福建省2021屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列八立體幾何典例題剖析與資源推送

I理12）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球O的體積為A． B． C． D．【解析】解法一：由PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，知三棱錐P?ABC為正三棱錐，所以，由，得，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)镻?ABC為正三棱錐，所以兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故選D． 解法二：設(shè)，則， 所以．因?yàn)椋?，所?即，解得，所以，又，兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故選D.【評(píng)析】由于，為正三棱錐，、分別分棱的中點(diǎn)，根據(jù)正三棱錐的對(duì)棱垂直，證明該正三棱錐的兩兩相互垂直，得出三棱錐的三個(gè)側(cè)面是直角三角形，接下就可以借助長方體的模型比較容易得出答案典型問題五：數(shù)學(xué)文化與空間幾何體【例題5】（2020山東省新高考全國Ⅰ卷4）同（2020海南省新高考全國Ⅱ卷4）日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得.由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選B．【評(píng)析】本小題主要以中國古代數(shù)學(xué)文化為載體，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵利用題目提供的信息作出圖形，能夠從立體轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，并且涉及的量很多，需要慢慢審題作出圖形，根據(jù)垂直、平行得出所求的角的度數(shù)．典型問題六：交線問題【例題6】（2020山東省新高考全國Ⅰ卷16）已知直四棱柱的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為________．【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以.因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖椋?，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)椋詡?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以根?jù)弧長公式可得.故答案為.【評(píng)析】本小題涉及球與平面的交線問題，難度比較大，解題的關(guān)鍵是找出面，從而得出與面內(nèi)的任意一直線垂直，然后再平面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓弧就是所求作的交線。從而求出交線長，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想方法．典型問題七：空間線、面的平行與垂直的證明【例題7】（2019屆江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研考試)如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求證：平面平面．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，由（1）知，，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【評(píng)析】本題易因漏寫條件導(dǎo)致失分：一是由線線平行證明線面平行時(shí)，易漏寫“線在面外與線在面內(nèi)”這兩個(gè)條件而失分；二是用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直時(shí)，易漏寫“兩面交線，垂直交線的直線在某一平面空”這兩個(gè)條件而失分；三是由線面垂直證明面面垂直，易漏寫“該線在另一個(gè)平面內(nèi)”這一個(gè)條件而失分．證明平行（或垂直）問題，常需利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行巧轉(zhuǎn)化，面面平行（或垂直）問題常轉(zhuǎn)化為線面平行（或垂直）問題，線面平行（或垂直）問題常轉(zhuǎn)化為線線平行（或垂直）問題．典型問題八：求空間角【例題8.1】（2018年11月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試）將正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與所成的角為（）A．B．C．D．【解析】設(shè)是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折起，可得當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離等于，當(dāng)與平面不垂直時(shí)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由此可得當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面.設(shè)是折疊前的位置，連接，因?yàn)椋跃褪侵本€與所成的角，設(shè)正方形的邊長為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，即是等邊三角形，所以，所以直線與所成的角為，故選C.【評(píng)析】本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：一是忽視異面直線所成角的取值范圍，導(dǎo)致確定直線與所成角的大小出錯(cuò)；二是不會(huì)把三棱錐的體積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離最大．避開易錯(cuò)點(diǎn)的關(guān)鍵是注意翻折前后的不變量及位置關(guān)系，對(duì)照翻折前后的圖形，弄清楚變與不變的量，再立足于不變的量的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探究變化后的量在空間圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．