專題07等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和6種常見考法歸類（原卷版）

專題07等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和6種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算考點(diǎn)二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(一)等比中項(xiàng)的應(yīng)用(二)利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算(三)等比數(shù)列的單調(diào)性和最值考點(diǎn)三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用(一)等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用(二)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)(三)等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)考點(diǎn)四、等比數(shù)列的證明考點(diǎn)五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系考點(diǎn)六、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列有關(guān)概念1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定義的符號(hào)表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒有前一項(xiàng)；(3)比必須是同一個(gè)常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)，但不能為0.2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通項(xiàng)公式還可以寫成，它與指數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列．注：（1）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比是q，則由定義可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab．注：①只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).②在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等比中項(xiàng)；③與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，．④等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)．2．任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，公比為a.注意點(diǎn)：(1)a1>0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時(shí)，數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列的判定與證明證明等比數(shù)列的方法1．定義法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數(shù))；2．等比中項(xiàng)法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1.注：用定義法證明時(shí)，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范圍不同知識(shí)點(diǎn)4等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．（2）在等比數(shù)列中，對(duì)任意，，； （3）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項(xiàng).也就是：，如圖所示：.注：(1)性質(zhì)的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)該性質(zhì)要求下標(biāo)的和相等，且左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)相同；(3)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比數(shù)列下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同，下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同；（4）若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．（5）在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么是等比數(shù)列.（6）公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.（7）等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)5等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)6等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和？思路一：因?yàn)镾n＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一項(xiàng)都乘等比數(shù)列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，發(fā)現(xiàn)上面兩式中有很多相同的項(xiàng)，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.上述等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法，我們稱為“錯(cuò)位相減法”．思路二：當(dāng)q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的定義得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出了公式，通過上述兩種推導(dǎo)方法，我們獲得了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉(zhuǎn)化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，顯然方程的思想在本次推導(dǎo)過程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決．（2）在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).(和各已知三個(gè)可求第四個(gè)（3）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（4）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況.在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.（5）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設(shè)A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.）當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)7等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當(dāng)q＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．2．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：（1）在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項(xiàng)數(shù)上來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識(shí)點(diǎn)8等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．1、等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量，已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”)，通過列方程(組)便可迎刃而解；（2）運(yùn)用方程思想解答等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題是高考常見題型，要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．(3)對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個(gè)整體．(4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)，當(dāng)q>1時(shí)，用公式Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)代入計(jì)算，當(dāng)q<1時(shí)，用公式Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)代入計(jì)算，可避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤．（5）特殊設(shè)法:三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為.這對(duì)已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.2、等比中項(xiàng)要注意的問題兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)a，b才有等比中項(xiàng)，而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(±eq\r(ab))，而不是一個(gè)(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方.3、等比數(shù)列的證明方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列4、等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．5、判斷等比數(shù)列的單調(diào)性的方法(1)當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列．(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．(3)當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，{an}是擺動(dòng)數(shù)列．6、處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì)，能有效減少運(yùn)算．(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．7、處理等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點(diǎn)；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點(diǎn)．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算1.在等比數(shù)列中，若，，則___________.2.在等比數(shù)列中，，，則______.3.在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．4.已知為等比數(shù)列，公比，則（

）A．81 B．27 C．32 D．165.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A．1 B． C． D．6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．16 B．8 C．6 D．27.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是（

）A．2或 B．2或 C．或 D．或考點(diǎn)二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等比中項(xiàng)的應(yīng)用8.若，，均為實(shí)數(shù)，試從①；②；③中選出“，，成等比數(shù)列”的必要條件的序號(hào)______.9.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，則公比__________.10.已知是2和4的等差中項(xiàng)，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，則等于__________.11.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．4 D．12.已知等差數(shù)列前3項(xiàng)和，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差．利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算13.已知等比數(shù)列中，，，則的值是．14.已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則（

）A．5 B． C． D．無(wú)法確定15.已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.16.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則（

）A．8 B．9 C．16 D．1817.等比數(shù)列滿足：，則的最小值為．18.在9與1之間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的5個(gè)數(shù)的乘積為______________.等比數(shù)列的單調(diào)性和最值19.已知是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件20.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件21.在等比數(shù)列中，，，且，則.22.設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．32 B．16 C．128 D．6423.試寫出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，同時(shí)滿足①；②數(shù)列單調(diào)遞減；③數(shù)列不具有單調(diào)性，則當(dāng)時(shí)，__________.24.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，則的取值范圍為考點(diǎn)三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用25.已知等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，．求．26.已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則______.27.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則___________.28.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為______.29.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知,，則.30.設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則.31.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則．等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)32.已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.33.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A． B．C． D．34.已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比______.35.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為______．36.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)37.已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則38.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為39.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)40.若等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為考點(diǎn)四、等比數(shù)列的證明41.已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由;(2)求的通項(xiàng)公式.42.在數(shù)列和中，，且是和的等差中項(xiàng).(1)設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若的前n項(xiàng)和為，求證：.43.數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．44.已的數(shù)列的首項(xiàng)，，．(1)求證：數(shù)列等比數(shù)列；(2)記，若，求的最大值．45.已知數(shù)列滿足，(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求和：考點(diǎn)五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系46.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式__________.47.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則__________．48.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.49.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.考點(diǎn)六、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用50.《莊子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這其實(shí)是一個(gè)以為公比的等比數(shù)列問題．有一個(gè)類似的問題如下：有一根一米長(zhǎng)的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來(lái)的（

）A． B． C． D．51.朱載堉（1536~1611），是中國(guó)明代一位杰出的音樂家?數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)前三個(gè)音的頻率總和為，前六個(gè)音的頻率總和為，則（

）A． B． C． D．52.我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”描述的問題是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（

）天后兩鼠相遇.A．1 B．2 C．3 D．453.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3937萬(wàn)元 B．3837萬(wàn)元C．3737萬(wàn)元 D．3637萬(wàn)元54.2018年，某地區(qū)甲、乙兩個(gè)林場(chǎng)森林木材的存量分別為16a和25a，甲林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞增，而乙林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞減.(1)經(jīng)過幾年兩林場(chǎng)木材的總存量相等?(2)兩林場(chǎng)木材的總量到2022年能否翻一番？并說(shuō)明理由.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．3．（2023上·甘肅隴南·高二?？计谀﹥蓚€(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則“”是“存在滿足”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．7．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取得最大值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．98．（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┲袊?guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個(gè)問題“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，其大意為：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問此人前4天共走了（

）A．189里 B．288里 C．336里 D．360里9．（2023上·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┮阎?xiàng)等比數(shù)列滿足: