2024年新高中數(shù)學(xué)考試大題訓(xùn)練-正弦定理（答案版）

第3講正弦定理

1.(2023秋?山東日照?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,已知acosC+ccosA=2/?cosB.

(1)求&

(2)若b=2拒,ABC的面積為2百，求ABC的周長(zhǎng).

2.(2023春?甘肅白銀?高一?？茧A段練習(xí))如圖，在平面四邊形ABCD中，NBAD=60°,

BC=\,AD=C￡>=2,ZDCB=120°.

D

⑴求3。的長(zhǎng)；

(2)求的正弦值.

3.(2022秋.新疆和田?高二統(tǒng)考期中)已知.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,滿足,acos8=Z?sinA

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若cosA=變，求sin(2A-8)的值；

3

(3)若Z?=2,c=2a,求邊。的值.

4.(2023春?高一單元測(cè)試)記ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

,C-A

,1sin-------

a+b_2

fl+c-sin—'

2

⑴若A=：,求&

(2)求￡+：的取值范圍.

ab

5.(2022秋?河北滄州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)a,6,c分別是，ABC的內(nèi)角A,B,C的

對(duì)邊，(sinB-sinC)b=(a-c)(sinA+sinC).

(1)求角A的大小；

(2)從下面兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分.

①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D且相>=1,求面積的最小值.

②設(shè)點(diǎn)。為8c邊上的中點(diǎn)，且AD=1,求ABC面積的最大值.

27r

6.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2,CD=5,ZABC=—.

（1）若AC=2A/7,求梯形ABC。的面積；

（2）若AC13。，求tanZABD.

7.（2023春?四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在△A3C中，內(nèi)角4

B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知b=QCOsC+』c.

2

⑴求角A；

（2）^&AB-AC=3＞求”的最小值.

8.（2023春?廣東佛山?高一?？计谥校┮阎?，ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,asin5+〃cosA=c.

（1）求5；

（2）設(shè)a=0c,b=2,求c.

9.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

sin23+sin2C+sinBsinC=sin2A?

⑴求角A的大??；

⑵若a=若，求ABC周長(zhǎng)的最大值.

10.（2023春?湖南岳陽(yáng)?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在.TlfiC中，角A鳳C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,已矢口acos5+》cosA=2ccosC.

⑴求C;

⑵若c=l,求面積的取值范圍.

11.（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）記一ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已

,、sinC+sinB

矢口tanA=----------------.

cosC+cosB

⑴求A的值；

⑵若-ABC是銳角三角形，求空蛇的取值范圍.

12.（2023?湖南郴州?校聯(lián)考二模）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

b=2csin^A+-^j.

⑴求C；

（2）若c=l,D為ABC的外接圓上的點(diǎn)，BABD=B^＞求四邊形ABC。面積的最大

值.

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知ABC中，a,b,c是角A,B,C所對(duì)的邊，

.A+Cj..

asm-------=bsmA,且〃=1.

（2）若AC=5C,在.ABC的邊AB,AC上分別取。，E兩點(diǎn)，使VADE沿線段。E折疊

到平面3"后，頂點(diǎn)A正好落在邊2C（設(shè)為點(diǎn)尸）上，求的最小值.

14.（2023春?江西新余?高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知MC的內(nèi)角A,B,

C的對(duì)邊分別為a,b,c,若若csinB=a-bcosC.

⑴求B；

⑵若DC=AD,BD=2,求MC的面積的最大值.

15.（2023春?山西忻州?高一校聯(lián)考期中）己知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

j.B+C

a,b,c,Osin-------=asin8

2

⑴求角A；

⑵若b=6,BC邊上的高為"，求c.

2

16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）記ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinC=5/3sinAsinB?

71

⑴若A=§,求cosB；

（2）若,=逐，求“ASC的面積.

17.（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在銳角,ABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,

且2c2=（a?+c2-ZJ2^（tanA+tanB）.

⑴求角A的大小;

(2)若邊〃邊3c的中點(diǎn)為。，求中線AD長(zhǎng)的取值范圍.

18.(2022秋?天津紅橋?高三天津市復(fù)興中學(xué)?？计谀?在△ABC中，acosB^bsinA.

