2024屆新高考數(shù)學小題微點特訓35 圓錐曲線的綜合問題含答案

微點特訓?數(shù)學（新）

微點鎖定目標，勢必達成。

35.圓錐曲線的綜合問題

特訓完成日期：月日

［考點對點練］一保分必拿的中點到拋物線的準線的距離的最小值為2.其中正

確的是（）

［考點一］直線與圓錐曲線的位置關系

A.①B.②C.③D.④

1.已知直線，：y=2z+3被橢圓C：q+y=l（a>〃>0）

22

6.在平面直角坐標系jcOy中，雙曲線「一為■=1（a>0,

a-fr

截得的弦長為7,則下列直線：①y=2w—3;②y=2彳

心>0）的上支與焦點為F的拋物線）2=2/〃（戶>0）交

+1;③y=—2/一3；④3，=—2才+3.其中被橢圓C截

得的弦長一定為7的有（）于A.3兩點.若IAPI+I8FI=4|OFI,則該雙曲線

A.1條B.2條C.3條D.4條的漸近線方程為.

2.（多選）過拋物線V=41的焦點F作直線交拋物線于［考點二］綜合問題

A,B兩點,M為線段AB的中點，則（）7.已知圓=/（=>0）與拋物線=2方交于A,B

A.以線段AB為直徑的圓與直線工=一告相離兩點，與拋物線的準線交于C,D兩點，若四邊形AB-

C。是矩形，則r等于（）

B.以線段BM為直徑的圓與》軸相切

A.yB.V2C.yD.V5

C.當春=2同時.|AB|=?

8.已知點A是拋物線C：/=2py（/>>0）上任意一點.點

D.1ABI的最小值為4

。為坐標原點，若點夙0,一1）滿足NABO445°,則/）

3.已知橢圓C：q+《=l（a>〃>0）的左、右焦點分別

的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

為F|,F?,且F?也是拋物線E：y2=2AHp>0）的焦

22

點，點A為C與E的一個交點，且直線AF|的傾斜角9.拋物線，2=8#的焦點F是雙曲線'彳一5=

ab

為45°,則C的離心率為（）

>0）的一個焦點.AS,."）（”>0）為拋物線上一點，直

B.V2-1線AF與雙曲線有且只有一個交點，若|AF|=8.則該

雙曲線的離心率為（）

C.3-75D.V2+1

4.已知過雙曲線￡:：（一手=1的左焦點F的直線/與A.V2B.V3C.2D.V5

10.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努

雙曲線左支交于點A.6.過原點與弦AB中點D的直

利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系

線交直線上=一竽于點E,若4AEF為等腰直角三M為中，把到定點F|（一。，0）,尸2（。,0）距離之積等

于a2（a>0）的點的軌跡稱為雙紐線C.已知點Pl。，

角形，則直線/的方程可以為（）

的）是雙紐線C上一點，下列說法中正確的有（）

A.上+（3—2企％+273=0

①雙紐線經(jīng)過原點O;②雙紐線C關于原點O中

B..r-（3+2j2'）y-\-27T=0

心對稱；③—④雙紐線C上滿足

C.J-+（3-272）3，-273=0

D.了+（3+2"號+2石=0|PF/=|PF2l的點尸有兩個.

