課后培優(yōu)練：8.4 三元一次方程組的解法（解析版）

姓名：班級8.4三元一次方程組的解法全卷共24題，滿分：100分，時間：60分鐘一、單選題（每題3分，共30分）1．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）下列方程組中是三元一次方程組的是（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】三元一次方程組中共含有三個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，每個方程都是整式方程，由此進行判斷即可．【詳解】解：A、a的最高次數(shù)是2，選項錯誤；B、x、y、z的最高次數(shù)都是2，選項錯誤；C、每個方程都是分式方程，選項錯誤；D、符合題意，選項正確．故選：D【點睛】本題考查三元一次方程組的識別，牢記定義是解題的切入點．2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）解方程組時，為轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵?/p>

）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x【答案】B【分析】根據(jù)解三元一次方程組的步驟先消去一個未知數(shù)，得到一個二元一次方程組，從而得出答案．【詳解】解：由②3+③得：11x+10z=35，∴轉(zhuǎn)化為二元一次方程組為，故選：B．【點睛】本題考查了三元一次方程組的解法，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．3．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知方程組，則的值是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】三個方程相加即可得到的值．【詳解】解：方程組，三個方程相加得：，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查三元一次方程組的解，解得關(guān)鍵是明確解三元一次方程組的解答方法．4．（2021·福建泉州·七年級期中）三元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將①+②+③，得，再利用加減消元法求出方程組的解即可．【詳解】解：①+②+③，得：，即④，把①代入④，得：，把②代入④，得：，把③代入④，得：，所以原方程組的解為．故選：A．【點睛】本題考查了三元一次方程組，利用加減消元的思想是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（

）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【答案】B【分析】設(shè)一支鉛筆、一本練習(xí)本和一支圓珠筆的單價分別為x、y和z元，根據(jù)“購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元”建立三元一次方程組，然后將兩個方程聯(lián)立，即可求得的值．【詳解】設(shè)一支鉛筆、一本練習(xí)本和一支圓珠筆的單價分別為x、y和z元，根據(jù)題意得：，②–①可得：．故選：B．【點睛】本題考查三元一次方程組的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)兩個等量關(guān)系列出方程組，而利用整體思想，把所給兩個等式整理為只含的等式．6．（2021·全國·七年級課時練習(xí)）一個三位數(shù)各位數(shù)字的和是14，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和比百位數(shù)字大2，若把百位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，所得新數(shù)比原數(shù)小270，則這個三位數(shù)是（

）A．635 B．653 C．563 D．536【答案】A【分析】設(shè)個位、十位、百位上的數(shù)字分別為x、y、z，則原來的三位數(shù)為：100z+10y+x，新數(shù)表示為：100y+10z+x，根據(jù)題意列三元一次方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)個位、十位、百位上的數(shù)字分別為x、y、z，由題意得：，解得：，∴原三位數(shù)為：635．故選：A．【點睛】本題考查了數(shù)字問題在三元一次方程組中的應(yīng)用，正確理解題意、列出相應(yīng)的三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)八年級期末）已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足2x﹣y＝2k，則k的值為（

）A．k B．k C．k D．k【答案】A【分析】根據(jù)得出，，然后代入中即可求解．【詳解】解：，①+②得，∴③，①﹣③得：，②﹣③得：，∵，∴，解得：．故選：A．【點睛】本題考查了解三元一次方程組，根據(jù)題意得出的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知兩個天平都處于平衡狀態(tài)，那么四個小球的重量等同于小正方體的個數(shù)為（）A．15個 B．14個 C．13個 D．12個【答案】A【分析】設(shè)一個小球的重量為x，一個小正方體的重量為y，一個小圓柱的的重量為z，根據(jù)題意列出方程組即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)一個小球的重量為x，一個小正方體的重量為y，一個小圓柱的的重量為z，則根據(jù)題意得：，整理得：，∴，即4個小球的重量等于15個小正方體的重量，故選：A．【點睛】本題主要考查三元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程，找到等量關(guān)系代還是解題的關(guān)鍵．9．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）一對夫婦現(xiàn)在年齡的和是其子女年齡和的6倍，他們兩年前年齡和是子女兩年前年齡和的10倍，6年后，他們的年齡和是子女6年后年齡和的3倍，問這對夫婦共多少個子女？（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】設(shè)這對夫婦的年齡的和為x，子女現(xiàn)在的年齡和為y，這對夫婦共有z個子女；根據(jù)本題中的三個等量關(guān)系為：此夫婦現(xiàn)在的年齡和=6×其子女現(xiàn)在的年齡和；此夫婦兩年前的年齡和=10×其子女兩年前的年齡和；此夫婦6年后的年齡和=3×其子女6年后的年齡和．可列出方程組，解方程組即可．【詳解】設(shè)現(xiàn)在這對夫婦的年齡和為x歲，子女現(xiàn)在的年齡和為y歲，這對夫婦共有z個子女，則，解得這對夫婦共有3個子女．故選C．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組并解方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)生，學(xué)校計劃用200元錢購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，購買方案有（