(1)求/B；

(2)若%=2,c—2a,求△ABC的面積.

19.(2023春?廣東東莞?高一?？计谥?在；ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，

,?sinA+sinBc+b

b,c,且——:-----=-

smCa—b

(1)若a=26,b=2,求角B;

⑵設(shè)—54C的角平分線AD交BC于點(diǎn)D,若ASC面積為百，求AD長(zhǎng)的最大值.

20.(2022?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考三模)在.A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且滿足

ULIUUUUUUU

(2a-c)BABC=cCBCA

⑴求角B的大??；

⑵若BA-BC|=2,求.ABC面積的最大值.

參考答案:

1.(1)B=—；(2)6+2y/3

【解析】(1)根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出COSB=L,進(jìn)而求出3；

2

(2)根據(jù)余弦定理可得到(〃+32-3必=12,再根據(jù)三角形面積公式得到ab=8,即可求出a+b=6,進(jìn)

而求出ABC的周長(zhǎng).

【詳解】解：(1)<2cosC+ccosA=2Z?cosB,

由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

整理得：sin(A+C)=2sinBcosB=sinB,

???在ABC中，0<5<萬(wàn)，

sinBw0,

即2cos5=1,

cosB=—,

2

即8=5；

(2)由余弦定理得：(2V^)=a1+c2—2ac?—,

/.(Q+C)2-3改=12,

S=—acsinB=^-ac=2^/3,

24

/.ac=8,

：.(Q+C)2-24=12,

「?a+c=6,

???ABC的周長(zhǎng)為6+2指.

2.⑴血；

⑵孚

【分析】(1)利用余弦定理即求;

(2)利用正弦定理即得.

【詳解】（1）在△BCD中，由余弦定理可知:

BD1=BC2+CD2-2BCCDcosZBC￡>=l3+22-2xlx2x(--)=7,

BD=^n

BDAD

（2）在△ABD中，由正弦定理可知:

sinZBAD~sinZABD

幣—2

即：^/3~sinZABD

sinZABD=—.

7

3.(1)B=--(2)2岳+56；⑶W3

3183

【解析】（1）由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化得gcos8=sin8,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求角8

（2）由兩角差、倍角公式展開sin（2A-B）,根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論即可求值.

(3)根據(jù)余弦定理列方程即可求a的值.

【詳解】(1)由正弦定理有：^/3sinAcosB=sinBsinA,而A為11ABe的內(nèi)角，

**?cosB=sinB,即tanB=6，由0<_B〈萬(wàn)，可得3=

(2)sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=2sinAcosAcosB-(2cos2A-1)sinB,

,?*cosA=,0<A<7r,可得sinA=^^,而cos8=L,sin5=^^,

3322

..°人D、用、2屈+56

??sin(2A-B)=---+----=----------,

91818

(3)由余弦定理知：a2+c2-2accosB=b2,又b=2,c=2a,cosB=,

2

*e*34=4,可得a=.

3

71

4-⑴F

⑵[2點(diǎn)+00)

【分析】（1）利用正弦定理邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)和差化積公式與倍角公式推得sinA=-2cosCsinA,從

2兀

而得到c=7，由此得解；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用余弦定理與基本不等式即可得解.

【詳解】（1）由正弦定理得——=--——.

a+csmA+smC

C-AC-A

sin-----sn

又厘sinA+sinB_^2

2,所以

a+cSilsinA+sinCsin^

22

C+AC-A

因?yàn)閟inA+sinC=2sin-------cos--------

22

sinL

C+AC-AcC-A.C-A

所以sinA+sinB=2sin-------cos--------2=2cos-------sin--------=sin(C-A),

22sin一22

2

因?yàn)閟inB=sin(兀一=sin(C+A),

所以sinA=sin(C—A)—sin(C+A)=—2cosCsinA,

因?yàn)镺<A<71,所以sinA>0,故cos。二—,

2

2兀

又0＜。＜兀，所以0=-^-,

因?yàn)門，所以人兀一4一

2兀

(2)由(1)得。=彳

所以由余弦定理得/=a2+o2-2a〃cosC=a2+〃2+a〃,

2

記T，+￡='("+"),則F=c(〃+0J_空+1印+2],

ababababbabaJ

b

因?yàn)閍>0,Z?>0,所以2+922、"3=2,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)2=;,即a=6時(shí)，等號(hào)成立，即2+

abab

故7223x4=12,貝l|T225

所以￡+打26，即￡+”12后+8).

