談?wù)劰た茖W(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

談?wù)劰た茖W(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

鄒謀炎

（中科院研究生院暑期講座材料）

不少工科學(xué)生特別是工科研究生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足感到壓力。確實(shí)，缺乏數(shù)學(xué)的幫助會(huì)使得學(xué)生們的研究缺乏思路和工具，缺乏捕捉問題的敏感性，缺乏抽取問題本質(zhì)的能力，缺乏處理問題的技巧和方法。我們許多碩士生、博士生的研究論文缺乏創(chuàng)新性，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差是一個(gè)重要原因。這個(gè)講座談?wù)劰た茖W(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問題，希望對(duì)有愿望提高數(shù)學(xué)能力的同學(xué)有所幫助。我本人是電子信息領(lǐng)域中的一個(gè)研究者，不是數(shù)學(xué)家，這里講的希望能貼近工科學(xué)生的需要。作數(shù)學(xué)工作的同仁可以從這里了解到工科研究者對(duì)數(shù)學(xué)的一部分理解以及對(duì)數(shù)學(xué)家們的期望。

（一）讓興趣引導(dǎo)我們接近數(shù)學(xué)

有愿望學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)內(nèi)容常常不那么有趣。確實(shí)沒有多少人能堅(jiān)持做那些令人發(fā)困的勞作。然而，有人談到過這樣的經(jīng)驗(yàn)：對(duì)數(shù)學(xué)的興趣需要發(fā)掘、引導(dǎo)和培養(yǎng)。我對(duì)此很為認(rèn)同。有多種方法可能增加你對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，當(dāng)然沒有一種辦法可以減輕你需要付出的努力。

多做數(shù)學(xué)題是提高數(shù)學(xué)能力和興趣的有效方法。不少成功的研究者都介紹過這個(gè)經(jīng)驗(yàn)。如果你正在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，如果你發(fā)現(xiàn)一道道看似困難的問題能逐漸被你解答，就表明你已經(jīng)進(jìn)入了良好狀態(tài)。這是一個(gè)好的開端，會(huì)有克服者的喜悅，會(huì)不斷發(fā)現(xiàn)你自己的數(shù)學(xué)才能，有繼續(xù)進(jìn)展的興趣和勁頭。如果你已經(jīng)進(jìn)入了研究工作，如果你不時(shí)抽出一點(diǎn)時(shí)間做一點(diǎn)數(shù)學(xué)趣題，對(duì)保持和提高你的數(shù)學(xué)思維活力一定有所幫助。

不少學(xué)生提出過這樣的問題：是不是必須先準(zhǔn)備了深入寬廣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才適合于進(jìn)入研究工作？確實(shí)，我不知道有哪個(gè)非數(shù)學(xué)專業(yè)的研究者是那樣做的。而且認(rèn)為那不是一個(gè)切合實(shí)際的方法。不過，準(zhǔn)備在工科專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)做深入研究的學(xué)生們應(yīng)當(dāng)花一點(diǎn)時(shí)間讀一點(diǎn)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)。除了工科大學(xué)已經(jīng)教過的高等數(shù)學(xué)等課程外，可以讀一點(diǎn)實(shí)分析和近世代數(shù)的入門知識(shí)。了解一點(diǎn)關(guān)于集合、測度、連續(xù)統(tǒng)、Lebesgue積分，以及初等數(shù)論、群這些基本概念。學(xué)習(xí)這些基本知識(shí)不需要太多的時(shí)間，而對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論很有必要。對(duì)于更深入廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)，不妨先采用“瀏覽學(xué)習(xí)法”：試著讀一讀，不太懂不要緊，但要求快一些，多一些?！盀g覽學(xué)習(xí)法”的目的是了解數(shù)學(xué)涉及的各個(gè)方面，為將來深入學(xué)習(xí)提供線索。不要小看那些似懂非懂的線索。如果你積累了較豐富的線索，它們會(huì)擴(kuò)展你的思路，在需要的時(shí)候引導(dǎo)你較快地了解必須深入準(zhǔn)備的基礎(chǔ)。缺乏線索，腦子里要么一片空白，要么產(chǎn)生一些不切實(shí)際的空想，自然難以作研究工作。

