2019年天津高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分共40分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)最大值為A.2 B.3 C.5 D.63.設(shè)，則“”是“”A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.295.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.6.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若，則A.2 B. C. D.28.已知函數(shù)若關(guān)于方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D.絕密★啟用前第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.是虛數(shù)單位，則的值為__________.10.設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為__________.11.曲線在點處的切線方程為__________.12.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.13.設(shè)，，，則的最小值為__________.14.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.18.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.19.設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.20.設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求?！驹斀狻恳驗?，所以.故選D?！军c睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進行運算．2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.2 B.3 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】畫出可行域，用截距模型求最值?！驹斀狻恳阎坏仁浇M表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值。由，得，所以。故選C?！军c睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求．3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】等價于，故推不出；由能推出。故“”是“”的必要不充分條件。故選B?！军c睛】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷；(2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進行判斷；(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題．4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.29【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步寫出運算結(jié)果?！驹斀狻?，結(jié)束循環(huán)，故輸出故選B?！军c睛】解決此類型問題時要注意：①要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自的特點執(zhí)行循環(huán)體；②要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；③要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體．5.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小。【詳解】；；。故。故選A。【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待。6.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率?！驹斀狻康姆匠虨?，雙曲線的漸近線方程為，故得，所以，，，所以。故選D?！军c睛】雙曲線的離心率.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若，則A.2 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。【詳解】為奇函數(shù)，可知，由可得；把其圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，得，由的最小正周期為可得，由，可得，所以，。故選C。8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】畫出圖象及直線，借助圖象分析?！驹斀狻咳鐖D，當(dāng)直線位于點及其上方且位于點及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時符合要求。即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是。故選D?！军c睛】根據(jù)方程實根個數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)，特別是其中一條為直線時常用此法。絕密★啟用前第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.是虛數(shù)單位，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模?！驹斀狻拷夥ㄒ唬骸＝夥ǘ??！军c睛】所以解答與復(fù)數(shù)概念或運算有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解．10.設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】通過因式分解，解不等式?！驹斀狻浚?，即，故的取值范圍是?！军c睛】解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)解相應(yīng)的一元二次方程；(3)根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；(4)寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合．11.曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程。【詳解】，當(dāng)時其值為，故所求的切線方程為，即?！军c睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．12.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑。【詳解】四棱錐的高為，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故其體積為?！军c睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。13.設(shè)，，，則的最小值為__________.【答案】.【解析】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值?！驹斀狻浚忍柈?dāng)且僅當(dāng)，即時成立。故所求的最小值為?！军c睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立。14.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】【分析】可利用向量的線性運算，也可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算求解?！驹斀狻吭斀猓航夥ㄒ唬喝鐖D，過點作的平行線交于，因為，故四邊形為菱形。因為，，所以，即.因為，所以.解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，。因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，，所以。所以?！军c睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用坐標(biāo)方法更為方便。三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）見解析；（ii）.【解析】【分析】（I）根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果；（II）（I）根據(jù)6人中隨機抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出；（ii）根據(jù)題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率.【詳解】（I）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.（II）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為,,,,共15種；（ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種，所以，時間M發(fā)生的概率.【點睛】本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計算求解能力.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）.【解析】【分析】（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；（II）取棱的中點，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.【詳解】（I）證明：連接，易知，，又由，故，又因為平面，平面，所以平面.（II）證明：取棱的中點，連接，依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：連接，由（II）中平面，可知為直線與平面所成的角.因為為等邊三角形，且為的中點，所以，又，在中，，所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理能力.18.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【解析】【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結(jié)果.【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項公式為，的通項公式為；（II），記①則②②①得，，所以.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.19.設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（I）首先設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡得出，從而求得其離心率；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯(lián)立，求得交點的坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程.【解析】【分析】（I）；（II）.【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I