【例題8.2】（2020年全國卷I理18）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得令，得，所以，故，設(shè)二面角的大小為，則.【評(píng)析】（1）要證明平面，只需證明，即可（全等、勾股等方法多樣）；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.典型問題九：求點(diǎn)到面的距離【例題9】在直三棱柱中，為正三角形，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求點(diǎn)與平面的距離．【解析】（1）證法一：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，所以，因?yàn)闉檎切?，所以，故直三棱柱中，又，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．證法二：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且．設(shè)，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉檎切危鶕?jù)余弦定理，得，在中，，在中，，所以，所以．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面．?）因?yàn)?，所以四邊形是?為邊長的正方形，所以．由（1）知，平面，所以三棱錐的體積．在中，，設(shè)點(diǎn)與平面的距離為．因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)與平面的距離為．【評(píng)析】利用等體積法求點(diǎn)面距離是源于三棱錐的特殊性，任意一個(gè)面都可以作為底面，對(duì)不易直接求點(diǎn)面距離的問題，通過構(gòu)造三棱錐，把問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，再利用等體積法，轉(zhuǎn)化為易求的三棱錐的高的體積，通過方程思想，即可求出三棱錐的高，從而得到所求的點(diǎn)面距離．典型問題十：作圖【例題10】如圖，三棱柱中，底面?zhèn)让?，底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為菱形且，分別為和的中點(diǎn)．（1）求異面直線和所成角的余弦值；（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行，且與交于點(diǎn)，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．【解析】（1）取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，底面?zhèn)让媲医痪€為，所以側(cè)面．又側(cè)面為菱形且，所以為等邊三角形，所以．以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．方法一：，，則，即異面直線和所成角的余弦值為．方法二：可求得，，則，，則，即異面直線和所成角的余弦值為．（2）方法一：如下圖．方法二：如下圖．其中，分別為的中點(diǎn)．方法三：如下圖．其中，分別為的中點(diǎn)．【評(píng)析】（1）問中力求實(shí)現(xiàn)對(duì)考生“空間想象能力”和“邏輯推理能力”的考查，比如合理建系（全國卷對(duì)空間向量法的考查常立足先證明后建系，而且建系、點(diǎn)的坐標(biāo)求解有一定的難度）．（1）先證明后建系（利用面面垂直的性質(zhì)定理推出線面垂直，這是學(xué)生推理書寫的薄弱點(diǎn)）；（2）求異面直線所成角，特別是向量的坐標(biāo)．這里可采用兩種方法加以解決．方法一巧用向量相等求的坐標(biāo)：（這也是全國卷在空間立體幾何計(jì)算處理的一個(gè)重要解題策略，如2014年全國卷（1）理19）；方法二直接求出的坐標(biāo)（建議獨(dú)立畫出底面多邊形，借助幾何直觀、簡化點(diǎn)坐標(biāo)的求解，這是考生解決“不易求解的點(diǎn)坐標(biāo)”所必須掌握的解題策略）．同時(shí)本題力求在（2）問中力求實(shí)現(xiàn)對(duì)考生“作圖”能力的考查（本題著重于作“線面平行”）．如方法一凸顯對(duì)“公理3兩平面交線”的考查以及“線面平行性質(zhì)定理”的應(yīng)用；方法二則凸顯對(duì)“面面平行的性質(zhì)”的考查；方法三則凸顯對(duì)“線面平行判定定理”的考查．資源推送（一）選擇題1．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長與高，計(jì)算其體積的近似公式，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為4，那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A． B． C． D．44442．某興趣小組合作制作了一個(gè)手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側(cè)視圖中的圓4444A. B.C. D.BAC1A1B1C3．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2cm，高為5cmBAC1A1B1CA．12 B．13 C．14 D．154．已知平面，是兩個(gè)相交平面，其中，則（）A.平面內(nèi)一定能找到與平行的直線B.平面內(nèi)一定能找到與垂直的直線C.若平面內(nèi)有一條直線與平行，則該直線與平面平行D.若平面內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直，則平面與平面垂直5.已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.6．（2021·山東高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，且為的中點(diǎn)，于，當(dāng)變化時(shí)，則三棱錐體積的最大值是（）A． B． C． D．7．（多選題）已知是過正方體的頂點(diǎn)的平面與下底面所在平面的交線，下列結(jié)論正確的是A． B．平面 C．平面 D．8.（多選題）（2021全國高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是()A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為（二）填空題9．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長度為______．10．若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，,則該三棱錐的外接球的表面積為________.11．圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為，母線與底面的夾角是，軸截面的面積為，則圓臺(tái)的母線長_____________.12．在三棱錐ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，則三棱錐ABCD體積的最大值是_____．（三）解答題13．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．15．如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C作與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點(diǎn)D．（1）證明：CD⊥AB；（2）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．16.（2018全國Ⅲ卷理19）如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．附件一：資源推送解析（一）、選擇題1．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的底面周長，所以，所以，.令，得.故選D.2．【答案】D【解析】由三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長為5，所以幾何體的表面為.選D.3．【答案】B【解析】將正三棱柱沿側(cè)棱展開兩次，得到棱柱的側(cè)面展開圖，如圖所示，在展開圖中，最短距離是六個(gè)矩形對(duì)角線的連線的長度，即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值，由已知求得的長等于，寬等于，由勾股定理得，故選B．【答案】B【解析】由題意，平面，是兩個(gè)相交平面，其中，在A中，當(dāng)與，的交線相交時(shí)，內(nèi)不能找到與平行的直線，所以不正確；在B中，由直線與平面的位置關(guān)系，可知內(nèi)一定能找到與垂直的直線，所以是正確的；在C中，平面內(nèi)有一條直線與平行，該直線與平行或該直線在內(nèi)，所以不正確；在D中，平面內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直，則與不一定垂直，所以不正確，故選B.5.【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，由正弦定理可得，，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A6．【答案】C【解析】由題意知且，令，結(jié)合換元法、二次函數(shù)最值求體積的最大值即可.【詳解】在三棱錐中，平面，知：，而，而且，又∵為的中點(diǎn)，知：∴設(shè)，則，所以，令，有，令，，而由二次函數(shù)的性質(zhì)知：時(shí)有最大值為，∴最大值為，故選：C7.（多選題）【答案】ABC【解析】解：在正方體中，，平面，平面平面．又平面平面，．故正確；平面，平面，選項(xiàng)正確；，平面，平面，故正確．從而選．故選：8.（多選題）【答案】AD【解析】的最小值，即求底邊上的高即可；旋轉(zhuǎn)所在平面到平面，的最小值轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】求的最小值，即求底邊上的高，易知，所以邊上的高為，連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則即為所求的最小值，易知，所以.故選：AD.（三）、填空題9【答案】【解析】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個(gè)直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實(shí)際長度為.10．【答案】【解析】因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，且為斜邊，為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所以，點(diǎn)即為球心，則該三棱錐的外接圓半徑，故該三棱錐的外接球的表面積為.11．【答案】12【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，則其下底面半徑為可作圓臺(tái)的軸截面如圖所示：其中，，，，軸截面面積解得：母線長.12．【答案】3【解析】過作與垂直的平面，交于，過作的垂線，垂足為，如圖所示：，則三棱錐體積．故取最大值時(shí)，三棱錐的體積也取最大值．由,可得都在以為焦點(diǎn)的橢球面上，因?yàn)槠矫媾c垂直，所以三角形與三角形全等，三角形為等腰三角形，所以只需取最大值時(shí)，三棱錐的體積也取最大值．在中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和為7，故在以為焦點(diǎn)的橢圓上，此時(shí)，故的最大值為，此時(shí)．故三棱錐的體積的最大值是,故答案為3．xyxyz13．【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長為則，，，，，，，（1）設(shè)異面直線與所成角為，，即異面直線與所成角的余弦值為：（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，，使得平面則，，設(shè)平面的法向量，令，則，，解得：棱上存在點(diǎn)，滿足，使得平面14．【解析】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫妫唬?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，15．【解析】（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE．因?yàn)锽C1∥平面A1CD，BC1?平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD＝DE，所以BC1∥DE．又因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為平行四邊形，所以E為