,解得f=5,

故選：C

5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種。

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，

有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個

位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學(xué)共有：3X2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

6,角滿足sin（a+Q）+cos（a+尸）=20COSa+—sinP,則（）

I4,

A.tan（a+尸）=1B.tan（a+尸）=-l

C.tan(a-^0)=1D.tan(a—。)=—1

【答案】D

【解析】

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解一

3

【詳解】由已知得：

sinacos+cosasin/3+cosacosfi-sinasin/3=2(cosa-sina)sin/3,

即：sinacos0-cosasinj3+cosacos尸+sinasin0=0,

即：sin(a-/)+cos(a-/)=0,

所以tan(a-/)=-l,

故選：D

7.正三棱臺高為1,上下底邊長分別為3g和46，所有頂點在同一球面上，則球的表面

積是()

A.1007tB.12871C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑。馬，再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑彳,弓，所以24=史1—,26=1-,即

一1sin60°sin60°

彳=3,弓=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R，所以4=jR2—9,

4=JR2_]6,故同_蜀=1或4+&=1，即YR。-97R2T6=1或

JR2—9+JR2—16=1，解得甯=25符合題意，所以球的表面積為5=4冰2=1007r.

故選：A.

22

8.若函數(shù)/a)的定義域為R,且/(%+y)+/(x-y)=/(%)/(y),/(l)=1,則￡f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的

4

/(1),，(2),L,/(6)的值，即可解出.

【詳解】因為F(x+y)+F(x—y)=/(九)〃y)，令無=i,y=o可得,

2/(l)=/(l)/(O),所以7(0)=2,令x=0可得，〃y)+〃-y)=2〃y),即

〃y)=〃—y)，所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，令y=i得，

〃x+l)+〃xT)=/(x)〃l)=/(x),即有/1(尤+2)+/1(尤)=/(尤+1),從而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x—4),即

/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.

因為〃2)=〃1)—40)=1—2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的〃l)+〃2)+L+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1—2-1=—3.

k=\

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(271、

9.函數(shù)/'(x)=sin(2x+夕)(0<0<兀)的圖象以—,0中心對稱，則()

(5兀、

A.y=/a)在o,——單調(diào)遞減

J兀11兀、一J

B.丁二/(幻在一不，而有2個極值點

(1212J

7兀

C.直線X=7"是一條對稱軸

D.直線y=—%是一條切線

2

【答案】AD

【解析】

5

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出.

、=si優(yōu)+夕、471

【詳解】由題意得：fy0,所以+夕=ku,keZ,

77

4兀

即0=------Fkji,kwZ,

3

2兀2兀

又。＜夕＜兀，所以左=2時,(p=一,故/(x)=sin2x+——.

3337

(5兀、2x+三(2兀3兀\

對A,當(dāng)xe0,一時,—-，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)在

3I32)

(5兀、

0,—上是單調(diào)遞減;

兀11兀)?八2兀兀5兀、

對B,當(dāng)xw——,——時，2x+——G，由正弦函數(shù)y=sin"圖象知y=/(x)只

1212J322)

271

有1個極值點，由2%+——==，解得％即為函數(shù)的唯一極值點;

321212

7兀2兀7兀7兀

對C,當(dāng)％=——時,2%+——=3兀，/(一)=0,直線1不是對稱軸;

6366

2兀\2兀\

對D,由y=2cos2x-\---二-1得：cos2xd-------

、32

3JI37

2224兀

解得2%+——=----b2左?；?%+——=----卜2kit,ksZ,

3333

兀

從而得：%=析或%=1+左兀,左EZ,

(也、

所以函數(shù)y=/(x)在點0,—處的切線斜率為左=y'1=2cos—=-1,

>=°3

\7

切線方程為：y———(%—0)BPj-x-

故選：AD.

10.已知0為坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點F的直線與C交于A,2兩點,

點A在第一象限，點M(，0),若|AF|=|AM|,則()

6

A.直線AB的斜率為2八B.\OB|=|OF|

C.|AB|>4|0F|D.AOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【解析】

【分析】,再由斜率公式即可判斷A選項;

表示出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線求得3（孑,_-），即可求出回判斷B選項；由拋

II25DULIUUL1UUUUUUL1

物線的定義求出|Aa=7聲即可判斷C選項；由。403<0，求得NAOB,

ZAMB為鈍角即可判斷D選項.

