2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-空間向量及其應(yīng)用(原卷版)

專題32空間向量及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.空間向量也可

用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量”的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量“也可以記作AB,

其模記為忖或網(wǎng).

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)8重合時(shí)，AB=0.

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量.空

間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.

與向量“長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為"的相反向量，記為

(4)空間向量的加法和減法運(yùn)算

?OC=OA+OB=a+h,BA=OA-OB=a-b.如圖所示.

②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律

a+h=b+a,(a+/?)+c=a+(b+c)

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

(0數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)2與空間向量。的乘積/U稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)；1>0時(shí)，2a與向量。方向相同；當(dāng);1<0時(shí),

向量/la與向量a方向相反.44的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的岡倍.

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律

4(a+/?)=4a+勸，％(〃〃)=(辦)a.

(3)共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，〃平

行于b,記作a//〃.

(4)共線向量定理

對(duì)空間中任意兩個(gè)向量。，&伍=0),a//匕的充要條件是存在實(shí)數(shù)4,使“=勸.

(5)直線的方向向量

如圖8-153所示，/為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量。的直線.對(duì)空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線/

上的充要條件是存在實(shí)數(shù)r,使OP=OA+S①，其中向量。叫做直線/的方向向量，在/上取A8=。，則

式①可化為OP=OA+tAB=0A+t(0B-0A^=(\-t')0A+tOB②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，=g，即點(diǎn)P是線段M的中點(diǎn)時(shí)，0P=；(0A+08),此

式叫做線段43的中點(diǎn)公式.

(6)共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量”，作OA=a,如果直線平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說(shuō)明

向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

如果兩個(gè)向量a，6不共線，那么向量0與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),

使/?=xa+yb.

推論：①空間一點(diǎn)P位于平面43c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使AP=xA8+yAC；或?qū)?/p>

空間任意一點(diǎn)。，有OP-OA=xAB+)，AC,該式稱為空間平面43c的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4,B,C,滿足向量關(guān)系式OP=xOA+yO8+zOC(其中

x+y+z=])的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面；反之也成立.

知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

(1)兩向量夾角

已知兩個(gè)非零向量a，b,在空間任取一點(diǎn)0,作。4=“，。8="則4。8叫做向量a,6的夾角，

記作卜,“，通常規(guī)定乃，如果=],那么向量a,b互相垂直，記作a_Lb.

(2)數(shù)量積定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,則、Wcos(a,“叫做a，〃的數(shù)量積，記作即4m=卜也卜0$(4,W.零

向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，〃?〃=”.

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

（71可〃=丸（々?〃/ab=ba（交換律）；

a[h+c\=ab+a-c（分配律）.

知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

（1）設(shè)。=（4，〃2，。3），b=（b]力2力3），則。+匕=（4+4，生+。2，。3+4）；

a-b=（a[-b^a2-b2,a3-；

Aa=（44,4。2,4。3）；

ab=+a2b2+%4；

〃//人僅w0）=q=g,a2=外,％=必；

a工bnafy+a2b2+a3b3=0.

（2）設(shè)一&,%/1）,..為*?），M-yzI）

AB=OB-OA=（X2P2-Z.

這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

①已知4=（4，%，％），6=（4也也），則卜卜7^=也12+%2+〃3?；

小護(hù)=yjb；+b；+后；

ab=4瓦+a2b2+a3b3；

②已知4（%,y,Z|）,B（x2,y2,z2）,則k@=-x2）+（）1—%丫+（4-z2y,

或者d（A3）=|Afi].其中d（A,B）表示A與8兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

（4）向量a在向量〃上的投影為“cos,,b）ab

\b\

知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用

（1）平面的法向量：

如果表示向量”的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作〃，a,如果

nA-a,那么向量〃叫做平面a的法向量.

幾點(diǎn)注意:

①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量”是平面的法向量，向量，〃是

與平面平行或在平面內(nèi)，則有/n-n=O.

第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向。=(%，X，4),/?=(x2,y2,z2)；

第二步：那么平面法向量〃=(x,y,z),滿足〃"'二°n町+叫+ZZ[=0

[n-b=Oxx2+yy2+zz2=0

(2)判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線“，方的方向向量分別為a,b.