5.（多選）已知拋物線/=4y焦點為F,經(jīng)過F的直線A.①②B.①②③C.②③D.②③④

交拋物線于A（_ri，?i）UzO2）?點A.B在拋物線H.（多選）.函數(shù)/（工）圖象上不同兩點A（xi，yi）,B

準線上的射影分別為A「B|.以下四個結論：①皿才2（工2，了2）處的切斜的斜率分別是電”即一144為人,8

兩點間距離，定義卬（人，3）=牛忌」為曲線/（才）

=一4,②|AB|=，|+y2+l，③NA|FB|=￡,④AB

?83

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…云寂又寫百芝而商:扁?。桓叨允净a窗;…

①存在這樣的函數(shù)，該函數(shù)圖象上任意兩點之間的

,?曲率”為常數(shù)；

②函數(shù)/（工）=Z3—工2+]圖象上兩點A與B的橫

坐標分別為1,2.則“曲率"95,8）>伍；

③函數(shù)/（H）=a_r2+〃（a>0*eR）圖象上任意兩點

A.IABI?|CD|=1

A、B之間的“曲率A.B）42a；

B.\AB\?ICDl=4

④設A（jfi）,8（工2，y2）是曲線f（H）=e”上不同

C.IABI?ICDI的最小值為1

兩點,且小一了2=1，若，?奴恒成立，則實

D.IASI?ICDI的最大值為4

數(shù)/的取值范圍是（一8,1）,其中真命題為（）3.已知橢圓C與雙曲線/一/=1有相同的左焦點入、

A.①B.②C.③D.?右焦點F2,點P是兩曲線的一個交點，且7K-PF^

?2

12.設分別是橢圓Y+/=i的左、右焦點，若橢=0.過F?作傾斜角為45°的直線交C于A,B兩點

（點A在工軸的上方），且就=入龜.則；I的值為

圓上存在一點P,使（7市+而）?而=0（0為坐標

（）

原點）.則ABPF2的面積是（）

A.4B.3C.2D,1A.3+73B.3+V2C.2+V3D.2+V2

224.過拋物線C：y=4j-焦點F的直線/與拋物線交于

13.已知雙曲線三一%=13>0,。>0）的左，右焦點分

A.B兩點，過A,B兩點分別作拋物線C準線的垂線.

別為F|*F?.過右焦點F2的直線/交該雙曲線的右垂足分別為M.N,若線段MN的中點為P,且線段

支于兩點（M點位于第一象限），△MF/%的FP的長為4.則直線/的方程為（）

內(nèi)切圓半徑為Ri.△NF//的內(nèi)切圓半徑為七，且A.1+痣》一1=0

-

滿足￡=4.則直線/的斜率為B.j--TSy1=0

K2C.jc+-j3y—1=0或了一9'-1=0

22

14.在平面直角坐標系xOy中.橢圓與■+匕=1">3）D.73a--y—73=0或點r+y一e=0

uy

Ji

■>25.已知過橢圓定■+/=1的右焦點的直線/，斜率存在且

與為雙曲線2一號=1（'”>°）有公共焦點B

與橢圓交于A.B兩點,若AB的垂直平分線與上軸交

設P是橢圓與雙曲線的一個交點.則△PFjFz的面于點則點M橫坐標的取值范圍為（）

積是.AB-，0

[素養(yǎng)提升練]一高分必搶-[°'t]'（f]

C.[0,卷）D-[-f'°）

一、單項選擇題

r26.已知橢圓G與雙曲線。2的焦點相同.離心率分別為

1.拋物線C|：/=2”（力>0）的焦點F是雙曲線

c,e2,且滿足/=信1,Fl,F2是它們的公共焦點*P

-，一=l（0V，M<l）的右焦點，點P是曲線Cl

是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若/BP&=

120°,則雙曲線C?的離心率為（）

的交點.點Q在拋物線的準線上，△FPQ是以點P為

直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率

為（）

A.72+1B.272+3

C.2710-3D.2710+3

2

2.已知圓Ct：（a—1）+7=1和拋物線。2：，2=41，過

Cl的圓心作直線，，與曲線G，G交于點A,B,C,D

A.V2B.73C.2D.-1-V2

（如圖所示），則下列說法正確的是（）

?84

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7.點P（_ro，yo）（±o>O,yo>2）是拋物線/=2y上的C.ZXPAB的面積為［答題欄］

點,過點P作圓E:/+（y_］）2=］的兩條切線分別

D.ZXPA6的邊A8上的中線平行（或重合）于y軸型遜普

交上軸于B,C兩點，切點分別為M.N,則△PBC面

三、填空題.1...

積的最小值為（）

10.已知拋物線=（立>0）的焦點為F.點、H2

A.4B.16C.12D.8

二、多項選擇題（了o,4歷卜o>■|■）是拋物線C上的一點，以H為§

8.發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學家喬凡尼卡西尼對把卵形線

圓心的圓交直線工=￡于A、B兩點（點A在點8的4-----

描繪成軌道有興趣.像笛出爾卵形線一樣，笛卡爾卵

75

形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而上方），若sin/HFA=（，則拋物線C的方程是

y—

產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵形線是由下列條件所7

定義的：曲線上所有點到兩定點（焦點）的距離之積為11.數(shù)學中有許多寓意美好的曲線.曲線C：（/+y2）3=8

常數(shù).已知曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F］（—1,0）和

4//被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.

