多選題中的立體幾何綜合問題（原卷版）

多選題中的立體幾何綜合問題一、原題呈現(xiàn)【原題】正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】高考群：901591852-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷解法一：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，而，平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以，三棱錐的體積為定值，故B正確．當(dāng)時(shí)，，取中點(diǎn)M，中等N，則，即，所以點(diǎn)點(diǎn)是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，易得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)都有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為E，F(xiàn)．則，即，所以點(diǎn)是線段EF上的動(dòng)點(diǎn)．若平面，則，取中點(diǎn)D，可得，，所以平面，所以BD，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，D正確，故選BD。解法二：易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選BD．【就題論題】多選題中的立體幾何試題，常把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯考查，如把幾何體長(zhǎng)度、角度、面積、體積的計(jì)算與線面位置關(guān)系結(jié)合在一起考查，也可與函數(shù)、不等式及空間向量結(jié)合在一起考查，此類問題對(duì)空間想象能力要求較高，難度也比較大。二、考題揭秘【命題意圖】本題考查空間向量的應(yīng)用、幾何體中面積與體積的計(jì)算及線面位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用,考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏難【考情分析】立體幾何中對(duì)線面位置關(guān)系的綜合考查常作為較難試題出現(xiàn)，求角度問題、截面位置不固定幾何體的體積、最值問題，均是熱點(diǎn)問題.【得分秘籍】(1)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí),一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行,即將側(cè)面展開化為平面圖形,“化曲為直”來解決,因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法．求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí),常用分割法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．此外求三棱錐的體積或高時(shí)常利用等積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化.“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的重要方法,在解題時(shí),把幾何體通過“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中,巧妙地破解空間幾何體的體積等問題.高考群：901591852-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷(2)解決正方體與球的組合問題,常用工具是截面圖,即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面,通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系,確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系,進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上,故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線為.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí),截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓,和正方體的外接球的道理是一樣的,故球的半徑(3)球與一般的直棱柱的組合體,常以外接形態(tài)居多.以正三棱柱為例,介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱的高為底面邊長(zhǎng)為,和分別為上下底面的中心.根據(jù)幾何體的特點(diǎn),球心必落在高的中點(diǎn),借助直角三角形的勾股定理,可求.(4)正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體,它既存在外接球,也存在內(nèi)切球,并且兩心合一,利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,內(nèi)切球半徑為,外接球的半徑為,取的中點(diǎn)為,為在底面的射影,連接為正四面體的高.在截面三角形,作一個(gè)與邊和相切,圓心在高上的圓,即為內(nèi)切球的截面.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知,外接球和內(nèi)切球的球心同為.此時(shí),,則有解得：這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路,建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn),球心為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系,可為解題帶來極大的方便.(5)求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖,再證明,后計(jì)算.作圖,往往過其中一條直線上一點(diǎn)作另外一條直線的平行線,或過空間一特殊點(diǎn)分別作兩條直線的平行線,即平移線段法,此法是求異面直線所成角的常用方法,其實(shí)質(zhì)是把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題；證明,即證明作圖中所產(chǎn)生的某個(gè)角是異面直線所成的角；計(jì)算,一般在一個(gè)三角形中求解,注意異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(6)應(yīng)用平行中的判定定理時(shí),注意由“低維”到“高維”：“線線平行”?“線面平行”?“面面平行”；應(yīng)用平行中的性質(zhì)定理時(shí),注意由“高維”到“低維”：“面面平行”?“線面平行”?“線線平行”.