若a//b,即4=,則a〃b；

若a以,即??方=0,則

②直線與平面的位置關(guān)系：直線/的方向向量為。，平面a的法向量為〃，且/J_a.

若即。=2"，則/J_a；

若a±/?,即。=0,則a//a.

(3)平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為4,平面夕的法向量為％.

若“1〃%,即〃]二義巧，則a〃￡；若〃]_L%,即〃1?%=0,則1_1夕.

知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式.

(I)異面直線所成角公式：設(shè)〃，人分別為異面直線4，4上的方向向量，。為異面直線所成角的大

小，貝！|cose=bos(a,0)|=-n—?.

1'71a\\b

(2)線面角公式：設(shè)/為平面a的斜線，。為/的方向向量，〃為平面。的法向量，。為

a-n

/與a所成角的大小,貝!jsin6=kos(〃,〃)卜-.

1''cv\n

（3）二面角公式；

設(shè)勺，々分別為平面。，夕的法向量，二面角的大小為。，則。=（小巧）或乃（需要根據(jù)具體

情況判斷相等或互補(bǔ)），其中|85。|=口用.

悶悶

知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離

求解空間中的距離

（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直

接計(jì)算.

如圖，設(shè)兩條異面直線”，人的公垂線的方向向量為〃，這時(shí)分別在a,。上任取A,8兩點(diǎn)，則向量在“

上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線。，人的距離.則1=|4比2|=正也即兩異面直線間的距離，等于兩異面

1?11”1

直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.

B、

（2）點(diǎn)到平面的距離

A為平面a外一點(diǎn)（如圖），〃為平面a的法向量，過A作平面a的斜線他及垂線

|AH|=|A8|.sineYAB||cosvAB,〃>|=|A8|四；｝=邛3

MM|n|

\n\

【方法技巧與總結(jié)】

用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可

以求空間角和距離.因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)

單.

用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)

而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便

于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三

條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算.

【題型歸納目錄】

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

題型四：證明三點(diǎn)共線

題型五：證明多點(diǎn)共面的方法

題型六：證明直線和直線平行

題型七：證明直線和平面平行

題型八：證明平面與平面平行

題型九：證明直線與直線垂直

題型十：證明直線與平面垂直

題型^^一:證明平面和平面垂直

題型十二：求兩異面直線所成角

題型十三：求直線與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十五：求點(diǎn)到平面距離

【典型例題】

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

例1.設(shè)空間向量b是空間向量a的相反向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.a與人的長(zhǎng)度相等

B.a與6可能相等

C.a與5所在的直線平行

￡>.a是b的相反向量

例2.如圖，空間四邊形0ABe中，0A=a，0B=b>0C=c，點(diǎn)M在。A上，且滿足0M=2MA,點(diǎn)N

為BC的中點(diǎn)，則MN=（）

o

8.二f+L

322

D.ZeL

332

例3.在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是正方形，E為的中點(diǎn)，若P4=a,P8=b,PC=c，則BE=（）

D

222

EG1

例4.如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)、E,產(chǎn)分別是SA,的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱石月上，且滿足票=：,若

3F2

SA=a,SB=b，SC=c,則SG=（）

B

A.—a——h+—cB.-a——b+—c

326362

11,1八11f1

C.一?！猙+—cD.—Q+—0+—C'

632366

例5.如圖所示，在平行六面體ABC。-A4GA中

,M為AG與BQ、的交點(diǎn)，若A8=a，AD=b，A4t=c,

則BM=()

1-1--11.

A.—a——b+cB.-a+-b+c

2222

11「

C.--a--h+cD.——a+一0+c

2222

例6.如圖，在正方體A3CD—4用GA中，AA=〃,AByb,A"=c,。為底面ABC。的中心，G為.0G。

的重心，貝l」AG=()

DiC,

__

?/

淮:%支二/二：九

AB

A.L+4+8B.275

-a+b+—c

32636

1211,5

C.—ci~\—bd—CD.a+—b+—c

33626

uuu

例7.在長(zhǎng)方體ABC?！狝4GA中，設(shè)A8=〃，AD=b?A4,=c,若用向量a、b、c表示向量入弓，則

ACj=____________.