F/C.O）的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡，

則下列命題中正確的是（）

A.曲線C過坐標原點

B.曲線C關于坐標原點對稱

C.曲線C關于坐標軸對稱

D.若點P在曲線C上,則△BPF2的面積不大于

給出下列三個結論：

J_2

2a①曲線C關于直線,=工對稱；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過1；

9.阿基米德（公元前287年-公元前212年是古希臘偉

大的物理學家、數(shù)學家、天文學家.他研究拋物線的求③存在一個以原點為中心、邊長為戒的正方形，使得------

積法?得出一個著名的阿基米德定理.并享有“數(shù)學之曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.4.........

神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍其中,正確結論的序號是5

成的三角形被稱為“阿基米德三角形”,如圖所示，在［真題體驗練］一實戰(zhàn)搶分包——

拋物線小二？？、,"〉。）上有兩個不同的點A.B.坐標

1.（2021?全國甲卷.15）已知FJ,F2為橢圓C：m7___

分別為A（71，方），8（h2，北），以A,B為切點的切線

=1的兩個焦點，P.Q為C上關于坐標原點對稱的兩.?.....

PA.PI3相交于點尸，給出以下結論,其中正確的為

點，且|PQl=lBFzl,則四邊形PBQF2的面積為_g

（）

2.（2021?浙江卷.9）已知a"eR.”>>0,函數(shù)/（J-）=

2

aa?+"（_reR）,若f（s—f）,/（s）,/（s+，）成等比數(shù)-------

列,則平面上的點（s,r）的軌跡是（）

A.直線和圓B.直線和橢圓

C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

3.（2021?上海卷.11）已知拋物線：若

A.點尸的坐標是（可當，詈）

第一象限的A,B兩點在拋物線上.焦點為F,\AF\=

B.APAB的邊AB所在的直線方程為：（4+工2）工一2,IBF=4,\AI3=3,求直線AB的斜率

2?y-7g=。為,

85

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知，A到足莪而距看對AFi=4,設則x?+

3=4,所以0=4一言.因為A在拋物線上?所以丁=

2pi。=2p—券■)=8p—/.由A做/軸的垂線?垂

足為。，則|BC|=夕+4,在中?由勾股定理可

知，|AC|2+|BC|2=|AB|2,即城+(g+4)2=(“

—/)+(3+41=露/nV,整理得，3/—48/>+3.①5②4相［拋物線的定義.

x1W=6-1=5；

144=0,解得"=4或12.又因為當p=12時，4=4一故M(5,±2V^),N(5,0),S^M.V=4"*(5-1)*2宿=

與=4—6=—2V0,不符合題意，所以2=4.］

4右］

微點特訓35圓錐曲線的綜合問題

考點對點練——保分必拿

1.C［易知直線》=2口一3與直線/關于原點對稱，直線.V

=—2彳一3與立線I關于7軸對稱.直線丁=—2i+3鳥

直線/關于v軸對稱.故由橢圓的對稱性可知.有3條直

線被橢圓C極得的弦長一定為7.故選C.］

2.ACD［對于選項A,點M到準線#=一1的距離為

■y(IAFI+IBFI)=9|ABI,于是以線段AB為直徑

的圓與直線工=—1一定相切?進而與直線工=—彳--

定相離：對于選項B.顯然AI3中點的橫坐標與十HM|

不一定相等，因此命題錯誤.

對于選項C,D,設A(4，M)，8(4，兒)?直線AB方程為

>0),代入拋物線方程并整理得：/一2m/)y+/)2=o.則x=+1.聯(lián)立直線與拋物線方程可得J——4=

0+?2=4〃i，v”=-4,工［I?=1，若設A(4Y,4a),則

△=4/獷—4p?=0.解得〃?=1,直線/：y=/+3■此時

B(--7，^-］，于是IAB|=1］+電+P=4〃+-T-2，

\4a-"4a"

32-2"y+力2=0,解得)=必將？=”代入直線方程.aJ

|AB|最小值為4；當點=2港可得弘=一22，4。=一2

解得/=￡??所以點M(卷■，戶卜則MF4軸.又直線I

(一-5-).所a2=4.|AB|=,^iiACD.］

\a)ZL

斜率為1,所以/MEF=??所以/EMF=與；(2)由

443.B［由題意可得工=夕=，/一』.直線AF1的方程為

已知，力=6,則拋物線/=12工，則點E(—3,0),點F

(3,0),設直線/方程為3=歸(/+3),代入拋物線方程y=/+e.聯(lián)立(匕,解得N=c,y=2c.；?A(c,2c).