abah'-7

TT

5.(1)A=-

⑵①B；②且

33

【分析】(1)利用正余弦定理即求;

(2)選①利用基本不等式及面積公式即求；選②利用余弦定理可得4-比=廿+°2,然后利用基本不等式及

面積公式即求.

【詳解】(1)V=—^―=(sinB-sinC\b=(tz-c)(sinA+sinC),

sinAsinBsinCv''八7

?**(b—c)Z?=(a—c)(〃+c),即/?2+c2—a2=bc,

b2+c2-a2be1

cosA=又Ae(0,萬(wàn)),

2bc2bc~2

71

A4=—

3

(2)選①平分/BAC,

AB-ADsinZBAD+^ACADsinZCAD=^b-c-sinA,

222

即csinq+bsinq=bcsin],

o63

***c+b=6bc

由基本不等式可得：

y/3bc=b+c>2\[bc，

/.bc>^,當(dāng)且僅當(dāng)6=°=冬8時(shí)取“=”，

33

?*,^AABC="csinA=^bcN號(hào),

即.ABC的面積的最小值為正；

3

②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，

聞+12-c2

在,ADB中由余弦定理得cosZADB=再-------,

2x|xl

D+12-b2

在AADC中由余弦定理得cosZADC=4------------，

2x|xl

*.*cosZADB+cosZADC=0,

2

：.^-+2=b2+c2,

在，ABC中，A=?，由余弦定理得4=62+02一稅，

4-bc=b2+c2

4—be—b2+c2>2bc,

解得bc?金,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2叵時(shí)取“=”，

33

所以S4ABe=-^bcsinA=斗松三烏,

△MC243

即.ABC的面積的最大值為3.

3

6.(1)7A/3；(2)tanZABD=—.

3

【分析】(DaABC中，利用含—ABC的余弦定理表達(dá)式建立8C的方程，求出BC而得，ABC面積，再利用

面積關(guān)系求△ADC的面積得解；

(2)由題設(shè)中角的信息用/即表示出ABC與3DC中的相關(guān)角，再在這兩個(gè)三角形中利用正弦定理建立

兩個(gè)方程，聯(lián)立整理得tan加D的方程，解之即得.

【詳解】(1)設(shè)3C=x,在ABC中，由余弦定理AC?=482+5。2-248-3?！?/48<7得：

2%

28=22+%2—2?2?x?cos,BP%2+2x—24=0,而x>0,解得x=4,

所以3C=4,則ABC的面積S?！?LAB-8C-sinNABC=L2-4?立=24，

△ABC222

5AB

梯形ABC。中，ABI/CD,ASC與"DC等高，且

所以A4DC的面積S△的=&齊=5g,

貝U梯形ABCD的面積S=S^c+S-=76；

(2)在梯形ABC。中，設(shè)=而AC13D,

jr27r71

貝iJ/3DC=a,ZBAC=——a,NDBC=——a,ZBCA=a——,

236

2BC

AB

在,ABC中,由正弦定理——--得

sinZBCAsinZBACsin(a--)sin(--a)

62

5BC

CDBC

在cBDC中,由正弦定理得:sin(g"sina，

sinZDBCsinZBDC

2sin(------a).2o-(/——cosa+—1si.na)、

兩式相除得：-----^—―sincr='22sinor

sin(1-a)5-(^sin(z-|cosa)cosa

5sin(cr----)

整理得5A/3sin20-7sinacosa-2石cos2q=0,

即573tan2cr-7tan-2G=0

解得tana=或tana=,

35

因?yàn)閍w(—,—)，則tana=38,即tanZ.ABD=冬8.

6233

【點(diǎn)睛】(1)三角形中已知兩邊及一邊對(duì)角求第三邊，利用余弦定理建立關(guān)于第三邊的一元二次方程求解;

⑵涉及平面多邊形問(wèn)題，把圖形拆分成若干個(gè)三角形，再在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.

兀

7.d)A=y

⑵后

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用三角形內(nèi)角和定理將singusinAcosC+cosAsinC,推導(dǎo)出

cosAsinC=—sinC,由此求出角A.

2

(2)由已知條件推導(dǎo)出歷=6,從而由余弦定理得出/="+'2一秘，最后利用基本不等式求出。的最小值.

c|

【詳解】(1)△A3c中，b-acosC=—,由正弦定理知，sinB-sinAcosC=-sinC,

22

*.*A+B+C=TI,sinB=sin[TI-(A+C)]=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC+cosAsinC-sinAcosC=—sinC,cosAsinC=—sinC,

22

cosA——,

2

7T

又<0<A<兀,A=—；

,UL1UUUIU,

(2)由(1)及AB-AC=3得從=6,

所以-2bccosA=b2+c2-be>be=6,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取等號(hào)，所以。的最小值為布.

71

8.(1)—；(2)2-

4

【分析】(1)由題設(shè)，根據(jù)正弦定理得sinAsinB+sinB8sA=sinC,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得tan5=l,即可

求B；

(2)由余弦定理，結(jié)合已知條件列方程，即可求c

【詳解】(1)由正弦定理得：sinAsinB+sinBcosA=sinC,而

sinC=sin(A+=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

sinAsinB=sinAcosB,又sinAwO,cosB^O,

JT

tanB=1,又0<5〈萬(wàn)，即5=—.

4

(2)由余弦定理k=/+/—2〃ccos3,即〃=

.1.4=C2+2C2-2^C2X—,解得c=2.

2

9.⑴至

3

(2)2+石

【分析】(1)利用正弦定理，角化邊，結(jié)合余弦定理求得cosA,即可得答案；

(2)由余弦定理可得〃+C2+A=3,配方后利用基本不等式可求得6+cW2,從而求得三角形周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】(1)由正弦定理三=—"=￡；,得^+。2+慶=〃,即62+c2—/=-反，

sinAsinBsinC

由余弦定理得，cos

2bc2

27r

又OvAv］，所以A=—

(2)由Q=J5和(1)可知廿+。2+兒=3,

則3=3+c)2-be>3+c)2_S+c)2=3(/?+C)2，

44

得4N(b+c)2,即6+c42,

所以a+6+cV2+石(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時(shí)，取得等號(hào))，

所以ASC周長(zhǎng)的最大值為2+百.

71

10.⑴C=g；

(2)(。爭(zhēng)

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)作答.

(2)由(1)的結(jié)論，利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出三角形面積范圍作答.

【詳解】(1)在，ABC中，由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有5皿4+5)=2$111。8$。，即sinC=2sinCcosC,而0<。<兀，sinC>0,貝!JcosC=g,

所以C=1.

(2)在ABC中，由余弦定理得：\=a1+b2-ab

因此122"-必，&flO<ab<l9當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

所以ABC面積的取值范圍是(0,史］.

11.（1）A=-

￡2

353

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出sinAcosC+sinAcos3=cosAsinC+cosAsinB,再應(yīng)用兩角和差公式

計(jì)算求解即可；

(2)先應(yīng)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)余弦型函數(shù)求值域可得.

所以sinAcosC+sinAcosB=cosAsinC+cosAsinB,

即sin（A-C）=sin（B-A）,

所以A—C=B—A或(A—C)+(B—A)=7i(舍去).

IT

所以A—C=8—A,結(jié)合A+B+C=TI,得A=

(2)由(1)得:

jsinZ-sinBsinC=-sinfisinC)=4

—sin9B-sinBsin

a2sin2A、3

4..1

=—sin9B-sinB-cosB+—sinB=——sin2B-—sinB-cosB

32322

41i

=——(l-cos2B)-

34V7AB

1與sin25+cos25)+—

3

2兀、1

—cosIB—+—

313J3

因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以3,。均為銳角,

p1len兀c-2兀71匚廣I、［兀n兀

即r0<3<—,0<C=------B<—,所以一<B<一,

23262

71

所以2B-尸

所以七￡的取值范圍是

art-

71

12.⑴i；

0

(2)與1.

2

【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得出tanC=3，進(jìn)而根據(jù)角的范圍得出答案；

3

（2）解法一：由已知可推出8C,CD,然后根據(jù)正弦定理可求出2R=2,進(jìn)而求出BD=2,AD=6.設(shè)

BC=x,CD=y,表示出四邊形的面積，根據(jù)基本不等式即可得出答案；解法二：根據(jù)投影向量，推出

BCJLCD,然后同解法一求得AO=g.設(shè)表示出四邊形的面積，根據(jù)。的范圍，即可得出答

案；解法三：同解法一求得=設(shè)點(diǎn)C到2。的距離為〃，表示出四邊形的面積，即可推出答案；解

法四：建系，由已知寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知推得8。是。的直徑，然后表示出四邊形的面積，即可推出

答案.

【詳解】（1）因?yàn)?=2csin（A+V],

在.ABC中，由正弦定理得，sinB=2sinCsin^A+^.

又因?yàn)閟ini3=sin（兀一A-C）=sin（A+C）,

所以sin（A+C）=2sinCsin（A+—）,

展開得sinAcosC+cosAsinC=2sinC——sinA+—cosA,

、22/

即sinAcosC-A/3sinCsinA=0,

因?yàn)閟inAW0,故cosC=sinC,BPtanC=.

3

又因?yàn)镃e(O,7r),所以C=$.

(2)解法一：

如圖1

設(shè)，ABC的外接圓的圓心為O,半徑為R,

因?yàn)榕?加=癡2,所以BA(BD-砌=0,

即54-AQ=0，所以ZMJ_NA,

故80是：。的直徑，所以3CLCD.

2R=-----------=—I—=2

在，ABC中，c=l,sinZBCAsin?r,所以BD=2.

Sm6

在△AB。中，AD=>jBD2-AB2=y/3-

設(shè)四邊形ABC。的面積為S,BC=x,CD^y,則/+>2=4,

S=S+S=-AB-AD+-BC-CD=—+-xy

AABDACBD2222-

括1x2+y2V3

<-----1--------------=-----F1，

2222

當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=后時(shí)，等號(hào)成立.

所以四邊形ABCD面積最大值為1+1.

2

如圖1

設(shè)，ABC的外接圓的圓心為O,半徑為R,8。在&L上的投影向量為4A4,

所以&4.8。=84.（；1網(wǎng)=2網(wǎng)2.

又班4￡）=8/，所以2=1,

所以8。在BA上的投影向量為BA，

所以DA_L54.

故80是：。的直徑，所以5CLCD.

2R=_______=_1-=2

在,ABC中，c=l,sinZBCA.兀，所以BD=2,

sin—

6

在△ABD中,AD=dBD2-AB。="

設(shè)四邊形ABC。的面積為S,ACBD=6,

貝UC3=2cos6>,C￡>=2sin6,

所以S=S&ABD+SACBD=—AB-AD+—CB-CD=+sin20,

當(dāng)26=W時(shí)，S最大，所以四邊形ABC。面積最大值為1+1.

22

解法三：

如圖1

設(shè)，ABC的外接圓的圓心為。，半徑為R,

因?yàn)樵诩?.，所以BA（8D-BA）=0,即朋.4。=0，

所以ZM_LR4.

故3。是：。的直徑，所以8CLCD.

2R____-___——1—=2

在,ABC中，c=l,sinZBCA5m2，所以瓦>=2.

Sm6

在△ABD中，AD^Blf-AB，=5

設(shè)四邊形ABC。的面積為S,點(diǎn)C到8。的距離為//,

則S=SAABD+SACBD=—-AD+—BD-h=+h,

當(dāng)/z=A=l時(shí)，S最大,所以四邊形ABC。面積最大值為走+1.

2

解法四:

設(shè)，ABC的外接圓的圓心為。，半徑為R,

.,2R=——-——=」—=2

在，ABC中，c=l,sinZBCA■無(wú)，

sin—

6

故..ABC外接圓（。的半徑R=l.

JT

即。4=OB=AB=1,所以NA02=§.

如圖2,以,ABC外接圓的圓心為原點(diǎn)，。2所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系彳。》

圖2

因?yàn)镃,。為單位圓上的點(diǎn)，設(shè)C（cosc,sina）,￡）（cos/7,sin/7）,

其中。?0,2兀）,（0,27i）.

（1⑸

所以BA=,%）=（cos￡-l,sin0,

I22J

代入BD=BA2,WBABD^l>可得-gcos/+；+岑sin/?=1,

即sinUJ

由分e（0,2兀）可知,一￡；￡,?）,

所以解得萬(wàn)一占=m或￡-丁=等，即尸或6=葭

66663

7T

當(dāng)月=§時(shí)，A,。重合，舍去；當(dāng)月=兀時(shí)，BD是。的直徑.

設(shè)四邊形ABCD的面積為S,

則S=SAABD+S^CBD=；BD.9+；BD-|sina\=J+|sina|,

由140,2兀）知卜in回VI,所以當(dāng)&=萬(wàn)時(shí)，即C的坐標(biāo)為（0,-1）時(shí)，S最大,

所以四邊形ABCD面積最大值為1+1.

2

71

⑶（匕

⑵2尺3

【分析】（1）由正弦定理邊角互化得sinAsin41￡=sinBsinA,又4+。=兀一3,可得cos《=sinB,結(jié)合

二倍角公式可求得結(jié)果;

（2）由題意可知ABC為等邊三角形，設(shè)AD=m，則取>=1-m,"=租，由余弦定理得

3

BP2+（l-2m）=BP（l-m）,設(shè)第=%0<%<1,所以機(jī)=2-%+------3,利用基本不等式可求得答案.

2-x

【詳解】（1）因?yàn)閍sin-----=Z?sinA,所以由正弦定理邊角互化得sinAsin-----=sinBsinA,

22

71BBBBB

因?yàn)锳w(O,7r),sinAwO,A+C=7L—B,所以sin=sinB,gpcos一=sinB,所以cos—=2sin-cos一,

2-72222

因?yàn)锽￡(0,兀)，所以,W[0,5],cos—0...B1

所cr以sinur；；,

22

所以4=2，即8=(

263

TT

(2)因?yàn)锳C=BC,B=§,所以ABC為等邊三角形，即AC=5C=AB=1,

設(shè)AD=根，則比)二1一九P￡)=機(jī)，

所以在△BPD中，由余弦定理得cos8=譬不》=BP1^：加2一；,整理得

2BP-BD2BP-(1-m)2

BP2+(l-2m)=BP-(l-ni),

,兀c//[uuI、x~—x+1(2—x)~—3(2—x)+343.

^BDPD=x,0<x<l,所以?〃z=--------=----------------=2—尤+------3,

2—x2—x2—x

由于OVxVl,故1W2—xW2,

所以〃z=2-x+^----3>2-^3—3,當(dāng)且僅當(dāng)2-尤=A/^時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=2-

2—尤2-x

所以A。的最小值為2君-3.

71

14.(1)-

0

⑵8-4占

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，正弦定理即可求出角8;

（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出“c的取值范圍，即可得到‘ABC的面積的最大值.

【詳解】（1）由題意，

在.ABC中，\/3csmB=a-bcosC,

..a_b_c

A+3+C=兀

sinAsinBsinC

V3sinCsinB=sinA-sinBcosC,即gsinCsin5=sin(3+C)—sin5cosC,

sinB-cosBjsinC=0,

*.*sinC0,0<B<TI

**?43sinB-cosB=0,可得tanB=，解得：B

36

(2)由題意及(1)得

JT

在.ABC中，B=~,DC=ADBD=2,

o

二。為邊AC的中點(diǎn)，4|BD|2=4X22=16

CILUUUUUUU1

?*-2BD=BA+BC,

：.4(BD)2=(BA+BC)2=(BA)2+2BABC+[BC)2,BP41BD|2=|BAp+21BA||Bc|cosB+1BC^=16,

設(shè)|研=c,|BC|=?,貝(Ja2+c2+2QCCOS￡=a2+C2=162(2+G)QC,

所以℃4交后=32-16/，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.