例8.在下列命題中:

①若向量“)共線，則。力所在的直線平行；

②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；

③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則三個(gè)向量a,6,c—?定也共面；

④已知三個(gè)向量a,%,c,則空間任意一個(gè)向量P總可以表示為p=xa+yb+zc.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

例9.如圖，平行六面體ABCO-A8GR中，E為。R的中點(diǎn).若BEuxAB+yAD+zAA,，貝l](x,y,z)=()

例10.已知｛a,6,c｝是空間向量的一個(gè)基底，｛a+8,a-b,c｝是空間向量的另一個(gè)基底,若向量p在基底｛a,〃,c｝

下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底｛a+"a-",c｝下的坐標(biāo)為()

A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【方法技巧與總結(jié)】

空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向

量的運(yùn)算法則.

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

例U.A(l,-1,3),8(7,0,2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，m=(2"，M,若〃?//.,則/+〃=.

例12.已知a=3%-2〃-4p(a*0),b=(x++Sn+2yp,且優(yōu)、〃、p不共面，若allb，貝！|x+y=

例13.已知a=(l,3,2),6=(1,0,1),p=ka-2b,q=3a+4h.若p//q,則實(shí)數(shù)4的值為

例14.(多選題)下列命題中正確的是()

A.問+忖=,+同是a,%共線的充分條件

B.若AB//CD,則A8//CD

C.A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)0,若0尸=！。4+:。8+!。。，則p,A,B,C四點(diǎn)共面

244

D.若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有P4=2PB+〃PC（PB，PC不共線），則幾+〃=1是A,B,C三

點(diǎn)共線的充分不必要條件

【方法技巧與總結(jié)】

空間共線向量定理：a//69/0）。4=%.

利用此定理可解決立體幾何中的平行問題.

題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

例15.已知空間向量A3=（O,l,-2）,“|=2,（A8,AC）=^，則A2.BC=（）

A.—5/5-5B.y/s—5C.—y/5+5D.^5+5

例16.（多選題）設(shè)“，匕為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（）

-2II2na?bb

AA.a—\ci\B.-----=—

11aaa

v2,22/\2.2.■,12

（ab]=abD.\a-bj=a-2ab+b

例17.（多選題）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：a?6=|a|M|-sin〈a,b〉，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的

以下結(jié)論中恒成立的有（）

A.A（a?b）=（Aa）?bB.a?b=h?a

C.若a36=0，則aJ_bD.|a?/?|<|a||/?|

例18.（多選題）如圖，在平行六面體4BCD-A4GA中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼

此的夾角都是60。，M為AG與BQ的交點(diǎn)，若M=a,AQ=6，M=c,則下列正確的是（）

B.AC}=a+b+c

c.AG的長(zhǎng)為石D.cos,AB,AC)=

例19.在三棱錐O-ABC中，已知AB=AD=2,BC=\,ACBD=-3,則8=

例20.棱長(zhǎng)為1的正方體,P在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，則AC-BP的取值范圍是

例21.已知04_LA8，若。4=(1,1,0),則。4?08=.

例22.已知點(diǎn)尸為正四面體ABC。的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,則的取值

范圍為.

例23.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面

為直角三角形的直棱柱.在塹堵ABC—A/?中，48,4。，加是46的中點(diǎn)，Afi=7,N,G分別在棱BB-

AC上，且BN=工B/AG=gAC,平面MNG與AB交于點(diǎn)H,則黑=___________,HM.AB=____________

33Bri

例24.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-AMGR中，點(diǎn)E是側(cè)面B8￡C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)E滿足

則IBEI的最大值為,最小值為.

