平面向量的定義與運(yùn)算

平面向量的定義與運(yùn)算目錄平面向量基本概念平面向量基本運(yùn)算平面向量數(shù)量積平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算平面向量位置關(guān)系判斷線性組合與線性相關(guān)性討論01平面向量基本概念Chapter向量是有大小和方向的量，用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量可以用有向線段表示，也可以用字母表示，如$vec{a}$、$vec$等，表示向量時，通常要注明向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。定義表示方法向量定義及表示方法向量的模長是一個非負(fù)數(shù)，表示向量的大小，用有向線段的長度或有向線段的兩個端點(diǎn)間的距離表示。模長向量的方向角是指有向線段與坐標(biāo)軸正方向之間的夾角，通常用$theta$表示，$thetain[0,2pi)$。方向角向量模長與方向角模長為0的向量稱為零向量，記作$vec{0}$，方向任意。零向量單位向量相反向量模長為1的向量稱為單位向量，其方向與原向量的方向相同或相反。與給定向量模長相等、方向相反的向量稱為該向量的相反向量。030201零向量、單位向量、相反向量方向相同或相反的向量稱為共線向量，也稱為平行向量。共線向量方向相同或相反，但模長不一定相等的向量稱為平行向量，平行向量不一定是共線向量。平行向量零向量與任意向量都共線，但零向量與任意向量都不平行（因?yàn)槠叫幸蠓较蛳嗤蛳喾矗?。注意共線向量與平行向量02平面向量基本運(yùn)算Chapter將兩個向量平移至同一起點(diǎn)，以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形，從該起點(diǎn)出發(fā)的對角線向量即為這兩個向量的和。平行四邊形法則將兩個向量平移至同一起點(diǎn)，首尾相接，從第一個向量起點(diǎn)指向第二個向量終點(diǎn)的向量即為這兩個向量的和。三角形法則對于兩個向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其和向量c=a+b的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2)。坐標(biāo)運(yùn)算向量加法運(yùn)算規(guī)則將兩個向量的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn)，從被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)的向量即為這兩個向量的差。對于兩個向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其差向量c=a-b的坐標(biāo)為(x1-x2,y1-y2)。向量減法運(yùn)算規(guī)則坐標(biāo)運(yùn)算三角形法則

數(shù)乘向量運(yùn)算規(guī)則定義數(shù)乘向量是指將一個實(shí)數(shù)與一個向量相乘，得到一個與原向量共線的新向量。運(yùn)算規(guī)則對于實(shí)數(shù)λ和向量a，數(shù)乘向量λa的模為|λa|=|λ||a|，方向與a相同（λ>0）或相反（λ<0）。坐標(biāo)運(yùn)算對于實(shí)數(shù)λ和向量a=(x,y)，數(shù)乘向量λa的坐標(biāo)為(λx,λy)。123對于一組向量a1,a2,...,an和一組實(shí)數(shù)k1,k2,...,kn，稱向量k1a1+k2a2+...+knan為這組向量的線性組合。線性組合如果一個向量可以由其他向量的線性組合表示，則稱這個向量可以由其他向量線性表示。線性表示如果一組向量中至少有一個向量可以由其他向量的線性組合表示，則稱這組向量線性相關(guān)；否則稱這組向量線性無關(guān)。線性相關(guān)與線性無關(guān)向量線性組合與線性表示03平面向量數(shù)量積Chapter定義兩向量的數(shù)量積是一個標(biāo)量，等于兩向量的模長與它們夾角余弦的乘積。性質(zhì)2分配律，數(shù)量積滿足分配律，即對于任意向量和實(shí)數(shù)，有$mathbf{a}cdot(bmathbf{c}+dmathbf{e})=b(mathbf{a}cdotmathbf{c})+d(mathbf{a}cdotmathbf{e})$。性質(zhì)3與模長關(guān)系，向量的模長可以通過其與自身的數(shù)量積開方得到，即$|mathbf{a}|=sqrt{mathbf{a}cdotmathbf{a}}$。性質(zhì)1非負(fù)性，當(dāng)兩向量同向時，數(shù)量積取得最大值；反向時，取得最小值。數(shù)量積定義及性質(zhì)公式101兩向量的數(shù)量積公式為$mathbf{a}cdotmathbf=|mathbf{a}|cdot|mathbf|cdotcostheta$，其中$theta$為兩向量的夾角。公式202向量的投影公式，一個向量在另一個向量上的投影長度為$|mathbf{a}|costheta$，可以通過數(shù)量積表示為$frac{mathbf{a}cdotmathbf}{|mathbf|}$。公式303向量的內(nèi)積空間表示，對于n維向量空間中的向量，它們的數(shù)量積可以表示為各對應(yīng)分量乘積的和，即$mathbf{a}cdotmathbf=a_1b_1+a_2b_2+ldots+a_nb_n$。數(shù)量積運(yùn)算公式解決幾何問題，數(shù)量積在平面幾何和空間幾何中有廣泛的應(yīng)用，如計算點(diǎn)到直線的距離、判斷點(diǎn)是否在直線上等。