解析幾何在實(shí)際中的應(yīng)用

關(guān)于解析幾何在實(shí)際中的應(yīng)用

解析幾何既是應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課，又在其他科學(xué)技術(shù)中有著直接的應(yīng)用。例如，大部分機(jī)械零件的外形都是平面、柱面、椎面、球面等等曲面之一，或是它們的某種組合。這里不打算詳細(xì)介紹解析幾何在實(shí)際中的應(yīng)用，因?yàn)槟且婕捌渌萍挤矫娴闹R(shí)。這里僅舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子。第2頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多面體零件的計(jì)算一多面體零件如圖所示，在制造時(shí)，需要求出二面角、、和的角度和，以便制造測(cè)量樣板，試求角和的值。第3頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解可以應(yīng)用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)解此問(wèn)題。為此，先如上圖所示，取坐標(biāo)原點(diǎn)為C，建立直角坐標(biāo)系Oxyz。各點(diǎn)的坐標(biāo)已知為其次，求出諸平面的方程。我們知道，過(guò)點(diǎn)的平面方程為于是過(guò)點(diǎn)的平面方程為第4頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天將點(diǎn)D、點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，有解此方程，得于是求得平面DAE的方程為類(lèi)似的可求得平面BAE的方程為及平面FBE的方程為第5頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面CBF的方程為平面GEF的方程為最后，由平面夾角的余弦公式可求得平面DAE和BAE的交角的余弦第6頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天故平面ABE和FBE的夾角的余弦為故平面EBF和CBF的夾角的余弦為第7頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天故平面GEF和BEF的夾角的余弦為故二、板金零件的展開(kāi)圖圖二是我們通常見(jiàn)到的二通管道變形接頭或爐筒拐脖的示意圖。制造這類(lèi)零件，先按照第8頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天零件展開(kāi)圖的度量尺寸（展平曲線）在薄板（鐵皮或鋁板等）上下料，然后彎曲成型，并將各部分焊接在一起。為了獲得零件展開(kāi)圖的展平曲線，必須求出截交線的方程。設(shè)圓柱管道的方程為

截平面的方程為第10頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天為求截平面與管道的截交線方程，將管道的方程改寫(xiě)成參數(shù)形式將其代入截平面方程中，得第11頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天圓柱的底圓展平時(shí)有，即，這里是弧長(zhǎng)。將代入上式，有

上式即是截交線（截平面與圓柱管道的交線）的展平曲線方程。如果截平面是正垂面（平y(tǒng)軸）：，則截交線的展平曲線方程成為第12頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天即這是一條調(diào)整過(guò)振幅的余弦曲線。第13頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、火力發(fā)電廠的供水塔火力發(fā)電廠的供水塔（冷卻塔）的橫截面曲線均為圓，其半徑R與塔高H的關(guān)系（見(jiàn)圖4）為度量單位為m。令冷卻塔的中心軸為z軸，z軸與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，在地面上選一個(gè)方向y軸，則有第14頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

冷卻塔半徑R與塔高H的關(guān)系式可以改寫(xiě)為

冷卻塔的外形曲面的方程可以表示為

即這正是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。

第15頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、交叉管道的距離在工程中有時(shí)要將兩條交叉管道連通，需求出連接管的最短長(zhǎng)度和連接位置，這在幾何上歸結(jié)為求兩條交叉空間（異面）直線的距離。兩條異面直線的距離為這兩條直線的公垂線的長(zhǎng)度。設(shè)兩交叉管道AB與CD所在直線方程依次為第16頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天試求直線AB與CD的距離。先過(guò)直線CD作平行于直線AB的平面，則其方程為第17頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天將上式左端的三階行列式按第1行展開(kāi)，得因?yàn)橹本€AB平行于平面，故直線AB上任意一點(diǎn)到平面的距離即是兩直線AB與CD的公垂線的長(zhǎng)度。第18頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此，直線AB上的點(diǎn)到平面的距離為這就是直線AB與CD之間的距離。第19頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、直紋曲面的應(yīng)用實(shí)例（一）飛機(jī)機(jī)翼的外形曲面我們來(lái)看飛機(jī)機(jī)翼的外形曲面，下圖表示兩個(gè)平行橫截面之間的機(jī)翼外形。橫截面的邊界是兩條參數(shù)閉曲線，其方程為

第20頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天作參數(shù)變換和，這樣有和對(duì)于同一參數(shù)，在兩橫截面的邊界線分別對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)。這兩點(diǎn)的直線向量式參數(shù)方程為