對于A,易得R§,0）,由|A尸|=|可得點A在歹M的垂直平分線上，則A點橫坐標(biāo)

y.—+pO

為2"_3。,

2―彳

代入拋物線可得y2=2p-?=gp2,則4學(xué),學(xué)），則直線A3的斜率為

&>p

#—=2灰，A正確；

3￡_￡

42

1P

對于B,由斜率為2八可得直線A8的方程為x=5而y+萬,聯(lián)立拋物線方程得

7

>2一七py一/=0,

設(shè)Be%,%),則逅則%=一血，代入拋物線得

=2p,

263

則儂=3"=^~^\0F\=^，B錯誤；

對于C,由拋物線定義知：|4同=￥+(+?=%>22=川。川，C正確；

*>p\3P2

Y-=__j<0,則

ZAOB為鈍角,

又

umrumr

MA-MB￡

4

則ZAMB為鈍角,

又NAOB+NAMB+NO4M+NO3M=360°，則NOAM+N05M<180°，D正確.

故選：ACD.

11.如圖，四邊形ABC。為正方形，EDmABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E-AC。，F(xiàn)-ABC,b—ACE的體積分別為匕,乂,匕，則()

A.匕=2匕B.%=2匕

8

C.%=K+KD.2匕=3K

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由體積公式計算匕,％,連接3。交AC于點連接EM,引0,由

匕=VA-EFM+VJEFM計算出匕，依次判斷選項即可?

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因為切，平面ABC。，F(xiàn)BPED,則

K=gSVACO=g,2ag（2a）2，

%=g.p3.SvABc=；,。,；，（2。）一,連接5D交AC于點M,連接,易

得B"AC,

又即，平面ABC。，ACu平面ABC。，則EDLAC,又EDIBD=D,ED,BDu

平面5DER,則AC,平面3DER,

又BM=DM=LBD=G,過/作PGLDE于G,易得四邊形BOGF為矩形，則

2

FG=BD=2V^Q,EG=a,

iQzy

2222

EM+FM=EF^則尸M，SNEFM=-EMFM=^-a,AC=2區(qū),

1々

則匕=K.MM+%.L=]ACSV.M=2/,則2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故

A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

12.對任意x,y,x2+y2-xy=1,則（）

9

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為土吆]?±±匕(a,blR),由V+V一盯=1可變形為,

I2J2

z\2

(x+y/—1=3孫W3葉上，解得_2〈x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=—l時，

k2)

x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

22

由V+y2—孫=1可變形為,+/)_]=盯(土/二解得%2+/42,當(dāng)且僅當(dāng)

x=y=±l時取等號，所以C正確;

(A,YQ

因為V+V—1變形可得x_2+2/=i,設(shè)％一2=cos6,——y=sin0所以

■24'22

《sin6,y

%=cos6+=—^sin0,因此

J3V3

22

x2+.y2=cos0+—sin6+^=sin6cos6=1+-\=sin20--cos20+-

3V3V333

42(兀、「2"1AA^.、

=—+—sin20——G—,2,所以當(dāng)％=—y=-----時滿足等式，但是+不

33(6J13」33

成立，所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,(y2),且P(2<XV2.5)=0.36,則

P(X>2.5)=

7

【答案】0.14##—.

50

1

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為X:N(2,CJ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案為:0.14.

14.寫出曲線y=In|x|過坐標(biāo)原點的切線方程：,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時設(shè)切點為(％,In%),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出為,即可求出切線

方程，當(dāng)x<0時同理可得；

【詳解】解：因為y=ln|x|,

當(dāng)x>0時y=lnx,設(shè)切點為(Xo/n%)，由y'=L所以'’1=而=',所以切線方程為

x/

y-lnx0=—(x-x0),

%

又切線過坐標(biāo)原點，所以-In5=—(-%),解得％=e,所以切線方程為

y-l=-(x-e),BPy=-x；

ee

當(dāng)x<0時y=ln(—x),設(shè)切點為(Xi，ln(—xj),由y'=L所以>'|*/=工，所以切線

X再

方程為y—ln(—X])=，(x—%),

石

又切線過坐標(biāo)原點，所以-In(-%)=，(-%),解得石=-e,所以切線方程為

石

y-1=—(x+e),即y=--x；

-ee

1

故答案為：y=-x-y=--x

ee

15.已知點A（—2,3）,6（0,a）,若直線AB關(guān)于>的對稱直線與圓

（x+3）2+（y+2『=1存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為.