）A．12種 B．14種 C．15種 D．16種【答案】B【分析】設(shè)A種買x個，B種買y個，C中買z個，據(jù)題意列三元一次方程，找出這三元一次方程的正整數(shù)解的個數(shù)就是購買方案的種類數(shù)．【詳解】解：設(shè)A種買x個，B種買y個，C中買z個，依題意得，得，由于x、y、z只取正整數(shù)，所以需使被2整除且為正數(shù)，且，當(dāng)，，，8種，當(dāng)，，，6種，∴的正整數(shù)解有14組．，所以購買方案共有14種．故選：B．【點睛】本題考查三元一次方程的應(yīng)用，會求解三元一次方程的正整數(shù)解是關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）11．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文，，，對應(yīng)密文，，，．例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，14，16．當(dāng)接收方收到密文9，9，24，28時，則解密得到的明文為__．【答案】5，2，5，7【分析】設(shè)解密得到的明文為，，，，加密規(guī)則得出方程組，求出，，，的值即可．【詳解】解：設(shè)明文為，，，，由題意得：，解得：，則得到的明文為5，2，5，7．故答案為：5，2，5，7．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）把三元一次方程組化為關(guān)于x、y的二元一次方程組_______．【答案】【分析】利用加減消元法消掉未知數(shù)化成關(guān)于x、y的二元一次方程組．【詳解】解：，①②得：，②③得：，方程組為：，故答案為：．【點睛】本題考查了三元一次方程組、二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法．13．（2021·山東煙臺·七年級期中）在代數(shù)式中，當(dāng)，1，2時，代數(shù)式的值依次是4，2，4，則當(dāng)時，代數(shù)式的值等于______．【答案】8【分析】根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可．【詳解】解：由題意得，②﹣①得2b＝﹣2，解得：b＝﹣1，③﹣①得3a+3b＝0，即：a+b＝0，把b＝﹣1代入a+b＝0，得：a＝1，把a＝1，b＝﹣1代入①得：c＝2，∴ax2+bx+c＝x2﹣x+2，當(dāng)x＝﹣2時，x2﹣x+2＝（﹣2）2﹣（﹣2）+2＝4+2+2＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握用加減法解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．14．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）方程組的解是______________．【答案】【分析】將三元降為二元，再將二元降為一元求解即可．【詳解】∵∴①＋②得x+z=3④，③-④得，4z=4，解得z=1，把z=1代入④，得x=2，把z=1代入③，得y=-1，∴原方程組的解為，故答案為：．【點睛】本題考查了三元一次方程組的解法，熟練運用消元法求解是解題的關(guān)鍵．15．（2021·廣東陽江·七年級期末）如圖，每條邊上的三個數(shù)之和都等于16，么a，b，c這三個數(shù)按順序分別為________．【答案】5，6，4【分析】根據(jù)題意可列方程組，應(yīng)用解三元一次方程組的解法進行求解即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，①﹣②得，a﹣c＝1④，④+③得，a＝5，解得，a，b，c這三個數(shù)按順序分別為5，6，4．故答案為：5，6，4．【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的解，根據(jù)題意列出方程組及熟練應(yīng)用三元一次方程組的解法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．16．（2021·福建南平·二模）《孫子算經(jīng)》上有一著名問題就是“物不知數(shù)問題”．原文是這么說的：“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二．問物幾何？”把這個問題翻譯為：一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，求這個數(shù)？請你寫出符合條件的一個數(shù)是_______________．【答案】23【分析】設(shè)x=3m+2=5n+3=7b+2，可得，可知5n+1是21的倍數(shù)，可求n=4時m=7，b=3即可【詳解】解:設(shè)x=3m+2=5n+3=7b+2∴∴5n+1是21的倍數(shù)∴n=4時m=7，b=3這個數(shù)是x=23．故答案為：23．【點睛】本題考查帶余除法，用字母表示數(shù)，三元一次方程組，掌握三元一次方程組，用含字母表示的代數(shù)式是解題關(guān)鍵．17．（2022·重慶黔江·九年級期末）在2022新春佳節(jié)即將來臨之際，某商家擬推出收費定制個性新春禮品，禮品主要包含三種：對聯(lián)、門神和紅包，如果定制對聯(lián)副、門神副、紅包個，需付人民幣元；如果定制對聯(lián)副、門神副、紅包個，需付人民幣元；某人想定制副對聯(lián)、副門神、個紅包共需付人民幣_______元．【答案】41【分析】設(shè)定制1副對聯(lián)需要元，1副門神需要元，1個紅包需要元，根據(jù)“如果定制對聯(lián)3副、門神2副、紅包5個，需付人民幣31.5元；如果定制對聯(lián)2副、門神1副、紅包1個，需付人民幣22元”，即可得出關(guān)于，，的三元一次方程組，利用①②，即可求出定制4副對聯(lián)、3副門神、9個紅包所需費用．【詳解】解：設(shè)定制1副對聯(lián)需要元，1副門神需要元，1個紅包需要元，依題意得：，①②得：．故答案為：41．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組．18．（2021·浙江臺州·七年級期末）一個水池有，兩個水口，其中為進水口，水口可進水也可出水（水口進出水速度相同）．已知單獨打開進水口，需要小時將水池由空池注滿．若將，兩個水口同時打開進水，小時將水池由空池注滿；若將水口打開進水，同時水口打開出水，小時將水池由空池注滿，則______．