D,

4

一

AB

例25.已知向量c1二(-3,1),^=(1,-2),c=2a+Ab?若〃1"，則實(shí)數(shù)4=()

A.-2B.2C.1D.-1

例26.已知a=(2,—2,—3),b=(2,0,4),則cos〈4,0〉=()

44庖4隔「

B.------v?UD.1

8585

例27.已知a=（l,O,l）,方=（x,l,-2）,且“為=-3，則向量a與6的夾角為（）

例28.如圖,在平行六面體ABCO-ABCQ中，AB=AD=\,A4,=夜,NBA4,=^DAA,=45，/BA￡>=60,

IUUITI

則卜C卜()

D1C,

&

AB

A.1B.73C.9D.3

例29.給出下列命題，其中正確的為（）

A.若AB=C￡）,則必有A與C重合，B與。重合,AB與C7）為同一線段

B.若°6<0，則（a，是鈍角

C.若A3+C￡>=0,則48與C。一定共線

D.非零向量a、b、c滿足a與b，b與c，c與a，都是共面向量，則a、b、c必共面

例30.正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為4,空間中的動(dòng)點(diǎn)「滿足|尸8+尸。|=2上，則AP.PD的取值范圍為（）

A.[4-273,4+273]B.[夜,3夜]

C.[4-35/2,4->/2]D.[-14,2]

例31.在三棱錐P-ABC中，PB=PC=1,ZAPB=ZAPC=90°,ZBPC=60°,貝UA8PC=（）

A.!B.&C.1D.V2

22

例32.已知正四棱臺(tái)ABCD-ABCR的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,尸是上底面A的邊界上一點(diǎn).若

P4PC的最小值為則該正四棱臺(tái)的體積為()

77M35

A.-7D.

26~6

【方法技巧與總結(jié)】

〃包二樹陳=玉%2+XM+乎2;

求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)W==&；+y2+z；；

a-b

求空間向量夾角時(shí),可先求其余弦值cos(a"=.要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)

9

量積是否為0,BPf7-Z?=0<=>6z_LZ?.

(叫為銳角=>。2>0；(叫為鈍角nam<0.由此，通常通過計(jì)算“萬(wàn)的值來(lái)判斷兩向量夾角是

銳角還是鈍角.

題型四：證明三點(diǎn)共線

例33.如圖，在平行六面體中，CtC=2EC,A,C=3FC.

(I)求證：A、F、E三點(diǎn)共線；

(2)若點(diǎn)G是平行四邊形的中心，求證：D、F、G三點(diǎn)共線.

例34.已知向量q,h.c不共面，AB=4a+5h+3c，AC=2a+3h+c,AD=6a+lh+5c.求證：B,C,

。三點(diǎn)共線.

例35.在長(zhǎng)方體ABCD-ABIGA中，M為。。的中點(diǎn)，N在AC上，且4V:NC=2:1,E為的中點(diǎn).求

證：A，E,N三點(diǎn)共線.

例36.如果41,5,-1）,5（2,41）,C（a,3為+2）三點(diǎn)共線,那么（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧與總結(jié)】

先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量AB,AC,然后證明存在非零實(shí)數(shù)4,使得AB=/IAC.

題型五：證明多點(diǎn)共面的方法

例37.已知。、A、B、C、D、E、F、G、”為空間的9個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且OE=ZOA,OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證：

（1）A、B、C、。四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面;

（2）AC!/EG.

例38.如圖，在幾何體ABCQE中，/\ABC,△BCD,△（：￡）《均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面43仁1_平

面BCD,平面Z?CEJ_平面BCD.

例39.如圖，四邊形ABEF為正方形，若平面A2JC￡>_L平面ABEF,AD//BC,ADLDC,AD=2DC=2BC.

判斷點(diǎn)。與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

例40.如圖，四棱柱A8CO-A4CQ的側(cè)棱AA，底面A8C。，四邊形ABC。為菱形，E,尸分別為人人，

CG的中點(diǎn).