結(jié)合專業(yè)研究的需要來學(xué)習(xí)深入的數(shù)學(xué)理論是一個(gè)許多研究者都很認(rèn)可的方法。事實(shí)上，對(duì)專業(yè)研究題目深入思考可能激發(fā)起對(duì)數(shù)學(xué)的高度興趣甚至產(chǎn)生出創(chuàng)新性成果。愛因斯坦的研究經(jīng)歷是人們知道的。在愛因斯坦研究廣義相對(duì)論的早期，并非數(shù)學(xué)基礎(chǔ)十分豐厚。在他的同學(xué)格羅斯曼的幫助下，了解了黎曼幾何和張量分析。愛因斯坦在深入研究中感覺到，這種數(shù)學(xué)工具簡直是為他發(fā)展廣義相對(duì)論而準(zhǔn)備的。他的工作不僅使廣義相對(duì)論發(fā)展到成熟，而且推動(dòng)了黎曼幾何更加突飛猛進(jìn)地進(jìn)步。

絕非只是在物理等基礎(chǔ)研究領(lǐng)域能夠提出挑戰(zhàn)性問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。在應(yīng)用科學(xué)包括工程學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)，處處都有挑戰(zhàn)性問題。當(dāng)你試圖解決某個(gè)實(shí)際問題的時(shí)候，你總會(huì)感到手頭的數(shù)學(xué)不夠用。盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)取得了十分豐富的成果，而物理世界太復(fù)雜太豐富了，當(dāng)今數(shù)學(xué)能夠描述和處理的問題還僅僅是一個(gè)很小的集合，而工科研究者手頭的數(shù)學(xué)恐怕會(huì)更少。

從自己從事的工程學(xué)科研究中抽取數(shù)學(xué)問題是我對(duì)工科學(xué)生的一個(gè)建議。不必苦苦尋求那些被媒體追捧的“明珠”，除非你確實(shí)有準(zhǔn)備和興趣。你在工程學(xué)科中的已有基礎(chǔ)是值得珍視的。這些基礎(chǔ)有可能幫助你抽取出很有意義的理論和數(shù)學(xué)問題。而發(fā)現(xiàn)這些問題，除了靈感以外，最靠得住的恐怕是對(duì)專業(yè)工作的專注、勤奮而開放的思考和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

工科學(xué)生可以發(fā)揮自己在形象思維方面的長處去理解數(shù)學(xué)。如果這樣，你或許會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的若干知識(shí)不僅有趣，而且有用。這里說一說幾個(gè)常見的例子。

――正交性。這是布滿了數(shù)學(xué)和物理書籍的基本知識(shí)。為什么正交函數(shù)會(huì)如此廣泛地受到重視？從數(shù)學(xué)的角度看到的是基，用它來描述函數(shù)空間中任何一個(gè)元具有唯一性和可逆性；可以聯(lián)系映射的定義域和值域，從而研究解乃至求得解。從應(yīng)用的角度看到的是一種基本工具或方法，可以使得例如函數(shù)變換、函數(shù)逼近、數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)學(xué)物理問題的求解等問題變得容易處理和易于理解。與正交性相聯(lián)系的自然是非正交性。非正交性也很有用。例如用非正交基（標(biāo)架）表示信號(hào)可以靈活地具有某些特別的性質(zhì)。這種表示帶有一定冗余，但有一定抗損能力。

描述空間正交性最基本的數(shù)學(xué)原理是什么？合理的回答應(yīng)該是Cauchy－Riemann方程。由此才有保角變換、Laplace方程、調(diào)和函數(shù)、Poisson方程等等?？臻g正交性對(duì)數(shù)學(xué)物理問題的研究者太有用了。有了這個(gè)直觀概念，就容易理解和猜測例如流體力學(xué)、引力場、電磁場等等領(lǐng)域中邊值問題的解的形式。例如波導(dǎo)中特別是在不規(guī)則波導(dǎo)中電磁波存在的模式、模式變化這些問題可以根據(jù)正交性來猜測和解釋，因?yàn)殡妶龇至勘囟ù怪庇诓▽?dǎo)壁，而磁場分量必須平行于波導(dǎo)壁。