【答案】【分析】設(shè)進水口速度為，進水口、出水口速度為，水池容量為，由題意，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)進水口速度為，進水口、出水口速度為，水池容量為，由題意得：，由②③得：，解得：，將代入①得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了列方程組及求解，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題中等量關(guān)系列出方程組即可．三、解答題（19-20題每題7分，其他每題8分，共46分）19．（2021·上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)期末）解方程組：．【答案】【分析】根據(jù)解三元一次方程組的步驟即可求得．【詳解】解：，由②得，將代入①中得：，則，由①+③得：，則，解得，，，所以方程組的解為：．【點睛】本題考查了三元一次方程組的解法，靈活運用加減消元或代入消元法解方程組是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）某校初中三個年級共有651人，八年級的學(xué)生比九年級的學(xué)生人數(shù)多10%，七年級的學(xué)生比八年級的學(xué)生人數(shù)多5%．三個年級各有多少學(xué)生？【答案】七年級有231人，八年級有220人，九年級有200人．【分析】設(shè)七年級的學(xué)生有x人,八年級的學(xué)生有y人,九年級的學(xué)生有z人,根據(jù)等量關(guān)系三個年級共有651人，八年級的學(xué)生比九年級的學(xué)生人數(shù)多10%，七年級的學(xué)生比八年級的學(xué)生人數(shù)多5%．列方程組解方程組即可．【詳解】解：設(shè)七年級的學(xué)生有x人,八年級的學(xué)生有y人,九年級的學(xué)生有z人,根據(jù)題意得：，整理得：，把②③代入①得，解得，把代入②③得，答七年級的學(xué)生有231人,八年級的學(xué)生有220人,九年級的學(xué)生有200人．【點睛】本題考查列三元一次方程組解應(yīng)用題，掌握列三元一次方程組解應(yīng)用題的步驟與解法，抓住等量關(guān)系列方程組是解題關(guān)鍵．21．（2021·吉林·長春市第二實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．（1）解方程組解：（1）把②代入①得：把代入②得：所以方程組的解為（2）已知，求的值．解：（2）①+②得：③所以【類比遷移】（1）直接寫出方程組的解．（2）若，求的值．【實際應(yīng)用】打折前，買36件商品，12件商品用了960元．打折后，買45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少錢?【答案】（1）；（2）x＋y＋z＝1；實際應(yīng)用，比不打折少花了100元．【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；（2）用①?②即可得出答案；實際應(yīng)用，設(shè)打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由題意可得關(guān)于x，y的二元一次方程，變形可得45x＋15y＝1200，用原價減現(xiàn)價即可得少花錢數(shù)．【詳解】（1），把②代入①中，得：3×2＋4＝2a，解得：a＝5，把a＝5代入②中，得b＝3，∴方程組的解為．（2），①?②得：4x＋4y＋4z＝4，∴x＋y＋z＝1．實際應(yīng)用，設(shè)打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根據(jù)題意得：36x＋12y＝960，兩邊同時乘以，得：45x＋15y＝1200，1200?1100＝100（元），答：比不打折少花了100元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法、應(yīng)用，三元一次方程組，根據(jù)題意類比遷移，找準(zhǔn)等量關(guān)系是重點．22．（2022·廣東深圳·八年級期末）小明從家到學(xué)校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小時行3千米．平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米．那么小明從家到學(xué)校用一個小時，從學(xué)校到家要44分鐘，求小明家到學(xué)校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【分析】本題中需要注意的一點是：去時的上坡和下坡路與回來時的上坡和下坡路正好相反，平路路程不變．題中的等量關(guān)系是：從家到學(xué)校的路程為3.3千米；去時上坡時間+下坡時間+平路時間=1小時；回時上坡時間+下坡時間+平路時間=44分，據(jù)此可列方程組求解．【詳解】解：設(shè)去時上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依題意得：，解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，本題有三個未知量，還需注意去時是上坡路回時是下坡路，回來時恰好相反，平路不變．23．（2021·浙江省諸暨市牌頭中學(xué)九年級）某班參加一次智力競賽，共，，三道題，每題或者得滿分或者得0分．其中題滿分20分，、題滿分都為25分，競賽結(jié)果：每個學(xué)生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為29；答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為25；答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為20，問這個班的平均成績是多少．【答案】42分【分析】設(shè)、、分別表示答對題、題、題的人數(shù)，根據(jù)“答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29，答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25，答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20”，即可得出關(guān)于、、的三元一次方程組，解之即可得出、、的值，由、、的值結(jié)合a、b、c三題的分值可求出全班總得分，由、、的值結(jié)合答對兩題及答對三題的人數(shù)可求出全班總?cè)藬?shù)，再利用平均分＝總分÷人數(shù)，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)、、分別表示答對題、題、題的人數(shù)，由題意可得：①②③①+②+③得：④④-①得：，同理，，∴答對一題的人