要使用線面平行的性質(zhì)定理,就需要?jiǎng)?chuàng)造定理使用的條件,作輔助線和輔助平面往往是溝通已知和求證的橋梁,輔助平面有時(shí)需要根據(jù)確定平面的條件來確定,有時(shí)需要在確定的幾何體內(nèi)去找,當(dāng)條件比較寬松時(shí),可任意確定一個(gè)平面,但必須和已知平面相交且過已知直線.應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理時(shí),關(guān)鍵是找(或作)輔助線或平面,對(duì)此需要強(qiáng)調(diào)的是：輔助線、輔助平面要作得有理有據(jù),不能隨意添加；輔助面、輔助線具有的性質(zhì),一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù),不能主觀臆斷.(7)在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可．(8)與面面垂直有關(guān)的計(jì)算問題的類型：=1\*GB3①求角的大小(或角的某個(gè)三角函數(shù)值)：如兩異面直線所成的角、線面角、二面角等．=2\*GB3②求線段的長(zhǎng)度或點(diǎn)到直線、平面的距離等．=3\*GB3③求幾何體的體積或平面圖形的面積．補(bǔ)充知識(shí)：正方體中的截面問題用平面去截一個(gè)幾何體,所截出的面,就叫截面.可以想象,類似于用刀去切(截)幾何體,把幾何體分成兩部分,刀在幾何體上留下的痕跡就是截面的形狀,截面是一個(gè)平面圖形.在立體幾何中,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,歷來是立體幾何的一個(gè)基本問題.而已知不共線三點(diǎn),作幾何體的截面,既是轉(zhuǎn)化為平面問題的一個(gè)方法,也是深化理解空間點(diǎn)線面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑.下面給出作正方體截面的常見方法.一、平面作圖法：1．方法(交線法)．該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn),有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線,從而求得截面．2．作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件．(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線．(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面,經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行(線面平行的性質(zhì)定理,見第2.2節(jié))．(5)如果兩個(gè)平面平行,第三個(gè)平面和它們相交,那么兩條交線平行（面面平行性質(zhì)定理,見第2.2節(jié)）．3.作圖的的主要思想方法有：(1)若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi),只要連接這兩點(diǎn),就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線.(2)若面上只有一個(gè)已知點(diǎn),應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn).(3)若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上,應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn).(4)若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線,另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn),則按平行平面與第三平面相交,那么它們的交線互相平行的性質(zhì),可得截面與平面的交線.(5)若有一點(diǎn)在面上而不在棱上,則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題；若已知點(diǎn)在體內(nèi),則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題來解決.如已知：P、Q、R三點(diǎn)分別在正方體的棱,CC1和AB上,試畫出過P、Q、R三點(diǎn)的截面．方法一：(1)先過R、P兩點(diǎn)作輔助平面.過點(diǎn)R作R1R∥BB1交A1B1于R1,則面CRR1C1為所作的輔助平面.(2)在面CRR1C1內(nèi)延長(zhǎng)R1C1,交RP的延長(zhǎng)線于M.(3)在面A1B1C1D1內(nèi),連接MQ,交C1D1于點(diǎn)S,延長(zhǎng)MQ交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.(4)連接TR,交AA1于點(diǎn)N,延長(zhǎng)TR交B1B于點(diǎn)K,再連接KP交BC于點(diǎn)L.(5)連接RL、PS、QN.則多邊形QNRLPS為所求.方法二：先過Q作QE∥AA1,聯(lián)結(jié)RE、QR聯(lián)結(jié)AC交RE于O點(diǎn)過O作FO∥QE,交QR于F點(diǎn)聯(lián)結(jié)PF并延長(zhǎng),交AA1于G聯(lián)結(jié)GQ并延長(zhǎng),交DD1于J聯(lián)結(jié)JP,交C1D1于H,延長(zhǎng)線交DC延長(zhǎng)線于K聯(lián)結(jié)KR,交BC于I聯(lián)結(jié)RGQHPC,則多邊形RGQHPC為所求方法三：過Q作輔助平面QGHL平行于ADD1A1聯(lián)結(jié)RC1,交GH于K,聯(lián)結(jié)RP.過K作KI∥CC1交RP于I,這點(diǎn)便是RP與輔助平面的交點(diǎn).聯(lián)結(jié)QI并延長(zhǎng)交平面CDD1C1于M,過F、E分別作QI的平行線,交BC、AA1于E、F聯(lián)結(jié)PM交C1D1于J聯(lián)結(jié)JREQFP,則多邊形JREQFP為所求上面我們給出了作正方體截面的方法,那么,用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體那么會(huì)得到什么形狀的截面圖形呢？因?yàn)檎襟w有六個(gè)面,所以它與平面最多有六條交線,即所截到的截面圖形最多有六條邊.所以截圖可能是三角形,四邊形,五邊形,六邊形.【易錯(cuò)警示】與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的三棱錐的體積計(jì)算不會(huì)利用等積法求解作幾何體的截面注意要作出與各面的交線，再順次連接成一個(gè)封閉的平面圖形三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）多選題1．（2021福建省廈門高三模擬）如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)于任意的點(diǎn)，都有B．對(duì)于任意的點(diǎn)，四邊形不可能為平行四邊形C．存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形D．存在點(diǎn)，使得直線平面2．（2021福建省漳州市高三二模）已知正三棱柱中，，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線平面 B．