――無源性。討論無源性的數(shù)學(xué)家不多，但對(duì)于物理和工程，無源性非常重要。空間無源性隱含在解析函數(shù)的Cauchy積分定理中。事實(shí)上，例如用有限元方法處理大型力學(xué)計(jì)算問題時(shí)人們觀察到，求解方程的矩陣一般是主對(duì)角優(yōu)勢的，這和求解一個(gè)無源電阻網(wǎng)絡(luò)時(shí)觀察到的現(xiàn)象相一致。其內(nèi)因就是無源性，它保證了解的數(shù)值穩(wěn)定性和迭代求解方法的快速收斂。在電路理論中證實(shí)，一類特別的解析函數(shù)稱為正實(shí)函數(shù)作為驅(qū)動(dòng)阻抗，是無源網(wǎng)絡(luò)可綜合的充分必要條件。進(jìn)而，無源而且無損的網(wǎng)絡(luò)在電子工程設(shè)計(jì)上非常有用。因?yàn)槔鐭o源無損濾波器的特性隨元件參數(shù)變化的敏感度底，適合于工業(yè)生產(chǎn)?，F(xiàn)代數(shù)字濾波器包括通信濾波器組的理論和設(shè)計(jì)都要應(yīng)用和發(fā)展這些概念。

――最大熵和最小熵。熵是熱物理學(xué)中最先引入的概念，用它表示能量在系統(tǒng)中分布的均勻程度，同時(shí)也表示熱和溫度的關(guān)系。一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到了熱平衡，或達(dá)到了能量的均勻分布，則系統(tǒng)的熵達(dá)到最大。在通信領(lǐng)域中熵被用來作為信息的度量，表示平均信息量。如果熵最大，表明信源的不確定性最大，被傳送的信號(hào)寄載的信息自然就最多。在信息處理、信號(hào)估計(jì)，包括圖像處理應(yīng)用中，熵的概念被借用來表示對(duì)解的先驗(yàn)限制：最大熵限制表示解在數(shù)值分布上應(yīng)該有一定的均勻性或平滑性；而最小熵限制表示解應(yīng)該很不平滑，如同若干孤立點(diǎn)那樣。這兩種情況在應(yīng)用中都可能出現(xiàn)。例如在若干反演問題中（如信號(hào)重建、復(fù)原、去噪、估計(jì)等），為了抑制噪聲，可以將最大熵作為對(duì)解的附加限制。在另外的情況下，例如希望的解是點(diǎn)狀的星云，或者是如同若干孤立噪聲那樣的巖層反射序列，或者是只含一個(gè)非零元的理想信道，對(duì)這些情況就可以附加最小熵限制。注意我們這里使用的“概念被借用”說法。其實(shí)這是研究中的常用方法。如果你的視野廣些，積累多些，就有可借用的機(jī)會(huì)。

――距離和相似性。距離這個(gè)概念在數(shù)學(xué)中太重要了，它是定義度量空間的第一要素。有了距離，才好討論度量空間中元和元之間的相互關(guān)系，才好討論按距離的收斂性。有多種距離的具體形式適合于研究不同的數(shù)學(xué)問題。典型的例子有用函數(shù)差值上界定義的距離（一致收斂距離）和按函數(shù)差值平方積分定義的距離（均方收斂距離）。典型地，許多問題需要通過最優(yōu)化一個(gè)泛函指標(biāo)來表達(dá)，這個(gè)指標(biāo)就是距離。工科研究者十分關(guān)注距離的一個(gè)直觀含義：函數(shù)的相似性度量。自然地，用距離描述的相似性是很窄的一類相似性。即使是這樣，它的應(yīng)用已經(jīng)遍及物理和工程的許多領(lǐng)域。與電子信息領(lǐng)域相關(guān)的應(yīng)用例子有信號(hào)（圖像）既然拓?fù)涫侵讣显氐慕佑|或連接關(guān)系，它顯然是更一般的幾何性質(zhì)，而不限于常規(guī)的Euclid幾何性質(zhì)。例如，電路拓?fù)鋱D上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有支路相連，這可以與物理連接關(guān)系一致，但與物理元件的實(shí)際空間位置不必一致。

當(dāng)集合元素在某個(gè)連續(xù)域中取值時(shí)，就需要將問題放到“拓?fù)淇臻g”中去研究。在拓?fù)淇臻g中，常規(guī)的距離定義不一定有意義，而點(diǎn)列的收斂可以通過“充分小鄰域”和“覆蓋”這樣的概念來定義和論證。一般拓?fù)鋵W(xué)使用公理化方法研究連續(xù)性問題，概念變得更加抽象，并一直與微分幾何、抽象代數(shù)等學(xué)科并行發(fā)展。