其中為參數(shù)。當(dāng)從時(shí)，上直線就連續(xù)地描出一張直紋曲面，此直紋曲面的方程可以寫(xiě)為其中為曲面的參數(shù)。第21頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）、飛機(jī)機(jī)翼的整流面某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼為直紋面，機(jī)翼表面上的信號(hào)燈（或稱(chēng)航向燈）突出部分的曲面稱(chēng)為整流面，是由兩族不同方向的直母線相交織構(gòu)成的曲面。整流面上四個(gè)不重合的點(diǎn)，可以確定整流面上的一小片曲面的方程。設(shè)四個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向徑分別表示為。第22頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天這塊整流曲面片的邊界線均為直線，四條直線的方程可以表示為由直線和直線確定的直紋曲面可以表示為第23頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天由直線和確定的直紋曲面可以表示為第24頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天顯然兩直紋曲面和在四個(gè)角點(diǎn)處的函數(shù)值相等。因此這塊整流曲面的方程可以表示為第25頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天六、生產(chǎn)規(guī)劃問(wèn)題某廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)A一噸要用煤9t，電力4kW，勞動(dòng)力3個(gè)（以工作日計(jì)算）；生產(chǎn)B一噸要用煤4t，電力5kW，勞動(dòng)力10個(gè)。已知生產(chǎn)A一噸的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為7千元；生產(chǎn)B一噸的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為1萬(wàn)2千元?，F(xiàn)在該廠有煤360t，電力200kW，勞動(dòng)力300個(gè)。問(wèn)應(yīng)該生產(chǎn)A和B各多少t，才使所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)價(jià)值最大？第26頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品各為和，則問(wèn)題立即轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)問(wèn)題。在限制條件：之下，使所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)價(jià)值（以千元為單位）達(dá)最大，即第27頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天此問(wèn)題可用圖解法解：第28頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天陰影部分為可行域由圖五可以看出S的最大值在點(diǎn)處取得，最大值為428。七、平面圖形的變換在目前已廣泛應(yīng)用的計(jì)算機(jī)繪圖中，常要對(duì)圖形進(jìn)行各種變換。圖形變換不同于坐標(biāo)變換，坐標(biāo)變換是圖形不變，坐標(biāo)系改變，而圖形變換是坐標(biāo)系不變，圖形改變，圖形變換的基本問(wèn)題是建立圖形上的第30頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天點(diǎn)與變換前和變換后其坐標(biāo)之間的關(guān)系式。為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，這里仍以矩陣為工具，并且只在直角坐標(biāo)系中討論。

1、基本變換圖形的縮放、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)移、旋轉(zhuǎn)、平移等變換稱(chēng)為基本變換。平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以用行矩陣表示。設(shè)是變換前圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)第31頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

是變換后圖形上的坐標(biāo)。除平移外，上述幾種基本變換都可由下式實(shí)現(xiàn)，即或其中方陣稱(chēng)為變換矩陣。第32頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天給T的四個(gè)元素以不同的值，將得到不同的基本變換。下面分別討論之。（1）縮放變換縮放變換即是將圖形沿坐標(biāo)軸方向縮小或放大。在T中令，得變換矩陣

稱(chēng)為縮放變換矩陣。這時(shí)，變換前后圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為第33頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

即其中為縮放因子。若，則圖形沿方向和方向按同一比例縮小或放大。且當(dāng)時(shí)，圖形縮??；當(dāng)時(shí)圖形放大。當(dāng)時(shí)，圖形不變，這種變換稱(chēng)為恒等變換。第34頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天若，則圖形沿方向按不同比例變化，即產(chǎn)生畸變。例1：對(duì)單位圓分別作下列縮放變換：1)縮小一半；2)放大一倍；3)沿方向放大一倍，沿方向縮小一半。試求變換矩陣及變換后圖形的方程。解1)把圖形縮小一半的變換矩陣為第35頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)變換公式為或變換后圖形的方程為即

2)把圖形放大一倍的變換矩陣為

第36頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)變換公式為或變換后圖形的方程為即

3)把圖形沿方向放大一倍，沿方向縮小一半的變換矩陣為第37頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)變換公式為，或變換后圖形的方程為即這是長(zhǎng)半軸為2，短半軸為，中心位于原點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓。第38頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天在T中令可得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的變換矩陣圖形變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為即

2)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)變換在這種情況下，變換矩陣為第39頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖形變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)公式為即（3）錯(cuò)移變換錯(cuò)移變換分沿方向和沿方向錯(cuò)移兩種情況。

1)沿方向錯(cuò)移沿方向錯(cuò)移變換，是指變換后圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)保持不變，坐標(biāo)依賴(lài)初始坐標(biāo)第40頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

線性地變化。變換矩陣為圖形上變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為即

從幾何上看，平行于軸的直線變換后仍平行于軸，平行于軸的直線變換后沿方向錯(cuò)移與軸成角的直線，的點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)，的點(diǎn)沿方向錯(cuò)移了的距離，見(jiàn)圖六第41頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天第42頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天2）沿y軸方向錯(cuò)移沿y方向的錯(cuò)移變換，是指變換后圖形上的點(diǎn)的x坐標(biāo)保持不變，y坐標(biāo)依賴(lài)于初始坐標(biāo)線性地變化。變換矩陣為圖形上變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為即第43頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天從幾何上看，與沿x方向錯(cuò)移的情況類(lèi)同，見(jiàn)圖七。

第44頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例2將單位圓沿x方向錯(cuò)移的距離，寫(xiě)出單位圓錯(cuò)移后的圖形的方程。解沿x方向錯(cuò)移的距離，圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系之間的關(guān)系式為或?qū)⑸鲜酱雴挝粓A方程中，得錯(cuò)移后圖形的方稱(chēng)為第45頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

即這是一個(gè)橢圓，其圖形如圖八所示。第46頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（4）旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，且規(guī)定逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角取正值，瞬時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角取負(fù)值。旋轉(zhuǎn)變換的矩陣為圖形變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為第48頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖形變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為即由前面的討論可見(jiàn)，上述四種圖形變換的都可以用一個(gè)方陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。（5）平移變換平移變換是值將圖形平行移動(dòng)。這種變換無(wú)法用二階方陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上，設(shè)圖形沿方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，沿方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，第49頁(yè),共54頁(yè)，2024年2月25日，星期天則平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式應(yīng)為

顯然，上式右端無(wú)法表示成行矩陣與一個(gè)二階方陣的乘積。為了能用矩陣表示圖形的平移變換，下面引進(jìn)齊次坐標(biāo)概念。

1)平面齊次坐標(biāo)設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，現(xiàn)改