并整理得?后/+(6后一12)z+9k'=0.設點A(z?,I?=4tj-

24c2r24c2

qz,2代入橢圓方程可得：二f++=i,???\+FJ=I,化

y),點B(12,“)?由韋達定理5乃=下~=9,由AB_La"1/a"a-c

為：J+=1,化為：/—z+1=0,解得2

BF.得EB1BF.所以k?k=-1,即?J-26ee=3—

EKIIFOX-2

29，解得e=V2-l.］

1=—1,整理得,+y：=9?又玄:12公，所以^24.A［由C：l-t=l得其左焦點為F(-2痣,0),則由

o4

+12三一9=0,解得才2=3有一6,或.r2=—3底一6(合

題意可設/：彳=〃紇，一2點(徵金±7f).代入雙曲線C的

去)，由71心=9,解得巧=3V5*+6,1AF\=為十多=

方程,消去了?整理得(〃/-2),/—4Emy+4=0.設

3療+6+3=3療+9,|BF\=雙+§=3底—6+3=A(ii…)，鳳］？，的)，由根與系數(shù)的關系,得y+%=

4疝〃.丁】十出_275m+必_"，(y】+貝)今/7

=^2'^-=—2273

34^—3,所以|AFI—IBF|=3底+9—(3底—3)

=12.］=^4金.即￡>(3位，卒生］.??直線()D的方程為y

［真題體驗練」一實戰(zhàn)搶分

1.B［考查拋物線焦點坐標和點到直線的距離,屬于基礎

_〃？人_4向強_273(4732V3、

。+1|_-y-r-令工―—m'得m-即gy

題.4=-------------品。p=2.］

=273,、

72-----------m-0

???直線EF的斜率為一^-―一帆，???EF_L，，則

2.x=-y［由已知可設所以自》=2.為L

-竽+2痣

一1■.因此直線PQ的方程為：

必有IEFI=IAF|,告=，5+2商2+1

y-P=--1"卜一■§),令y=0.得工=］0,因此lFQi=.

=/(?/+l.)y3解得V=±4變-又普一斗=1，=

i>—^=2〃=6,0O4

一蜉..?.,”=±(3—2JF),從而直線/的方程為才+(3

所以c的準線方程為工=

-2j2)y-r2悟=0或(3—2晚)y+2-/3*=0,3

?176?

微點特訓?數(shù)學（新）

5.ACD［拋物線x2=4y焦點為尸（0.1）,易知直線AB的10.B［設動點CCr.y）,由已

斜率存在，設直線AB為）=忘+1.知得到動點C的現(xiàn)跡方程

由I"?1得1一聯(lián)_r—4=0./［（才-々尸+;/1

I才=4y,a'）iyi~\=a~

則①］+x=44,N、I以=—4,①正確；

2化簡得（/+y）'=2a~（.x

I|=I+IBF|=J,+1十3+1=V十2+2,

ABAF?一/）,原點0（0,0）代入就

駕手正確；跡.方程，①顯然成立；把（］,

FA=（尤i,-2）,F3=（a?，-2）,，F(xiàn)A?FB=?x2+4y）關于原點對稱的點（一/，一?。┐胲壽E方程，②顯然

=0?，啟_L前.NAF%?，③正確；A3的中點到成立；

因為雙紐線最高（低）點是軌跡方程與圓j-2-\~y2=a2相

拋物線的準線的距離交位置.兩方程聯(lián)立解得％=±乎成立?.,?一號<①）

4=~1"（lAAiI+IBB］|）=1（0+山+2）=9（3+1

?，③成立；由圖知雙紐線C上滿足IPFJ=|PF?I

+3+1+2）=+（4工+4）》2.