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，是指網(wǎng)絡(luò)的基本元素“頂點(diǎn)”和“邊”的連接關(guān)系。例如用頂點(diǎn)來表示一個(gè)國家，兩個(gè)頂點(diǎn)之間有邊相連，表示兩個(gè)國家接壤。關(guān)于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膶W(xué)科分支通常稱為圖論。用圖論方法研究的典型數(shù)學(xué)問題有一大類組合優(yōu)化問題，最優(yōu)布線問題，流圖分析，邏輯分析，交通流和數(shù)據(jù)流分析等等。

雖然拓?fù)涫菐缀涡误w在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)，但在應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)限制形體（結(jié)構(gòu)）的拓?fù)洳蛔兛赡艿貌坏阶顑?yōu)解。于是希望，如果有必要，能夠通過連續(xù)演化實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變。這一般地還是一個(gè)未解決問題，但也有解決得好的例子。例如希望將二維平面上的單連通區(qū)域連續(xù)地演化出多連通區(qū)域或多個(gè)單連通區(qū)域，直接在二維平面上不大好辦。但如果擴(kuò)充到三維，構(gòu)造一個(gè)三維函數(shù)，并使用水平截集獲得二維區(qū)域，就能容易地解決。這個(gè)方法已經(jīng)成功地用于圖像的活動(dòng)圍道分割等處理算法。

――流形（Manifold），受一定約束的某個(gè)（一維或多維）變量所有可能狀態(tài)的集合。在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，流形有一個(gè)抽象的定義：流形是一類拓?fù)淇臻g，其中每個(gè)點(diǎn)都有鄰域，而這種鄰域與Rn中的單位開球在拓?fù)渖鲜峭叩摹?/p>

流形的含義十分廣泛，并且可以定義各種各樣的流形。空間是流形。然而流形可以是某種“可彎曲”的空間（通常將Euclid空間視為“平直”的空間）。3維空間中的球面是流形的一個(gè)例子，而球面上任何一條經(jīng)線或緯線是一個(gè)子流形。基于球面建立的幾何學(xué)與Euclid幾何學(xué)是不同的。

在物理上流形這個(gè)概念有一個(gè)重要應(yīng)用，用它來表現(xiàn)某個(gè)受約束的物理量的全局行為。例如，機(jī)器臂可達(dá)的所有極限位置。在模式識(shí)別問題中（如人臉識(shí)別），描述單個(gè)個(gè)體不同形態(tài)的一系列N維特征量樣本構(gòu)成N維空間中的一個(gè)流形上。不同個(gè)體有不同的流形。這些流形構(gòu)成了進(jìn)行模式識(shí)別的基礎(chǔ)。從這個(gè)例子可以看出，即使你關(guān)注的流形不一定能夠被解析地表達(dá)出來，它也為你提供了一個(gè)處理問題的明晰概念。

微分流形或平滑流形是指可在其上實(shí)施微分運(yùn)算的流形。

想象在曲面微分流形上有兩個(gè)十分靠近的點(diǎn)，它們之間的坐標(biāo)差為{dxi}，其Euclid距離就是dL=(∑dxi2)1/2。然而，從一點(diǎn)只能沿流形的測地線到另一點(diǎn)，沿測地線的距離ds會(huì)大于Euclid距離。于是將ds定義為ds=(∑gijdxidxj2)1/2。其中(gij)是一個(gè)沿流形表面逐點(diǎn)定義的對(duì)稱正定矩陣，稱為Riemann度量，用來描述對(duì)距離元的校正。定義了Riemann度量的微分流形稱為Riemann流形。

在信息處理技術(shù)中可以將概率分布模型p(y|x;θ)全體視為參數(shù)空間θ中的一個(gè)Riemann流形。當(dāng)參數(shù)θ變成θ+Δθ時(shí)，p(y|x;θ)和p(y|x;θ+Δθ)之間的Kullback-Leibler距離正好等于(ΔθTGΔθ)，這里G是Fisher信息矩陣。由此可見，G正好是這種Riemann流形的Riemann度量。發(fā)展這些概念可以建立起概率模型參數(shù)估計(jì)的新方法，用于例如盲源分離、盲辨識(shí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法等等。由于流形有直觀的幾何解釋，這種數(shù)學(xué)概念和方法又稱為信息幾何。