'13一

【答案】

[32]

【解析】

【分析】首先求出點A關(guān)于>對稱點A的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直

線的距離小丁等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：A（—2,3）關(guān)于>對稱的點的坐標(biāo)為A'（—2,2。—3）,3（0,a）在直線>=。

上，

所以A'B所在直線即為直線/,所以直線/為y=——x+a,即（a—3）x+2y-2a=0；

—2

圓C:（x+3『+（y+2『=1,圓心C（一3,—2）,半徑r=1,

卜3—3）—4—26/1

依題意圓心到直線/的距離d=J-/1

J（。-3：）2+22<,

13「13一

即（5—5〃）9<（〃—3）9+22,解得§<〃<§,即awj,-；

13'

故答案為：—

132」

22

16.已知橢圓上+4=1,直線/與橢圓在第一象限交于A,B兩點,與x軸，y軸分別交于

M,N兩點，且|M4|=|NB|,|2W|=2jL則直線/的方程為.

【答案】x+42y-2s/2=Q

【解析】

【分析】令A(yù)8的中點為E,設(shè)A（x，yJ,B（X2,J2）,利用點差法得到上班?以B=一3，

設(shè)直線AB：y=^+，w,k<Q,m>Q,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|“V|求出左、m,

即可得解；

【詳解】解：令A(yù)3的中點為E,因為|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,

1

2222

設(shè)A（XQJ,B（x2,y2）,則工+里=1,遼+二=i,

6363

所以日.立+比一應(yīng)=0,即）（再+々）+（%+%）（必-％）=o

663363

（%+%）（%—%）1n,,1、八古在.i］門n

所以7--------C7--------------r=--,即左0底左鉆=—一，設(shè)直線A5：y=丘+根，攵<0,m>0,

（再一元2）（再+%2）22

令％=0得丁=〃7,令＞=0得％=——,即M--,0,N（0,m）,所以E

kyk）12k2

m

即左義一--=——,解得女=—或左=1^（舍去），

m222

~2k

又|MN|=2G,Bp^MN\=Jm2+^V2mj=2A/3＞解得m=2或機(jī)=一2（舍去），

B

所以直線AB:y=———x+2,即％+后＞—20=0；

故答案為：x+岳-2正=0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，｛〃｝是公比為2的等比數(shù)列，且%一4=%—4="-2.

1

（1）證明：q=bl；

（2）求集合陽4=%“+4，1Wm<500｝中元素個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

（2）9.

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛%,｝的公差為d，根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡可得m=2"2,即可解出.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d,所以，]4%+d/—224b、==跖a1+-2（％d—+43Z?4.）'即可解得’i”

所以原命題得證.

【小問2詳解】

由（1）知，b[=%=g,所以4=a,"+4=Z?]X2/T=4+（加-1）4+4,即2k~x=2m，

亦即加=2b2e[1,500],解得24人<10,所以滿足等式的解左=2,3,4,L,10,故集合

我|4=。?7+。1，1〈加4500｝中的元素個數(shù)為10-2+1=9.

18.記V4BC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,其對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長

Ri

的三個正三角形的面積依次為S],S2,§3,已知S]-S?+S3=券,sin3=g.

（1）求VABC的面積；

72

（2）若sinAsinC=——，求兒

3

拒

【答案】（1）—

8

⑵I

【解析】

【分析】（1）先表示出S],S2，S3,再由S1—S2+S3=￥求得/+02一/=2,結(jié)合余弦

1

定理及平方關(guān)系求得w,再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得—^=—吧—,即可求解.

sin25sinAsinC

【小問1詳解】

由題意得1=--a2--=—a2,S=—b2,S.=—c2,則

12242434

S—S2+S3

4442

2,2_72

222

BPa+c-b=2,由余弦定理得cosB=°,整理得accosB=1,則cos8>0,

lac

又sin3=',

3

則cosB=迪13V2

ac=------，則SvABC-acsinB^—

\⑴3cos3~T~28

【小問2詳解】

hnc

由正弦定理得：則

sinBsinAsinC

3V2

b1acac49b3,3.?1

-------=-------?-------=-------------=————=_ijii____—h—sinD———

sin2BsinAsinCsinAsinCV24''sin_B2'22

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;

（2）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)

1

總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

【答案】(1)44.65歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；

(2)設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,根據(jù)對立事件的概率公式

P(A)=1—P(Z)即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡了=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)xl0=44.65(歲).

