2018屆北京市東城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案(理科)

北京市東城區(qū)2017-2018學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué) （理科）本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若集合，或，則（A）或 （B）或（C） （D）（2）復(fù)數(shù)=（A）（B）（C）（D）（3）在展開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)等于（A）（B）（C）（D）（4）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線的傾斜角為60o，且與橢圓eq\f(x2,5)+y2＝1有相等的焦距，則C的方程為（A）eq\f(x2,3)－y2＝1（B）eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1（C）x2－eq\f(y2,3)＝1（D）eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1（5）設(shè)a，b是非零向量，則“|a＋b|＝|a|－|b|”是“a//b”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（6）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從甲、乙兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖.若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)分別為；平均數(shù)分別為，則下面正確的是（A）（B）（C）（D）（7）已知函數(shù)，若存在，使得，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（8）A，B，C，D四名工人一天中生產(chǎn)零件的情況如圖所示，每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別表示該工人一天中生產(chǎn)的I型、II型零件數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（A）四個(gè)工人中，D的日生產(chǎn)零件總數(shù)最大（B）A，B日生產(chǎn)零件總數(shù)之和小于C，D日生產(chǎn)零件總數(shù)之和（C）A，B日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和小于II型零件總數(shù)之和（D）A，B，C，D日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和小于II型零件總數(shù)之和第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（

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）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為_______．（10）設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為Sn，則=_______．（11）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)是極點(diǎn)，則的面積等于_______．（12）如圖，已知正方體的邊長為1，若過直線的平面與該正方體的面相交，交線圍城一個(gè)菱形，則該菱形的面積為___________.（13）直線被圓所截的弦長為，則圓的方程可以為．（寫出一個(gè)即可）（14）某種物質(zhì)在時(shí)刻t(min)的濃度M(mg/L)與t的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）.在t=0min和t=1min測得該物質(zhì)的濃度分別為124mg/L和64mg/L，那么在t=4min時(shí)，該物質(zhì)的濃度為______mg/L；若該物質(zhì)的濃度小于24.001mg/L，則最小的整數(shù)t的值為_________.（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在中，角所對(duì)的邊分別為,,．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若．求的值． （16）（本小題13分）某銀行的工作人員記錄了3月1號(hào)到3月15日上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù)，如圖所示：從這15天中，隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示當(dāng)天上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù).（Ⅰ）請(qǐng)把X的分布列補(bǔ)充完整；（Ⅱ）令為X的數(shù)學(xué)期望，若求正整數(shù)的最小值；（Ⅲ）由圖判斷，從哪天開始的連續(xù)五天上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù)的均值最大？（結(jié)論不要求證明）（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面,,，,.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，平面，求的值；（Ⅲ）求二面角的的大小;（18）（本小題13分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(2，2)，A，B是拋物線C上異于點(diǎn)O的不同的兩點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)．（I）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（II）若，求△AOB面積的最小值.（19）（本小題14分）已知函數(shù)，.（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（=2\*ROMANII）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（20）（本小題13分）設(shè)均是正整數(shù)，數(shù)列滿足：，（I）若，，寫出的值；（II）若，為給定的正奇數(shù)，求證：若為奇數(shù)，則；若為偶數(shù)，則；（III）在（II）的條件下，求證：存在正整數(shù)，使得.北京市東城區(qū)2017-2018學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）C（5）A（6）D（7）A（8）D二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（答案不唯一）（14）26.56；13三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理，得，即.因?yàn)?，，所?所以．所以．因?yàn)?，所以．…………?分（Ⅱ）由，，得.又因?yàn)?，所?所以.………………13分（共13分）解：（=1\*ROMANI）X的分布列分別為………4分（Ⅱ）由（=1\*ROMANI）可得X的數(shù)學(xué)期望.所以.因?yàn)?所以.………10分（Ⅲ）第10日或第11日.………13分（17）（共14分）（Ⅰ）證明：如圖1，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?………………4分（Ⅱ）如圖2，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?所以.因?yàn)?，，所?所以.所以.所以=.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.……………9分（Ⅲ）連接，由（Ⅰ）知平面，平面，平面所以，因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.作，所以.如圖3建立空間坐標(biāo)坐標(biāo)系.因?yàn)樗?，因?yàn)椋?，，所以平?平面的法向量.設(shè)平面的法向量，則有即令，則，，即..由題知二面角為銳角，所以二面角的大小為.……………14分（18）（共13分）解：（I）由拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(2，2)知，解得.則拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.………………4分（=2\*ROMANII）由題知，直線不與軸垂直，設(shè)直線：，由消去，得.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，即，解得（舍）?所以.解得.所以直線：.所以直線過定點(diǎn)..當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立.所以面積的最小值為4.……13分（19）（共14分）解：（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，，..當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，，的變化如下表極大值極小值極大值所以的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)減區(qū)間為，.……………5分（=2\*ROMANII）任取.，所以是偶函數(shù)..當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有0個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，得.由可知存在唯一使得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因?yàn)椋?=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，在上有0個(gè)零點(diǎn).由是偶函數(shù)知在上有0個(gè)零點(diǎn).=2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn).由是偶函數(shù)知在上有2個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).………………………14分（20）（共13分）解：（I）1或12.……………4分（II）=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，成立，為偶數(shù)，.=2\*GB3②假設(shè)當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則.那么當(dāng)時(shí)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，；若是偶數(shù)，.此時(shí)若是奇數(shù)，則滿足