例41.（多選題）若｛。,反。｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）

A.a+b-\-c,a-b,2b+cB.a-b,a-c,b-c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a-2by6b-3a,-c

例42.（多選題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO為正方形，24,底面ABC。，1=AB，E、

F分別為線段初、CD的中點(diǎn)，G為線段PC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（)

A.對(duì)任意點(diǎn)G,則有8、E、G、尸四點(diǎn)共面

B.存在點(diǎn)G,使得A、E、G、F四點(diǎn)共面

C.對(duì)任意點(diǎn)G,則有AG_L平面產(chǎn)比）

D.存在點(diǎn)G,使得EG//平面EF

例43.以下四組向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1,1）,（1,0,1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

例44.設(shè)為空間中的四個(gè)點(diǎn),則"A。=4B+AC”是“AB,C,D四點(diǎn)共面”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例45.d=(1,-1,3),6=(-l,4,-2),c=(1,5,x),若a,"C三向量共面，則實(shí)數(shù)'=()

A.3B.2C.15D.5

例46.如圖，在四面體ABCD中，E、F分別是A3、CD的中點(diǎn)，過EF的平面a分別交棱D4、8c于G、

H（不同于A、B、C、D）,P、。分別是棱BC、C。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

D

A.存在平面a和點(diǎn)p,使得4>〃平面a

B.存在平面a和點(diǎn)Q,使得AQ〃平面a

C.對(duì)任意的平面a,線段打平分線段GH

D.對(duì)任意的平面a,線段GH平分線段EF

例47.已知尸和不共線三點(diǎn)4,B,C,四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任意一點(diǎn)0,都有OP=2OA+OB+2OC，則

2=.

例48.如圖，已知正方體A8CO-ABC2的棱長(zhǎng)為2,M,N,G分別是棱A4-BC,AR的中點(diǎn)，設(shè)

。是該正方體表面上的一點(diǎn)，若MQ=xMG+yMN（x,yeR）,則點(diǎn)。的軌跡圍成圖形的面積是.

例49.在四棱錐尸一48c。中，ABCD,且以=4C=2AB=2A￡>=4,CDLAD,CBVAB,G為

PC的中點(diǎn)，過AG的平面。與棱PB、分別交于點(diǎn)E、F.若E尸〃平面ABC。，則截面AEG尸的面積為

【方法技巧與總結(jié)】

要證明多點(diǎn)（如A,B,C,。）共面，可使用以下方法解題.

先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如A3,AC,AD）,然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使得

AD=xAB+yAC.

題型六：證明直線和直線平行

例50.已知長(zhǎng)方體A8CD-A8CQ中，AB=4,AE）=3,M=3,點(diǎn)S、P在棱CC,、AA1上，且|CS|=,

|朋=2|$|,點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn).求證：直線PQ〃直線RS.

例51.在四棱連P-ABCD中，平面48co，平面PCD,底面ABCD為梯形."http://CO,AOJ_DC,且=1,

AD=DC=DP=2,NPZ)C=120.

若M是棱用的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F,使得MF與尸C平行.

【方法技巧與總結(jié)】

將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線.設(shè)a,b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為〃力，則

a//boa=ew0).

題型七：證明直線和平面平行

例52.如圖，在直三棱柱A8C-ABG中，AC±BC,AC=BC=BBt,。為A8的中點(diǎn).試用向量的方法

證明：BC"平面ACD.

B,

例53.如圖，在長(zhǎng)方體48CD-ASGA中，底面A8CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，OR=4,￡F分別是A4，CG

的中點(diǎn).

求證：8E//平面AFR；

【方法技巧與總結(jié)】

(1)利用共面向量定理.設(shè)”,6為平面a內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使得/=xa+獨(dú)，

則///a.

(2)轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行.

(3)轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(此方法最常用).

題型八：證明平面與平面平行

例54.如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，M,N,E,尸分別是棱4A,A山i,D{C\,B?

的中點(diǎn)，求證：平面AAW〃平面EFBD.

例55.如圖，正方體A8CO-AB62中，M.N分別為A3、8。的中點(diǎn).

用向量法證明平面\BDII平面B、CQ；

【方法技巧與總結(jié)】

（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行.

（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）.

題型九：證明直線與直線垂直

例56.如圖，在直四棱柱中，AB//CD,ADLCD,AD=CD=DDt=2,AB=\.

求證：ADt±B,C,；

例57.如圖，已知三棱柱ABC-AIBIG的側(cè)棱與底面垂直，AAt=AB=AC=},ABLAC,M,N分別是CG,

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線4s上.

證明：PNLAM-

例58.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體ABC。-4BCR中，M為BC的中點(diǎn)，E為4G與。M的交點(diǎn)，F(xiàn)為BM

(I)求證：BDt1A,C,,BDt±B{C.

(2)求證：EF是異面直線AG與8。的公垂線段.

例59.如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-ABCR中，點(diǎn)E,尸分別在BB-上，且AELA],AFYAtD.

(1)證明：\CVEF.

(2)當(dāng)A￡>=3,AB=4,A4t=5時(shí)，求三棱錐。一AEF的體積.

例60.如圖，四棱錐S-ABCD中，ABC。為矩形，SDA.AD,且SOJLABAD=\,AB=2,SD=y/3.E

為CO上一點(diǎn)，且CE=3O￡.

s

(1)求證：AEJ_平面S3￡>；

(2)M、N分別在線段SB、CD上的點(diǎn)，是否存在M、N,使MNLCD且MVSB,若存在，確定M、N

的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

例61.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。且P￡>=20,AB^BC=^AD=2,284)=90,

8C〃AO,點(diǎn)"為棱PC的中點(diǎn).

證明：PAYDM；

【方法技巧與總結(jié)】

設(shè)直線/”4的方向向量為，則">Lb<=>a/=0.

這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法.

題型十：證明直線與平面垂直

例62.在正方體ABCO-A4GA中，如圖E、尸分別是8片，C。的中點(diǎn)，

求證：力￡J■平面AOE；

例63.如圖，在四棱錐P-ABC3中，PAA.^ABCD,底面ABC。是直角梯形，其中AO〃BC,ABLAD,

PA=4,AB=AD=-BC=2,E為棱5c上的點(diǎn)，且BE=；BC.

求證：OE_L平面PAC；

例64.如圖，在正方體A8CO-A4CR中，M,N分別為AQ,CR的中點(diǎn).

求證：MN_L平面。吟；

【方法技巧與總結(jié)】

(1)證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直.

(2)證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直.

(3)轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線.

題型H?■一：證明平面和平面垂直

例65.如圖，在四棱錐P-ABC。中，BCJ_平面PAB,AO_L平面PAH,PA=AB=BC=3AD=6.ZPAB=no°.

求證：平面PCZ)_L平面A8C￡>；

例66.如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體ABC。-ABCR中，E,F分別為AB,A。的中點(diǎn).

例67.在三棱臺(tái)ABC—AIBIG中，GC_L平面ABC,ABLBC,且A8=8C=GC=2AiS,。為AC的中點(diǎn)，P

是GC的中點(diǎn).

證明：平面A山UL平面POB；

例68.如圖，在直三棱柱48C—AB?中，ABLAC,AB=AC=AA],。為8c的中點(diǎn).

(1)證明：A/〃平面4￡>G；

(2)證明：平面AQG?平面84GC.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直

（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面.

題型十二：求兩異面直線所成角

例69.如圖，在平行六面體ABC。-A4G。中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為2,

且“AB=Z4A￡）=120°.

（1）求8。的長(zhǎng)；

（2）直線BR與AC所成角的余弦值.

例70.己知正四面體ABC。,M為8C中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，則直線BN與直線所成角的余弦值為（）

14后

6&121

例71.如圖，在三棱錐M-A8C中，平面ABC,43c是邊長(zhǎng)為2的正三角形，MA=2拒,F是MC

的中點(diǎn)，則異面直線MB與4F所成角的余弦值是（）

B,如

4

例72.在三棱錐P—ABC中，PA,PB、PC兩兩垂直,且%=P8=PC,M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異

面直線PN和BM所成角的余弦值為（）

A6V6

B.—r

363

例73.已知直三棱柱ABC-A4G的所有棱長(zhǎng)都相等，例為AG的中點(diǎn)，則AM與BG所成角的正弦值為

()

A巫B.在C.近

3344

例74.已知正方體A8CD-ASG。的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在線段CD,上，若直線比與A。所成角的余弦值為包,

2

則線段BE的長(zhǎng)為()

A.迪B.在C.-D.V2

422

【方法技巧與總結(jié)】

設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為a和b,利用求角余弦公式可求得a和b的夾角，由于兩向量所成角6

的范圍是［0,不1，而兩異面直線所成角a的范圍是(0,3.所以cosa=|cose|="".