的點P有一個，④不成立.］

當氏=0時取得最小值2.④正確.［11.AC［因當/（/）=2z時,心=卻=2,曲率為0?是常

22數(shù)?故①是正確的；又因當耳=1,心=2時，A（l,l）.3

6.3，=土怎一［由雙曲線的方程］一*=1（0>0,￡>0）和

（2,5）也=3X12-2X1=1同=3X4-2X2=8?故中

22

__￡_=i（A?B）=勺二后所以②是錯誤的:因

拋物線的方程y2=2px聯(lián)立得?2b2，消元化簡

\y=2px/(/)=2aw?故A(1]?/(1])),B(心，/(彳2))?A

2

得aJCZ—2plfJC~\~al/=0,設A(*,y),B(亞，北)，則2aHi,kB=2ax2.所以(f>(B)=扃人

+孫=釁?由拋物線的定義得IAFl+lBFl=4+______2abi—網(wǎng)I______

a:——,故③

la,]~x1/1+a"(無]+]2//1+42(?+電尸

￡+必+多=可+天+6又因為\AF\+|BF|=4lOF|,2

JJ

正確成立；因IABI=yH-(ei—e2),kA=e',題=

所以a，++P=4X與，所以+"=2/>.化簡得心.故外人.切=^^=lei—e—.所

Naa"IABI，i+(e1-e。一

2

=1,所以J=2,所以雙曲線的漸近線方程為V以《1,所以@是錯者的,故舉AC.]_

b'12.DJg]^(OP-OR)-PK=(OP+F/))?PF；=

=±72J-.］

F\P?PR=0,所以PF[±PF,,ZF,PF2=90".設

7.C［由題意可得,拋物線的I（y

PFt!=zn,IPF,I=?.則，"+"=4,"「+，/=12,2，，?"

準線方程為］=一.畫出圖

9^=_1=4,mil=2,所以嚴)=十nifi=1.1

形如圖所示.:山/

在=r2（r>0）中?當113.y［設圓（）］與的三邊的切點分別為A?B.

X

=一:時，則有y=r-*I~\ldyy~_'C,如圖

E2>

由y~=2▲'得1=］,代入

+/=/消去才整理得『+4/-4/=0.②

結合題意可得點A,D的縱坐標相等.故①②中的？

相等.

由①②兩式消去丁得卜2—十/+4卜2一十）-4/=

令MA=MC=m,AE=BF1=〃，3F2=CF?=/，根據(jù)

。,整理得16r‘一8r2—15=0.解得/；或=~~r雙曲線的定義可得｛:2二);(〃2+')=2*可得〃=〃

44

+c,由此可知，在W?QB_LN軸于b,同理

（舍去）,，廠=冬.［

O,B_Ll軸于B,???aO,?軸.過圓心()2作CO.的垂

我，垂足為D.易知直線,的傾斜角0與ZOdD大小

8.A［過點B作拋物線的一條切線?設切線方程為y=kx

21相等.不妨設Ri=4,&=1，則。2。1=5,0]D=3.所以

—1.切點坐標為M（孔，y））,由丁=片得_y'=—z,則根據(jù)勾股定理，QD=4,所以tan。=切

2PP

焉=2”。，14.61根據(jù)對稱性，不妨設P在第一親限.由題設可知

<y.-1,,解得6=三匹，,:NA3OW45。，:.k\I^F,|2=4(a2-9)=4(zw2+4)=4c2.即a2-/w2=13,

包rPa-c-=9?/一〃/=4.根據(jù)橢圓與雙曲線的定義得

P(曾+器『記=]朦廣+%在

^tan450=1?醫(yī)仔>1,解得0V/><2一的最大值為(IPBI-.PF2|=2m(IPF,I-a—m

中，由余弦定理得eosZF,PF=叵然器就目

2.］°2

9.C［八（加.〃）（〃〉（）），直線AF與雙曲線有且只有一個交(a+w)2+(a—m)'-4c'_a2+/一2/

點,所以直線AF與雙曲線的漸近線平行.IAFI=8.F2(a-\-m)(a~m)a2—m

為拋物線的焦點，所以利=6,代入『=86，則n=\V3,(〃_——)一(<,_.)5re”./ryr)tr12

----------<------9---------=-?所以，s?nrr=—,

即A⑹4叁）,心=*=點.所以?=四.所以該a-m'io216