A和P到平面的距離相等C．存在點(diǎn)P，使得平面 D．存在點(diǎn)P，使得3．（2021廣東省惠州市高三一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B．存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C．存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D．當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為4．（2021廣東省梅州市高三下學(xué)期二模）如圖，在正方體中，，點(diǎn)M，N分別在棱AB和上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，下列命題正確的是（）A． B．平面C．線段BN長(zhǎng)度的最大值為 D．三棱錐體積不變5．（2021河北省高三下學(xué)期仿真模擬）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿折起，使平面平面.在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足.設(shè)，則的取值可以是（）A． B． C． D．16．（2021河北省石家莊市高三二模）平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為2，設(shè)，則（）A．當(dāng)時(shí)，． B．的取值范圍為．C．變大時(shí)，平行六面體的體積也越來越大． D．變化時(shí)，和總垂直．7．（湖北省襄陽市高三下學(xué)期最后一模）1982年美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出了一道題：一個(gè)正四面體和一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，將正四面體的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個(gè)新幾何體.中學(xué)生丹尼爾做了一個(gè)如圖所示的模型寄給美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)根據(jù)丹尼爾的模型修改了有關(guān)結(jié)論.對(duì)于該新幾何體，則（）A．B．C．新幾何體有7個(gè)面D．新幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)不能在同一個(gè)球面上8．（2021湖南省婁底市高三下學(xué)期仿真模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅求幾何體的體積時(shí)，提出一個(gè)原理：冪勢(shì)即同，則積不容異.這個(gè)定理的推廣是夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的平面所截，若截得兩個(gè)截面面積比為，則兩個(gè)幾何體的體積比也為.如下圖所示，已知線段長(zhǎng)為4，直線過點(diǎn)且與垂直，以為圓心，以1為半徑的圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到環(huán)體；以，分別為上下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體；過且與垂直的平面為，平面，且距離為，若平面截圓柱體所得截面面積為，平面截環(huán)體所得截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（）高考群：901591852-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷A．圓柱體的體積為 B．C．環(huán)體的體積為 D．環(huán)體的體積為9．（2021湖南省益陽市2021屆高三下學(xué)期4月高考模擬）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為A1B1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．DE與CC1為異面直線B．DE與平面BCC1B1所成角的正切值為C．過D?C?E三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積相等D．線段DE在底面ABCD的射影長(zhǎng)為10．（2021湖南省高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，過作平面的垂線，且，，與都在平面的同側(cè)，則（）A．三棱錐的體積為B．C．D．球的表面積為11．（2021湖南省郴州市高三3月第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)不在平面內(nèi)，則在翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）A．異面直線與所成的角為定值B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C．三棱錐與體積之比值為定值D．四面體的外接球體積為12．（2021江蘇省泰州中學(xué)高三下學(xué)期四模）如圖，在正方體，中，是棱的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法中正確的有（）A．存在某一位置，使得直線和直線相交B．存在某一位置，使得平面C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等D．三棱錐的體積不變13．（2021江蘇省百校聯(lián)考高三下學(xué)期4月第三次考試）下列結(jié)論正確的是（）A．存在這樣的四面體，四個(gè)面都是直角三角形B．存在這樣的四面體，C．存在不共面的四點(diǎn)???，使D．存在不共面的四點(diǎn)???，使14．（2021山東省百所名校高三下學(xué)期4月聯(lián)考）如圖，已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為3，，，，分別在棱，，，上，且，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則（）A．平面B．若，分別是平面和內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為C．若，過，，三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的面積為D．過點(diǎn)且與直線和所成的角都為45°的直線有2條15．（2021山東省百師聯(lián)盟高三二輪聯(lián)考）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D為線段AC的中點(diǎn)，如圖，將△ABD沿BD翻折，得到三棱錐P﹣BCD（點(diǎn)P為點(diǎn)A翻折到的位置），在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．△PBD的外接圓半徑為2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC