專題七 空間向量與立體幾何-2024屆高考數(shù)學二輪復習模塊精練【新教材新高考】

專題七空間向量與立體幾何——2024屆高考數(shù)學二輪復習模塊精練【新教材新高考】

一、選擇題1．已知某圓臺的高為,上底面半徑為1,下底面半徑為2,則其側(cè)面展開圖的面積為()A.9π B. C. D.答案：A解析：圓臺的母線長為,其側(cè)面展開圖的面積.故選：A.2．已知向量，，若，，則的值為()A.-3或1 B.-2 C.1或-2 D.2答案：A解析：，.又，.當時，，此時；當時，，此時.故選A.3．在三棱錐中,是等腰直角三角形,,且平面ABC,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.答案：A解析：因為是等腰直角三角形,,所以,.因為平面ABC,平面ABC,所以,所以AP為球的直徑,且,所以三棱錐的外接球的半徑為2,所以三棱錐的外接球的表面積為.故選:A.4．如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，M為的中點，N是側(cè)面上一點，且平面，則線段MN的最大值為()A. B. C. D.3答案：A解析：如圖，取的中點D，取的中點E，連接MD，DE，ME，所以，又面，面，所以平面，又M為的中點，所以，又面，面，所以平面，又，面DEM，面DEM，所以平面平面，又因為N是側(cè)面上一點，且平面，所以N在線段DE上，又因為，，所以線段MN的最大值為.故選：A.5．如圖,在正三棱柱中,,,D為的中點,則與所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案：D解析：如圖,取中點為E,連接DE,.又因D為的中點,則,故與所成角就是DE與所成角.由題為正三角形,則.又因幾何體為正三棱柱,則,得,,.則在中,,,,得為直角三角形,則與所成角的余弦值為：.故選：D.6．如圖,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD,,,則三棱錐的體積為()A. B. C.2 D.答案：C解析：連接BD交AC于M,連接FM,,,,,易得,則有,由四邊形ABCD為正方形,則,又平面ABC,平面ABC,則有,,BD,平面BDEF,則有平面BDEF,平面BDEF,所以,,AC,平面AFC,故有平面AFC,,則有三棱錐的體積,故選：C.7．正四棱柱的底面邊長為2,點E,F分別為,的中點,且已知與BF所成角的大小為,則直線與平面BCF之間的距離為()A. B. C. D.答案：C解析:取H為中點,連接HB,HF,FC,不妨令HC,FB相交于O,由于點E為的中點,故,CE,即四邊形為平行四邊形,故,故與BF所成角的大小與HC與BF所成角的大小相等,即,不妨設,故,,,由平面,平面,故,點O為CH中點,故,又,故為等邊三角形,即解得,即,連接EF,EB,作于G,由于,平面BCF,平面BCF,故平面BCF,則直線與平面BCF之間的距離即為點E與平面BCF之間的距離,由平面,平面,故,又,FC,平面BCF,故平面BCF,即EG為點BCF與平面BCF之間的距離,,,,故,線與平面BCF之間的距離為.故選C.8．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G為上的一個動點，則下列選項中錯誤的是()A.三棱錐的體積為定值B.存在點G，使平面EFGC.存在點G，使平面平面D.設直線FG與平面所成角為，則的最大值為答案：C解析：對于A，平面平面，所以G到平面的距離為定值，又為定值，所以為定值，故A正確.對于B，以D為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設，則，所以，設平面EFG的一個法向量為，則取，得，若平面EFG，則，即，解得，所以當G為線段上靠近D的四等分點時，平面EFG，故B正確.對于C，，，則，，設平面的一個法向量為，則取，得，若平面平面，則，即，解得，又，不合題意，故C錯誤.對于D，，平面的一個法向量為，，則，所以的最大值為，故D正確.二、多項選擇題9．半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.傳統(tǒng)的足球,就是根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)而制成,最早用于1970年的世界杯比賽.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個正三角形和六個正方形構成(如圖所示),若這個二十四等邊體的棱長都為2,則下列結論正確的是()A.平面AEMHB.異面直線BC和EA所成角為C.該二十四等邊體的體積為D.該二十四等邊體外接球的表面積為答案：BCD解析:對于A中,若平面AEMH,因為平面,所以,又因為為等邊三角形,所以,所以A不正確;對于B中,因為,所以異面直線BC和EA所成角即為直線AD和EA所成角設角,在正六邊形ADGPNE中,可得,所以異面直線BC和EA所成角為,所以B正確;對于C中,補全八個角構成一個棱長為的一個正方體,則該正方體的體積為,其中每個小三棱錐的體積為,所以該二十四面體的體積為,所以C正確;對于D中,取正方形ACPM對角線的交點為O,即為該二十四面體的外接球的球心,其半徑為,所以該二十四面體的外接球的表面積為,所以D正確.故選:BCD.10．如圖，在正方體中，若棱長為1，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點，則()A.平面.B.平面平面C.點F到平面的距離為定值D.直線AE與平面所成角的正弦值為定值答案：ABC解析：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，.對于A，，，，，，，，又，平面，A正確；對于B，，，，，，，又，平面，又平面，平面平面，B正確；對于C，設，由，得，，點F到平面的距離，為定值，C正確；對于D，設，由，得，，易得是平面的一個法向量，設直線AE與平面所成的角為，則，不是定值，D錯誤.三、填空題11．在正方體中，下列結論中正確的是__________.(只填序號)①；②平面平面；③；④平面.答案：①②④解析：連接，，因為且，所以四邊形是平行四邊形，故，從而①正確.易證，，又，，所以平面平面，從而②正確.易知與異面，故③錯誤.因為，平面，平面，所以平面，故④正確.12．《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體(如圖)，其中四邊形ABCD為矩形，，若，和都是正三角形，且，則異面直線AE與CF所成角的大小為__________.答案：解析：方法一(建系法)如圖，以矩形ABCD的中心O為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.設，則，，，，，，所以，，所以，所以，所以異面直線AE與CF所成的角為.方法二：如圖，在平面ABFE中，過點F作交AB于點G，連接CG，則或其補角為異面直線AE與CF所成的角.設，則，.因為，，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以，，.又，所以，又，所以，所以，即異面直線AE與CF所成的角為.13．《九章算術》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺.該羨除是一個五面體ABCDFE，如圖四邊形ABCD，ABEF均為等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分別為3，7，且，，，則________.答案：14解析：如圖所示，過點A分別作CD，EF的垂線，垂足分別為N，M，平面平面，，平面平面，且，平面，平面，，又，，，兩兩垂直.以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.14．如圖，三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的表面積為_______________.答案：解析：如圖，取AB中點O，連接OC，OD，在中，由，，，得，則，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，則，在中，，，，則，，平面ACD，得，則O為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑，球O的表面積為.四、解答題15．如圖1，在平面圖形ABCDE中，，，，，沿BD將折起，使點C到F的位置，且，，如圖2.(1)求證：平面平面AEG.(2)線段FG上是否存在點M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為?若存在，求出GM的長；若不存在，請說明理由.答案：(1)證明見解析(2)線段FG上存在點M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為，且解析：(1)因為，所以，又，所以.因為，，所以四邊形ABDE為等腰梯形，又，所以，所以，所以，即，因為，，平面AEG，所以平面AEG，又平面GEBF，所以平面平面AEG.(2)由(1)知EA，EB，EG兩兩互相垂直.以E為