2019年天津高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2.本卷共8小題，每小題5分共40分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)最大值為A.2 B.3 C.5 D.63.設(shè)，則“”是“”A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.295.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若，則A.2 B. C. D.28.已知函數(shù)若關(guān)于方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D.絕密★啟用前第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)_________.10.設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為_(kāi)_________.11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.12.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________.13.設(shè)，，，則的最小值為_(kāi)_________.14.在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取25人中，享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.18.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.19.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.20.設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求。【詳解】因?yàn)?，所?故選D?！军c(diǎn)睛】集合的運(yùn)算問(wèn)題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡(jiǎn)的要先化簡(jiǎn)，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運(yùn)算．2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.2 B.3 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出可行域，用截距模型求最值?！驹斀狻恳阎坏仁浇M表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值。由，得，所以。故選C?！军c(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍．即：一畫(huà)，二移，三求．3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】等價(jià)于，故推不出；由能推出。故“”是“”的必要不充分條件。故選B?！军c(diǎn)睛】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題．4.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.29【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果?！驹斀狻?，結(jié)束循環(huán)，故輸出故選B?！军c(diǎn)睛】解決此類(lèi)型問(wèn)題時(shí)要注意：①要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體；②要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；③要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體．5.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小?！驹斀狻?；；。故。故選A。【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對(duì)待。6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來(lái)，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。【詳解】的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故得，所以，，，所以。故選D?！军c(diǎn)睛】雙曲線的離心率.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若，則A.2 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可?！驹斀狻繛槠婧瘮?shù)，可知，由可得；把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得，由的最小正周期為可得，由，可得，所以，。故選C。8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】畫(huà)出圖象及直線，借助圖象分析?！驹斀狻咳鐖D，當(dāng)直線位于點(diǎn)及其上方且位于點(diǎn)及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時(shí)符合要求。即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是。故選D?！军c(diǎn)睛】根據(jù)方程實(shí)根個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，特別是其中一條為直線時(shí)常用此法。絕密★啟用前第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模?！驹斀狻拷夥ㄒ唬?。解法二：?！军c(diǎn)睛】所以解答與復(fù)數(shù)概念或運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解．10.設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)因式分解，解不等式?！驹斀狻浚?，即，故的取值范圍是。【點(diǎn)睛】解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)解相應(yīng)的一元二次方程；(3)根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向畫(huà)圖；(4)寫(xiě)出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正，對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯(cuò)；③結(jié)果未按要求寫(xiě)成集合．11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程?！驹斀狻?，當(dāng)時(shí)其值為，故所求的切線方程為，即。【點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫(xiě)出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡(jiǎn)．(2)如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．12.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑。【詳解】四棱錐的高為，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故其體積為?！军c(diǎn)睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半、不是底邊棱長(zhǎng)的一半。13.設(shè)，，，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】.【解析】【分析】把分子展開(kāi)化為，再利用基本不等式求最值?！驹斀狻?，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立。故所求的最小值為?！军c(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立。14.在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________.【答案】.【解析】【分析】可利用向量的線性運(yùn)算，也可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解?！驹斀狻吭斀猓航夥ㄒ唬喝鐖D，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，因?yàn)?，故四邊形為菱形。因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所?解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，。因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，，所以。所以。【點(diǎn)睛】平面向量問(wèn)題有兩大類(lèi)解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問(wèn)題中使用坐標(biāo)方法更為方便。三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）見(jiàn)解析；（ii）.【解析】【分析】（I）根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果；（II）（I）根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出；（ii）根據(jù)題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率.【詳解】（I）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.（II）（i）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為,,,,共15種；（ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種，所以，時(shí)間M發(fā)生的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因?yàn)椋玫剑?由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）見(jiàn)解析；（III）.【解析】【分析】（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；（II）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.【詳解】（I）證明：連接，易知，，又由，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（II）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平?（III）解：連接，由（II）中平面，可知為直線與平面所成的角.因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，所以，又，在中，，所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力.18.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【解析】【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來(lái)，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果.【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（II），記①則②②①得，，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.19.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（I）首先設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡(jiǎn)得出，從而求得其離心率；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫(xiě)出直線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程.【解析】【分析】（I）；（II）.【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I