???SABc=；acsinB=：acW8-4百，當(dāng)且僅當(dāng)°=c時(shí)，等號(hào)成立，

；?,ABC的面積的最大值為8-4出.

71

6(D?

(2)713-1

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變形即可求解;

（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.

TV—A

【詳解】（1）由已知條件得6sin0—=asinB,

由正弦定理得sin^cos—=sinAsinB,

2

AA1

*.*sinB0,cos—=sinA,sin—=—,

222

ydJT

又<0<A<兀，「?0<5<5,

(2)由三角形面積公式得

..013A/33月1「.7i373

=Xa=a9=—xoxc-sin—=-----c

*ABC^~^~^~uABC232

?343A/3日口_

??-----a-------c,a——o2c,

42

由余弦定理得a?=36+c2-6c,將〃=2c代入可得c?+2c-12=0,

解得c=JT^-1或c=-(舍去)，

故。=9-1.

]?門、D_2A/7

16.(1)cosB-------

7

(2)73

【分析】（l）根據(jù)題意和兩角差的正弦公式可得sinB=^cosB,結(jié)合sin28+cos2g=l和角的范圍計(jì)算即可

求解;

（2）由正弦定理可得c=/asinB,則asinB=0,結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）在，ABC中，A=1,所以C=7t-（4+2）=^-2.

因?yàn)閟inC=6sinAsinB,所以sin（g-臺(tái)］=^sinB,

所以坐0?3+^^118=951113,即sinB=*cosB（*）,

又sin2B+cos2B=T.

所以(乎cos8)+cos2B=1,即cos?^^,

又㈤，所以sinB>0,由（*）知，cosB>0,

所以cosB=2"；

7

(2)因?yàn)閟inC=&sinAsinB,由正弦定理，c=y/^asinB.

又c=瓜,所以asinB=a.

所以ABC的面積為5=4次411區(qū)=4'而>0=班.

兀

17.⑴A=]

-

(A/102+V|

⑵-2-'

【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；

（2）由|A￡）|2=!（AB+AC）2,結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角

函數(shù)值域求出范圍

【詳解】（1）由余弦定理得2c2=2Q3osWtanA+tanB）,

即c=acosB(tanA+tanB),

sinAsinB

由正弦定理得sin。=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB-----1-----

cosAcosB

.sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB-------------=------------

cosAcosBcosA

sinCw0,/.sinA=cosA,即tanA=1,

口.4：.

(2)由余弦定理得：2=b2+c2-42bc，則/+o2=2+0".

IAO『=；(AB+AC)2=+匕2+岳c)=；(1+回c)

由正弦定理得占==7=號(hào)=2

sinBsmCsinA

所以Z?=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsinfcosB+sin2Bj=?(-cos2B+sin2B)+42

=2sin[25—+0

0<B<-

77TIT

因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以，'，即:<3<G，

C3兀n兀42

則:<2B-：q，4<sin[28-；]vi,."c?2后,2+&].

中線AD長(zhǎng)的取值范圍是［半，三也.

18.(1)-；(2)正.

33

【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解tanB,進(jìn)而可求8；

(2)由余弦定理及已知條件可求a,c的值，然后結(jié)合三角形的面積公式可求.

【詳解】解：(1)在△ABC中，由正弦定理，

因?yàn)槭?55="1口24，

所以6sinAcosB=sinBsinA,

因?yàn)閟inA^O,

所以\/3cosB=sinB9

所以tanB=6,

因?yàn)镺VBV兀，

所以3=三1T

(2)因?yàn)椤?2,c=2a,由余弦定理/?2=〃2+/_2〃CCOS8,

nJ4=Q?+4/-2QX2Qx—,

r-r-I

所以r〃=7—，c=^—,

33

訴“C_1,_1273473V3_2x/3

=R

//f以SARC-ctcsinB=-x------x--------x—=-------

A/223323

【點(diǎn)睛】此題考查正、余定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換有應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔

題

7T

19.⑴8=zo

⑵1

【分析】(1)從正弦定理出發(fā)進(jìn)行角換