以上所解說的幾個(gè)數(shù)學(xué)概念僅僅希望起到拋磚引玉的作用。更多的入門知識(shí)顯然不是這樣的講座適合介紹的，應(yīng)該期望得到數(shù)學(xué)家門的幫助。我們希望工科學(xué)生消除數(shù)學(xué)的神秘感。柯爾莫哥羅夫說，應(yīng)該把泛函分析方法當(dāng)作日常工具來應(yīng)用。雖然我們一下子作不到，只要不忘記有機(jī)會(huì)就用它，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你論文的學(xué)術(shù)水準(zhǔn)會(huì)有所提高，得到的評(píng)價(jià)會(huì)有所不同。另一方面，數(shù)學(xué)研究者了解物理和工程需求是有益的。事實(shí)上，把數(shù)學(xué)概念講得淺顯易懂，這需要對(duì)物理和工程的了解，一定能夠擴(kuò)展數(shù)學(xué)研究者的思路。

（三）應(yīng)用需求是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的源泉和發(fā)展的源動(dòng)力

我們需要更多地幫助工科學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和進(jìn)行深入研究的信心。在我國的媒體上對(duì)“數(shù)學(xué)明珠”有過度的宣傳，對(duì)學(xué)生們的影響是復(fù)雜的，對(duì)工科學(xué)生造成的負(fù)面影響多于正面影響。許多工科學(xué)生和工科研究者覺得自己的工作和數(shù)學(xué)的距離愈來愈遠(yuǎn)，甚至認(rèn)為自己的工作只是一些工程性的工作，難于和理論研究結(jié)合起來。一些研究生痛苦于定不下一個(gè)適當(dāng)?shù)难芯款}目，這種情況在我國的科研單位和大學(xué)不算少見。出現(xiàn)這種情況的原因是多方面的。從文化方面來看，重理輕工的觀念和習(xí)俗，影響一部分工科學(xué)生，放松了對(duì)應(yīng)用科學(xué)前景的追求。這種情況在我國相當(dāng)嚴(yán)重，值得引起關(guān)注。

工程學(xué)科中是不是難于提出有創(chuàng)新性的研究題目呢？近代科技發(fā)展的歷史已經(jīng)明確回答了這個(gè)問題。雖然計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)有早先的理論鋪墊，被承認(rèn)和授予諾貝爾獎(jiǎng)的還是它的實(shí)現(xiàn)技術(shù)。晶體管的發(fā)明更是物理和工藝實(shí)現(xiàn)技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物。當(dāng)今的科技創(chuàng)新，其主要支撐點(diǎn)是技術(shù)創(chuàng)新――方法、工藝、條件和工具的創(chuàng)新。工科研究者不必自慚形穢。你所處的應(yīng)用需求環(huán)境和工作條件是值得珍視的。只要注意了積累功底（理論的和實(shí)踐的），你一定會(huì)不斷提高捕捉問題的敏感性，增強(qiáng)抽取問題本質(zhì)的能力，就很有可能發(fā)現(xiàn)值得探索的問題。

數(shù)學(xué)是從應(yīng)用需求產(chǎn)生的。這句話講的不只是歷史，還是現(xiàn)實(shí)。

一個(gè)例子是泛函分析，它的出現(xiàn)得益于運(yùn)動(dòng)變分問題（J.阿達(dá)馬）和力學(xué)積分方程（阿貝爾、Fredholm）的研究。推動(dòng)這門數(shù)學(xué)全面進(jìn)步的有J.vonNeumann的工作，是他首先將Hilbert譜理論和量子力學(xué)完美結(jié)合起來。Sobolev將泛函分析方法用于數(shù)學(xué)物理方程的研究和求解。在Sobolev空間中引入弱導(dǎo)數(shù)和廣義解這些概念，為大型求解計(jì)算問題的分段近似處理提供了理論基礎(chǔ)。與此密切關(guān)聯(lián)的有限元方法可以說是數(shù)學(xué)和工程結(jié)合的典范。其應(yīng)用領(lǐng)域包括結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、計(jì)算電磁學(xué)、氣象科學(xué)等各個(gè)學(xué)科。多領(lǐng)域的應(yīng)用需求又反過來推動(dòng)了計(jì)算數(shù)學(xué)理論和方法的完善和發(fā)展，這不僅僅限于有限元方法。