計算向量的模長和夾角，通過數(shù)量積公式可以推導(dǎo)出向量的模長和夾角余弦值。判斷兩向量的垂直關(guān)系，若兩向量的數(shù)量積為0，則它們垂直。向量的投影和分解，利用數(shù)量積可以計算一個向量在另一個向量上的投影長度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)向量的分解。應(yīng)用2應(yīng)用1應(yīng)用3應(yīng)用4數(shù)量積在幾何中應(yīng)用夾角余弦值與相似度關(guān)系兩向量的夾角余弦值越大，說明它們越相似；反之，夾角余弦值越小，說明它們越不相似。因此，夾角余弦值可以作為向量相似度的一種度量方式。相似度度量應(yīng)用在推薦系統(tǒng)、文本挖掘等領(lǐng)域中，可以利用向量的夾角余弦值來度量物品或文本之間的相似度，從而實(shí)現(xiàn)個性化推薦和文本聚類等功能。夾角余弦值與相似度度量04平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算Chapter向量分量向量在直角坐標(biāo)系中可以分解為x軸和y軸上的分量，即水平分量和垂直分量。起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，向量可以用起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，如向量AB可以表示為B點(diǎn)坐標(biāo)減去A點(diǎn)坐標(biāo)。模長與方向向量的模長表示向量的大小，方向則由與x軸的夾角來確定。直角坐標(biāo)系中向量表示方法向量加法兩個向量相加時，將它們的對應(yīng)分量相加得到新的向量。向量減法向量減法可以轉(zhuǎn)化為向量加法的逆運(yùn)算，即加上相反向量。數(shù)乘運(yùn)算向量與標(biāo)量相乘時，將向量的每個分量都與該標(biāo)量相乘得到新的向量。坐標(biāo)形式下向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則數(shù)量積定義對于向量a和向量b，它們的數(shù)量積可以表示為a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ為兩向量的夾角。在直角坐標(biāo)系中，可以直接使用分量形式進(jìn)行計算。計算公式幾何意義數(shù)量積可以反映兩個向量的夾角大小以及投影長度等信息。兩個向量的數(shù)量積是一個標(biāo)量，等于它們對應(yīng)分量的乘積之和。坐標(biāo)形式下數(shù)量積計算公式01020304點(diǎn)到直線距離通過向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積運(yùn)算，可以求解點(diǎn)到直線的距離問題。三角形面積計算通過向量的坐標(biāo)表示和向量外積運(yùn)算，可以計算三角形的面積。直線交點(diǎn)坐標(biāo)利用向量加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則，可以求解兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題。其他幾何問題向量坐標(biāo)表示和運(yùn)算還可以應(yīng)用于其他幾何問題的求解，如平行四邊形的對角線長度、多邊形的面積等。利用坐標(biāo)求解幾何問題05平面向量位置關(guān)系判斷Chapter若兩向量坐標(biāo)成比例，則它們共線或平行。坐標(biāo)法對于以向量為方向的直線，若兩直線斜率相等，則它們共線或平行。斜率法若存在實(shí)數(shù)k，使得向量a=k倍的向量b，則它們共線或平行。向量運(yùn)算法判斷兩向量是否共線或平行利用三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是否為0來判斷，若面積為0，則三點(diǎn)共線。面積法若兩向量線性相關(guān)，即存在實(shí)數(shù)k，使得向量AB=k倍的向量BC，且A、B、C不重合，則三點(diǎn)共線。向量運(yùn)算法判斷三點(diǎn)是否共線坐標(biāo)法通過比較四邊形對邊向量的坐標(biāo)是否相等來判斷是否為平行四邊形。向量運(yùn)算法若四邊形兩組對邊向量分別相等，則該四邊形為平行四邊形。判斷四邊形是否為平行四邊形03實(shí)際問題將實(shí)際問題抽象為向量模型，利用向量的位置關(guān)系解決實(shí)際問題，如路徑規(guī)劃、速度合成等。01力學(xué)問題利用向量的共線、平行等關(guān)系分析力的合成與分解。02幾何問題利用向量的位置關(guān)系解決幾何中的共線、平行、垂直等問題。利用位置關(guān)系解決實(shí)際問題06線性組合與線性相關(guān)性討論Chapter線性組合概念及性質(zhì)線性組合定義給定向量組A，對于任何一組實(shí)數(shù)k1,k2,...,kn，稱向量k1α1+k2α2+...+knαn為向量組A的一個線性組合。線性組合性質(zhì)線性組合具有封閉性，即向量組的線性組合仍然在該向量組所生成的子空間中。線性相關(guān)定義如果存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,...,kn，使得k1α1+k2α2+...+knαn=0，則稱向量組A線性相關(guān)。線性相關(guān)判斷方法通過求解向量組的秩或者構(gòu)造齊次線性方程組來判斷向量組是否線性相關(guān)。線性相關(guān)性判斷方法設(shè)向量組A中有r個向量線性無關(guān)，且任意r+1個向量都線性相關(guān)，則稱這r個向量是向量組A的一個極大無關(guān)組。極大無關(guān)組定義通過初等行