【小問2詳解】

設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,所以

尸(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

【小問3詳解】

設(shè)3=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

則由條件概率公式可得

P(C|B)=*=0.000.23=00014375=0.0014

P(B)16%0.16

20.如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB,ABVAC,E是的中點.

1

c

￡

"'、'B

(1)求證：OE//平面Z4C；

(2)若NAB。=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—B的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)連接80并延長交AC于點。，連接。4、，根據(jù)三角形全等得到OA=OB,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到A。=。。，即可得到。為5。的中點從而得到0E〃尸。，即

可得證；

(2)過點A作Az〃。/5,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；

【小問1詳解】

證明：連接80并延長交AC于點。，連接。4、PD,

因為尸。是三棱錐P—ABC的高，所以尸。,平面ABC,A0,30u平面ABC,

所以POLA。、P01BO,

又PA=PB,所以上但三△POB,即。4=。3,所以NQ43=NOB4,

又A3,AC,即NA4C=90°,所以NQAB+NO4D=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以N0ZM=NO4D

所以A0=。。，即AO=DO=OB,所以。為5。的中點，又E為尸8的中點，所以

OE//PD,

又0EO平面PAC,POu平面叢C,

所以O(shè)E〃平面24c

1

【小問2詳解】

解：過點A作4〃。尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

因為尸。=3,AP=5,所以04=，/尸2_。。2=4,

又NOBA=NOBC=30°,所以20A=8,則AD=4,AB=4右,

所以AC=12,所以O(shè)（2G,2,0）,B（4V3,0,0）,P（2V3,2,3）,C（0,12,0）,所以

E373,1,-,

2

uuur（j-3、uum

則AE=3V3,1,-,AB=（46,0,0）,AC=（0,12,0）,

27

VUUW廠3

n?AE=3y/3x+y+—z=0

設(shè)平面AEB的法向量為〃=(x,y,z),則＜2，令z=2,則

VUU理r

n-AB=4y/3x=0

丁=-3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

1

VUUW廠3

m?AE=3y/3a+b+—c=0

設(shè)平面AEC的法向量為加二（q,b,c）,則VUULV2令a=下）,則

mAC=12b=0

c=-6,b=0,所以機(jī)二（百,0,-6）；

,rir,n-m-12

所以cos（凡機(jī)

V13xV3913

設(shè)二面角C—A石一6為e,由圖可知二面角。一A石—5為鈍二面角,

所以cos6二——-,所以sin8=J1-cos?3=一

1313

故二面角C-AE-B的正弦值為一；

13

22

21.設(shè)雙曲線C:j-占=1（。>01>0）的右焦點為歹（2,0）,漸近線方程為>=±百%.

ab

（1）求。的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點，點P（石,乂）,。（9，%）在C上,

且項>%>0,%>0.過P且斜率為的直線與過。且斜率為6的直線交于點加，請

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①M在48上；@PQ//AB.③121Ml=|MB

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

2

【答案】（1）X2-^=1

3

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）利用焦點坐標(biāo)求得c的值，利用漸近線方程求得。力的關(guān)系，進(jìn)而利用見仇c

的平方關(guān)系求得a力的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M（x0,y0），由

③=等價分析得到％；由直線PM和的斜率得到直線方程,

k—3

1

結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率加=7,由②PQ//A3等價轉(zhuǎn)

%

化為機(jī)=3/，由①M在直線AB上等價于機(jī)=/（%—2），然后選擇兩個作為已知條

件一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

【小問1詳解】

右焦點為口（2,0）,；.。=2,.；漸近線方程為丫=±6》，；.2=石，；./,=6。，

a

c2=a2+b2=4a2=4，a=1,b=V3?

2

；.c的方程為：x2--=l；

3

【小問2詳解】

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線A8的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則M為線段A3的中點，假若直線A8的斜率不存在，則由雙曲線的對稱

性可知M在x軸上，即為焦點廠，此時由對稱性可知尸、Q關(guān)于X軸對稱，與從而西=々，

已知不符；

總之，直線A8的斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB的斜率為左，直線方程為y=左（％—2）,

2

則條