近20～30年間在信息技術(shù)領(lǐng)域中出現(xiàn)了幾次重要的研究熱潮。這些熱潮活躍于信息技術(shù)領(lǐng)域，但吸引了大量的數(shù)學(xué)研究者共同參與。典型的有：關(guān)于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究；關(guān)于小波理論的研究；關(guān)于高階統(tǒng)計(jì)的研究；關(guān)于Markov隨機(jī)場的研究；關(guān)于偏微分方程法用于圖像處理的研究等等。當(dāng)這些熱潮出現(xiàn)的時(shí)候，不僅僅是信息技術(shù)類刊物，還包括數(shù)學(xué)刊物都大量報(bào)道研究進(jìn)展。人們可以從美國應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，SIAM）出版的十幾種刊物了解到相關(guān)的動(dòng)態(tài)。數(shù)學(xué)家們需要應(yīng)用背景的支持，需要從應(yīng)用需求中尋找靈感。而大量研究結(jié)果表明，他們這樣作是成功的。從事應(yīng)用包括工程的研究者應(yīng)該意識(shí)到自己所處的有利環(huán)境，問題是你需要提高對(duì)科學(xué)問題的敏感度。

為了讓工科學(xué)生了解如何提出和處理問題，這里不妨介紹幾個(gè)例子。這雖然算不上重大成果，但或許有用，學(xué)生們或許可以從中找到某些可借鑒的思路。

例子1。兩個(gè)或多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因子（GCD）問題。

這是一個(gè)很經(jīng)典的問題，但一直解決得不好。數(shù)學(xué)家們建議了Euclid輾轉(zhuǎn)除法、結(jié)式法等多種方法，似都不好用。例如MATLAB中有計(jì)算GCD的程序（m－文件），但一般不可用。嚴(yán)重的問題是，數(shù)學(xué)家提供的方法中，多項(xiàng)式的系數(shù)不容許有一點(diǎn)點(diǎn)誤差。而在工程中我們需要這樣的方法：如果兩個(gè)多項(xiàng)式有數(shù)值上準(zhǔn)確的GCD，方法應(yīng)該給出準(zhǔn)確的GCD；如果兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)在數(shù)值上有誤差，方法應(yīng)該給出GCD的一個(gè)合理估計(jì)。由于一維信號(hào)反卷積問題的需要，迫使我們考慮這個(gè)經(jīng)典問題。

因?yàn)槎囗?xiàng)式乘積等價(jià)于系數(shù)數(shù)組的卷積，而離散卷積可以表達(dá)為矩陣向量積。利用這些工程上熟悉的工具，將多項(xiàng)式代數(shù)轉(zhuǎn)換為矩陣代數(shù)來處理，立即可以得到GCD階次和矩陣秩的關(guān)系，從而估計(jì)GCD的階。最后GCD的決定可以通過解一個(gè)確定性代數(shù)方程獲得，也可以用最小二乘方法獲得。這樣的方法可以處理的多項(xiàng)式階次相當(dāng)高（例如達(dá)到500階以上），并且結(jié)果不敏感于多項(xiàng)式系數(shù)的變化，因此新方法可以用于工程。

例子2。二變量多項(xiàng)式的可分解性。

這是代數(shù)幾何中關(guān)心的基本問題之一。德國數(shù)學(xué)家F.G.M.Eisenstein的一個(gè)重要成果是提出了關(guān)于多項(xiàng)式不可分解（或稱不可約）的判別方法。其實(shí)質(zhì)是指出了一種特別的二維支持域，稱為Eisenstein支持域，定義其上的二變量多項(xiàng)式，無論系數(shù)取何值，都是不可約的。這是一個(gè)十九世紀(jì)的工作。直到上世紀(jì)80年代，由于反卷積和相位恢復(fù)問題的研究和應(yīng)用需求，才重新喚起了人們的注意。我們注意到，Eisenstein支持域只是一種很特別的支持域，在實(shí)際物理問題中缺乏可用性。于是提出了判別一個(gè)任意的二維支持域是不是強(qiáng)制其上定義的二變量多項(xiàng)式不可約的問題。這個(gè)問題要求將Eisenstein的特例推廣到一般。