2|〃畫

題型十三：求直線與平面所成角

例75.如圖，在幾何體ABCCEF中，四邊形ABCQ是菱形，ABCD,DF//BE,且￡>F=2BE=2,

EF=3.

(1)證明：平面ACFJ_平面8E/T>；

(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與平面ABCQ所成角的正切值.

例76.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC,AAI=4,ABAC=90°,D,E分別是BC,A8的中

4

點(diǎn)，且%_48A

3

(1)證明：±BCX-

(2)求4。與平面々GE所成角的正弦值.

例77.如圖，四面體ABCD中，AD上CD,AD=CD,NADB=NBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)43=%>=2,/4。8=60。，點(diǎn)尸在3。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求C尸與平面曲所成的角的

正弦值.

例78.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，PA_L底面A8CD,4。//8仁48_1_4￡>,點(diǎn)”在棱尸8上，PM=2MB,

2

點(diǎn)N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

(I)若CN=2NP,。為PD的中點(diǎn)，求證：A,M,N,。四點(diǎn)共面;

(2)求直線Q4與平面AMN所成角的正弦的最大值.

例79.如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C,D,E三點(diǎn)共線，已知三棱錐P—AOE四個(gè)面都為直角三

角形，且以，平面4BCE,PE=3,CD=AD=2,￡。=1,則直線PC與平面R1E所成角的正弦

值等于（）

A.8.孚

~T

巫D.叵

4

例80.如圖,在正方體A88-A4GR中，。是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AG上，若直線OP與平面4BG所

成的角為0,則sin。的取值范圍是（).

C.D.

4'34'3

【方法技巧與總結(jié)】

設(shè)/為平面a的斜線,a為/的方向向量，"為平面a的法向量，。為/與a所成角的大小，則

a?n

sin。=

題型十四：求平面與平面所成角

例81.在正方體A8C。-AiBiCQi中，點(diǎn)E為BBi的中點(diǎn)，則平面MED與平面ABCD所成角的正弦值為

)

「73

A.yCz.-----

氏T3

例82.如圖，在三棱錐P-A8C中，已知24,平面ABC,PA^AB=2,N54C=90。，。為PC上一點(diǎn),

且PC=3P￡>,PC工BD.

P

(1)求4c的長(zhǎng)；

(2)若E為AC的中點(diǎn)，求二面角。-3E-A的余弦值.

例83.如圖，在四棱錐3-ACBW中，四邊形ACFM為直角梯形，F(xiàn)M//AC,^ACF=90,平面ACRW，

^^ABC,BC=CF=},AC=43,ZABC=6().

(1)證明：BC±AM.

(2)若四棱錐8-ACQW的體積為且，求平面M48與平面FCB所成的銳二面角的余弦值.

4

例84.如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面24。，平面ABC。，AO〃BC,AO,8,AAP。是等腰直角三

角形，NPAD是底角.

(1)求證：平面B43J_平面PCZ).

(2)^AD=CD=2BC=2,求二面角A-PC-B的余弦值.

例85.如圖，ABC。為圓柱00'的軸截面，E尸是圓柱上異于ADBC的母線.

（1）證明：BE1平面?！晔?；

（2）若AB=BC=&，當(dāng)三棱錐3-￡>￡F的體積最大時(shí)，求二面角B-OF-E的正弦值.

例86.如圖1,矩形R4BC中，PC=3上,PA=RD為PC上一點(diǎn)、且CD=2DP.現(xiàn)將△以￡）沿著AO折

起，使得尸￡>_L3Z）,得到的圖形如圖2.

圖2

（1）證明：R4_L平面P8Z）；

（2）求二面角P-A8-。的余弦值.

例87.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCO為正方形，PE>_L底面ABCD,M為線段PC的中點(diǎn)，PD^AD,

N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

N

AB

(1)證明：平面MM)_L平面P8C

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為3