我們不是沿?cái)?shù)學(xué)家過去的思路。重新審視一下分配函數(shù)論中關(guān)于兩個(gè)（非負(fù)）分配函數(shù)卷積造成的支持域關(guān)系。這個(gè)關(guān)系表達(dá)為C＝A＋B，其中A和B是兩個(gè)卷積因子的支持域，C是結(jié)果的支持域，符號(hào)“＋”表示集合加。這個(gè)看似簡單的表達(dá)式解釋起來并不簡單，問題來源于關(guān)于卷積運(yùn)算需要“翻轉(zhuǎn)”一個(gè)因子的思維定式。我們拋棄了這個(gè)思維定式，按疊加原理解釋卷積，得出了支持域可嵌入性的認(rèn)識(shí)：A和B是C的兩個(gè)互補(bǔ)可嵌入因子。這樣，A和B外形的每個(gè)線元都完全并正好地保留在C的外形上。這樣，C如果可分解為C＝A+B，它的外形線元集合就必能夠劃分成兩個(gè)集合，每個(gè)分別能構(gòu)成一個(gè)封閉圖形。否則，C就是不可分解的。演繹這個(gè)結(jié)果可以進(jìn)一步得出若干判據(jù)，從幾何直觀上就能夠判斷一個(gè)支持域是不是強(qiáng)制不可約的，包括判斷Eisenstein支持域。這樣就大大擴(kuò)充了關(guān)于多項(xiàng)式不可約判別的理論和方法，并且能夠用于工程實(shí)踐。

例子3。多變量非線性函數(shù)全局最優(yōu)化。

這是一個(gè)多學(xué)科關(guān)注的問題。簡單表述如下：設(shè)f(x)是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，找一個(gè)最小化子x0，使得f(x)在x0處達(dá)到全局最小值。關(guān)于這類全局優(yōu)化問題典型地有以下幾種方法。（1）基于梯度下降的方法。該類方法容易找到局部極小值，缺乏有效的機(jī)制逃出局部極值區(qū)。（2）采用模擬退火、演化規(guī)劃一類隨機(jī)搜索的方法。該類方法缺乏收斂機(jī)制，即使搜索到全局最小值附近，新的搜索可以跳開很遠(yuǎn)。（3）區(qū)間代數(shù)搜索方法。在搜索策略上有規(guī)律性，但仍然缺乏收斂機(jī)制。如果搜索正確，結(jié)果誤差由最終的區(qū)間長度決定。

我們希望尋找一種方法，能將隨機(jī)或規(guī)則搜索與梯度下降結(jié)合起來，達(dá)到這樣的效果：從任何一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，只用很少的搜索步就能夠判斷，往下的搜索是否值得繼續(xù)，也就是判斷當(dāng)前的搜索是不是處在一個(gè)局部極小值的盆中。由此決定是不是要選擇新的起始點(diǎn)。如果能夠找到有效地提供這種判斷的機(jī)制，函數(shù)全局優(yōu)化的算法應(yīng)該非常有效。這可能嗎？

假定f(x)是優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)“輔助價(jià)格函數(shù)”g(x)=f(x)/(▽fT▽f+C)，其中C>0,是一個(gè)可調(diào)整的常數(shù),▽f是函數(shù)f(x)的梯度。能證明函數(shù)g(x)具有以下性質(zhì)：它與f(x)具有相同的全局極小值；對(duì)于給定的C，f(x)在C決定的一個(gè)電平以上的全部極小值點(diǎn)都變成g(x)的極大值點(diǎn)，而f(x)在該電平下的極小值處g(x)也是極小值。因此算法可以這樣來構(gòu)造：使用隨機(jī)搜索法，從任何一點(diǎn)出發(fā)用梯度法往下搜索f(x)的極小值。在搜索中同時(shí)觀察g(x)的變化。如果發(fā)現(xiàn)g(x)不減，立即改用新的搜索起始點(diǎn)。當(dāng)重新起始搜索的次數(shù)達(dá)到一個(gè)指定次數(shù)N以后，根據(jù)迄今已搜索到的f(x)最小的極小值fmini，對(duì)C進(jìn)行修正。當(dāng)上述過程重新進(jìn)行時(shí)，f(x)的電平高于fmini的全部極小值點(diǎn)都映射成g(x)的極大值點(diǎn)。在將來的聯(lián)合搜索中，就大大